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2013年高考数学(理)真题分类解析汇编4.数列


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2013 年高考数学(理)真题分类解析汇编 4:数列
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 已知数列 )

?an ? 满

足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ?
?10 (A) ?6 1 ? 3

?

?

4 ,则 ?an ? 的前 10 项和等于 3 1 ?10 ?10 (B) ?1 ? 3 ? (C) 3 ?1 ? 3 ? 9

?10 (D) 3 1+3

?

?

【答案】C 【天利解析】所以 3an+1+an=0 所以

所以数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列 因为 所以 a1=4
﹣10

由等比数列的求和公式可得,s10= 故选 C

=3(1﹣3



2 . 2013 年 高 考 新 课 标 1 ( 理 ) 设 ?An BnCn 的 三 边 长分 别 为 an , bn , cn , ?An BnCn 的 面 积 为 ( )

Sn , n ? 1, 2,3,? ,若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ?
A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 【答案】B 【天利解析】因为 an+1=an, 所以 bn+1+cn+1=an+ 所以 bn+1+cn+1﹣2a1= =a1+ , ,

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n ,则( ) 2 2

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列



,所以 an=a1,

又 b1+c1=2a1,所以 bn+cn=2a1, 于是,在△AnBnCn 中,边长 BnCn=a1 为定值,另两边 AnCn、AnBn 的长度之和 bn+cn=2a1 为定值, 因为 bn+1﹣cn+1= 所以 bn﹣cn= = , ,

1

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当 n→+∞时,有 bn﹣cn→0,即 bn→cn, 于是△AnBnCn 的边 BnCn 的高 hn 随着 n 的增大而增大, 所以其面积 故选 B.
3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 函数 y =f (x) 的图像如图 )

=

为递增数列,

所示,在区间 ? a,b? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 ,x2 ...,xn , 使得 值范围是

f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取 x1 x2 xn

(A) ?3,4? 【答案】B

(B) ?2,3,4?

(C)

?3,4,5?

(D) ?2,3?

【天利解析】由题知,过原点的直线 y = x 与曲线 y =f (x) 相交的个数即 n 的取值.用尺规作图,交点 可取 2,3,4. 所以选 B
4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 已知等比数列 {an } 的公比 )

为 q,记 bn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m ,

cn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m (m, n ? N * ), 则以下结论一定正确的是(
A.数列 {bn } 为等差数列,公差为 q C.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q 【答案】C 【天利解析】等比数列 {an } 的公比为 q,?
m

)

B.数列 {bn } 为等比数列,公比为 q D.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q

2m

m2

mm

同理可得

a

2 m?2

? a2 ? a2 m ? 2 , a m ? m ? am ? a2 m ? m
2

c1 ? a1 ? a2 ? ... ? am , c2 ? am?1 ? am?2 ? ... ? am?m ,

c3 ? a2m?1 ? a2m?2 ? ... ? a2m?m , ?c22 ? c1 ? c3 ? 数列 {cn } 为等比数列,
2

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2 c2 am?1 ? am? 2 ? ... ? am?m a1 ? a2 ? ... ? am ? q 2m ? ? ? ? q 2m ? q m 故选 C c1 a1 ? a2 ? ... ? am a1 ? a2 ? ... ? am

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5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 等比数列 ?an ?的 )

前 n 项和为 S n ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? (A)

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

【答案】C 【天利解析】设等比数列{an}的公比为 q,因为 S3=a2+10a1,a5=9,所以 ,解得 .所以 .故选 C.

6 (2013 年高考新课标 1 理)设等差数列 . ( )

?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,则 m ?

( ) A.3 【答案】C

B.4

C.5

D.6

【天利解析】am=Sm﹣Sm﹣1=2,am+1=Sm+1﹣Sm=3,所以公差 d=am+1﹣am=1, Sm= =0,得 a1=﹣2,所以 am=﹣2+(m﹣1)?1=2,解得 m=5,故选 C.

