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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷,解析版)


2013 年湖北省理科数学高考试题 WORD 解析版
一、选择题 1、在复平面内,复数 z ? A. 第一象限 【解析与答案】 z ?
2i 1? i

( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( C. 第三象限 D. 第四象限



B. 第二象限
2i 1? i

? 1 ? i ,? z ? 1 ? i 。

故选 D 【相关知识点】复数的运算
? ? 1 ?x ? ? ? 2 2、 已知全集为 R , 集合 A ? ? x ? ? ? 1 ? ,B ? ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 ? , A ? C R B ?( 则 2? ? ? ? ? ?



A. ? x | x ? 0 ? C.

B. D. ? x | 0 ? x ? 2 或 x ? 4 ?

?x | 0 ?

x ? 2或 x ? 4?

【解析与答案】 A ? ? 0 , ? ? ? , B ? ? 2 , 4 ? ,? A ? C R B ? ? 0 , 2 ? ? ? 4 , ? ? ? 。 故选 C 【相关知识点】不等式的求解,集合的运算 3、在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围” q 是 , “乙降落在指定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A. ? ? p ? ? ? ? q ? B. p ? ? ? q ? C. ? ? p ? ? ? ? q ? D. p ? q

【解析与答案】 “至少有一位学员没有降落在指定范围” 即: “甲或乙没有降落在指定范围内” 。 故选 A。 【相关知识点】命题及逻辑连接词 4、将函数 y ?
3 c o s x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的

图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.
?
12


5? 6

B.

?
6

C.
? ?

?
3

D.
? ?

【解析与答案】 y ? 2 c o s ? x ?

? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后变成 6 ?

? ? ? ? y ? 2 cos ? x ? ? m ? ,所以 m 的最小值是 。故选 B。 6 6 ? ?

【相关知识点】三角函数图象及其变换

1

5、已知 0 ? ? ? ( ) A.实轴长相等

?
4

,则双曲线 C 1 :

x

2 2

cos ?

?

y

2 2

s in ?

? 1 与C 2 :

y

2 2

s in ?

?

x
2

2 2

s in ? ta n ?

? 1的

B.虚轴长相等

C.焦距相等
1 cos ?

D. 离心率相等

【解析与答案】双曲线 C 1 的离心率是 e1 ?
s in ? ? 1 ? ta n ?
2 2

,双曲线 C 2 的离心率是

e2 ?

?

s in ?

?

1 cos ?

,故选 D

【相关知识点】双曲线的离心率,三角恒等变形 6、已知点 A ? ? 1,1 ? 、 B ? 1, 2 ? 、 C ? ? 2 , ? 1 ? 、 D ? 3, 4 ? ,则向量 A B 在 C D 方向上的投影为 ( A. )
3 2 2
??? ?
????

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

??? ???? ? ??? ? ???? A B ?C D 15 3 2 【解析与答案】 A B ? ? 2 ,1 ? , C D ? ? 5, 5 ? ,? ???? ? ,故选 A。 ? 2 5 2 CD

【相关知识点】向量的坐标运算,向量的投影 7、一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v ? t ? ? 7 ? 3 t ?
25 1? t

(t

的单位: s , v 的单位: m / s )行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位; m )是 ( ) A. 1 ? 2 5 ln 5 B. 8 ? 2 5 ln
11 3 25 1? t

C. 4 ? 2 5 ln 5

D. 4 ? 5 0 ln 2

【解析与答案】令 v ? t ? ? 7 ? 3 t ?

? 0 ,则 t ? 4 。汽车刹车的距离是

?

4 0

25 ? ? 7 ? 3t ? 1? t ?

? ? d t ? 4 ? 2 5 ln 5 ,故选 C。 ?

【相关知识点】定积分在实际问题中的应用 8、一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别 记为 V 1 ,V 2 ,V 3 ,V 4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体, 则有( ) B. V 1 ? V 3 ? V 2 ? V 4 D. V 2 ? V 3 ? V 1 ? V 4

A. V 1 ? V 2 ? V 4 ? V 3 C. V 2 ? V 1 ? V 3 ? V 4

2

【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选 C 【相关知识点】三视图,简单几何体体积 9、如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大小的小正方体。经过搅拌 后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为 E ? X ? ? A.
126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

第 9 题图 【解析与答案】三面涂有油漆的有 8 块,两面涂有油漆的有 36 块,一面涂有油漆的有 54 块,没有涂有油漆的有 27 块,所以 E ? X ? ? 3 ? 【相关知识点】古典概型,数学期望 10、已知 a 为常数,函数 f ( x ) ? x ? ln x ? a x ? 有两个极值点 x 1 , x 2 ( x 1 ? x 2 ) ,则(
f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? ? 1 2 1 2 1 2 1 2 8 125 ?2? 36 125 ?1? 54 125 ? 6 5

。故选 B。



A.

