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高三数学总复习——第三章三角函数、解三角形


第三章 三角函数、解三角形

第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[知识能否忆起] 1.任意角 (1)角的分类: ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 终边与角 α 相同的角可写成 α+k· (k∈Z). 360° (3)弧度制: ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. l ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|= ,l 是 r 以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的 r 的大小无关,仅与角 r 的大小有关. ④弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° 弧度. =π 1 1 ⑤弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S 扇形= lr= |α|r2. 2 2 2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义: 设 α 是一个任意角,角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么角 α 的正弦、余弦、正切 y 分别是:sin α=y,cos α=x,tan α= ,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标 x 比值为函数值的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M.由三角函数的定义知, P 的坐标为(cos_α, 点 sin_α), P(cos_α, 即 sin_α),

其中 cos α=OM,sin α=MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的 终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α=AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦 线、正弦线、正切线.

三角函数线 有向线段 MP 为正弦 线 有向线段 OM 为余弦 线 有向线段 AT 为正切 线

[小题能否全取] 1.-870° 的终边在第几象限( A.一 C.三 ) B.二 D.四

解析:选 C 因-870° =-2×360° -150° .-150° 是第三象限角. 2.已知角 α 的终边经过点( 3,-1),则角 α 的最小正值是( 2π A. 3 5π C. 6 11π B. 6 3π D. 4 )

-1 1 解析:选 B ∵sin α= =- ,且 α 的终边在第四象限, 2 2 11 ∴α= π. 6 3.(教材习题改编)若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 )

解析: C 由 sin α<0, α 在第三、 选 知 第四象限或 α 终边在 y 轴的负半轴上, tan α>0, 由 知 α 在第一或第三象限,因此 α 在第三象限. 2π 4.若点 P 在 角的终边上,且 P 的坐标为(-1,y),则 y 等于________. 3 2π 解析:因 tan =- 3=-y,∴y= 3. 3 答案: 3 5.弧长为 3π,圆心角为 135° 的扇形半径为________,面积为________. 3 解析:弧长 l=3π,圆心角 α= π, 4

l 3π 1 由弧长公式 l=α· 得 r= = =4,面积 S= lr=6π. r α 3 2 π 4 答案:4 6π

1.对任意角的理解 (1)“小于 90° 的角”不等同于“锐角”“0° ~90° 的 角”不等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是{α|0° <α<90° },第一象限角的集合为{α|k· <α<k· +90° 360° 360° , k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同, 终边相同的角的同一三角函数值相等. 2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin y α=y,cos α=x,tan α= ,但若不是单位圆时,如圆的半径 x y x y 为 r,则 sin α= ,cos α= ,tan α= . r r x

角的集合表示及象限角的判定 典题导入 [例 1] 已知角 α=45° , (1)在-720° 范围内找出所有与角 α 终边相同的角 β; ~0°
? ? k (2)设集合 M=?x?x=2 ×180° +45° ,k∈Z?, ? ? ? ? ? k N=?x?x=4 ×180° +45° ,k∈Z?,判断两集合的关系. ? ? ?

[自主解答] (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为: β=45° +k×360° (k∈Z), 则令-720° ≤45° +k×360° , <0° 765 45 得-765° ≤k×360° <-45° ,解得- ≤k<- , 360 360 从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β=-675° β=-315° 或 . (2)因为 M={x|x=(2k+1)×45° ,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集

合; 而集合 N={x|x=(k+1)×45° ,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集 合,从而:M? N. 由题悟法 1. 利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角, 方法是先写出与这个角的终边相同 的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. 2.已知角 α 的终边位置,确定形如 kα,π±α 等形式的角终边的方法:先表示角 α 的范 围,再写出 kα、π±α 等形式的角范围,然后就 k 的可能取值讨论所求角的终边位置. 以题试法 1.(1)给出下列四个命题: ①- 3π 4π 是第二象限角;② 是第三象限角;③-400° 是第四角限角;④-315° 是第一象 4 3 ) B.2 个 D.4 个

限角.其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个

(2)如果角 α 是第二象限角,则 π-α 角的终边在第________象限. 解析:(1)- 3π 4π π 4π 是第三象限角,故①错误. =π+ ,从而 是第三象限角正确.-400° 4 3 3 3

=-360° -40° ,从而③正确.-315° =-360° +45° ,从而④正确. π (2)由已知 +2kπ<α<π+2kπ(k∈Z), 2 π 则-π-2kπ<-α<- -2kπ(k∈Z), 2 π 即-π+2kπ<-α<- +2kπ(k∈Z), 2 π 故 2kπ<π-α< +2kπ(k∈Z), 2 所以 π-α 是第一象限角. 答案:(1)C (2)一

三角函数的定义 典题导入 [例 2] A.1 1 C. 2 (1)已知角 α 的终边上有一点 P(t,t2+1)(t>0),则 tan α 的最小值为( B.2 D. 2 )

2π 2π (2)(2012· 大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为?sin 3 ,cos 3 ?,则角 α 的最小正 ? ? 值为( 5π A. 6 5π C. 3 ) 2π B. 3 11π D. 6

t2+1 1 [自主解答] (1)根据已知条件得 tan α= =t+ ≥2,当且仅当 t=1 时,tan α 取得最 t t 小值 2. (2)由题意知点 P 在第四象限,根据三角函数的定义得 cos α=sin 11π (k∈Z),所以 α 的最小正值为 . 6 [答案] (1)B (2)D 由题悟法 定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后利用三角函数 的定义求解. (2)已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的 距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出 角 α 的三角函数值. 以题试法 2.(1)(2012· 东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P?x, 2π 3 π = ,故 α=2kπ- 3 2 6

?

3? ,则 tan α=( 2?

)

A. 3 C. 3 3

B.± 3 D.± 3 3 )

4 (2)(2012· 潍坊质检)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cos α=- ,则 m 等于( 5 11 A.- 4 C.-4 11 B. 4 D.4

3 解析:(1)选 B 由|OP|2=x2+ =1, 4 1 得 x=± ,tan α=± 3. 2 (2)选 C 由题意可知,cos α= m 4 =- , 2 5 m +9

又 m<0,解得 m=-4.

扇形的弧长及面积公式

典题导入 [例 3] (1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角.

(2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? [自主解答] (1)设圆心角是 θ,半径是 r,

?2r+rθ=10 ?r=4, ?r=1, ? ? ? ? 则?1 2 ? (舍),? 1 ? ?θ=8 ?2θ· =4 ?θ=2, ? r ?
1 故扇形圆心角为 . 2 (2)设圆心角是 θ,半径是 r, 则 2r+rθ=40. 1 1 S= θ·2= r(40-2r)=r(20-r) r 2 2 =-(r-10)2+100 ≤100, 当且仅当 r=10 时,Smax=100. 所以当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大.

