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厦门市2011~2012学年(下)高二数学理科质量检测


厦门市 2011~2012 学年(下)高二质量检测

数学(理科)试题
试卷分 A 卷和 B 卷两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟

A 卷(共 100 分) 班级_______________姓名_______________座号_____________

参考公式:

?? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b
?x ? a ? ?b ? 程y

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

? (x ? x)
i ?1 i

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx 2

2

?x
i ?1

?x ? ? y ?b ?. ,a 线性回归方

2

i

n(ad ? bc) 2 随机变量 K ? (其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
2

临界值表

P( K 2 ? k )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 0.706

0.05 3.0841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若 a ? 2i ? 1 ? bi ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则复数 a ? bi ? ( ) A. 1 ? 2i 2. B. ? 1 ? 2i ) B. C. ? 1 ? 2i D. 1 ? 2i

? x dx ? (
2 0

1

A.

1 3

1 2

C.

2 3


D.1
2

3.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (0, ? ) , (? ? 0) .若 ? 在 (0,1) 内取值的概率为 0.3 ,则 ? 在 (1,??) 内取值的概率为( A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4.用 1,2,3,4,5,6 这六个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( A.30 B.40 C.60 D.120

) )

5.已知 n 为等差数列 ? 4,?2,0,? ? ? 的第六项,则 ( x ? ) 的二项展开式的常数项是(
n

2 x

A.20

B.60

C.160

D.240 )

6.若某人每次射击击中目标的概率均为 A.

81 54 B. 125 125 7.如图, EFGH 是以 O 为圆心,1 为半径的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地掷到圆 内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形 HOE (阴 影部分)内”,则 P( B | A) ? ( ) 1 1 ? ? A. B. C. D. 4 3 8 4
1

3 ,此人连续射击三次,至少有两次击中目标的概率为( 5 36 27 C. D. 125 125

8 . 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 如 图 所 示 , f ?( x) 为 f ( x) 的 导 函 数 , 则 ) f ?(1), f ?(2), f (2) ? f (1) 的大小关系是( A. f ?(1) ? f ?(2) ? f (2) ? f (1) B. f ?(2) ? f (2) ? f (1) ? f ?(1) C. f ?(2) ? f ?(1) ? f (2) ? f (1) D. f ?(1) ? f (2) ? f (1) ? f ?(2) 2 10 2 9 10 9.已知多项式 x ? x ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a9 ( x ? 1) ? a10 ( x ? 1) , 则 a2 ? ( A.32 ) B.42
3

C.46
2

D.56

10.已知函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? 1 ,实数 t ? 1 且 f (t ) ? 0 ,令 m ? f (t ? 2) f (

A. m ? 0 B. m ? 0 C. m ? 0 D. m 的正负与 t 有关 二、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,子啊答题卷上相 应题目的答题区域内作答. 11. (本小题满分 12 分)淘宝卖家在某商品的所有买家中,随机选择男女买家各 50 位进行调查,他们的 评分等级如下: [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 评分等级 2 7 9 20 12 女(人数) 3 9 18 12 8 男(人数) (Ⅰ)从评分等级为 ( 4,5] 的人中随机选取 2 人,求恰好有 1 人事男性的概率; (Ⅱ)规定:评分等级在 [0,3] 为不满意该商品,在 (3,5] 为满意该商品.完成下列 2 ? 2 列联表并帮助卖家 判断:能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为满意该商品与性别有关系? 满意该商品 不满意该商品 总计 女 男 总计

2t ? 3 ) ,则( 3



12. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? ax ? bx ? 1 在 x ? 1 处取得极值 ? 6 .
3 2

(Ⅰ)求实数 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [?2,2] 上的最值.

2

13. (本小题满分 12 分)1,4,9,16 ? ? ? ? ? ? 这些数可以用图 1 中的点阵表示,古希腊毕达哥拉斯学派将其称为 正方形数,记第 n 个数为 a n .在图 2 的杨辉三角中,第 n(n ? 2) 行驶 (a ? b)
0 1 n ?1 Cn ?1 , Cn ?1 ,? ? ?, Cn ?1 ,记杨辉三角的前 n 行所有数之和为 Tn .

n ?1

展开式的二项式系数

(Ⅰ)求 a n 和 Tn 的通项公式; (Ⅱ)当 n ? 2 时,比较 a n 与 Tn 的大小,并加以证明.

