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【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 数列 文


数列
D1 数列的概念与简单表示法

15.D1,D5[2013·湖南卷] 对于 E={a1,a2,?,a100}的子集 X={ai1,ai2,?,aik}, 定义 X 的“特征数列”为 x1,x2,?,x100,其中 xi1=xi2=?=xik=1,其余项均为 0.例如: 子集{a2,a3}的“特征数列”为 0,1,1,0,0,?,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前 3 项和等于________; (2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1,p2,?,p100 满足 p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E 的子集 Q 的“特征数列”q1,q2,?,q100 满足 q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则 P∩Q 的元素个数为________. 15.2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知,子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为 1, 0,1,0,1,0?,0,故可知前三项和为 2. (2)根据“E 的子集 P 的“特征数列”p1, p2, ?, p100 满足 p1=1, pi+pi+1=1, 1≤i≤99” 可知子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,?,1,0.即奇数项为 1,偶数项为 0.根据“E 的 子集 Q 的“特征数列”q1,q2,?,q100 满足 q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98”可知子集 Q 的“特征数列为 1,0,0,1,0,0,?,0,1.即项数除以 3 后的余数为 1 的项为 1,其余项 为 0,则 P∩Q 的元素为项数除以 6 余数为 1 的项,可知有 a1,a7,a13,?,a97,共 17 项. 4.D1[2013·辽宁卷] 下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: an p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列 是递增数列;p4:数列 n {an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 4.D [解析] 因为数列{an}为 d>0 的数列,所以{an}是递增数列,则 p1 为真命题.而数 列{an+3nd}也是递增数列,所以 p4 为真命题,故选 D.

D2

等差数列及等有效期数列前 n 项和

19. D2, D4[2013·安徽卷] 设数列{an}满足 a1=2, a2+a4=8, 且对任意 n∈N , 函数 f(x)

*

?π ? =(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x 满足 f′? ?=0. ?2?
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2?an+

? ?

1? ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2an? ?

19.解:(1)由题设可得,f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x. π * 对任意 n∈N ,f′ =an-an+1+an+2-an+1=0,即 an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数 2 列.
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由 a1=2,a2+a4=8,解得{an}的公差 d=1, 所以 an=2+1·(n-1)=n+1. 1 ? 1 1 ? (2)由 bn=2an+ =2?n+1+ n+1?=2n+ n+2 知, 2 ? 2an ? 2 1 1n 1- n(n+1) 2 2 1 2 Sn=b1+b2+?+bn=2n+2· + =n +3n+1- n. 2 1 2 1- 2 7.D2[2013·安徽卷] 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 7.A [解析] 设公差为 d,则 8a1+28d=4a1+8d,即 a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d =d=-2,所以 a9=a7+2d=-6. 20.M2,D2,D3,D5[2013·北京卷] 给定数列 a1,a2,?,an,对 i=1,2,?,n-1, 该数列前 i 项的最大值记为 Ai,后 n-i 项 ai+1,ai+2,?,an 的最小值记为 Bi,di=Ai-Bi. (1)设数列{an}为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3 的值; (2)设 a1,a2,?,an(n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0.证明:d1,d2,?,dn-1 是等比数列; (3)设 d1,d2,?,dn-1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1>0,证明:a1,a2,?,an-1 是等 差数列. 20.解:(1)d1=2,d2=3,d3=6. (2)证明:因为 a1>0,公比 q>1, 所以 a1,a2,?,an 是递增数列. 因此,对 i=1,2,?,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1. 于是对 i=1,2,?,n-1, i-1 di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)q . di+1 因此 di≠0 且 =q(i=1,2,?,n-2), di 即 d1,d2,?,dn-1 是等比数列. (3)证明:设 d 为 d1,d2,?,dn-1 的公差. 对 1≤i≤n-2,因为 Bi≤Bi+1,d>0,所以 Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai. 又因为 Ai+1=max{Ai,ai+1},所以 ai+1=Ai+1>Ai≥ai. 从而 a1,a2,?,an-1 是递增数列,因此 Ai=ai(i=1,2,?,n-1). 又因为 B1=A1-d1=a1-d1<a1,所以 B1<a1<a2<?<an-1. 因此 an=B1. 所以 B1=B2=?=Bn-1=an. 所以 ai=Ai=Bi+di=an+di. 因此对 i=1,2,?,n-2 都有 ai+1-ai=di+1-di=d, 即 a1,a2,?,an-1 是等差数列. 17.D2、D4[2013·全国卷] 等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. nan