若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是 ________. 解析:设圆半径为 R,则圆内接正方形的对角线长为 2R, ∴正方形边长为 2R,∴圆心角的弧度数是 答案: 2 2R = 2. R

由题悟法 1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. 1 1 2. 记住下列公式: ①l=αR; ②S= lR; ③S= αR2.其中 R 是扇形的半径,是弧长, l α(0<α<2π) 2 2 为圆心角,S 是扇形面积. 以题试法

3.若扇形的面积为定值,当扇形的圆心角为多少弧度时,该扇形的周长取到最小值? 1 解:设扇形的圆心角为 α,半径为 R,弧长为 l,根据已知条件 lR=S 扇,则扇形的周长 2 2S扇 2S扇 为:l+2R= +2R≥4 S扇,当且仅当 =2R,即 R= S扇时等号成立,此时 l=2 S扇,α R R l = =2, R 因此当扇形的圆心角为 2 弧度时,扇形的周长取到最小值.

[典例] ?2011· 江西高考?已知角 θ 的顶点为坐 标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P?4,y?是角 θ 终 边上一点,且 sin θ= ?

2 5 ,则 y= 5

.

2 5 y y 2 5 [尝试解题] r= x2+y2= 16+y2,且 sin θ=- , 所以 sin θ= = 2=- 5 , 5 r 16+y 所以 θ 为第四象限角,解得 y=-8. [答案] -8 ——————[易错提醒]——————————————————————————— 1.误认为点 P 在单位圆上,而直接利用三角函数定义,从而得出错误结果. 2.利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要根据定义正确地求得 x,y,r 的值;然 后对于含参数问题要注意分类讨论. —————————————————————————————————————— ?针对训练 4 已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=- ,则 m 的值为( 5 1 A.- 2 1 C. 2 B.- D. 3 2 3 2 )

4 解析:选 C 由点 P(-8m,-6sin 30° )在角 α 的终边上且 cos α=- ,知角 α 的终边在 5 第三象限,则 m>0 ,又 cos α= 4 1 =- ,所以 m= . 5 2 ?-8m? +9
2

-8m

1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( π A. 3 π C.- 3 π B. 6 π D.- 6

)

解析:选 C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角. 1 故 A、B 不正确,又因为拨快 10 分钟,故应转过的角为圆周的 . 6 1 π 即为- ×2π=- . 6 3 2.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 或 4 C.4 B.1 D.8 )

?l+2r=6, ? 解析:选 A 设扇形的半径和弧长分别为 r,l,则易得?1 ?2lr=2, ?
? ? ?l=4 ?l=2, 解得? 或? 故扇形的圆心角的弧度数是 4 或 1. ?r=1 ?r=2. ? ?

π 3.已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α=( 3 A.- 3 2 B. 3 2

)

1 C.- 2

1 D. 2

π 解析:选 D 因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+ (k∈Z),又 2 π 5π 1 β=- ,所以 α=2kπ+ (k∈Z),即得 sin α= . 3 6 2 θ θ θ 4.设 θ 是第三象限角,且?cos2?=-cos ,则 是( ? ? 2 2 A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 )

θ θ θ θ 解析:选 B ∵θ 是第三象限角,∴ 为第二或第四象限角.又∵?cos2?=-cos ,∴cos ? ? 2 2 2 θ <0,知 为第二象限角. 2 5.(2012· 宜春模拟)给出下列各函数值:①sin(-1 000° );②cos(-2 200° );③tan(-10); 7π sin cos π 10 ④ ,其中符号为负的是( 17π tan 9 A.① C.③ 解析:选 C

)

B.② D.④ sin(-1 000° )=sin 80° >0;cos(-2 200° )

=cos(-40° )=cos 40° >0;tan(-10)=tan(3π-10)<0; sin 7π 7π cos π -sin 10 10 7π 17π = ,sin >0,tan <0,∴原式>0. 17π 17π 10 9 tan tan 9 9 )

6.已知 sin θ-cos θ>1,则角 θ 的终边在( A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

解析:选 B 由已知得(sin θ-cos θ)2>1,1-2sin θcos θ>1,sin θcos θ<0,且 sin θ>cos θ, 因此 sin θ>0>cos θ,所以角 θ 的终边在第二象限. 7.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90° B 点,则 B 到 点坐标为__________. 解析:依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30° ,∠BOx=120° , 设点 B 坐标为(x,y),所以 x=2cos 120° =-1,y=2sin 120° 3,即 B(-1, 3). = 答案:(-1, 3) 3π 3π 8.若 β 的终边所在直线经过点 P?cos 4 ,sin 4 ?,则 sin β=________,tan β=________. ? ? 3π 3π 解析: 因为 β 的终边所在直线经过点 P?cos 4 ,sin 4 ?, ? ? 所以 β 的终边所在直线为 y=-x, 则 β 在第二或第四象限. 所以 sin β= 答案: 2 2 或- ,tan β=-1. 2 2 -1

2 2 或- 2 2

9.如图,角 α 的终边与单位圆(圆心在原点,半径为 1)交于第二 3 象限的点 A?cos α,5?,则 cos α-sin α=________. ? ? 3 4 解析:由题图知 sin α= ,又点 A 在第二象限,故 cos α=- . 5 5 7 ∴cos α-sin α=- . 5 7 答案:- 5 10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解:设圆的半径为 r cm, 弧长为 l cm,

?1lr=1, ?r=1, ? ? 则?2 解得? ? ?l=2. ?l+2r=4, ?
l ∴圆心角 α= =2. r 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H.则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· 1=sin 1(cm), sin ∴AB=2sin 1(cm). 11.如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限,C 是 3 4 圆与 x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为?5,5?,△AOB 为正三角形. ? ? (1)求 sin∠COA; (2)求 cos∠COB. 4 解:(1)根据三角函数定义可知 sin∠COA= . 5 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° , 4 3 又 sin∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 ∴cos∠COB=cos(∠COA+60° ) =cos∠COAcos 60° -sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 = ·- · = . 52 5 2 10 12.(1)设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cos α= 的值; (2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ,cos θ. 2 x,求 sin α 与 tan α 4

解:(1)∵r= x2+5,∴cos α= 从而 2 x x= 2 , 4 x +5

x , x +5
2

解得 x=0 或 x=± 3. ∵90° <α<180° , ∴x<0,因此 x=- 3. 5 10 故 r=2 2,sin α= = , 4 2 2 5 15 tan α= =- . 3 - 3 (2)∵θ 的终边过点(x,-1), 1 ∴tan θ=- , x 又 tan θ=-x,∴x2=1,∴x=± 1. 当 x=1 时,sin θ=- 2 2 ,cos θ= ; 2 2 2 2 ,cos θ=- . 2 2

当 x=-1 时,sin θ=-

1. (2012· 聊城模拟)三角形 ABC 是锐角三角形, 若角 θ 终边上一点 P 的坐标为(sin A-cos sin θ cos θ tan θ B,cos A-sin C),则 + + 的值是( |sin θ| |cos θ| |tan θ| A.1 C.3 B.-1 D.4 )

解析: B 因为三角形 ABC 是锐角三角形, 选 所以 A+B>90° 即 A>90° , -B, sin A>sin 则 sin θ cos θ (90° -B)=cos B,sin A-cos B>0,同理 cos A-sin C<0,所以点 P 在第四象限, + |sin θ| |cos θ| + tan θ =-1+1-1=-1. |tan θ| 2.(2012· 山东高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆 的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP― →的坐标为 ________.