7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 下面是关于公差 d ? 0 的等 )

差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2 【答案】D (B) p3 , p4

p2 : 数列?nan ?是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;

(C) p2 , p3

(D) p1 , p4

【天利解析】设 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? m ,所以 P 正确;如果 an ? 3n ? 12 则满足已知,但 1 如果若 an ? n ? 1 , 则满足已知, 但 nan ? 3n2 ? 12n 并非递增所以 P2 错; 所以 P 错; a n ?3nd ? 4dn ? m ,所以是递增数列, P 正确,选 D. 3 4

an 1 ? 1? , 是递减数列, n n

3

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8 . (2013 年高考江西卷(理) 等比数列 x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 )

A.-24 B.0 【答案】A

C.12

D.24

【天利解析】本题考查等比数列的运算。由 (3x ? 3)2 ? x(6x ? 6) ,即 x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得
2

x ? ?1 或 x ? ?3 。当 x ? ?1 时,前三项为 ?1, 0, 0不成立,舍掉。当 x ? ?3 时,前三项为

?3, ?6, ?12 ,公比为 2 ,所以第四项为 ?24 ,选 A.
二、填空题 9. (2013 年高考四川卷(理) 在等差数列 {an } 中, a2 )

? a1 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a3 的等比中项,求数列

{an } 的首项、公差及前 n 项和.
【天利解析】设该数列公差为 d ,前 n 项和为 s n .由已知,可得

2a1 ? 2d ? 8, ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 8d ? .
2

所以 a1 ? d ? 4, d ? d ? 3a1 ? ? 0 , 解得 a1 ? 4, d ? 0 ,或 a1 ? 1, d ? 3 ,即数列 ?an ? 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前 n 项和 sn ? 4n 或 sn ?

3n 2 ? n 2

10. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 等差数列 ?an ?的 )

前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0, S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为________. 【答案】 ?49 【天利解析】设等差数列{an}的首项为 a,公差为 d, 因为 S10=10a+45d=0,S15=15a+105d=25, 所以 a=﹣3,d= , 所以等差数列{an}的各项为:﹣3,﹣ ,﹣ ,﹣1,﹣ , ,1, , ,3, 根据题意得:当 n=1 时,S1=﹣3;当 n=2 时,2S2=﹣ ﹣32; 当 n=5 时,5S5=﹣ ;当 n=6 时,6S6=﹣48;当 n=7 时,7S7=﹣49;当 n=8 时,8S8=﹣ ; , ,5,…,

;当 n=3 时,3S3=﹣21;当 n=4 时,4S4=

当 n=9 时,9S9=﹣27;当 n=10 时,10S10=0;…,其余结果为正, 所以 nSn 的最小值为 7S7=﹣49.
11. (2013 年高考湖北卷(理) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 )

4

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1,3,6,10,,第 n 个三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n .记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下 2 2 2

列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2

N ? n,5? ?

3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n

可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? ___________. 选考题 【答案】1000 【天利解析】本题考查归纳推理。由归纳推理可知: N(10,24) ? N(n,k)=

k ?2 2 1 n ? n(k ? 4) , 所 以 2 2

24 ? 2 1 ? 102 ? ?10(24 ? 4) ? 1100 ? 100 ? 1000 。 2 2 1 , a ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值 2 6

12. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 在正项 )

等比数列 {an } 中, a5 ? 为_____________. 【答案】12 【天利解析】

5

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1 a5 ? , a6 ? a7 ? 3 2 ? a5 q ? a5 q 2 ? 3 q2 ? q ? 6 ? 0 ?q ? 0 ?q ? 2 an ? 2n ?6 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a1a2 a3 ...an ?2 ?2
n ?5 n 2 ?11n 2

?2 ? 2 ?2
n 2 ?11n 2

?5

n ?5

? 2?5 ? 0

n 2 ? 11n 2 13 ? 129 13 ? 129 ? ?n? 2 2 ?n ? 5 ?

