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江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三5月教学情况调查(二)数学试题


江苏省苏、锡、常、镇四市 2013 届高三 5 月教学情况调查(二) 数学试题
2013.5 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填在 答题卡相应位置上; 1、 已知 i 是虚数单位,复数 z ?

3?i 对应的点在第 1? i

象限。 。 。

2、 设全集 U ? R ,集合 A ? ?x| ?1 ? x ? 3? ,集合 B ? ?x| x ? 1 ,则 A ? CU B ? ? 3、 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1,则数据 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的方差为 4、 “ x ? 3 ”是“ x ? 5 ”的条件。 (请在“充要”“充分不必要”“必 、 、 要不充分”“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空) 、 。 5、 若双曲线 x ?
2

y2 ? 1? a ? 0 ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等 a
。 。

于 3 ,则此双曲线方程为

6、 根据右图所示的流程图,输出的结果 T 为

7、 在 1 和 9 之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的 三个数的和为 。

? ?y ? x ? 8、 在不等式组 ?0 ? x ? 3 ,所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点) ? 1 ?y ? x ?
中任取 3 个点,则该 3 点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为
2


2

9、 在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与相邻两边所成的角为 α , β ,则有 cos α ? cos β ? 1 。类比

·1·

到空间中的一个正确命题是:在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,对角线 AC1 与相邻三个面所成的 1 角为 α , β , γ ,则有 10、
2


2

已 知 圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 1? a ? 0 ? 与 直 线 y ? 3 x 相 交 于 P 、 Q 两 点 , 若

?PCQ ? 90? ,则实数 a ?
11、 12、

。 。

分别在曲线 y ? e x 与直线 y ? ex ? 1 上各取一点 M 与 N ,则 MN 的最小值为 已知向量 a , b 满足 a ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 2 , b ? 1 ,且对一切实数 x , a ? xb ? a ? b 恒成立,则 a 与

? b 的夹角大小为
13、



已知 x , y 均为正数,θ ? ?

10 sinθ cos θ cos 2 θ sin 2 θ ?π π? ? ? , , ? , ? ,且满足 2 2 2 x y x y 3? x ? y2 ? ?4 2?



x 的值为 y



14、

已知 a 为正的常数,若不等式 1 ? x ? 1 ? 。

x x2 ? 对一切非负实数 x 恒成立,则 a 的最大值 2 a



二、解答题:本大题共 6 个小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤。 15、 (本小题满分 14 分)

如图,?ABC 中,B ?

π , A 的平分线 AD 交 BC 于 角 4

点 D ,设

?BAD ? α , sin α ?

5 ; 5

(1) 求 sin ?BAC 和 sin C ; (2) 若 BA ? BC ? 28 ,求 AC 的长; 16、 (本小题满分 14 分)
·2·

??? ??? ? ?

已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 侧面 SAB 是等边三角形, 侧面 SCD 是以 CD 为斜边的直角三角形, E 为 CD 的中点, M 为 SB 的中点。 (1) 求证: CM //平面 SAE ; (2) 求证: SE ? 平面 SAB ; (3) 求三棱锥 S ? AED 的体积;

17、

(本小题满分 14 分)

2 已知等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0,且 a3 ? a7 , a2 ? a4 ? a6 。

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求满足 Sn ? 2an ? 20 ? 0 的所有正整数 n 的集合; 18、 (本小题满分 16 分)

如图,设 A , B 分别是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右顶点和上顶点,过原点 O 作直线 a 2 b2

交线段 AB 于点 M (异于点 A , B ) ,交椭圆于 C , D 两点(点 C 在第一象限内) ?ABC 与 ,

?ABD 的面积分别为 S1 与 S2 。
(1) 若 M 是线段 AB 的中点,直线 OM 的方程为 y ? (2) 当点 M 在线段 AB 上运动时,求

x ,求椭圆 E 的离心率; 3

S1 的最大值; S2

19、

(本小题满分 16 分)

? 如图所示,有两条道路 OM 与 ON , ?MON ? 60 ,现

要铺设三条下水管道 OA , OB , AB (其中 A , B 分别在 OM , ON 上) ,若下水管道的总长
·3·

度为 3km 。设 OA ? a ? km? , OB ? b ? km? 。 (1) 求 b 关于 a 的函数表达式,并指出 a 的取值范围;

(2) 已知点 P 处有一个污水总管的接口, P 到 OM 的距离 PH 为 点

3 到点 O 的距离 PO km , 4



7 km ,问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P ?若能,求出 a 的值,若不能, 4

请说明理由;

20、

(本小题满分 16 分)

2 已知 a 为正的常数,函数 f ? x ? ? ax ? x ? ln x ;

(1) 若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 的单调增区间; (2) 设 g ? x ? ?

f ? x? ,求函数 g ? x ? 在区间 ?1,e? 上的最小值; x

附加题 21、 (选做题)在 A , B , C , D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分,解答时应

先写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, ABCD 为圆内接四边形,延长两组对边分别交于点 E , F , ?AFB 的平分线分别
·4·

交 AB , CD 于点 H , K ,求证: EH ? EK 。

B.

选修 4-2:矩阵与变换 已知 A? 0,0? , B ? 2,0? , C ? 2,2? 在矩阵 M ? ? 别为 A? ? 0,0? , B?

?a b ? ? 对应变换的作用下,得到对应点分 ?c d ?

?

3 ,1 , C? ? 0,2? ,求矩阵 M ;

?

C.

选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos θ ? ( θ 为参数) 直线 l 的极坐标方程为 , ? y ? 2 sin θ ?

π? ? ρ sin ? θ ? ? ? 1 ,直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点,求 MN 的长; 4? ?
D. 选修 4-5:不等式选讲 已知常数 a 满足 ?1 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式: ax ? x ? 1 ? 1 ; (必做题)第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 22、 (本小题满分 10 分) 。
2 2

已知抛物线 C1 : y ? x ? 1 和抛物线 C2 : y ? ? x ? a 在交点处的两条切线互相垂直,求实数 a 的值;

·5·

23、

(本小题满分 10 分)

已知数列 ?bn ? 满足 b1 ?

1 1 , ? bn?1 ? 2 ? n ? 2,n ? N * ? 。 2 bn

(1) 求 b2 , b3 ,猜想数列 ?bn ? 的通项公式,并用数学归纳法证明;
n n (2) 设 x ? bn , y ? bn ?1 ,比较 x x 与 y y 的大小;

·6·

·7·

·8·

·9·

·10·

·11·

·12·

·13·

·14·


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