2 解析:设 A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧 ? 长为 2,∠ABP= = PA 1 2. π π 设 P(x, 则 x=2-1×cos?2-2?=2-sin 2, y), y=1+1×sin?2-2? ? ? ? ? =1-cos 2, ∴ OP 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 答案:(2-sin 2,1-cos 2) tan?-3? 3.(1)确定 的符号; cos 8· 5 tan (2)已知 α∈(0,π),且 sin α+cos α=m(0<m<1),试判断式子 sin α-cos α 的符号. 解:(1)∵-3,5,8 分别是第三、第四、第二象限角, ∴tan(-3)>0,tan 5<0,cos 8<0,∴原式大于 0. π (2)若 0<α< ,则如图所示,在单位圆中,OM=cos α,MP=sin α, 2 ∴sin α+cos α=MP+OM>OP=1. π 若 α= ,则 sin α+cos α=1. 2 π 由已知 0<m<1,故 α∈?2,π?. ? ? 于是有 sin α-cos α>0.

??? ?

1.已知点 P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,则在[0,2π]内,α 的取值范围是( π 3π 5π A.?2, 4 ?∪?π, 4 ? ? ? ? ? π 3π 5π 3π C.?2, 4 ?∪? 4 , 2 ? ? ? ? ? π π 5π B.?4,2?∪?π, 4 ? ? ? ? ? π π 3π D.?4,2?∪? 4 ,π? ? ? ? ?

)

π π 5π 解析:选 B 由已知 sin α-cos α>0,tan α>0 故?4,2?∪?π, 4 ?. ? ? ? ? 2.已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值. 解:∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, 当 t>0 时,r=5t, y -3t 3 sin α= = =- , r 5t 5

x 4t 4 cos α= = = , r 5t 5 y -3t 3 tan α= = =- ; x 4t 4 y -3t 3 当 t<0 时,t=-5t,sin α= = = , r -5t 5 x 4t 4 cos α= = =- , r -5t 5 y -3t 3 tan α= = =- . x 4t 4 3 4 3 综上可知,sin α=- ,cos α= ,tan α=- ; 5 5 4 3 4 3 或 sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 5 5 4 π 3.已知 0<α< ,求证: 2 (1)sin α+cos α>1; (2)sin α<α<tan α. 证明:如图,设 α 的终边与单位圆交于 P 点,作 PM⊥x 轴,垂足 为 M,过点 A(1,0)作 AT⊥x 轴,交 α 的终边于 T,则 sin α=MP,cos α =OM,tan α=AT. (1)在△OMP 中,∵OM+MP>OP, ∴cos α+sin α>1. (2)连接 PA,则 S△OPA<S 扇形 OPA<S△OTA, 1 1 1 即 OA· MP< OA· OA· α< AT, 2 2 2 即 sin α<α<tan α.

第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式

[知识能否忆起] 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). π sin α ? α≠kπ+ ,k∈Z?. (2)商数关系:tan α= 2 ? cos α? 2.六组诱导公式

角 函数 正弦 余弦 正切 2kπ+α(k∈Z)

π+α -sin_α -cos_α tan_α

-α -sin_α cos_α -tan_α

π-α

π -α 2 cos_α sin_α

π +α 2 cos_α -sin_α

sin_α cos_α tan_α

sin_α -cos_α -tan_α

kπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不 2 变”是指“当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变”.“符 号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”. [小题能否全取] 1.sin 585° 的值为( A.- C.- 2 2 3 2 ) B. D. sin 585° =sin(360° +225° ) 2 2 3 2

解析:选 A

=sin 225° =sin(180° +45° )=-sin 45° =- 2 . 2 )

π 2.(教材习题改编)已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|< ,则 θ 等于( 2 π A.- 6 π C. 6 π B.- 3 π D. 3

解析:选 D ∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), ∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3. π π ∵|θ|< ,∴θ= . 2 3 π sin?2+θ?-cos?π-θ? ? ? 3.已知 tan θ=2,则 =( π sin?2-θ?-sin?π-θ? ? ? A.2 C.0 B.-2 2 D. 3

)

cos θ+cos θ 2 2 解析:选 B 原式= = = =-2. cos θ-sin θ 1-tan θ 1-2

3π 1 4.(教材习题改编)如果 sin(π+A)= ,那么 cos? 2 -A?的值是________. ? ? 2 1 1 解析:∵sin(π+A)= ,∴-sin A= . 2 2 3 1 ∴cos?2π-A?=-sin A= . ? ? 2 1 答案: 2 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 解析:由题意知 cos α<0,又 sin2α+cos2α=1, sin α 1 2 5 tan α= =- .∴cos α=- . cos α 2 5 2 5 答案:- 5

应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意 角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负号—脱周期 —化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特 别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.

同角三角函数的基本关系式

典题导入 [例 1] 1 A. 5 1 C. 3 (1)(2012· 江西高考)若 tan θ+ 1 B. 4 1 D. 2 1 =4,则 sin 2θ=( tan θ )

3π sin α-4cos α (2)已知 sin(3π+α)=2sin? 2 +α?,则 =________. ? ? 5sin α+2cos α

1 [自主解答] (1)∵tan θ+ =4, tan θ ∴ ∴ sin θ cos θ + =4, cos θ sin θ sin2θ+cos2θ 2 =4,即 =4, cos θsin θ sin 2θ

1 ∴sin 2θ= . 2 3π (2)法一:由 sin(3π+α)=2sin? 2 +α?得 tan α=2. ? ? 原式= tan α-4 2-4 1 = =- . 6 5tan α+2 5×2+2

法二:由已知得 sin α=2cos α. 原式= 2cos α-4cos α 1 =- . 6 5×2cos α+2cos α

1 [答案] (1)D (2)- 6

在(2)的条件下,sin2α+sin 2α=________. sin2α+2sin αcos α tan2α+2tan α 8 解析:原式=sin α+2sin αcos α= = = . 5 sin2α+cos2α tan2α+1
2