? n? N?
? ?1 ?n ?1 2 n ?N ,

又 n ? 12 时符合题意,所以 n 的最大值为 12

13. (2013 年高考湖南卷(理) 设 Sn 为数列 )

?an ? 的前 n 项和, Sn ? (?1)n an ? 2n , n ? N ? , 则
1

(1) a3 ? _____; (2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________. 【答案】 ?

1 1 1 ? 1) ; ( 16 3 2100 1 ,即 16

【天利解析】本题考查数列的通项公式以及数列求和。 S 4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a4 ?

a1 ? a2 ? a3 ? ?

1 1 1 1 ,即 S 3 ? ? a3 ? ? ? ,解得: a3 ? ? .当 n 是偶数且 n ? 2 时 16 8 16 16 1 1 1 1 S n ? an ? n ? S n ?1 ? an ,? Sn ?1 ? ? n .又 S n ?1 ? ? an ?1 ? n ?1 ,所以 an ?1 ? ? n .因此 2 2 2 2

6

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S n ? 2 ? an ?1 ? S n ? 2 ? (?

1 1 ) ? S n ?1 ? ? n ,所以 Sn?2 ? 0 ,即偶数项的和为零,所以 n 2 2
50

S1 ? S2 ? ??? ? S100
1 1 ? ( 100 ? 1) . 3 2

1? ?1? ? ?1 ? ? ? 4? ?4? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ? S1 ? S3 ? ??? ? S99 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 ? ? 1 ? 4 ? ? 16 ? ? 2 ? 1? 4

? ? ? ?

14. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) 已知 )

?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,

公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? _____

64
【天利解析】本题考查等差数列,等比数列的基本运算以及数列求和。因为 a1 , a2 , a5 成等比数列,
2 所以 a22 ? a1a5 ,即 (a1 ? d ) 2 ? a1(a1 ? 4d ) ,所以 (1 ? d )2 ? 1 ? 4d ,即 d ? 2d ,所以 d ? 2 。所

以 S8 ? 8a1 ?

8? 7 8? 7 d ? 8? ? 2 ? 64 。 2 2

15. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) 在等差数列 )

?an ? 中,已知

a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.
【答案】 20 【天利解析】依题意 2a1 ? 9d ? 10 ,所以 3a5 ? a7 ? 3 ? a1 ? 4d ? ? a1 ? 6d ? 4a1 ? 18d ? 20 . 或: 3a5 ? a7 ? 2 ? a3 ? a8 ? ? 20
16. (2013 年高考陕西卷(理) 观察下列等式: )

12 ? 1 12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10

( ) 照此规律, 第 n 个等式可为___ 1 - 2 ? 3 - ? ? - 1 n ?
2 2 2 n -1 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) ____. 2

( - 1) n ?1 ( ) n(n ? 1) 【答案】 1 - 2 ? 3 - ? ? - 1 n ? 2
2 2 2 n -1 2

7

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2

【天利解析】分 n 为奇数、偶数两种情况。第 n 个等式为 1
2 2 2 2

- 22 ? 32 - ? ? -1 n-1n 2 。 ( )
2 2

( 当 n 为偶数时,分组求和: 1 - 2 ) ? (3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 1) ? n ] ? 当 n 为奇数时,第 n 个等式= -

n(n ? 1) 。 2

n(n ? 1) n(n ? 1) ? n2 ? 。 2 2
2 n -1 2

( ) 综上,第 n 个等式: 1 - 2 ? 3 - ? ? - 1 n ?
2 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) 2

17. (2013 年高考新课标 1(理) 若数列{ an }的前 n 项和为 Sn= )

2 1 an ? ,则数列{ an }的通项公式是 3 3

an =______.
【答案】 an = (?2)
n?1

. ,解得 a1=1 )﹣( )= ,

【天利解析】当 n=1 时,a1=S1= 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(

整理可得

,即

=﹣2,

故数列{an}是以 1 为首项,﹣2 为公比的等比数列, 故 (?2)
n?1

18. (2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版) 如图,互不-相同的点 )

A1 , A2 ?, X n ,?和 B1 , B2 ?, Bn ,? 分别在角O的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形 An Bn Bn?1 An?1 的面积均相等.设 OAn ? an . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列 ?an ? 的通项公式是_________.

