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2012东城区上学年度高三第一学期期末理科数学试题


北京市东城区 2011-2012 学年度高三数第一学期期末教学统一检测 数学(理科)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 (1)已知集合 A ? x x ? 0 , B ? ?0,1,2?,则 (A) A ? B (B) B ? A (C) A ? B ? B (D) A ? B ? ?

?

?

(2)在复平面内,复数 (A)第一象限

1 ? 2i 对应的点位于 ?i
(C) 第三象限 (D) 第四象限

(B) 第二象限

(3)下列命题中正确的是 (A)如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行 (B)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 (C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面 (D)如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线共面

(4)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图中△ABC 是边长 为 2 的正三角形,俯视图的边界为正六边形,那么该几何体的侧(左) 视图的面积为 (A)

1 2

(B) 1

(C)

3 2
2 2

(D) 2

(5) 在平面直角坐标系内, 若曲线 C :x ? y ? 2ax ? 4ay ? 5a ? 4 ? 0
2

上所有的点均在第二象限内,则实数 a 的取值范围为 (A) ?? ?,?2? (B) ?? ?,?1? (C) ?1,??? (D) ?2,???

(6)如图所示,点 P 是函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) ( x ? R, ? ? 0) 的图象的最高点, M , N 是 该图象与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 的值为 (A)

? 8

(B)

? 4

(C) 4

(D) 8

(7)对于函数 f ( x) ? lg x ? 2 ?1 ,有如下三个命题: ① f ( x ? 2) 是偶函数; ② f ( x) 在区间 (?? , 2) 上是减函数,在区间 ?2 , ? ?? 上是增函数; ③ f ( x ? 2) ? f ( x) 在区间 ?2 , ? ?? 上是增函数.

-1-

其中正确命题的序号是 (A)①② (B)①③

(C)②③

(D)①②③

(8)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 的定义域为 ?a, b? ( a ? b) ,值域为 ?1, 5? ,则在平面直角坐标系 内,点 ( a, b) 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 (A) 8 (B) 6 (C) 4 . . (D) 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知 sin ? ? 2 cos ? ,那么 tan 2? 的值为

(10)若非零向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为 (11)已知函数 f ( x) ? ?

? sin ?x, x ? 0, 5 那么 f ( ) 的值为 6 ? f ( x ? 1), x ? 0,



(12)在等差数列 ?an ? 中,若 a5 ? a7 ? 4 , a6 ? a8 ? ?2 ,则数列 ?an ? 的公差等于 其前 n 项和 S n 的最大值为 .

; y B F O x

(13)如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,左焦点为 F , A a 2 b2
?

上顶点为 B ,若 ?BAO ? ?BFO ? 90 ,则该椭圆的离心率是
2 2

.

(14)已知不等式 xy ≤ ax ? 2 y ,若对任意 x ? ?1, 2?且 y ? ?2 , 3?,该不等式恒成立,则实 数 a 的取值范围是 .

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分)

b ,c , 已知△ ABC 中, 角 A ,B ,C 的对边分别为 a , 且 3s n i

B c o s ?

1B ? ,b ? 1 .

5? ,求 c ; 12 (Ⅱ)若 a ? 2c ,求△ ABC 的面积.
(Ⅰ)若 A ?

-3-

(16) (本小题共 13 分) 在等差数列 ?an ? 中,a1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,b1 ? 1 , 公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)证明:

S2 . b2

1 1 1 1 2 ≤ ? ??? ? . 3 S1 S 2 Sn 3

-4-

(17) (本小题共 14 分)
? 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的

中点, PA ? PD ? AD ? 2 . (Ⅰ)求证: AD ? 平面 PQB ; (Ⅱ)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值, 使 PA // 平面 MQB ;

P M

D Q A

C

(Ⅲ)若 PA // 平面 MQB ,平面 PAD ? 平面 ABCD , 求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

B

-5-

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2ax3 ? 3x 2 ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)求证:函数 f ( x) 在区间 ( ??, 0) 上是增函数; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?(x)( x ??0,1?) 在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围.

-6-

(19) (本小题共 13 分)

x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) , M 为椭圆的上顶点, O 为坐标 a b
原点,且△ OMF 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点, 且使点 F 为△ PQM 的垂心(垂心:三角形三 边高线的交点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

-7-

(20)(本小题共 14 分) 已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合: 对任意 f ( x) ? M , ①方程 f ( x) ? x ? 0 有 实数根;②函数 f ( x) 的导数 f ?( x) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 . (Ⅰ)判断函数 f ( x) ?

x sin x ? 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 4

(Ⅱ)集合 M 中的元素 f ( x) 具有下面的性质:若 f ( x) 的定义域为 D ,则对于任意

?m, n? ? D ,都存在 x0 ? ?m , n?,使得等式 f (n) ? f (m) ? (n ? m) f ?( x0 ) 成立.试用
这一性质证明:方程 f ( x) ? x ? 0 有且只有一个实数根; (Ⅲ)对任意 f ( x) ? M ,且 x ? ?a ,b ? ,求证:对于 f ( x ) 定义域中任意的 x1 , x2 , x3 ,当

x2 ? x1 ? 1,且 x3 ? x1 ? 1 时, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 2 .

-8-


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