8 答案: 5

由题悟法 sin α 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α 可以实现 cos α 角 α 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个 式子,利用(sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α,可以知一求二(参阅本节题型技法点拨). 3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 以题试法 1. (1)(2012· 长沙模拟)若角 α 的终边落在第三象限, 则 A.3 C.1 B.-3 D.-1 cos α 2sin α 的值为( 2 + 1-sin α 1-cos2α )

(2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,则 cos α=________. 解析:(1)由角 α 的终边落在第三象限得 sin α<0,cos α<0,

cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2=-3. |cos α| |sin α| -cos α -sin α (2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β, tan α=9tan β, 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β, ①+③得:sin2α+9cos2α=4, ∵cos2α+sin2α=1, 3 6 ∴cos2α= ,即 cos α=± . 8 4 答案:(1)B (2)± 6 4 三角函数的诱导公式
2 2

① ② ③

典题导入 3π tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (1) =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? )

[例 2]

sin?kπ+α? cos?kπ+α? (2)已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sin α cos α A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} [自主解答] (1)原式 π tan αcos αsin?-2π+?α+2?? ? ? ?? = cos?3π+α?[-sin?3π+α?] π tan αcos αsin?2+α? ? ? ?-cos α?sin α tan αcos αcos α = ?-cos α?sin α B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}



tan αcos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α sin α cos α (2)当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α -sin α cos α k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α [答案] (1)-1 (2)C 由题悟法 利用诱导公式化简求值时的原则 (1)“负化正”,运用-α 的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.

(2)“大化小”,利用 k· +α(k∈Z)的诱导公式将大于 360° 360° 的角的三角函数化为 0° 到 360° 的三角函数. (3)“小化锐”,将大于 90° 的角化为 0° 90° 到 的角的三角函数. (4)“锐求值”,得到 0° 90° 到 的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由 计算器求得. 以题试法 2.(1)(2012· 滨州模拟)sin 600° +tan 240° 的值等于( A.- 3 2 1 2 B. 3 2 1 2 )

C. 3-

D. 3+

(2)已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β),其中 α,β,a,b 均为非零实数,若 f(2 012)= -1,则 f(2 013)等于________. 解析:(1)sin 600° +tan 240° =sin(720° -120° )+tan(180° +60° )=-sin 120° +tan 60° =- 3 3 + 3= . 2 2 (2)由诱导公式知 f(2 012)=asin α+bcos β=-1, ∴f(2 013)=asin(π+α)+bcos(π-β)=-(asin α+bcos β)=1. 答案:(1)B (2)1

诱导公式在三角形中的应用

典题导入 [例 3] 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π-B),求△ ABC 的三个内角. [自主解答] 由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos2A=1, 即 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2 2 3 时,cos B= ,又角 A、B 是三角形的内角, 2 2

(1)当 cos A=

π π 7π ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= . 4 6 12 (2)当 cos A=- 2 3 时,cos B=- , 2 2

3π 5π 又角 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= ,不合题意. 4 6

π π 7π 综上知,A= ,B= ,C= . 4 6 12 由题悟法 1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C, A+B A B C π C + + = 等,于是可得 sin(A+B)=sin C,cos =sin 等; 2 2 2 2 2 2 2.求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小. 以题试法 3.在三角形 ABC 中, A+B C (1)求证:cos2 +cos2 =1; 2 2 π 3 (2)若 cos?2+A?sin?2π+B?tan (C-π)<0,求证:三角形 ABC 为钝角三角形. ? ? ? ? A+B π C 证明:(1)在△ABC 中,A+B=π-C,则 = - , 2 2 2 A+B π C C 所以 cos =cos?2- 2 ?=sin , ? ? 2 2 A+B C 故 cos2 +cos2 =1. 2 2 π 3 (2)若 cos?2+A?sin?2π+B?tan (C-π)<0, ? ? ? ? 则(-sin A)(-cos B)tan C<0, 即 sin Acos Btan C<0, ∵在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,0<C<π,
?tan C<0, ?cos B<0, ? ? ∴sin A>0,? 或? ? ? ?tan C>0 ?cos B>0,

∴B 为钝角或 C 为钝角,故△ABC 为钝角三角形.

π 1 [典例] 已知- <x<0,sin x+cos x= 2 5 则sin x-cos x= .

1 [常规解法] 由 sin x+cos x= ,与 sin2x+cos2x=1 5

?sin x+cos x=1, ?sin x=5, ? 5 联立方程组? 解得? 3 ?sin2x+cos2x=1, ? ?cos x=-5
4

?sin x=-5, 或? 4 ?cos x=5,
3

π ∵- <x<0, 2

?sin x=-5, ∴? 4 ?cos x=5,
3 7 [答案] - 5

7 ∴sin x-cos x=- . 5

——————[高手支招]—————————————————————————— 1.上述解法易理解掌握,但计算量较大,很容易出错.若利用 sin α+cos α,sin α· α, cos sin α-cos α 三者之间的关系,即(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,问题迎刃而解. 2.对所求式子进行恒等变形时,注意式子正、负号的讨论与确定. —————————————————————————————————————— 1 [巧思妙解] sin x+cos x= ,两边平方得, 5 1 24 1+sin 2x= ,∴sin 2x=- . 25 25 49 ∴(sin x-cos x)2=1-sin 2x= , 25 π 又∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2 7 ∴sin x-cos x=- . 5 ?针对训练 已知 sin θ、cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0 的两根,则 a=________. 解析:由题意知,原方程判别式 Δ≥0, 即(-a)2-4a≥0,∴a≥4 或 a≤0.
?sin θ+cos θ=a, ? ∵? ? ?sin θcos θ=a,

又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, ∴a2-2a-1=0, ∴a=1- 2或 a=1+ 2(舍去). 答案:1- 2

1.已知 sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( A.sin θ<0,cos θ>0 C.sin θ>0,cos θ>0 解析:选 B B.sin θ>0,cos θ<0 D.sin θ<0,cos θ<0

)

sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,sin θ>0.

∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0.∴cos θ<0. 2.(2012· 安徽名校模拟)已知 tan x=2,则 sin2x+1=( A.0 4 C. 3 解析:选 B 9 B. 5 5 D. 3 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 sin2x+1= 2 = = . sin x+cos2x tan2x+1 5 ) )

sin α+cos α 1 3.(2012· 江西高考)若 = ,则 tan 2α=( sin α-cos α 2 3 A.- 4 4 C.- 3 3 B. 4 4 D. 3

sin α+cos α tan α+1 1 解析:选 B ∵ = = ,∴tan α=-3. sin α-cos α tan α-1 2 2tan α 3 ∴tan 2α= = . 1-tan2α 4 π 24 4.(2012· 淄博模拟)已知 sin 2α=- ,α∈?-4,0?,则 sin α+cos α=( ? ? 25 1 A.- 5 7 C.- 5 解析:选 B 1 B. 5 7 D. 5 1 (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α= , 25 )

π 又 α∈?-4,0?,sin α+cos α>0, ? ?