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17.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d.
?a7=4, ?a1+6d=4, ? ? 因为? 所以? ? ? ?a19=2a9, ?a1+18d=2(a1+8d),

1 解得 a1=1,d= . 2 所以{an}的通项公式为 an= n+1 . 2

1 2 2 2 (2)因为 bn= = = - ,所以 nan n(n+1) n n+1 2 2 2 2 2 2 Sn= - + - +?+ - 1 2 2 3 n n+1 = 2n . n+1

17.D2,D3[2013·福建卷] 已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 17.解:(1)因为数列{an}的公差 d=1, 2 且 1,a1,a3 成等比数列,所以 a1=1×(a1+2), 2 即 a1-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 2 所以 5a1+10>a1+8a1, 2 即 a1+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 17.D2,D3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1, a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2. 2 17.解:(1)设{an}的公差为 d.由题意,a11=a1a13, 2 即(a1+10d) =a1(a1+12d), 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+?+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列.从而 n Sn= (a1+a3n-2) 2 n = (-6n+56) 2 =-3n +28n. 20.D2[2013·山东卷] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式;
2

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b1 b2 bn 1 * (2)若数列{bn}满足 + +?+ =1- n,n∈N ,求{bn}的前 n 项和 Tn. a1 a2 an 2 20.解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得
?4a1+6d=8a1+4d, ? ? ? ?a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1.

解得 a1=1,d=2. * 因此 an=2n-1,n∈N . b1 b2 bn 1 * (2)由已知 + +?+ =1- n,n∈N , a1 a2 an 2 b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2 1 ? 1 bn 1 ? 当 n≥2 时, =1- n-?1- n-1?= n. an 2 ? 2 ? 2 bn 1 * 所以 = n,n∈N . an 2 2n-1 * * 由(1)知 an=2n-1,n∈N ,所以 bn= n ,n∈N . 2 1 3 5 2n-1 又 Tn= + 2+ 3+?+ n , 2 2 2 2 1 1 3 2n-3 2n-1 Tn= 2+ 3+?+ n + n+1 , 2 2 2 2 2 两式相减得 2 ? 2n-1 1 1 ?2 2 Tn= +? 2+ 3+?+ n?- n+1 2? 2 2 2 ?2 2 3 1 2n-1 = - n-1- n+1 , 2 2 2 2n+3 所以 Tn=3- n . 2 17.D2[2013·陕西卷] 设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和. (1)若{an}是等差数列,推导 Sn 的计算公式; n 1-q (2)若 a1=1,q≠0,且对所有正整数 n,有 Sn= .判断{an}是否为等比数列,并证明 1-q 你的结论. 17.解: (1)方法一:设{an}的公差为 d,则 Sn=a1+a2+?+an =a1+(a1+d)+?+[a1+(n-1)d], 又 Sn=an+(an-d)+?+[an-(n-1)d], ∴2Sn=n(a1+an),

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n(a1+an) ∴Sn= . 2 方法二:设{an}的公差为 d,则 Sn=a1+a2+?+an =a1+(a1+d)+?+[a1+(n-1)d], 又 Sn=an+an-1+?+a1 =[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+?+a1, ∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+?+[2a1+(n-1)d] =2na1+n(n-1)d, n(n-1) ∴Sn=na1+ d. 2 (2){an}是等比数列.证明如下: n 1-q ∵Sn= , 1-q ∴an+1=Sn+1-Sn = 1-q 1-q q (1-q) n - = =q . 1-q 1 -q 1-q an+1 q = n-1=q. an q
n n+1 n n

∵a1=1,q≠0,∴当 n≥1 时,有

因此,{an}是首项为 1 且公比为 q 的等比数列. 16.D2,D3[2013·四川卷] 在等比数列{an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项, 求数列{an}的首项、公比及前 n 项和. 16.解:设该数列的公比为 q,由已知,可得 2 a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q , 2 所以,a1(q-1)=2,q -4q+3=0,解得 q=3 或 q=1. 由于 a1(q-1)=2,因此 q=1 不合题意,应舍去. 故公比 q=3,首项 a1=1. 所以,数列的前 n 项和 Sn= 3 -1 . 2
n

17.D2、D4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=- 5. (1)求{an}的通项公式;
? ? 1 ?的前 n 项和. (2)求数列? ?a2n-1a2n+1?

n(n-1) 17.解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d. 2 由已知可得?
?3a1+3d=0, ? ?5a1+10d=-5, ?

