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余弦函数的图像和性质1


余弦函数的图象
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象

y
1

余弦曲 线
? 2? 3? 4? 5? 6?

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

x

与x轴的交点
y
1-

(五点作图法)

(0,0) (? ,0) (2? ,0)

图象的最高点
? 6

( ,1) 2

?

-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

? 图象的最低点 ( 32 ,?1)

x

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-

图象的最高点

(0,1) (2? ,1)
与x轴的交点

1-

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

( ? ,0) ( 32? ,0) x 2? 2 图象的最低点 (? ,?1)

-

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数的图象
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数的图象

观察余弦曲线,写出满足下列条件 的x值的区间
(1) (1)cos x ? 0 :
( 2) (2)cos x ? 0 :
(?

?

2

?2k?

,

?

2

?2k? ?2k?

) )

k?Z

3? ( ?2k? , 2 2
y
1

?

k?Z

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数的定义域和值域:
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数 y ? cos x 定义域:R

值域:[-1,1]

?1 ? cos x ? 1 cos x ? 1 即

探究:余弦函数的最大值和最小值:
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值:

当 x ? 0 ? 2k? , ?k ? Z ? 时,

ymax ? ?cos x?max ? 1
最小值:
当 x ? ? ? 2k? , ?k ? Z ? 时,

ymin ? ?cos x?min ? ?1

例1:求使下列函数取得最大值、最小值的 自变量的集合,并求出最大值、最小值。
1 ?1? y ? ? cos x ? 1 3 x ?2? y ? 2 ? cos 3

例2:求下列函数的值域:

?? ? ?1?y ? cos? x ? ?, x ? ?0, ? ? 6? ?
解:(1) 令 z ? x ?

?
6

? ? 7? ? ? ? 7? ? ? x ? ?0, ? ? ? x ? ? ? , ? ? z ? ? , ? 6 ?6 6 ? ?6 6 ?

?

? 3? ? y ? cosz ? ?? 1, ? 2 ? ?

例2:求下列函数的值域:

?? 2? ? ?2?y ? 3 cos x ? 4 cos x ? 1, x ? ? , ? ?3 3 ? 2
2

解:(2) y ? 3 cos x ? 4 cos x ? 1
令t

? cos x

? 1 1? ? ? 2? ? ? x ? ? , ? ? t ? cosx ? ?? , ? ?3 3 ? ? 2 2?

? 1 1? ? y ? 3t ? 4t ? 1, t ? ?? , ? ? 2 2?
2

例2:求下列函数的值域:

?? 2? ? ?2?y ? 3 cos x ? 4 cos x ? 1, x ? ? , ? ?3 3 ?
2

2 ? 1 1? ? 轴t ? ? ?? , ? 3 ? 2 2? 1 2? 15 ? t ? cos x ? ? ? x ? ? ymax ? 2 3 4

1 ? 1 ? t ? cos x ? ? x ? ? ymin ? ? 2 3 4

? 1 15? ? y ? ?? , ? ? 4 4?

余弦函数的周期性

y ? A cos(? x ? ? )的周期:

2? T? |? |

余弦函数的奇偶性:
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

sin(-x)= - sinx (x?R) cos(-x)= cosx (x?R)
-4? -3? -2? -?

y=sinx (x?R) 奇函数
定义域关于原点对称

y=cosx (x?R) 偶函数
y
1

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

例3:判断下列函数的奇偶 性: ?1?y ? cos x ? 2 ?2?y ? sin x cos x

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

由余弦函数的周期性知:
在每个闭区间[k ? 2? 其值从-1增大到1 ; 而在每个闭区间 [2k? ,2k? 其值从1减小到-1。

? ? ,2k? ]
??]

都是增函数,

上都是减函数,

例4:比较下列各组数的大小:
23? 17? cos( ? )与 cos( ? ) 5 4 23? 23? 3? ) ? cos ? cos 解: cos(? 5 5 5 17? 17? ? cos(? ) ? cos ? cos 4 4 4 ? 3? ?0 ? ? ? ? 又 y=cosx 在[0, ? ]上是减函数

3? 23? 17? ? cos ? cos ? cos( ? ) ? cos( ? ) 4 5 5 4

?

4

5

x ? 例5、求函数 y ? cos( ? ) 的单调区间。 2 3 x ? 解: 由 2k? ? ? ? 2k? ? ? 2 3 2? 4? 即 4 k? ? 时, ? x ? 4k? ? 3 3
x ? 由 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? 2? 2 3 4? 10? 即 4 k? ? 时, ? x ? 4 k? ? 3 3

y ? cos x
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

对称轴:x ? ? ? ? ,0,? , 2? ?

x ? k? , k ? Z
3? 5? ? 对称中心: ( ? ,0),( ,0),( ,0),( ,0)? 2 2 2 2

?

?

(

?

2

? k? ,0) k ? Z

正弦和余弦函数图像的对称性
5? ? 2
?2?

? 3? ?? ? 2

?
2

y 1
0

3? 2

y ? sin x
2? 5? 2

?1

? 2

?

x

正弦曲线:对称中心(k? , 0); 对称轴x ? k? ?
5? ? 2
?2?

?
2

(k ? Z )

? 3? ?? ? 2

?
2

y 1
0

3? 2

y ? cos x
2? 5? 2

?1

(k? ? , 0) 余弦曲线:对称中心 ; 对称轴 x ? k? (k ? Z ) 2

?

? 2

?

x

练习 1.下列说法中不正确的是 ( C ) (A) 正弦函数、余弦函数的定义域都是R,值 域都是[-1,1]; (B) 余弦函数当且仅当x=2kπ( k∈Z) 时,取得 最大值1; ? 3? (C) 余弦函数在[2kπ+ ,2kπ+ ]( k∈Z)上都 2 2 是减函数; (D) 余弦函数在[2kπ-π, 2kπ]( k∈Z)上都是增 函数

2.函数f(x)=cosx-|cosx|的值域为 ( D )
(A){0} (C) [0,1] (B) [-1,1] (D) [-2,0]

3.若a=sin46° , b=cos46°, c=cos36°,则a、 b、c的大小关系是 ( )A

(A) c> a > b
(C) a >c> b

(B) a > b> c
(D) b> c> a

4. 对于函数y=sin(

13 π-x),下面说法中正确 2

的是 (

) D

(A)函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数 (C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数

5.已知y=a-bcos3x的最大值为 为
1 2

3 ,最小值 2

3 ? ?a ? 1 a?b ? ? ? ? 2 解:当b>0时,有 ? ? 1 解得 b ? 1 ?a ? b ? ? ? 2 ? ? 2 3 ? ?a ? 1 ? ?a ? b ? 2 ? 1 当b<0时, 有 ? 解得 ? ?b ? ? 2 ?a ? b ? 1 ? ? ? 2

,求实数a与b的值.

函数
y
1

y=sinx
y
1

y=cosx
??
?

图形 定义域 值域

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

0
-1

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 最值 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇偶性 周期 对称性 奇函数

y ?[?1,1]

x?R

x?R
y ?[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1
x?[?? ? 2k? , 2k? ] x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数 增函数 减函数

2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2? 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z 2


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