1 所以 sin α+cos α= . 5 π 3 π 5.已知 cos?2-φ?= ,且|φ|< ,则 tan φ=( ? ? 2 2 A.- 3 3 B. 3 3 )

C.- 3

D. 3

π 3 解析:选 D cos?2-φ?=sin φ= , ? ? 2 π 1 又|φ|< ,则 cos φ= ,所以 tan φ= 3. 2 2 π 6.已知 2tan α· α=3,- <α<0,则 sin α=( sin 2 A. 3 2 B.- 3 2 )

1 C. 2

1 D.- 2

2sin2α 解析:选 B 由 2tan α· α=3 得, sin =3, cos α π 即 2cos2α+3cos α-2=0,又- <α<0, 2 1 解得 cos α= (cos α=-2 舍去), 2 故 sin α=- 3 . 2

17π 17π 7.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是________. ? ? ? ? 17π 17π π π 解析:原式=cos +sin =cos +sin = 2. 4 4 4 4 答案: 2

sin θ+cos θ 3π 8.若 =2,则 sin(θ-5π)sin? 2 -θ?=________. ? ? sin θ-cos θ sin θ+cos θ 解析:由 =2,得 sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),两边平方得:1+2sin θcos θ sin θ-cos θ =4(1-2sin θcos θ), 3 故 sin θcos θ= , 10 3π 3 ∴sin(θ-5π)sin? 2 -θ?=sin θcos θ= . ? ? 10 答案: 3 10

π 2π 2 9.(2012· 中山模拟)已知 cos?6-α?= ,则 sin?α- 3 ?=________. ? ? 3 ? ? 2π π π 解析:sin?α- 3 ?=sin?-2-?6-α?? ? ? ? ?

?

?

π π π 2 =-sin?2+?6-α??=-cos?6-α?=- . ?? ? ? ? ? 3 2 答案:- 3 10.求值:sin(-1 200° cos 1 290° )· +cos(-1 020° sin(-1 050° )· )+tan 945° . 解:原式=-sin 1 200°cos 1 290° · +cos 1 020°(-sin 1 050° · )+tan 945° =-sin 120°cos 210° · +cos 300°(-sin 330° · )+tan 225° =(-sin 60° (-cos 30° )· )+cos 60°sin 30° · +tan 45° = 3 3 1 1 × + × +1=2. 2 2 2 2

1 11.已知 cos(π+α)=- ,且 α 是第四象限角,计算: 2 (1)sin(2π-α); sin [α+?2n+1?π]+sin [α-?2n+1?π] (2) (n∈Z). sin?α+2nπ?cos?α-2nπ? 1 1 1 解:∵cos(π+α)=- ,∴-cos α=- ,cos α= . 2 2 2 又∵α 是第四象限角, ∴sin α=- 1-cos2α=- 3 . 2

(1)sin(2π-α)=sin [2π+(-α)]=sin(-α) =-sin α= 3 ; 2

sin [α+?2n+1?π]+sin [α-?2n+1?π] (2) sin?α+2nπ?· cos?α-2nπ? = = = = sin?2nπ+π+α?+sin?-2nπ-π+α? sin?2nπ+α?· cos?-2nπ+α? sin?π+α?+sin?-π+α? sin α· α cos -sin α-sin?π-α? sin α· α cos -2sin α sin αcos α

2 =- =-4. cos α

4 3 12.(2012· 信阳模拟)已知角 α 的终边经过点 P?5,-5?. ? ? (1)求 sin α 的值; π sin?2-α? tan?α-π? ? ? (2)求 · 的值. sin?α+π? cos?3π-α? 解:(1)∵|OP|=1, ∴点 P 在单位圆上. 3 由正弦函数的定义得 sin α=- . 5 cos α tan α (2)原式= · -sin α -cos α = sin α 1 = , sin α· α cos α cos

4 5 由余弦函数的定义得 cos α= .故所求式子的值为 . 5 4

1+sin x 1 cos x 1.已知 =- ,那么 的值是( cos x 2 sin x-1 1 A. 2 C.2 1 B.- 2 D.-2

)

1+sin x sin x-1 sin2x-1 cos x 1 解析:选 A 由于 · = =-1,故 = . cos x cos x cos2x sin x-1 2 2.若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sin α· α= cos A.4 3 4 3 C.-4 3或- 3 B.± 3 4 D. 3 3 ,则 a 的值为( 4 )

解析:选 C 依题意可知角 α 的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边上且 sin α· α cos = 3 3 4 3 易得 tan α= 3或 ,则 a=-4 3或- . 4 3 3 3.已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sin A,-cos A 是方程 x2-x+2a=0 的两根. (1)求角 A; (2)若 1+2sin Bcos B =-3,求 tan B. cos2B-sin2B

解:(1)由已知可得, 3sin A-cos A=1.① 又 sin2A+cos2A=1, 所以 sin2A+( 3sin A-1)2=1,

即 4sin2A-2 3sin A=0, 得 sin A=0(舍去)或 sin A= π 2π 则 A= 或 , 3 3 π 2π 2π 将 A= 或 代入①知 A= 时不成立, 3 3 3 π 故 A= . 3 (2)由 1+2sin Bcos B =-3, cos2B-sin2B 3 , 2

得 sin2B-sin Bcos B-2cos2B=0, ∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0, ∴tan B=2 或 tan B=-1. ∵tan B=-1 使 cos2B-sin2B=0,舍去, 故 tan B=2.

π π 1.已知 sin?4-α?=m,则 cos?4+α?等于( ? ? ? ? A.m C. 1-m2 π 解析:选 A ∵sin?4-α?=m, ? ? π π ∴cos?4+α?=sin?4-α?=m. ? ? ? ? B.-m

)

D.- 1-m2

1 1 1 2.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ?1+tan θ?= ? ? sin θ+cos θ. sin θ cos θ 证明:左边=sin θ?1+cos θ?+cos θ?1+ sin θ ? ? ? ? ? sin2θ cos2θ =sin θ+ +cos θ+ cos θ sin θ cos2θ sin2θ =?sin θ+ sin θ ?+?cos θ+cos θ? ? ? ? ? = = sin2θ+cos2θ cos2θ+sin2θ + sin θ cos θ 1 1 + =右边. sin θ cos θ 2?π <α<π?.求下列各式的值: ? 3 ?2

3.已知 sin(π-α)-cos(π+α)=

(1)sin α-cos α; π π (2)sin3?2-α?+cos3?2+α?. ? ? ? ? 解:由 sin(π-α)-cos(π+α)= 得 sin α+cos α= 2 ,① 3 2 , 3