14. (本小题满分 14 分)为了保护环境,某工厂在政府部门的支持下,进行技术改进:把二氧化碳处理转 化为某种化工产品.经测算,该处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系可近视的表示

?1 3 ,   x ? [10,30) ? x ? 640   为: y ? ? 25 ,且每处理一顿二氧化碳可得到价值为 20 万元的某种化工 ? x 2 ? 40 x ? 1600 ,  x ? [30,50) ?
产品. (Ⅰ)当 x ? [30,50) 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家 至少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损? (Ⅱ)当处理量为多少吨是,每吨的平均处理成本最少?

B 卷(共 50 分)
三、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在答题卡的相应位置. 15.已知复数 z ? i(1 ? 2i ) ,其中 i 为虚数单位,则 | z |? 16.右表是某单位 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有

? ? ?0.7 x ? a ,由此可预测该单位第 5 个月的用水量是 较强的线性相关关系,其线性回归方程是 y 百吨 1 2 3 4 月份 x 用水量 y 4 3 4.5 2.5
17.函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间是 2

18. A, B, C , D 四人参加志愿服务活动,从事翻译、礼仪、司机三项工作,每项工作至少一人参加. A, B 不会开车但能从事其他两项工作, C , D 都能胜任三项工作,则不同安排方案的种数是 19.两个正数 a, b ,按规则 c ? ab ? a ? b 扩充得新数 c (第一次操作) ;再从 a, b, c 三个数中取两个较大 的数,按上述规则扩充得另一个新数 d (第二次操作) ,依此下去,将每扩充依此得到一个新数称为 依此操作.现已知 a ? 1, b ?
x

2 ? 1 ,经过 6 次操作后所得的数为 2 x ? 1 ,则 x ?
?x

20.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e ( x ? 1) .给出以下命题: ①当 x ? 0 时, f ( x) ? e ( x ? 1) ; ②函数 f ( x) 有五个零点; ③若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有解,则实数 m 的取值范围是 f (?2) ? m ? f (2) ; ④对 ?x1 , x2 ? R, | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 2 恒成立. 其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都填上)
3

四、解答题:本大题共 2 小题,共 26 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应 题目的答题区域内作答. 21. (本小题满分 12 分)某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研: 项目 A :通信设备.根据调研,投资到该项目上,所有可能结果为:获利 40% 、损失 20% 、不赔不 赚,且这三种情况发生的概率分别为

7 1 、 、a. 12 6

项目 B :新能源汽车.根据调研,投资到该项目上,所有可能结果为:获利 30% 、亏损 10 % ,且这 两种情况发生的概率分别为 b 、 c . 经测算,当投入 A, B 两个项目的资金相等时,它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等. (Ⅰ)求 a, b, c 的值; (Ⅱ)若将 100 万元全部投入到其中的一个项目,请你从风险控制角度为投资公司选择一个合理的项目, 说明理由; (Ⅲ)若对项目 A 投资 x(0 ? x ? 100 ) 万元,所获得利润为随机变量 Y1 ;项目 B 投资 (100 ? x) 万元,所 获得利润为 随机变量 Y2 ;记 f ( x) ? D(Y1 ) ? D(Y2 ) ,当 x 为何值时, f ( x) 取到最小值?最小值为多少? (参考公式:随机变量 X 的方差: D( X ) ?

? ( x ? E ( X ))
i ?1 i

n

2

pi , D(aX ? b) ? a 2 D( X ) )

22. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? a ln x , g ( x) ? bx ? x ,其中 a, b ? R 且 a ? 0 .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象在点 (1,0) 处有相同的切线,求 a, b 的值; (Ⅱ)若 b ? 1, a ? 2e ,判断方程 f ( x) ? g ( x) ? x 在区间 [1, e ] 上的实根的个数,并加以证明;
a

(Ⅲ)若 a ? 1 ,当 0 ? x1 ? x ? x2 时,比较

f ( x) ? f ( x1 ) f ( x ) ? f ( x2 ) 与 的大小,并证明你的结论. x ? x1 x ? x2

4

5

6

7

8


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