【答案】 an ? 3n ? 2, n ? N * 【天利解析】 设?A1 B1O的面积为S 0,梯形An Bn Bn?1 An?1的面积为S ?

S0 a ? ( 1 )2 . S0 ? S a2

8

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? S ? 3S0 , (

a1 2 1 ) ? a2 4

S 0 ? nS a a a 1 ? 3n 3n ? 2 ? ( n?1 ) 2 ? ? ( n?1 ) 2 .由上面2种情况得 ? ( n )2. S 0 ? (n ? 1)S an? 2 4 ? 3n an?2 3n ? 1 an?1 ?( a a1 2 a2 2 a3 2 a a 1 4 7 3n ? 2 1 1 ) ( ) ( ) ?( n ) 2 ? ( 1 ) 2 ? ? ? ? ? ? ( 1 )2 ? a2 a3 a 4 an?1 an?1 4 7 10 3n ? 1 3n ? 1 an?1 3n ? 1

? an?1 ? 3n ? 1, 且a1 ? 1 ? an ? 3n ? 2, n ? N *
19. (2013 年高考北京卷(理) 若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=_______;前 n 项和 )

Sn=___________.
【答案】2, 2
n?1

?2

【天利解析】设等比数列{an}的公比为 q, 因为 a2+a4=20,a3+a5=40,所以 ,解得 .

所以

=

=2

n+1

﹣2.

20. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 已知等比数列 )
2

?an ? 是递增数

列, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,若 a1,a3 是方程 x ? 5x ? 4 ? 0 的两个根,则 S6 ? ____________. 【答案】63 【天利解析】由题意知 a1 ? a3 ? 5, a1a3 ? 4 ,又 ?an ? 是递增数列 ,所以 a1 ? 1, a3 ? 4 ,所以

q2 ?

a3 ? 4 , q ? 2 代入等比求和公式得 S6 ? 63 。 a1

三、解答题 21. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 设函数 )

f n ( x) ? ?1 ? x ?

x2 x2 xn ? 2 ? ? ? 2 ( x ? R, n ? N n ) ,证明: 22 3 n
2 3

n (Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;

n (Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ?xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 . n

【天利解析】

9

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(Ⅰ) ? 当x ? 0时,y ?

xn x2 x3 x4 xn 是单调递增的? f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 是 x 的 n2 2 3 4 n

单调递增函数,也是 n 的单调递增函数. 且f n (0) ? ?1 ? 0, f n (1) ? ?1 ? 1 ? 0 .

? 存在唯一xn ? (0,1],满足f n ( xn ) ? 0,且 ? x1 ? x2 ? x3 ? xn ? 0 1
当x ? (0,1).时, f n ( x) ? ?1 ? x ?
2

x2 x3 x4 xn x 2 1 ? x n ?1 x2 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?1 ? x ? ? ? ?1 ? x ? ? 2 4 1? x 4 1? x 2 2 2 2

x 1 2 ? 0 ? f n ( xn ) ? ?1 ? xn ? n ? ? ( xn ? 2)(3xn ? 2) ? 0 ? xn ? [ ,1] 4 1 ? xn 3
n 综上,对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;(证毕)

2 3

(Ⅱ) 由题知 1 ? xn ? xn ? p

x x x x ? 0, f n ( xn ) ? ?1 ? xn ? n2 ? n2 ? n2 ? ? ? n2 ? 0 2 3 4 n

2

3

4

n

f n? p ( xn? p ) ? ?1 ? xn? p ?
式 减

xn? p 22

2

?

xn? p 32

3

?

xn? p 42

4

???

xn? p n2

n

?