2 7 将①两边平方,得 1+2sin α· α= ,故 2sin α· α=- . cos cos 9 9 π 又 <α<π,∴sin α>0,cos α<0. 2 7 16 4 (1)(sin α-cos α)2=1-2sin α· α=1-?-9?= ,∴sin α-cos α= . cos ? ? 9 3 π π 4 (2)sin3?2-α?+cos3?2+α?=cos3α-sin3α=(cos α-sin α)(cos2α+cos α· α+sin2α)=- sin ? ? ? ? 3 7 22 ×?1-18?=- . ? ? 27

第三节

三角函数图象与性质

[知识能否忆起] 1.周期函数 (1)周期函数的定义: 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x +T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数.T 叫做这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

定义域

R [-1,1]

R [-1,1]

{xx∈R且x≠ 2+kπ,k
∈Z R

π

值域

?2kπ-π,π+ 2 2 ?
单调性 2kπ(k∈Z)上递增;

[2kπ-π,2kπ](k∈Z) 上递增;[2kπ,2kπ+ π](k∈Z)上递减

?kπ-π,π+ 2 2 ?
kπ(k∈Z)上递增

?2kπ+π,3π+ 2 2 ?
2kπ(k∈Z)上递减 π x= +2kπ(k∈Z)时, 2

x=2kπ(k∈Z)时,ymax =1;x=π+2kπ(k∈Z) 时,ymin=-1 偶函数 奇函数

最值

π ymax=1; x=- +2kπ(k 2 ∈Z)时,ymin=-1

奇偶性 对称 中心 对称轴 方程 周期

奇函数

(kπ,0)(k∈Z)

?π+kπ,0? ?2 ?
(k∈Z)

?kπ,0?(k∈Z) ?2 ?

π x= +kπ(k∈Z) 2 2π

x=kπ(k∈Z) 2π [小题能否全取] π

π 1.函数 y=tan?4-x?的定义域是( ? ?
? ? π A.?x?x≠4 ,x∈R? ? ? ? ? ? π B.?x?x≠-4 ,x∈R? ? ? ? ? ? 3π C.?x?x≠kπ- 4 ,k∈Z,x∈R? ? ? ? ? ? 3π D.?x?x≠kπ+ 4 ,k∈Z,x∈R? ? ? ?

)

π π 3π 解析:选 D ∵x- ≠kπ+ ,∴x≠kπ+ ,k∈Z. 4 2 4 2.(教材习题改编)下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是( A.y=cos 2x B.y=sin 2x )

C.y=tan 2x

π D.y=sin?2x-2? ? ?

π 解析:选 B 选项 A、D 中的函数均为偶函数,C 中函数的最小正周期为 ,故选 B. 2 3.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是( π π A.?-4,4? ? ? 3π C.?π, 2 ? ? ? )

π 3π B.?4, 4 ? ? ? 3π D.? 2 ,2π? ? ?

3π 解析:选 C 作出函数 y=|sin x|的图象观察可知,函数 y=|sin x|在?π, 2 ?上递增. ? ? π π 4.比较大小,sin?-18?________sin?-10?. ? ? ? ? π π π π π 解析:因为 y=sin x 在?-2,0?上为增函数且- >- ,故 sin?-18?>sin?-10?. ? ? ? ? ? ? 18 10 答案:> π 5.(教材习题改编)y=2-3cos?x+4?的最大值为________.此时 x=________. ? ? π π π 解析:当 cos?x+4?=-1 时,函数 y=2-3cos?x+4?取得最大值 5,此时 x+ =π+2kπ, ? ? ? ? 4 3 从而 x= π+2kπ,k∈Z. 4 答案:5 3 π+2kπ,k∈Z 4

1.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成 y=A sin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据三角函数的单调区间,求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内. 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同: π π (1)y=sin?ωx-4?;(2)y=sin?4-ωx?. ? ? ? ? 2.周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义 域内的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的 常数.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x),或找到哪怕 只有一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x),都不能说 T 是函数 f(x) 的周期.

三角函数的定义域与值域

典题导入 [例 1] (1)(2012· 湛江调研)函数 y=lg(sin x)+ ) 5 B.?-4,-1? ? ? 5 D.?-1,4? ? ? 1 cos x- 的定义域为________. 2

(2)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1] 5 C.?-4,1? ? ?

?sin x>0, ? [自主解答] (1)要使函数有意义必须有? 1 ? ?cos x-2≥0, ?sin x>0, ? 即? 1 ?cos x≥2, ? ?2kπ<x<π+2kπ, ? 解得? π (k∈Z), π ?-3+2kπ≤x≤3+2kπ ?
π ∴2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z, 3 ∴函数的定义域为
? ? ? π ?x 2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z?. 3 ? ? ?

(2)y=sin2x+sin x-1,令 sin x=t,则有 y=t2+t-1,t∈[-1,1],画出函数图象如图所 5 1 示,从图象可以看出,当 t=- 及 t=1 时,函数取最值,代入 y=t2+t-1 可得 y∈?-4,1?. ? ? 2
? ? π [答案] (1)?x?2kπ<x≤3 +2kπ,k∈Z? (2)C ? ? ?

π 若本例(2)中 x∈?0,2?,试求其值域. ? ? 解:令 t=sin x,则 t∈[0,1]. 1 5 ∴y=t2+t-1=?t+2?2- . ? ? 4 ∴y∈[-1,1]. ∴函数的值域为[-1,1].

由题悟法 1. 求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式, 常借助三角函数线或三角函数图象 来求解. 2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用 sin x、cos x 的值域; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围,根据正弦 函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2)); (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问 题(如例 1(2)). 以题试法 1.(1)函数 y= 1 2+log x+ tan x的定义域为________. 2 )

π π (2)(2012· 山西考前适应性训练)函数 f(x)=3sin?2x-6?在区间?0,2?上的值域为( ? ? ? ? 3 3 A.?-2,2? ? ? 3 3 3 3? C.?- ? 2 , 2 ? 解析:(1)要使函数有意义 3 B.?-2,3? ? ? 3 3 ? D.?- ? 2 ,3?

? ?x>0, 则? tan x≥0, ?x≠kπ+2,k∈Z ? π
1 2+log x≥0, 2
? ? ? π ?x 0<x< ,或π≤x≤4?. 2 ? ? ?

?0<x≤4, ? ?? π ?kπ≤x<kπ+2?k∈Z?. ?

利用数轴可得函数的定义域是

π π 5π π 1 π (2)当 x∈?0,2?时,2x- ∈?-6, 6 ?,sin?2x-6?∈?-2,1?, ? ? ? ? ? ? ? ? 6 π 3 3 故 3sin?2x-6?∈?-2,3?即此时函数 f(x)的值域是?-2,3?. ? ? ? ? ? ?
? ? π 答案:(1)?x?0<x<2 ,或π≤x≤4? ? ? ?