解得 a1=1,d=-1.

故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知 1 ? 1 1 1? 1 - = = ? ?, a2n-1a2n+1 (3-2n)(1-2n) 2?2n-3 2n-1?

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? ? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 1 n ?的前 n 项和为 ? - + - +?+ - 数列? ?=1-2n. a a - 1 1 1 3 2n - 3 2n - 1 2n - 1 2n + 1 2 ? ? ? ?

19.D2[2013·浙江卷] 在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an ; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|. 2 19.解:(1)由题意得 5a3·a1=(2a2+2) , 2 即 d -3d-4=0. * * 故 d=-1 或 d=4.所以 an=-n+11,n∈N 或 an=4n+6,n∈N . (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11,则 当 n≤11 时, 1 2 21 |a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn=- n + n. 2 2 1 2 21 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=-Sn+2S11= n - n+110. 2 2 综上所述, |a1|+|a2|+|a3|+?+|an| 1 2 21 - n + n,n≤11, 2 2 = 1 2 21 n - n+110,n≥12. 2 2

? ? ? ? ?

16.D2 和 D3[2013·重庆卷] 设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+. (1)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn 为其前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20. n-1 16.解:(1)由题设知{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 an=3 , 1-3 1 n Sn= = (3 -1). 1-3 2 20×19 (2)b1=a2=3, b3=1+3+9=13, b3-b1=10=2d, 所以公差 d=5, 故 T20=20×3+ 2 ×5=1 010. 12.D2[2013·重庆卷] 若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a=________. 7 12. 2 9 -2 7 7 [解析] 设公差为 d,则 d= = ,所以 c-a=2d= . 5 -1 4 2
n

D3

等比数列及等比数列前 n 项和

20.M2,D2,D3,D5[2013·北京卷] 给定数列 a1,a2,?,an,对 i=1,2,?,n-1, 该数列前 i 项的最大值记为 Ai,后 n-i 项 ai+1,ai+2,?,an 的最小值记为 Bi,di=Ai-Bi. (1)设数列{an}为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3 的值; (2)设 a1,a2,?,an(n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0.证明:d1,d2,?,dn-1 是等比数列;
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(3)设 d1,d2,?,dn-1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1>0,证明:a1,a2,?,an-1 是等 差数列. 20.解:(1)d1=2,d2=3,d3=6. (2)证明:因为 a1>0,公比 q>1, 所以 a1,a2,?,an 是递增数列. 因此,对 i=1,2,?,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1. 于是对 i=1,2,?,n-1, i-1 di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)q . di+1 因此 di≠0 且 =q(i=1,2,?,n-2), di 即 d1,d2,?,dn-1 是等比数列. (3)证明:设 d 为 d1,d2,?,dn-1 的公差. 对 1≤i≤n-2,因为 Bi≤Bi+1,d>0,所以 Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai. 又因为 Ai+1=max{Ai,ai+1},所以 ai+1=Ai+1>Ai≥ai. 从而 a1,a2,?,an-1 是递增数列,因此 Ai=ai(i=1,2,?,n-1). 又因为 B1=A1-d1=a1-d1<a1,所以 B1<a1<a2<?<an-1. 因此 an=B1. 所以 B1=B2=?=Bn-1=an. 所以 ai=Ai=Bi+di=an+di. 因此对 i=1,2,?,n-2 都有 ai+1-ai=di+1-di=d, 即 a1,a2,?,an-1 是等差数列. 11. D3[2013·北京卷] 若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比 q=________; 前 n 项和 Sn=________. n+ 1 3 11.2 2 -2 [解析] ∵a3+a5=q(a2+a4),∴40=20q,∴q=2,∴a1(q+q )=20, 2(1-2 ) n+1 ∴a1=2,∴Sn= =2 -2. 1-2 x y 22.H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别 a b 为 F1,F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6. (1)求 a,b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|, |AB|,|BF2|成等比数列. c a +b 2 2 22.解:(1)由题设知 =3,即 2 =9,故 b =8a . a a 所以 C 的方程为 8x -y =8a . 将 y=2 代入上式,并求得 x=± 由题设知,2 1 2 a+ . 2
2 2 2 2 2 2 2 n