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2

???

xn? p

n? p

(n ? p) 2

?0 上
相 :

2 3 4 n xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p xn xn xn xn xn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? xn? p ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ??? 2 3 4 n 2 3 4 n (n ? 1) 2 (n ? p) 2
2 2 3 3 4 4 n n n ?1 n? p

2

3

4

n

n ?1

n? p

xn - xn? p ? (

xn? p - xn 22

?

xn? p - xn 32

?

xn? p - xn 42

???

xn? p - xn n2

)( ?

xn? p

(n ? 1) 2

???

xn? p

(n ? p) 2



?

1 1 1 1 ? ? ? xn - xn? p ? . n n? p n n

法二:

10

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22 .( 2013 年 高 考 上 海 卷 ( 理 )) (3 分 +6 分 +9 分 ) 给 定 常 数 c ? 0 , 定 义 函 数

f ( x)? 2 |x? c? 4 ? x ?,数列 a1 , a2 , a3 ,? 满足 an?1 ? f (an ), n ? N * . | | c |
(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ;(2)求证:对任意 n ? N * , an?1 ? an ? c ,; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,?an ,? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存在,说明理由. 【天利解析】(1)因为 c ? 0 , a1 ? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10
(2)要证明原命题,只需证明 f ( x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,

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f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c
即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an?1 ? an ? c
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0 此时, an?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 即d ? c?8 故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,?, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意; 综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ? {?c ? 8} .
23. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 本小题 )

满分 10 分.

设 数 列

1 ,- 2 ?an?: ,-

k个 ????????? k- 1 k ) ? 2 ,- ,- 3 , ,- , ,( -4 1 k, ,( 4)- k 1- , 1 即 当 , 3 , ,- 3 ? 4 4

(k ? 1 k ) (k ? 1 k ) ?n? (- k ? k ? N ? ? 时 , an ? 1)?1k , 记 Sn ? a1 ? a2 ?? an ? n ? N ? ? , 对 于 2 2

l ? N ? ,定义集合 Pl ? ?n S n 是an的整数倍,n ? N ?,且1 ? n ? l?
(1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2000 中元素的个数. 【天利解析】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数 学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1) 解 : 由 数 列

?an ?







12

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得: a1 ? 1 , a2 ? ?2 , a3 ? ?2 , a4 ? 3 , a5 ? 3 , a6 ? 3 , a7 ? ?4 , a8 ? ?4 , a9 ? ?4 , a10 ? ?4 ,

a11 ? 5
∴ S1 ? 1 , S 2 ? ?1 , S 3 ? ?3 , S 4 ? 0 , S 5 ? 3 , S 6 ? 6 , S 7 ? 2 , S8 ? ?2 , S 9 ? ?6 , S10 ? ?10 ,

S11 ? ?5
∴ S1 ? 1 ? a1 , S 4 ? 0 ? a 4 , S 5 ? 1 ? a5 , S 6 ? 2 ? a6 , S11 ? ?1 ? a11 ∴集合 P11 中元素的个数为 5 (2)证明:用数学归纳法先证 Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 事实上, ① 当 i ? 1 时, Si ( 2i ?1) ? S3 ? ?1 ? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立 故原式成立

② 假设当 i ? m 时,等式成立,即 S m( 2m?1) ? ?m ? (2m ? 1) 则: i ? m ? 1 ,时,

S(m?1)[ 2( m?1)?1} ? S(m?1)(2m?3} ? Sm(2m?1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2 ? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2

? ?(2m2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)(2m ? 3)
综合①②得: Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 于是

S(i?1)[2i?1} ? Si (2i ?1} ? (2i ? 1) 2 ? ?i(2i ? 1) ? (2i ? 1) 2 ? (2i ? 1)(i ? 1)
由上可知: Si ( 2i ?1} 是 (2i ? 1) 的倍数 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? 2i ? 1( j ? 1,2,?,2i ? 1) ,所以 Si ( 2i ?1)? j ? Si ( 2i ?1) ? j (2i ? 1) 是

a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 1) 的倍数
又 S (i ?1)[ 2i ?1} ? (i ? 1)(2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数, 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? ?(2i ? 2)( j ? 1,2,?,2i ? 2) 所 以