(2)B

三角函数的单调性

典题导入

[例 2]

π (2012· 华南师大附中模拟)已知函数 y=sin?3-2x?,求: ? ?

(1)函数的周期; (2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间. π π [自主解答] 由 y=sin?3-2x?可化为 y=-sin?2x-3?. ? ? ? ? 2π 2π (1)周期 T= = =π. ω 2 π π π (2)令 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 所以 x∈R 时,y=sin?3-2x?的减区间为 ? ?

?kπ- π ,kπ+5π?,k∈Z. 12 12? ?
π 从而 x∈[-π,0]时,y=sin?3-2x?的减区间为 ? ?

?-π,-7π?,?- π ,0?. 12? ? 12 ? ?
由题悟法 求三角函数的单调区间时应注意以下几点: (1)形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间,基本思路是把 ωx+φ 看作是一个 π π π 3π 整体,由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)求得函数的增区间,由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k 2 2 2 2 ∈Z)求得函数的减区间. (2)形如 y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,可先利用诱导公式把 x 的系数变为正数, π π π 得到 y=-Asin(ωx-φ),由- +2kπ≤ωx-φ≤ +2kπ(k∈Z)得到函数的减区间,由 + 2 2 2 3π 2kπ≤ωx-φ≤ +2kπ(k∈Z)得到函数的增区间. 2 (3)对于 y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等,函数的单调区间求法与 y=Asin(ωx+φ)类 似. 以题试法 2.(1)函数 y=|tan x|的增区间为________. π π π (2)已知函数 f(x)=sin x+ 3cos x,设 a=f?7?,b=f?6?,c=f?3?,则 a,b,c 的大小关 ? ? ? ? ? ? 系是( )

A.a<b<c C.b<a<c

B.c<a<b D.b<c<a

π 解析:(1)作出 y=|tan x|的图象,观察图象可知,y=|tan x|的增区间是?kπ,kπ+2?,k∈ ? ? Z. π π π π (2)f(x)=sin x+ 3cos x=2sin?x+3?,因为函数 f(x)在?0,6?上单调递增,所以 f?7?<f?6?, ? ? ? ? ? ? ? ? π π 2π π 而 c=f?3?=2sin =2sin =f(0)<f?7?, ? ? ? ? 3 3 所以 c<a<b. π 答案:(1)?kπ,kπ+2?,k∈Z (2)B ? ?

三角函数的周期性与奇偶性

典题导入 [例 3] 3π (2012· 广州调研)已知函数 f(x)=sin?2x+ 2 ?(x∈R),给出下面四个命题: ? ?

①函数 f(x)的最小正周期为 π;②函数 f(x)是偶函数; π π ③函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称;④函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数.其中正确命 ? ? 4 题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

3π [自主解答] 函数 f(x)=sin?2x+ 2 ?=-cos 2x,则其最小正周期为 π,故①正确;易知 ? ? π 函数 f(x)是偶函数, ②正确; f(x)=-cos 2x 的图象可知, 由 函数 f(x)的图象不关于直线 x= 对 4 π 称,③错误;由 f(x)的图象易知函数 f(x)在?0,2?上是增函数,故④正确.综上可知,选 C. ? ? [答案] C 由题悟法 1.三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要对函数的解析式进行恒等变换,再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇 偶性;也可以根据图象做判断. 2.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义.

2π (2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最 |ω| π 小正周期为 . |ω| (3)利用图象. 3.三角函数的对称性 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对 称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 以题试法 π π 3.(1)(2012· 青岛模拟)下列函数中,周期为 π,且在?4,2?上为减函数的是( ? ? π A.y=sin?2x+2? ? ? π C.y=sin?x+2? ? ? π B.y=cos?2x+2? ? ? π D.y=cos?x+2? ? ? )

(2)(2012· 遵义模拟)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图象的一 个对称中心为( π A.?-8,0? ? ? 1 C.?-8,0? ? ? ) B.(0,0) 1 D.?8,0? ? ?

π π π 解析:(1)选 A 对于选项 A,注意到 y=sin?2x+2?=cos 2x 的周期为 π,且在?4,2?上 ? ? ? ? 是减函数. π 2π (2)选 C 由条件得 f(x)= 2sin?ax+4?,又函数的最小正周期为 1,故 =1,∴a=2π, ? ? a π 1 故 f(x)= 2sin?2πx+4?.将 x=- 代入得函数值为 0. ? ? 8

含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思 维问题,难度相对较大一些.正确利用三角函数的 性质求解此类问题,是以熟练掌握三角函数的各 条性质为前提的,解答时通常将方程的思想与待

定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参 数问题进行策略性的分类解析. 1.根据三角函数的单调性求解参数 π 5π π [典例 1] 已知函数 f(x)=sin?ωx+3?(ω>0)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z), ? ? ? ? π 7π 单调递减区间为?kπ+12,kπ+12?(k∈Z),则 ω 的值为________. ? ? 7π 5π [解析] 由题意,得?kπ+12?-?kπ-12?=π,即函数 f(x)的周期为 π,则 ω=2. ? ? ? ? [答案] 2 [题后悟道] 解 答 此 类 问 题 时 要 注 意 单 调 区 间 的 给 出 方 式 , 如 “ 函 数 f(x) 在

?kπ-5π,kπ+ π ?(k∈Z)上单调递增”与“函数 f(x)的单调递增区间为?kπ-5π,kπ+ π ?(k∈ 12 12? 12 12? ? ?
Z)”,二者是不相同的. ?针对训练 2π 1.(2012· 荆州模拟)若函数 y=2cos ωx 在区间?0, 3 ?上递减,且有最小值 1,则 ω 的值 ? ? 可以是( A.2 C.3 ) 1 B. 2 1 D. 3

2π 2π 解析:选 B 由 y=2cos ωx 在?0, 3 ?上是递减的,且有最小值为 1,则有 f? 3 ?=1,即 ? ? ? ? 2π 2×cos?ω× 3 ?=1, ? ? 2π 1 即 cos? 3 ω?= ,检验各选项,得出 B 项符合. ? ? 2 2.根据三角函数的奇偶性求解参数 [典例 2] ( ) π A. 6 π C.- 6 [ 解 析 ] π B. 3 π D.- 3 π 1 3 f(x) = 2 ? cos? 3x+φ?- sin? 3x+φ?? = 2cos ?? 3x+φ?+3? = ? ? 2 ?2 ? 已知 f(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ)为偶函数,则 φ 可以取的一个值为

