江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三5月教学情况调查(二)数学试题

江苏省苏、锡、常、镇四市 2013 届高三 5 月教学情况调查（二） 数学试题
2013.5 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在 答题卡相应位置上； 1、 已知 i 是虚数单位，复数 z ?

3?i 对应的点在第 1? i

象限。 。 。

2、 设全集 U ? R ，集合 A ? ?x| ?1 ? x ? 3? ，集合 B ? ?x| x ? 1 ，则 A ? CU B ? ? 3、 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1，则数据 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 的方差为 4、 “ x ? 3 ”是“ x ? 5 ”的条件。 （请在“充要”“充分不必要”“必 、 、 要不充分”“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空） 、 。 5、 若双曲线 x ?
2

y2 ? 1? a ? 0 ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等 a
。 。

于 3 ，则此双曲线方程为

6、 根据右图所示的流程图，输出的结果 T 为

7、 在 1 和 9 之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的 三个数的和为 。

? ?y ? x ? 8、 在不等式组 ?0 ? x ? 3 ，所表示的平面区域内的所有格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点） ? 1 ?y ? x ?
中任取 3 个点，则该 3 点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为
2

。
2

9、 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与相邻两边所成的角为 α ， β ，则有 cos α ? cos β ? 1 。类比

·1·

到空间中的一个正确命题是：在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中，对角线 AC1 与相邻三个面所成的 1 角为 α ， β ， γ ，则有 10、
2

。
2

已 知 圆 C ： ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 1? a ? 0 ? 与 直 线 y ? 3 x 相 交 于 P 、 Q 两 点 ， 若

?PCQ ? 90? ，则实数 a ?
11、 12、

。 。

分别在曲线 y ? e x 与直线 y ? ex ? 1 上各取一点 M 与 N ，则 MN 的最小值为 已知向量 a ， b 满足 a ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 2 ， b ? 1 ，且对一切实数 x ， a ? xb ? a ? b 恒成立，则 a 与

? b 的夹角大小为
13、

。

已知 x ， y 均为正数，θ ? ?

10 sinθ cos θ cos 2 θ sin 2 θ ?π π? ? ? ， ， ? , ? ，且满足 2 2 2 x y x y 3? x ? y2 ? ?4 2?

则

x 的值为 y

。

14、

已知 a 为正的常数，若不等式 1 ? x ? 1 ? 。

x x2 ? 对一切非负实数 x 恒成立，则 a 的最大值 2 a

为

二、解答题：本大题共 6 个小题，共 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤。 15、 （本小题满分 14 分）

如图，?ABC 中，B ?

π ， A 的平分线 AD 交 BC 于 角 4

点 D ，设

?BAD ? α ， sin α ?

5 ； 5

(1) 求 sin ?BAC 和 sin C ； (2) 若 BA ? BC ? 28 ，求 AC 的长； 16、 （本小题满分 14 分）
·2·

??? ??? ? ?

已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 侧面 SAB 是等边三角形， 侧面 SCD 是以 CD 为斜边的直角三角形， E 为 CD 的中点， M 为 SB 的中点。 (1) 求证： CM //平面 SAE ； (2) 求证： SE ? 平面 SAB ； (3) 求三棱锥 S ? AED 的体积；

17、

（本小题满分 14 分）

2 已知等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0，且 a3 ? a7 ， a2 ? a4 ? a6 。

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式； (2) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，求满足 Sn ? 2an ? 20 ? 0 的所有正整数 n 的集合； 18、 （本小题满分 16 分）

如图，设 A ， B 分别是椭圆 E ：

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右顶点和上顶点，过原点 O 作直线 a 2 b2

交线段 AB 于点 M （异于点 A ， B ） ，交椭圆于 C ， D 两点（点 C 在第一象限内） ?ABC 与 ，

?ABD 的面积分别为 S1 与 S2 。
(1) 若 M 是线段 AB 的中点，直线 OM 的方程为 y ? (2) 当点 M 在线段 AB 上运动时，求

x ，求椭圆 E 的离心率； 3

S1 的最大值； S2

19、

（本小题满分 16 分）

? 如图所示，有两条道路 OM 与 ON ， ?MON ? 60 ，现

要铺设三条下水管道 OA ， OB ， AB （其中 A ， B 分别在 OM ， ON 上） ，若下水管道的总长
·3·

度为 3km 。设 OA ? a ? km? ， OB ? b ? km? 。 (1) 求 b 关于 a 的函数表达式，并指出 a 的取值范围；

(2) 已知点 P 处有一个污水总管的接口， P 到 OM 的距离 PH 为 点

3 到点 O 的距离 PO km ， 4

为

7 km ，问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P ？若能，求出 a 的值，若不能， 4

请说明理由；

20、

（本小题满分 16 分）

2 已知 a 为正的常数，函数 f ? x ? ? ax ? x ? ln x ；

(1) 若 a ? 2 ，求函数 f ? x ? 的单调增区间； (2) 设 g ? x ? ?

f ? x? ，求函数 g ? x ? 在区间 ?1,e? 上的最小值； x

附加题 21、 （选做题）在 A ， B ， C ， D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分，解答时应

先写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A. 选修 4-1：几何证明选讲 如图， ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点 E ， F ， ?AFB 的平分线分别
·4·

交 AB ， CD 于点 H ， K ，求证： EH ? EK 。

B.

选修 4-2：矩阵与变换 已知 A? 0,0? ， B ? 2,0? ， C ? 2,2? 在矩阵 M ? ? 别为 A? ? 0,0? ， B?

?a b ? ? 对应变换的作用下，得到对应点分 ?c d ?

?

3 ,1 ， C? ? 0,2? ，求矩阵 M ；

?

C.

选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos θ ? （ θ 为参数） 直线 l 的极坐标方程为 ， ? y ? 2 sin θ ?

π? ? ρ sin ? θ ? ? ? 1 ，直线 l 与曲线 C 交于 M ， N 两点，求 MN 的长； 4? ?
D. 选修 4-5：不等式选讲 已知常数 a 满足 ?1 ? a ? 1 ，解关于 x 的不等式： ax ? x ? 1 ? 1 ； （必做题）第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 22、 （本小题满分 10 分） 。
2 2

已知抛物线 C1 ： y ? x ? 1 和抛物线 C2 ： y ? ? x ? a 在交点处的两条切线互相垂直，求实数 a 的值；

·5·

23、

（本小题满分 10 分）

已知数列 ?bn ? 满足 b1 ?

1 1 ， ? bn?1 ? 2 ? n ? 2,n ? N * ? 。 2 bn

(1) 求 b2 ， b3 ，猜想数列 ?bn ? 的通项公式，并用数学归纳法证明；
n n (2) 设 x ? bn ， y ? bn ?1 ，比较 x x 与 y y 的大小；

·6·

·7·

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