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广东肇庆市2013年高考一模数学(文科)试题及答案


肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题 卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需要 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在另发的答题卷各题目指 定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准 使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? 3i , z 2 ? 2 ? bi ,其中 a、b?R. 若 z1 ? z2 ,则 ab ? A. ?1 B. 5 C. ?6 D. 6

2.已知全集 U ? {?2, ?1, 0,1, 2,3, 4,5, 6} ,集合 M={大于 ?2 且小于 5 的整数},则 CU M ? A. ?
x

B. {6}

C. {?2, 6}

D. {?2,5, 6}

3.命题“?x∈R, 2 ? 1 ”的否定是 A. ?x ? R, 2x ? 1 C. ?x ? R, 2x ? 1 B. ?x ? R, 2x ? 1 D. ?x ? R,2 x ? 1

4.甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的单位面积平均产量如下(单位:t/hm2) ,根据这组数据下列 说法正确的是 品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5年 10.2 9.8

A.甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数 B.甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数 C. 甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差 D. 甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差

-1-

5.已知等差数列{ an },满足 a3 ? a9 ? 8 ,则此数列的前 11 项的和 S11 ? A.44 B.33 C.22 D.11

6.平面上有三个点 A(2,2) 、M(1,3) 、N(7,k) ,若向量 AM 与 AN 垂直,则 k= A.6 B.7 C.8 D.9

7.阅读如图 1 的程序框,并判断运行结果为 A.55 B.-55 C.5 D.-5

?x ? y ? 2 ? 8.设变量 x, y 满足 ?0 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ?0 ? y ? 3 ?
A. 1 B. 9 C. 11 D.13

9.△ABC 中, AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,则△ABC 的面积是

A.

3 2

B.

3 3 2

C. 3

D. 3 3

10. 设集合 M ? ? A0 , A , A2 , A3 , A4 , A5? , M 上定义运算“ ? ”为:Ai ? Aj ? Ak , 在 其中 k 为 i ? j 1 被 4 除的余数, i, j ? 0,1, 2,3, 4,5 .则满足关系式 (a ? a) ? A2 ? A0 的 a(a ? M ) 的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 f ( x) ? 1 ? x ? ln x 的定义域为__▲__. 12.若圆心在直线 y ? x 上、半径为 2 的圆 M 与直线 x ? y ? 4 相切, 则圆 M 的方程是__▲__. 13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 2 所示,则其表面积 ... 等于__▲__.







14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的 距离的最小值为__▲__. 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,D 是⊙ 的直径 AB 延长线上一点,PD 是 O ⊙ 的切线,P 是切点,∠ =30° AB ? 4, BD ? 2 ,则 PA ? __▲__. O D ,

?

?

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? cos( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ,x∈R.

(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

17. (本小题满分 13 分) 某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答问题统计结 果如下图表所示:

(1)分别求出 a,b,x,y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组各抽 取多少人? (3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求所抽取的 人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率.

18. (本小题满分 13 分) 如图 4, 垂直于⊙O 所在平面 ABC, 为⊙O 的直径, PA AB PA=AB=2,
BF ? 1 BP ,C 是弧 AB 的中点. 4

(1)证明:BC?平面 PAC; (2)证明:CF?BP; (3)求四棱锥 C—AOFP 的体积.

-3-

19. (本小题满分 14 分) 已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , nan?1 ? 2S n (n ? N * ) . (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求数列 {an } 的通项 an ; (3)设数列 {bn } 满足 bn ?

2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (n ? 2)an

20. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? 7 ? 0 ,圆心 C 关于原点对称的点为 A,P 是圆上任一点,线
2 2

段 AP 的垂直平分线 l 交 PC 于点 Q . (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 L 方程; (2)过点 B(1,

1 )能否作出直线 l2 ,使 l2 与轨迹 L 交于 M、N 两点,且点 B 是线段 MN 的 2

中点,若这样的直线 l2 存在,请求出它的方程和 M、N 两点的坐标;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分)

? x 2 ? a (ln x ? 1)(0 ? x ? e) ? 若 f ( x) ? ? 2 ,其中 a ? R . ? x ? a (ln x ? 1)( x ? e) ?
2 (1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 在区间 [e, e ] 上的最大值;

(2)当 a ? 0 时,若 x ? ?1,??? , f ( x) ?

3 a 恒成立,求 a 的取值范围. 2

-4-

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数
一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

学(文科)参考答案

C

D

A

D

A

B

D

C

D

B

10B 解析:设 a ? Ai ,则 (a ? a) ? A2 ? A0 等价于 2i ? 2 被 4 除的余 0,等价于 i 是奇数.故 a 可取

A1 , A3 , A5
二、填空题 11. (0,1] 12. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 (对 1 个得 3 分,对 2 个得 5 分) 14.1 15. 2 3

13. 24 ? 8 3 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? sin 2 x cos

?