B. f ( x 1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? ?

C.

f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? ?

D.

f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? ?

3

【解析与答案】令 f ?( x ) ? 1 ? 2 a x ? ln x ? 0 得 0 ? 2 a ? 1 , ln x i ? 2 a x i ? 1( i ? 1, 2 ) 。 又 f ??
1 ? 1 ? ? x2 。 ? ? 0 ,? 0 ? x 1 ? 1 ? 2a ? 2a ?
2 2 2

? f ( x 1 ) ? x 1 ln x 1 ? a x 1 ? x 1 ? 2 a x 1 ? 1 ? ? a x 1 ? a x 1 ? x 1 ? 0 ,

f ( x2 ) ? a x2 ? x2 ? x2 ? a x2 ? 1? ? a x2 ? 1 ? a ?
2

1 2a

?1? ?

1 2

故选 D。 【相关知识点】函数导数与极值,函数的性质 二、填空题 (一)必考题 11、从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频 率分布直方图所示。 (I)直方图中 x 的值为 ; (II)在这些用户中,用电量落在区间 ?1 0 0 , 2 5 0 ? 内的户数为 。

第 11 题图

【解析与答案】 ? 0 .0 0 6 ? 0 .0 0 3 6 ? 0 .0 0 2 4 ? 2 ? 0 .0 0 1 2 ? x ? ? 5 0 ? 1 , x ? 0 .0 0 4 4

? 0 .0 0 3 6 ? 0 .0 0 6 ? 0 .0 0 4 4 ? ? 5 0 ? 1 0 0
【相关知识点】频率分布直方图

? 70

4

12、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ?
开始
a ? 1 0, i ? 1



a ? 4?



否 是
a 是奇数 ?



a ? 3a ? 1

a ?

a 2

输出 i

i ? i ?1

结束

【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示:

i a

1 10

2 5

3 16

4 8

5 4

【相关知识点】程序框图 13、 x , y , z ? R , 设 且满足:x ? y ? z ? 1 ,x ? 2 y ? 3 z ?
2 2 2

则 14 , x ? y ? z ?
2



【解析与答案】由柯西不等式知 ? 1 ? 2 ? 3
2 2

2

??x
14 14

2

? y ? z
2

2

? ? ? x ? 2 y ? 3z ?
3 14 7

,结合已知

条件得

x 1

?

y 2

?

z 3

,从而解得

x 1

?

y 2

?

z 3

?

,x ? y ? z ?



【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件) 14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为
n ? n ? 1? 2 ? 1 2 n ?
2

1 2

n 。记第 n 个 k 边形数为 N ? n , k ? ? k ? 3 ? ,以下列出了

部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数
N ? n, 3? ? 1 2
2

n ?
2

1 2

n

N ?n, 4? ? n

N ?n,5? ?

3 2

n ?
2
2

1 2

n

N ?n,6? ? 2n ? n

5

?? 可以推测 N ? n , k ? 的表达式,由此计算 N ? 1 0 , 2 4 ? ?
2



【解析与答案】观察 n 和 n 前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差 数列,故 N ? n , 2 4 ? ? 1 1 n ? 1 0 n ,? N ? 1 0 , 2 4 ? ? 1 0 0 0
2

【相关知识点】归纳推理,等差数列 (二)选考题 15、如图,圆 O 上一点 C 在直线 A B 上的射影为 D ,点 D 在半径 O C 上的射影为 E 。若
A B ? 3 A D ,则

CE EO

的值为


C

E A

D O

B

第 15 题图
CE ? CD OD
2 2

?

A D ?B D

【解析与答案】由射影定理知

EO

?O A ?

AD ?

2

?

A D ?? A B ? A D ? ?1 ? ? AB ? AD ? ?2 ?
2

? 8

【相关知识点】射影定理,圆幂定理 16、在直角坐标系 x O y 中,椭圆 C 的参数方程为 ?
? x ? a cos ? ? y ? b sin ?

?? 为 参 数 , a

? b ? 0 ? 。在

极坐标系(与直角坐标系 x O y 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极
? ?

轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ? s in ? ? ?

? ?

? ? 4 ?

2 2

m

?m为 非 零 常 数 ? 与

2 b ,所以

? ? b 。若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为

【解析与答案】直线 l 的方程是 x ? y ? m ,作出图形借助直线的斜率可得 c ?
c ? 2 ?a ? c
2 2

2

? ,e ?