1 2 2 a + = 6,解得 a =1. 2

所以 a=1,b=2 2. 2 2 (2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x -y =8.① 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|<2 2,代入①并化简得(k -8)x -6k x+9k +8 =0.
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2 2 2 2

6k 9k +8 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1≤-1,x2≥1,x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -8 k -8 于是 |AF1|= (x1+3) +y1= (x1+3) +8x1-8=-(3x1+1), 2 2 2 2 |BF1|= (x2+3) +y2= (x2+3) +8x2-8=3x2+1. 2 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即 x1+x2=- . 3 故 6k 2 4 19 2 =- ,解得 k = ,从而 x1x2=- . 2 k -8 3 5 9
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

由于|AF2|= (x1-3) +y1= (x1-3) +8x1-8=1-3x1, 2 2 2 2 |BF2|= (x2-3) +y2= (x2-3) +8x2-8=3x2-1, 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 2 因而|AF2|·|BF2|=|AB| , 所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列. 4 7.D3[2013·全国卷] 已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于 3 ( ) A.-6(1-3 C.3(1-3 7.C
-10

1 10 ) B. (1-3 ) 9
-10

-10

) D.3(1+3

) an+1 1 =- ,所以数列{an}是公比为 an 3

[解析] 由 3an+1+an=0,得 an≠0(否则 a2=0)且

? 1?10? 4×?1-? ?-3? ? 1 ? ? ? ? ? 1?10? -10 - 的等比数列,代入 a2 可得 a1=4,故 S10= =3×?1-? ?=3(1-3 ). ? ? 3 1 ? ?3? ? 1+ 3
17.D2,D3[2013·福建卷] 已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 17.解:(1)因为数列{an}的公差 d=1, 2 且 1,a1,a3 成等比数列,所以 a1=1×(a1+2), 2 即 a1-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 2 所以 5a1+10>a1+8a1, 2 即 a1+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 11.D3[2013·广东卷] 设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3 +|a4|=________. 11.15 [解析] 方法一:易求得 a2=-2,a3=4,a4=-8,∴a1+|a2|+a3+|a4|=15. 1-2 方法二:相当于求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和,S4= =15. 1-2 1 14.D3[2013·江苏卷] 在正项等比数列{an}中,a5= ,a6+a7=3. 则满足 a1+a2+?+ 2
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an>a1a2?an 的最大正整数 n 的值为________. 1 1 2 14.12 [解析] 设{an}的公比为 q.由 a5= 及 a5(q+q )=3 得 q=2,所以 a1= ,所以 2 32 1 11 7 6 7 a6=1,a1a2?a11=a6 =1,此时 a1+a2+?+a11>1.又 a1+a2+?+a12=2 - ,a1a2?a12=2 <2 32 1 1 1 8 6 7 5 8 8 - ,所以 a1a2?a12>a1a2?a12,但 a1+a2+?+a13=2 - ,a1a2?a13=2 ·2 =2 ·2 >2 - , 32 32 32 所以 a1+a2+?+a13<a1a2?a13,故最大正整数 n 的值为 12. 12.D3[2013·江西卷] 某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天 * 植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N )等于________. 2(1-2 ) n+1 12.6 [解析] Sn= =2 -2≥100,得 n≥6. 1-2 14.D3[2013·辽宁卷] 已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 2 是方程 x -5x+4=0 的两个根,则 S6=________. 14.63 [解析] 由题意可知 a1+a3=5,a1·a3=4.又因为{an}为递增的等比数列,所以 1×(1-2 ) a1=1,a3=4,则公比 q=2,所以 S6= =63. 1-2 17.D2,D3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1, a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2. 2 17.解:(1)设{an}的公差为 d.由题意,a11=a1a13, 2 即(a1+10d) =a1(a1+12d), 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+?+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列.从而 n Sn= (a1+a3n-2) 2 n = (-6n+56) 2 =-3n +28n. 16.D2,D3[2013·四川卷] 在等比数列{an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项, 求数列{an}的首项、公比及前 n 项和. 16.解:设该数列的公比为 q,由已知,可得 2 a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q , 2 所以,a1(q-1)=2,q -4q+3=0,解得 q=3 或 q=1. 由于 a1(q-1)=2,因此 q=1 不合题意,应舍去. 故公比 q=3,首项 a1=1. 3 -1 所以,数列的前 n 项和 Sn= . 2
n 2 6 n