S(i?1)(2i ?1)? j ? S(i ?1)(2i ?1) ? j(2i ? 2) ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j(2i ? 2)





a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 2) 的倍数

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2

( ) 故当 l ? i(2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ? 2i - 1 ? i

于是当 l ? i(2i ? 1) ? j( ? j ? 2i ? 1 时,集合 Pl 中元素的个数为 i 2 ? j 1 )

( ) 又 2000 ? 31 ? 2 ? 31 ? 1 ? 47
故集合 P2000 中元素的个数为 31 ? 47 ? 1008
2

24. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) (纯 WORD 版) 在公差为 d 的等差数列 {an } 试题 )

中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列. (1)求 d, an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | .

【天利解析】(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1)2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
(Ⅱ)由(1)知,当 d

;

? 0 时, an ? 11 ? n ,

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0? a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ??an ? | ? ?
②当12 ?

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

n 时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ? (a12 ? a13 ?? ? an ) ? ? ?? 11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ?? ?? an ) ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an |? ? ; ?? n2 ? 21n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
25. (2013 年高考湖北卷(理) 已知等比数列 ?an ? 满足: )

a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式;

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(II)是否存在正整数 m ,使得

1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. a1 a2 am

【天利解析】(I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 , 所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3 (II)若 q ? ?1 ,
n ?2

1 1 1 1 ? ??? ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; a1 a2 am 5

若q ? 3,

m 1 1 1 9 ? ?1? ? 9 ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m . a1 a2 am 10 ? ? 3 ? ? 10 ? ?

26. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 设等差数列 )

?an ? 的前 n 项和

为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 的前 n 项和 Rn .

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2n (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 2n

【天利解析】(Ⅰ)设等差数列 由

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ,
解得, 因此

a1 ? 1 , d ? 2

an ? 2n ? 1 (n ? N * )
Tn ? ? ? n 2n ?1 n 2
n ?1

(Ⅱ)由题意知:

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

?

n ?1 2n ?2

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

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1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 4 4 ? (n ? 1)( 1 )n ? 1 4 1? 4
1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得 Rn ? (4 ? ?c ? 9 所以数列数列 n 的前 n 项和 1 3n ? 1 ) 4n ?1

27. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 本小题 )

满 分 16 分 . 设 {an } 是 首 项 为 a , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 (d ? 0) , Sn 是 其 前 n 项 和 . 记

bn ?

nS n * , n ? N ,其中 c 为实数. 2 n ?c

* (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N );

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 . 【天利解析】证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和 ∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a ∴ S n ? na ? 2 2
∴左边= S nk ? (nk) a ? n k a
2 2 2

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n 2 S k ? n 2 k 2 a

∴左边=右边∴原式成立
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(2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nS n 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?
成立

nSn 1 1 3 2 ? ∴ (d1 ? d )n ? (b1 ? d1 ? a ? d )n ? cd 1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 n ? N 恒 2 2 2 n ?c

1 ? d1 ? d ? 0 ? 2 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d1 ? a ? d ? 0 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由①式得: d 1 ? 由③式得: c ? 0 法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

1 d 2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a , bn ? . 2 2

d? 3d ? ? ? 2 即: ? a ? ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ? ?
由此: S n ? n 2 a , S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a . 故: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ).

2

(n ? 1)d ? 2a nS 2 (2) bn ? 2 n ? , n ?c n2 ? c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? 2 n ?c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c n2
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故c ? 0. c

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经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.
28. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 等差数列 )

?an ? 的

前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =a2 2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,求 ?an ? 的通项式.

【天利解析】

29. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) 已知首项为 )

3 的等比数列 {an } 2

不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ? 【天利解析】
1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

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30. (2013 年高考江西卷(理) 正项数列{an}的前项和{an}满足: sn )

2

? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

5 n ?1 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a

2 2 【天利解析】(1)解:由 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? S n ? (n ? n) ? ( S n ? 1) ? 0 . ? ?