6 3

【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化,椭圆的几何性质,直线与圆 三、解答题 17、 ? A B C 中, A ,B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c 。 在 角 已知 c o s 2 A ? 3 c o s ? B ? C ? ? 1 。 (I)求角 A 的大小;
6

(II)若 ? A B C 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。 【解析与答案】 (I)由已知条件得: c o s 2 A ? 3 c o s A ? 1
? 2 c o s A ? 3 c o s A ? 2 ? 0 ,解得 c o s A ?
2

1 2

,角 A ? 6 0 ?
a
2 2

(II) S ?

1 2

b c s in A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a ? 2 1 , ? 2 R ? ?
2

2

? 28

sin A

? s in B s in C ?

bc 4R
2

?

5 7

【相关知识点】二倍角公式,解三角函数方程,三角形面积,正余弦定理 18、已知等比数列 ? a n ? 满足: a 2 ? a 3 ? 1 0 , a 1 a 2 a 3 ? 1 2 5 。 (I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得 在,说明理由。 【解析与答案】 (I)由已知条件得: a 2 ? 5 ,又 a 2 q ? 1 ? 1 0 ,? q ? ? 1或 3 , 所以数列 ? a n ? 的通项或 a n ? 5 ? 3 (II)若 q ? ? 1 ,
1 a1 ? 1 a2 ?? ?
n?2

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 am

? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存

1 am

? ?

1 5

或 0 ,不存在这样的正整数 m ;

若q ? 3 ,

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 am

?

9 ? ?1? ?1 ? ? ? 10 ? ?3? ?

m

? 9 ,不存在这样的正整数 m 。 ?? ? 10 ?

【相关知识点】等比数列性质及其求和 19、如图, A B 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A , B 的点,直线 P C ? 平面 A B C , E ,
F 分别是 P A , P C 的中点。

(I)记平面 B E F 与平面 A B C 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 P A C 的位置关系,并加以 证明; (II)设(I)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 Q 满足 D Q ?
???? ? 1 ??? C P 。记直线 P Q 2

与平面 A B C 所成的角为 ? ,异面直线 P Q 与 E F 所成的角为 ? ,二面角 E ? l ? C 的大小 为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? 。

7

第 19 题图

【解析与答案】 (I)? E F ? A C , A C ? 平 面 A B C , E F ? 平 面 A B C
? EF ? 平 面 ABC

又 EF ? 平 面 BEF
? EF ? l
? l ? 平 面 PAC

(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证。 (这一题用几何方法较快,向量的方法很 麻烦, 特别是用向量不能方便的表示角的正弦。 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理 方向有很大的偏差。 )

8

【相关知识点】

9

20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N ? 8 0 0 , 5 0 天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p 0 。 (I)求 p 0 的值; (参考数据:若 X ? N ? ? , ?
P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2?
2

2

? 的随机变量。记一

? ,有 P ? ? ? ?

? X ? ? ??

?

? 0 .6 8 2 6 ,

?

? 0 .9 5 4 4 , P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3?

?

) ? 0 .9 9 7 4 。

(II)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天 往返一次, A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别 为 1600 元/辆和 2400 元/辆。公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不 多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 p 0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地 去乙地的运营成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆? 【解析与答案】 (I) p 0 ? 0 .5 ?
1 2 ? 0 .9 5 4 4 ? 0 .9 7 7 2

(II)设配备 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,运营成本为 z 元,由已知条件得
x ? y ? 21 ? ? ?36 x ? 60 y ? 900 ,而 z ? 1 6 0 0 x ? 2 4 0 0 y ? y ? x ? 7 ? ? x, y ? N ?

作出可行域,得到最优解 x ? 5, y ? 1 2 。 所以配备 A 型车 5 辆, B 型车 12 辆可使运营成本最小。
10

【相关知识点】正态分布,线性规划

21、如图,已知椭圆 C 1 与 C 2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 M N 且在 x 轴上,短轴长分 别为 2 m , 2 n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C 1 , C 2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A , B , C , D 。记 ? ?
m n

, ? B D M 和 ? A B N 的面积分别为 S 1 和 S 2 。

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S 1 ? ? S 2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S 1 ? ? S 2 ?并说明理由。
y
A B

M
C

O

N x

D

第 21 题图
m ?1 ? ?1

【解析与答案】 (I) S 1 ? ? S 2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,? ? ? n

? ?1 ? ?1

m n

解得: ? ?