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2 6.D3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 3 则( ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 2n 1- n - 1 3 2 ?2? 6.D [解析] an=? ? ,Sn= =31- an=3-2an. 3 2 3 ? ? 1- 3 16.D2 和 D3[2013·重庆卷] 设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+. (1)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn 为其前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20. n-1 16.解:(1)由题设知{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 an=3 , 1-3 1 n Sn= = (3 -1). 1-3 2 20×19 (2)b1=a2=3, b3=1+3+9=13, b3-b1=10=2d, 所以公差 d=5, 故 T20=20×3+ 2 ×5=1 010.
n

D4

数列求和

19. D2, D4[2013·安徽卷] 设数列{an}满足 a1=2, a2+a4=8, 且对任意 n∈N , 函数 f(x)

*

?π ? =(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x 满足 f′? ?=0. ?2?
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2?an+

? ?

1? ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2an? ?

19.解:(1)由题设可得,f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x. π * 对任意 n∈N ,f′ =an-an+1+an+2-an+1=0,即 an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数 2 列. 由 a1=2,a2+a4=8,解得{an}的公差 d=1, 所以 an=2+1·(n-1)=n+1. 1 ? 1 1 ? (2)由 bn=2an+ =2?n+1+ n+1?=2n+ n+2 知, 2 ? 2an ? 2 1 1n 1- n(n+1) 2 2 1 2 Sn=b1+b2+?+bn=2n+2· + =n +3n+1- n. 2 1 2 1- 2 17.D2、D4[2013·全国卷] 等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1)求{an}的通项公式;
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1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. nan 17.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d.
?a7=4, ?a1+6d=4, ? ? 因为? 所以? ?a19=2a9, ?a1+18d=2(a1+8d), ? ?

1 解得 a1=1,d= . 2 所以{an}的通项公式为 an= n+1 . 2

1 2 2 2 (2)因为 bn= = = - ,所以 nan n(n+1) n n+1 2 2 2 2 2 2 Sn= - + - +?+ - 1 2 2 3 n n+1 = 2n . n+1
2

16.D4[2013·江西卷] 正项数列{an}满足:an-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (n+1)an 16.解:(1)由 an-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 an=2n. 1 ? 1 1 1?1 (2)由 an=2n,bn= ,则 bn= = ? - ?, (n+1)an 2n(n+1) 2?n n+1? 1 1 1 1 ? 1? 1 1 1 - + - Tn= ?1- + - +?+ ? n-1 n n n+1? 2? 2 2 3 1 ? 1? n = ? 1- . ?= n+1? 2(n+1) 2? 17.D2、D4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=- 5. (1)求{an}的通项公式;
? ? 1 ?的前 n 项和. (2)求数列? ?a2n-1a2n+1?
2

n(n-1) 17.解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d. 2 由已知可得?
? ?3a1+3d=0, ?5a1+10d=-5, ?

解得 a1=1,d=-1.

故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知 1 ? 1 1 1? 1 - = = ? ?, a2n-1a2n+1 (3-2n)(1-2n) 2?2n-3 2n-1?

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? ? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 1 n ?的前 n 项和为 ? - + - +?+ - 数列? ?=1-2n. a a - 1 1 1 3 2n - 3 2n - 1 2n - 1 2n + 1 2 ? ? ? ?