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n . 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n . 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2)2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2)2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1 ? 32 ? 22 ? 42 ? 32 ? 52 ? … ? (n ? 1)2 ? (n ? 1)2 ? n2 ? (n ? 2)2 ? 16 ? ?
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?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 ?1 ? 22 ? (n ? 1)2 ? (n ? 2)2 ? ? 16 (1 ? 22 ) ? 64 . 16 ? ?

31. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) 设数列 )

?an ? 的前 n 项和为

Sn .已知 a1 ? 1 ,
(Ⅰ) 求 a2 的值;

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 【天利解析】(1) 解:?

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)解:?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3

? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

? 2an ? 2Sn ? 2Sn?1

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n

当 n ? 1 时,上式显然成立.

?an ? n2 , n ? N *

(3)证明:由(2)知, an ? n2 , n ? N * ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4

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②当 n ? 2 时,

1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4
2

③当 n ? 3 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ? ?? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

32. (2013 年高考北京卷(理) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 )

An,第 n 项之后各项 an ?1 , an?2 ,的最小值记为 Bn,dn=An-Bn .
(I) 若 {an} 为 2,1,4,3,2,1,4,3,, 是 一 个 周 期 为 4 的 数 列 ( 即 对 任 意 n∈N , an? 4 ? an ), 写 出
*

d1,d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.
【天利解析】(I) d1 ? d2 ? 1, d3 ? d4 ? 3. (II)(充分性)因为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? . 因此 An ? an , Bn ? an?1 , dn ? an ? an?1 ? ?d (n ? 1, 2,3,?) . (必要性)因为 dn ? ?d ? 0 (n ? 1,2,3, ? ,所以 An ? Bn ? dn ? Bn . ) 又因为 an ? An , an?1 ? Bn ,所以 an ? an?1 . 于是 An ? an , Bn ? an?1 .

因此 an?1 ? an ? Bn ? An ? ?dn ? d ,即 ?an ? 是公差为 d 的等差数列.

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(III)因为 a1 ? 2, d1 ? 1,所以 A1 ? a1 ? 2 , B1 ? A ? d1 ? 1 .故对任意 n ? 1, an ? B1 ? 1. 1 假设 ?an ? (n ? 2) 中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 an ? 2 的最小正整数,则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 ,. 又因为 a1 ? 2 ,所以 Am?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 . 于是 Bm ? Am ? dm ? 2 ?1 ? 1 , Bm?1 ? min ?am , Bm? ? 2 . 故 dm?1 ? Am?1 ? Bm?1 ? 2 ? 2 ? 0 ,与 dm?1 ? 1 矛盾. 所以对于任意 n ? 1 ,有 an ? 2 ,即非负整数列 ?an ? 的各项只能为 1 或 2. 因此对任意 n ? 1 , an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? dn ? 2 ?1 ? 1 .

因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列 ?an ? 有无穷多项为 1.
33. (2013 年高考陕西卷(理) )

设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 {an } 的前 n 项和公式; 列. 【天利解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论. (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是等比数

{ a S ① 当q ? 1时,数列 an }是首项为 1的常数数列,所以 n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1 .
② 当q ? 1时,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? qSn ? qa1 ? qa2 ? ? ? qan?1 ? qan .

1 上面两式错位相减:( - q)S n ? a1 ? (a2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa2 )? ? (an ? qan?1 ) ? qan ? a1 ? qan .
a1 ? qan a1 (1 ? q n ) ? Sn ? ?. . 1- q 1- q
?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(Ⅱ) 使用反证法. 设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列.则 ①当 ?n ? N ,使得an ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列.
*

(q ? 1) (q ? 1)

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an?1 ? 1 a1q n ? 1 ? ? 恒为常数 ②当 ?n ? N ,使得an ? 1 ? 0 成立,则 an ? 1 a1q n?1 ? 1
*

? a1q n ? 1 ? a1q n?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 .这与题目条件 q≠1 矛盾.
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列 {an ? 1} 不是等比数 列.

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