2 ? 1 (舍去小于 1 的根)

(II)设椭圆 C 1 :

x a

2 2

?

y m

2 2

? 1?a ? m ? ,C2 :

x a

2 2

?

y n

2 2

? 1 ,直线 l : k y ? x

ky ? x ? 2 2 2 a ?m k ? 2 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 a m ? 2 ? 2 ?1 m ?a

am a ?m k
2 2 2

同理可得, y B ?

an a ?n k
2 2 2

又? ? B D M 和 ? A B N 的的高相等
? S1 S2 ? BD AB ? yB ? yD yA ? yB ? yB ? yA yA ? yB

如果存在非零实数 k 使得 S 1 ? ? S 2 ,则有 ? ? ? 1 ? y A ? ? ? ? 1 ? y B ,
?
2 2

即:

??

? 1?
2 2

2

a ?? n k

2

?

??
2

? 1?
2

2

a ?n k

2

,解得 k ?
2

a

2

??

2

? 2? ? 1? ? ? ? 1?
2

4n ?
2

3

11

? 当? ? 1 ?

2 时, k

2

? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ?

2 时, k

2

? 0 ,不存在这

样的直线 l 。 【相关知识点】直线与椭圆相交的问题(计算异常复杂)

22、设 n 是正整数, r 为正有理数。 (I)求函数 f ( x ) ? ? 1 ? x ?
n
r ?1

r ?1

? ? r ? 1 ? x ? 1( x ? ? 1) 的最小值;

(II)证明:

? ? n ? 1? r ?1

r ?1

? n ?
r

?n

? 1?

r ?1

?n

r ?1

r ?1



(III)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? 2 ? ? 2 , ? ? ? ? 4 , ? ? ? ? ? ? ? ?
?

?

3? ? ?1 。 2? ?

令S ?

3

81 ?

3

82 ?
4

3

83 ? ?

3

1 2 5 ,求 ? S ? 的值。 ? ?
4 4 4

(参考数据: 8 0 3 ? 3 4 4 .7 , 8 1 3 ? 3 5 0 .5 , 1 2 4 3 ? 6 1 8 .3 , 1 2 6 3 ? 6 3 1 .7 ) 证明: (I) f ?( x ) ? ? r ? 1 ? ? 1 ? x ? ? ? r ? 1 ? ? ? r ? 1 ? ? ? 1 ? x ? ? 1 ? ? ?
r r

? f ( x ) 在 ? ? 1, 0 ? 上单减,在 ? 0 , ? ? ? 上单增。

? f ( x ) m in ? f ( 0 ) ? 0

(II)由(I)知:当 x ? ? 1 时, ? 1 ? x ?

r ?1

? ? r ? 1 ? x ? 1 (就是伯努利不等式了)
r ?1

? n r ?1 ? ? r ? 1 ? n r ? ? n ? 1 ? ? 所证不等式即为: ? r ?1 r ?1 r ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1? ?n ?

若 n ? 2 ,则 n

r ?1

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?
r

r ?1

1? ? ? ? n ? r ? 1? ? ? 1 ? ? n? ? r
r

r

?n

? 1?

? 1?

1? ? ? ? 1 ? ? ????① n ?1 ? n?

12

r r 1? r ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ,? ? ? n n ?1 n? n ?

r

1? r r ? ,故①式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ?1? n? n n ?1 ?

r

若n ? 1,n
r ?1

r ?1

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?
r

r ?1

显然成立。
r

n

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?
r

r ?1

1? ? ? n ? r ? 1 ? ?1 ? ? n? ? r

?n
r

? 1?

? 1?

1? ? ? ? 1 ? ? ????② n ?1 ? n?

r r 1? r ? ? ?1 ? ? ? ?1, ? n n ?1 n? n ?

r

1? r r ? ,故②式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ?1? n? n n ?1 ?

r

综上可得原不等式成立。 (III)由(II)可知:当 k ? N 时,
*

3? ?k 4 ?

4 3

4 ? ? ? k ? 1? 3 ? ? k ?

1 3

?

4 ? 3? ? k ? 1? 3 ? k 3 ? ? 4 ? ? 4

? ?S ? ? ?k 4 k ?81 ? 3
125

4 3

? ? k ? 1?

4 3

? ? 3? 3 3 ? ? ? 1 2 5 ? 8 0 ? ? 2 1 0 .2 2 5 4? ? ?
4 4 4 4

S ?

4 ? ? ? 3? ? ? ? k ? 1 ? 3 ? k 3 ? ? 4 ? 1 2 6 3 ? 8 1 3 ? ? 2 1 0 .9 4 k ?81 ? ? ? ?

3

125

4

? ? S ? ? 211 ? ?

13


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