D5

单元综合

20.M2,D2,D3,D5[2013·北京卷] 给定数列 a1,a2,?,an,对 i=1,2,?,n-1, 该数列前 i 项的最大值记为 Ai,后 n-i 项 ai+1,ai+2,?,an 的最小值记为 Bi,di=Ai-Bi. (1)设数列{an}为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3 的值; (2)设 a1,a2,?,an(n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0.证明:d1,d2,?,dn-1 是等比数列; (3)设 d1,d2,?,dn-1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1>0,证明:a1,a2,?,an-1 是等 差数列. 20.解:(1)d1=2,d2=3,d3=6. (2)证明:因为 a1>0,公比 q>1, 所以 a1,a2,?,an 是递增数列. 因此,对 i=1,2,?,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1. 于是对 i=1,2,?,n-1, i-1 di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)q . di+1 因此 di≠0 且 =q(i=1,2,?,n-2), di 即 d1,d2,?,dn-1 是等比数列. (3)证明:设 d 为 d1,d2,?,dn-1 的公差. 对 1≤i≤n-2,因为 Bi≤Bi+1,d>0,所以 Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai. 又因为 Ai+1=max{Ai,ai+1},所以 ai+1=Ai+1>Ai≥ai. 从而 a1,a2,?,an-1 是递增数列,因此 Ai=ai(i=1,2,?,n-1). 又因为 B1=A1-d1=a1-d1<a1,所以 B1<a1<a2<?<an-1. 因此 an=B1. 所以 B1=B2=?=Bn-1=an. 所以 ai=Ai=Bi+di=an+di. 因此对 i=1,2,?,n-2 都有 ai+1-ai=di+1-di=d, 即 a1,a2,?,an-1 是等差数列. 2 19. D5, E9[2013·广东卷] 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 4Sn=an+1- * 4n-1,n∈N ,且 a2,a5,a14 构成等比数列. (1)证明:a2= 4a1+5; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1a2 a2a3 anan+1 2 19.解: 19.D5[2013·湖北卷] 已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18.
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(1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存 在,说明理由. 19.解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题意得
?S2-S4=S3-S2, ? ? ? ?a2+a3+a4=-18, ? ?-a1q -a1q =a1q , 即? 2 ?a1q(1+q+q )=-18, ? ? ?a1=3, 解得? ?q=-2, ?
2 3 2

故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)
n

n-1

.

3[1-(-2) ] n (2)由(1)有 Sn= =1-(-2) . 1-(-2) 若存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2) ≥2 013, n 即(-2) ≤-2 012. n 当 n 为偶数时,(-2) >0,上式不成立; n n n 当 n 为奇数时,(-2) =-2 ≤-2 012,即 2 ≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}. 15.D1,D5[2013·湖南卷] 对于 E={a1,a2,?,a100}的子集 X={ai1,ai2,?,aik}, 定义 X 的“特征数列”为 x1,x2,?,x100,其中 xi1=xi2=?=xik=1,其余项均为 0.例如: 子集{a2,a3}的“特征数列”为 0,1,1,0,0,?,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前 3 项和等于________; (2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1,p2,?,p100 满足 p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E 的子集 Q 的“特征数列”q1,q2,?,q100 满足 q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则 P∩Q 的元素个数为________. 15.2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知,子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为 1, 0,1,0,1,0?,0,故可知前三项和为 2. (2)根据“E 的子集 P 的“特征数列”p1, p2, ?, p100 满足 p1=1, pi+pi+1=1, 1≤i≤99” 可知子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,?,1,0.即奇数项为 1,偶数项为 0.根据“E 的 子集 Q 的“特征数列”q1,q2,?,q100 满足 q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98”可知子集 Q 的“特征数列为 1,0,0,1,0,0,?,0,1.即项数除以 3 后的余数为 1 的项为 1,其余项 为 0,则 P∩Q 的元素为项数除以 6 余数为 1 的项,可知有 a1,a7,a13,?,a97,共 17 项. 19.D5[2013·江苏卷] 设{an}是首项为 a,公差为 d 的等差数列(d≠0),Sn 是其前 n 项的 nSn * 和.记 bn= 2 ,n∈N ,其中 c 为实数. n +c (1)若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明:Snk=n Sk(k,n∈N ); (2)若{bn}是等差数列,证明:c=0. 19.解:由题设,Sn=na+ n(n-1) d. 2
2 * n

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Sn n-1 2 (1)由 c=0,得 bn= =a+ d.又因为 b1,b2,b4 成等比数列,所以 b2=b1b4, n 2 2 ? d? ? 3 ? 即?a+ ? =a?a+ d?, 2 ? ? ? 2 ? 化简得 d -2ad=0.因为 d≠0,所以 d=2a. * 2 因此,对于所有的 m∈N ,有 Sm=m a. * 2 2 2 2 从而对于所有的 k,n∈N ,有 Snk=(nk) a=n k a=n Sk. nSn * (2)设数列{bn}的公差是 d1,则 bn=b1+(n-1)d1,即 2 =b1+(n-1)d1,n∈N , n +c 代入 Sn 的表达式,整理得,对于所有的 n∈N ,有
* 2