3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

? cos 2 x sin

?
3

? cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? cos 2 x (3 分)

(4 分) (5 分) (6 分)

?
4

) 2? ?? . 2

所以函数 f (x) 的最小正周期 T ? (2)因为 f (x) 在区间 [ ? 又 f (?

? ?

?

) ? ?1 , f ( ) ? 2 , f ( ) ? 1 , 4 8 4

?

, ] 上是增函数,在区间 [ , ] 上是减函数, (8 分) 4 8 8 4

? ?

?

(11 分)

故函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值为 2 ,最小值为-1. (12 分) 4 4

17. (本小题满分 13 分) 解: (1)由频率表中第 1 组数据可知,第 1 组总人数为 再结合频率分布直方图可知 n ? ∴a=100× 0.020× 0.9=18, 10× b=100× 0.025× 0.36=9, 10×

5 ? 10 , 0.5
(1 分) (2 分) (3 分)

10 ? 100 . 0.01 ? 10

-5-

27 ? 0.9 , 100 ? 0.3 3 y? ? 0.2 100 ? 0.15 x?
(2)第 2,3,4 组中回答正确的共有 54 人. ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:

(4 分) (5 分)

18 ? 6 ? 2 人, 54 27 ? 6 ? 3 人, 第 3 组: 54 9 ? 6 ? 1 人. 第 4 组: 54
第 2 组:

(6 分) (7 分) (8 分)

(3)设第 2 组的 2 人为 A 、 A2 ,第 3 组的 3 人为 B1 、 B2 、 B2 ,第 4 组的 1 人为 C1 ,则从 6 人中 1 抽 2 人所有可能的结果有:? A , A2 ? ,? A , B1 ? ,? A , B2 ? ,? A , B3 ? ,? A , C1 ? ,? A2 , B1 ? ,? A2 , B2 ? , 1 1 1 1 1

? A2 , B3 ? , ? A2 , C1 ? , ? B1, B2 ? , ? B1, B3 ? , ? B1, C1 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , C1 ? , ? B3 , C1 ? ,共 15 个基
本事件, (10 分) 其中第 2 组至少有 1 人被抽中的有 ? A , A2 ? , ? A , B1 ? , ? A , B2 ? , ? A , B3 ? , ? A , C1 ? , ? A2 , B1 ? , 1 1 1 1 1

? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C1 ? 这 9 个基本事件.
∴第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为

(12 分) (13 分)

9 3 ? 15 5

18. (本小题满分 13 分) (1)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC?PA. ∵?ACB 是直径所对的圆周角, ∴ ?ACB ? 90o ,即 BC?AC. 又∵ PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . (2 分) (3 分) (1 分)

(2)证明:∵PA?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC?PA. (4 分)

∵C 是弧 AB 的中点, ∴?ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴OC?AB. (5 分)

又∵ PA ? AB ? A ,∴ OC ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ BP ? OC . (6 分)

设 BP 的中点为 E,连结 AE,则 OF // AE , AE ? BP
-6-

∴ BP ? OF .

(7 分)

∵ OC ? OF ? O ,∴ BP ? 平面 CFO . 又 CF ? 平面 CFO ,∴ CF ? BP . (8 分) (3)解:由(2)知 OC ? 平面 PAB ,∴ CO 是三棱锥 C ? BFO 的高,且 CO ? 1 . (9 分)
1 1 1 2 2 1 1 1 2 又∵ BF ? BP ? , FO ? AE ? ? PB ? PA2 ? AB2 ? 2 ? 22 ? 4 4 4 2 2 2 2 2

(10 分) (11 分) (12 分) (13 分)

∴ VC ? BFO ? S BOF ? CO ? ? BF ? FO ? 1 ? ?

1 3

1 1 3 2

1 6

2 2 1 ? ? 2 2 12

1 1 1 1 1 2 又∵ VP ? ABC ? S?ABC ? AP ? ? AB ? CO ? AP ? ? ? 2 ?1? 2 ? 3 3 2 3 2 3 2 1 7 ∴四棱锥 C ? AOFP 的体积 V ? VP ? ABC ? VC ? BFO ? ? ? 3 12 12

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a1 ? 1, nan?1 ? 2Sn (n ? N ? ) 得 a2 ? 2a1 ? 2 , (1 分) (2 分) (3 分)

a3 ? S2 ? a1 ? a2 ? 3 ,
由 3a4 ? 2S3 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) 得 a4 ? 4 (2)当 n ? 1 时,由 nan?1 ? 2Sn ① ,得 (n ? 1)an ? 2Sn?1 ②

(4 分)

①-②得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ,化简得 nan?1 ? (n ? 1)an , (5 分)



an?1 n ? 1 ( n ? 1 ). ? an n a3 3 a n ? ,……, n ? a2 2 an?1 n ? 1
3 n ? ?? ? n ( n ? 1) 2 n ?1

(6 分)

∴ a2 ? 2 ,

(7 分)

以上( n ? 1 )个式子相乘得 a n ? 2 ? 又 a1 ? 1 ,∴ an ? n(n ? N ? )

(8 分)

(9 分)

(3)∵ bn ? ∴ Tn ? ?

