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高中数学选修1-2第2章《推理与证明》基础训练题


选修 1-2 第二章《推理与证明》基础训练题一、选择题: 1.下列命题中的真命题是( A 若 a>b,c>d,则 ac>bd ) B 若|a|>b,则 a2>b2 C.若 a>b,则 a2>b2 D.若 a>|b|,则 a2>b2

2. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的, 称图 2 中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.289 B.1024 C.1225 D.1378 3.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成立, 则( A. ? 1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ? )

1 3 ?a? 2 2

D. ?

3 1 ?a? 2 2
C. 3 D. )
1 2
2

4. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ? 5.观察式子: 1 ? A1?
1 2
2

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =( )A.0 B.? 3

3 2

1 22
1 n
2

?
?

3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?,则可归纳出式子为( 2 3 4 2 3 2 3 4

?

1 3
2

??

1 2n ? 1

B1?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

1 2n ? 1

C. 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n ? 1 n
2

D. 1 ?

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n 2n ? 1

6.用三段论推理命题:“任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a ? 0 ,你认为这个推理( A.大前题错误 B.小前题错误 C.推理形式错误 D.是正确的 7.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a , b , c 中恰有一个偶数”正确的反设为( A. a , b , c 中至少有两个偶数 B. a , b , c 中至少有两个偶数或都是奇数 C. a , b , c 都是奇数 D. a , b , c 都是偶数 8.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b”; )



②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d∈Q,则 a+b 2 =c+d 2?a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”. 其中类比得到的结论正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

2 9. 设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数, 且 f ( x) 满足: “当 f (k ) ≥ k 2 成立时, 总可推出 f (k ? 1) ≥ (k ? 1) 成立” . 那么,下列命题总成立的是( ) A.若 f (1) ? 1 成立,则 f (10 ) ? 100成立 B.若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ≥1 成立

C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 D.若 f ( 4) ≥ 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 10.有一正方体,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.
1

如果记 3 的对面的数字为 m,4 的对面的数字为 n,那么 m+n 的值为 (A)3 (B)7 (C)8 (D)11

二、填空题:本大题共 5 小题, 每小题 5 分,满分 25 分. 11.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4,类似地,在空间内,若两 个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为 _____ .
w.w.w.k.s.5.u.c .o.m

12.已知函数 f ( x) ?

1 1 1 x2 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? ______________. 2 2 3 4 1? x

13.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为
3 2 5 5 4
7 7 7 8

. .

14. 已知 cos ? ? 1 , cos ? cos 2? ? 1 , cos ? cos 2? cos 3? ? 1 , , 根据以上等式, 可猜想出的一般结论是 15.设直角三角形的两条直角边的长分别为 a ,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有

①a ? b ? c ? h ;②a ? b ? c ? h ;③a ? b ? c ? h ;④a ? b ? c ? h . 其中正确结论的序号是 ;进一步类比得到的一般结论是 . 2 2 1.答案:D 解析:由 a>|b|,可得 a>|b|≥0?a >b n n 2.答案:C.解析:由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?n ( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数列通 n ( n ? 1) 知 an 必为奇数,故选 C. 项 bn ? n2 ,则由 bn ? n2 (n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ? 2 3.答案:C.解析: ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 ? ( x ? a)(1 ? x ? a) 2 ? 1 ? x2 ? x ? a2 ? a ? 1 ? 0 2 由 ? ? 1 ? 4(?a ? a ? 1) ? 0 ,得 ? 1 ? a ? 3 . 2 ? 0, , a 4.答案:B.解析: a1 ? 0, a2 ? ? 3, a3 ? 2 3, a4 n?3 ? an .?a20 ? a2 ? ? 3. 5.答案:C.解析:特殊值法,用 n ? 2 带入易选 C 6.答案:A.7.答案:B 8.答案:C 解析:①②是正确的,③是错误的,因为复数不能比较大小,如 a=5+6i,b=4+6i,虽然 满足 a-b=1>0,但复数 a 与 b 不能比较大小. 9.答案: D.解析:当 f ( 4) ≥ 25 时, f (4) ≥ 42 ,从而 f (5) ≥ 52, ,f ( k ) ≥ k 2 ( k ≥ 4 )成立.
2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5

10.答案:C

11.答案:1:8 .
w

12.答案:

7 1 .提示: f ( x ) ? f ( ) ? 1 . 2 x cos n? 1 ? n , n? N? 2n ? 1 2

13.答案:

n2 ? n ? 6 . 2

14. cos

?
2n ? 1

cos

2? 2n ? 1

15 答案: ②④,a n ? b n ? c n ? h n 在直角三角形中,a ? c sin A, b ? c cos A, ab ? ch, 故 h ? c sin A cos A,

a n ? b n ? c n sin n A ? cosn A ,
有 a n ? b n ? c n ? h n ,故填②④

?

?

a n ? b n ? c n ? h n ? c n sin n A ? cosn A ? 1 ? sin n A cosn A ? c n sin n A ? 1 ? 1 ? cosn A ? 0,

?

?

?

??

?

2


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