?d1-1d?n3+?b1-d1-a+1d?n2+cd n=c(d -b ). ? ? ? ? 1 1 1 2 ? 2 ? ? ?
1 1 * 令 A=d1- d,B=b1-d1-a+ d,D=c(d1-b1),则对于所有的 n∈N ,有 2 2 An +Bn +cd1n=D(*). 在(*)式中分别取 n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1, 从而有 7A+3B+cd1=0,① ? ? ?19A+5B+cd1=0,② ? ?21A+5B+cd1=0,③ 由②,③得 A=0,cd1=-5B,代入方程①,得 B=0,从而 cd1=0. 1 1 即 d1- d=0,b1-d1-a+ d=0,cd1=0. 2 2 1 若 d1=0,则由 d1- d=0 得 d=0,与题设矛盾,所以 d1≠0. 2 又因为 cd1=0,所以 c=0. 3 * 19.D5[2013·天津卷] 已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),且-2S2, 2 S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 * (2)证明 Sn+ ≤ (n∈N ). Sn 6 19.解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,因为-2S2,S3,4S4 成等差数列,所以 S3+2S2 a4 1 3 =4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4,可得 2a4=-a3,于是 q= =- .又 a1= ,所以等比数列{an} a3 2 2 3 1n-1 3 n-1 的通项公式为 an= ×- =(-1) · n. 2 2 2
3 2

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1 2+ ,n为奇数, ? ? 2 ( 2 +1) 1 1 1 1 (2)证明:S =1-- ,S + =1-- + = 当n为 2 S 2 1 ? 1 1-- 2 ? ?2+2 (2 -1),n为偶数.
n n n n n n n n n n

1 1 1 13 奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn Sn S1 6 1 1 1 25 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn Sn S2 12 1 13 * 故对于 n∈N ,有 Sn+ ≤ . Sn 6 1 1.[2013·新乡期末] 数列{an}中,a1=1,an= +1,则 a4 等于( ) an-1 5 4 A. B. 3 3 2 C.1 D. 3 1 1 1.A [解析] 由 a1=1,an= +1 得,a2= +1=2, an-1 a1 1 1 3 1 2 5 a3= +1= +1= ,a4= +1= +1= ,选 A. a2 2 2 a3 3 3 2.[2013·合肥联考] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3+a8=13 且 S7=35,则 a7= ( ) A.11 B.10 C.9 D.8 7(a1+a7) 2.D [解析] 由已知及等差数列的性质 S7= =7a4=35,所以 a4=5,又 a4+ 2 a7=a3+a8=13,所以 a7=8,选 D. a5 3.[2013·天津新华中学月考] 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S5=3(a2+a8),则 的 a3 值为( ) 1 1 A. B. 6 3 3 5 C. D. 5 6 5(a1+a5) 3.D [解析] 由 S5=3(a2+a8)及等差数列的性质得 =3×2a5,即 5a3=6a5, 2 a5 5 所以 = ,选 D. a3 6 n * 4.[2013·岳阳模拟] 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 +a,n∈N ,则实数 a 的值 是( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1 n n-1 n-1 4.C [解析] 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3 -3 =2·3 ;当 n=1 时,a1=S1=3+a, 因为{an}是等比数列,所以有 3+a=2,解得 a=-1,选 C. 5. [2013·成都检测] 已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1, a+1, a+4, 则 an=( ) 3 n 3 n-1 A.4·( ) B.4·( ) 2 2
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2 n 2 n-1 C.4·( ) D.4·( ) 3 3 2 5.B [解析] 因为数列{an}为等比数列,所以(a+1) =(a-1)(a+4),解得 a=5,即数 n-1 3 ?3? n-1 列的前三项为 4,6,9,公比为 ,所以 an=a1q =4·? ? . 2 ?2? 6.[2013·昆明调研] 公比不为 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且-3a1,-a2,a3 成 等差数列,若 a1=1,则 S4=( ) A.-20 B.0 C.7 D.40 6.A [解析] 设数列的公比为 q(q≠1),因为-3a1,-a2,a3 成等差数列,所以-3a1+ 2 a3=-2a2,由于 a1=1,所以-3+q +2q=0,因为 q≠1,所以 q=-3.故 S4=1-3+9-27 =-20.

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