2 2 1 1 ? ? ? (n ? 2)an (n ? 2)n n n ? 2

(11 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? (12 分) 1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 n n ? 2

-7-

? 1?

1 1 1 3 2n ? 3 ? ? ? ? 2 n ? 1 n ? 2 2 (n ? 1)(n ? 2)

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图,由已知可得圆心 C (?1, 0) ,半径 r ? 2 2 ,点 A(1,0) (1 分) ∵点 Q 是线段 AP 的垂直平分线 l 与 CP 的交点,∴ | QP |? QA | 又∵ | PQ | ? | QC |? 2 2 ,∴ | QA | ? | QC |? 2 2 ? AC ? 2 ∴点 Q 的轨迹是以 O 为中心, C , A 为焦点的椭圆, ∵ c ? 1, a ? (2 分) (3 分)

2 ,∴ b ? a 2 ? c 2 ? 1 ,
x2 ? y 2 ? 1. 2

(4 分)

∴点 Q 的轨迹 L 的方程

(5 分)

x2 ? y 2 ? 1得 (2)假设直线 l2 存在,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,分别代入 2

? x12 2 ? 2 ? y1 ? 1 ? , ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ?2 ?
两式相减得

(6 分)

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) y ?y 1 x ?x ? ?( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 1 2 ? ? ? 1 2 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2
(8 分)

(7 分)

由题意,得 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y 2 ? 1, ∴

y1 ? y2 ? ?1 ,即 kMN ? ?1 x1 ? x2
3 2

(9 分)

∴直线 l2 的方程为 y ? ? x ?

(10 分)

? x2 2 ? 2 ? y ?1 ? 2 由? 得 6 x ? 12 x ? 5 ? 0 ? y ? ?x ? 3 ? ? 2
∵点 B 在椭圆 L 内, ∴直线 l2 的方程为 y ? ? x ?

(11 分)

3 ,它与轨迹 L 存在两个交点, 2

-8-

解方程 6 x ? 12 x ? 5 ? 0 得 x ? 1 ?
2

6 6

(12 分)

当 x ? 1?

1 6 1 6 6 6 时, y ? ? ;当 x ? 1 ? 时, y ? ? 2 6 2 6 6 6
? ? ? 6 1 6? ? 6 1 6? , ? , ? ? 和 ?1 ? ? 6 2 6 ? ? 6 2 6 ? ? ? ?

(13 分)

所以,两交点坐标分别为 ? 1 ?

(14 分)

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? ?2 , x ?[e, e2 ] 时, f ( x) ? x2 ? 2ln x ? 2 , ∵ f ?( x) ? 2 x ? (1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

2 ,∴当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x) ? 0 , x
2
2

∴函数 f ( x) ? x ? 2ln x ? 2 在 [e, e ] 上单调递增, 故 f ( x)max ? f (e2 ) ? (e2 )2 ? 2ln e2 ?2 ? e ? 2
4

(2)①当 x ? e 时, f ( x) ? x 2 ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a , x
(5 分) (6 分)

? a ? 0 , f ?( x) ? 0 ,∴f(x)在 [e,??) 上增函数,
故当 x ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? e ;
2
2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a 2 a a (7 ? (x ? )(x ? ) , 分) x x 2 2

(i)当

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f (x) 在区间 [1, e) 上为增函数, 2
(8 分)

2 当 x ? 1 时, f ( x) min ? f (1) ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) ? e ;

(ii)当 1 ? 函数, 故当 x ?

? ? a ? a? a ? e ,即 2 ? a ? 2e2 时, f (x) 在区间 ?1, ? 上为减函数,在区间 ? ? ? 2 , e ? 上为增 2? 2 ? ? ?
(9 分)

a a a 3a a a 时, f ( x) min ? f ( (10 分) )? ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) ? e 2 ; 2 2 2 2 2 2
a ? e ,即 a ? 2e 2 时, f ( x) ? x2 ? a ln x ? a 在区间[1,e]上为减函数, 2
2

(iii)当

故当 x ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? e .
-9-

(11 分)

综上所述,函数 y ? f (x) 的在 ?1,??? 上的最小值为 f ( x) min

?1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 (12 分) ?2 2 2 ?e 2 , a ? 2e 2 ?

?2 ? a ? 2e 2 , ? a ? 2e 2 , ?0 ? a ? 2, ? ? ? 由? 3 得 0 ? a ? 2 ;由 ? 3a a a 3a 得无解;由 ? 2 3a 得无解; (13 分) , , ? ? ln ? ?1 ? a ? 2 a, ?e ? ? 2 ?2 2 2 2 ?
故所求 a 的取值范围是 ?0,2? . (14 分)

- 10 -


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