π π π 2cos? 3x+?φ+3??,由 f(x)为偶函数,知 φ+ =kπ(k∈Z),即 φ=kπ- (k∈Z),由所给选项 ? ? ?? 3 3

知只有 D 适合. [答案] D [题后悟道] 注意根据三角函数的奇偶性求解参数:函数 y=Acos(ωx+φ)+B(A≠0)为奇 π 函数?φ=kπ+ (k∈Z)且 B=0,若其为偶函数?φ=kπ(k∈Z). 2 ?针对训练 π 2.使 f(x)=sin(2x+y)+ 3cos(2x+y)为奇函数,且在?0,4?上是减函数的 y 的一个值是 ? ? ( ) π A. 3 4π C. 3 5π B. 3 2π D. 3

π 解析:选 D ∵f(x)=sin(2x+y)+ 3cos(2x+y)=2sin?2x+y+3?为奇函数, ? ? π ∴f(0)=0,即 sin y+ 3cos y=0,∴tan y=- 3,故排除 A、C;又函数 f(x)在?0,4?上 ? ? 是减函数,只有 D 选项满足. 3.根据三角函数的周期性求解参数 三角函数的参数问题,还可利用三角函数的周期,最值求解如本节以题试法 3(2).就是 利用周期求参数 a,解题时要注意 x 的系数 ω 是否规定了符号,若无符号规定,利用周期公 式时需加绝对值.

1.函数 y= π π A.?-3,3? ? ?

1 cos x- 的定义域为( 2

)

π π B.?kπ-3,kπ+3?,k∈Z ? ? π π C.?2kπ-3,2kπ+3?,k∈Z ? ? D.R 1 1 π π 解析:选 C ∵cosx- ≥0,得 cos x≥ ,∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 3 3 π 2.已知函数 f(x)=sin?x-2?(x∈R),下面结论错误的是( ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π )

π B.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ? C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π π 解析:选 D ∵y=sin?x-2?=-cos x,∴T=2π,在?0,2?上是增函数,图象关于 y 轴 ? ? ? ? 对称,为偶函数. π 3.已知函数 f(x)=sin?2ωx-3?(ω>0)的最小正周期为 π,则函数 f(x)的图象的一条对称 ? ? 轴方程是( π A.x= 12 5π C.x= 12 ) π B.x= 6 π D.x= 3

π 2π π π 解析: C 由 T=π= 得 ω=1, 选 所以 f(x)=sin?2x-3?, f(x)的对称轴为 2x- = + ? ? 则 2ω 3 2 5π kπ 5π kπ(k∈Z),解得 x= + (k∈Z),所以 x= 为 f(x)的一条对称轴. 12 2 12 πx π 4.(2012· 山东高考)函数 y=2sin? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ? ? A.2- 3 C.-1 B.0 D.-1- 3 )

πx π π πx π 7π 3 解析:选 A 当 0≤x≤9 时,- ≤ - ≤ ,- ≤sin ? 6 -3?≤1,所以函数的最 ? ? 3 6 3 6 2 大值为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3. π 5. 已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π), f?8?=-2, f(x)的一个单调递减区间是( 若 ? ? 则 π 3π A.?-8, 8 ? ? ? 3π π C.?- 8 ,8? ? ? 解析: C 选 π 9π B.?8, 8 ? ? ? π 5π D.?8, 8 ? ? ? π π π π π 由 f?8?=-2, f?8?=-2sin?2×8+φ?=-2sin?4+φ?=-2, 得 ? ? 所以 sin?4+φ? ? ? ? ? ? ? ? ? )

π π π π 3π π =1.因为|φ|<π,所以 φ= .由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈ 4 2 4 2 8 8 Z. π π 6.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ? ? ( ) 2 A. 3 3 B. 2

C.2

D.3

π π π π π π 解析:选 B ∵x∈?-3,4?,则 ωx∈?-3ω,4ω?,要使函数 f(x)在?-3,4?上取得最小 ? ? ? ? ? ? π π π 3π 3 3 值-2,则- ω≤- 或 ω≥ ,得 ω≥ ,故 ω 的最小值为 . 3 2 4 2 2 2 π 7.函数 y=cos?4-2x?的单调减区间为________. ? ? π π 解析:由 y=cos?4-2x?=cos?2x-4?得 ? ? ? ? π 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), 4 π 5π 故 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 π 5π 所以函数的单调减区间为?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) ? ? π 5π 答案:?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) ? ? 8.已知函数 f(x)=5sin (ωx+2)满足条件 f(x+3)+f(x)=0,则正数 ω=________. 2π 解析:f(x+3)+f(x)=0?f(x+6)=f(x),故 f(x)以 6 为最小正周期,故 =6.又 ω>0,∴ω |ω| π = . 3 π 答案: 3 4π 9. 如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称, 那么|φ|的最小值为________. ? ? π 解析:∵y=cos x 的对称中心为?kπ+2,0?(k∈Z), ? ? 4π π 13π ∴由 2× +φ=kπ+ (k∈Z),得 φ=kπ- (k∈Z). 3 2 6 π ∴当 k=2 时,|φ|min= . 6 π 答案: 6 10.设 f(x)= 1-2sin x. (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值. 解:(1)由 1-2sin x≥0,根据正弦函数图象知:定义域为
? ? ? 5 13π ?x 2kπ+ π≤x≤2kπ+ ,k∈Z?. 6 ? 6 ? ?

(2)∵-1≤sin x≤1,∴-1≤1-2sin x≤3,

∵1-2sin x≥0,∴0≤1-2sin x≤3, 3π ∴f(x)的值域为[0, 3],当 x=2kπ+ ,k∈Z 时,f(x)取得最大值. 2 11.已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ? 解:(1)∵f(x)=2sin(π-x)cos x=2sin xcos x=sin 2x, ∴函数 f(x)的最小正周期为 π. π π (2)∵- ≤x≤ , 6 2 π 3 ∴- ≤2x≤π,则- ≤sin 2x≤1. 3 2 π π 3 所以 f(x)在区间?-6,2?上的最大值为 1,最小值为- . ? ? 2 ?sin x-cos x?sin 2x 12.(2012· 北京高考)已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解:(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π = 2sin?2x-4?-1, ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z). ? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 π 3π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ? ? ?

π 5π 1.(文)(2012· 新课标全国卷)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ) 4 4 图象的两条相邻的对称轴,则 φ=( π A. 4 π C. 2 π B. 3 3π D. 4 )

π 5π 解析:选 A 由于直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴, 4 4 π π 所以函数 f(x)的最小正周期 T=2π,所以 ω=1,所以 +φ=kπ+ (k∈Z), 4 2 π 又 0<φ<π,所以 φ= . 4 π π 1.(理)(2012· 新课标全国卷)已知 ω>0,函数 f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?单调递减,则 ω ? ? ? ? 的取值范围是( 1 5 A.?2,4? ? ? 1 C.?0,2? ? ? ) 1 3 B.?2,4? ? ? D.(0,2]

π 解析:选 A 函数 f(x)=sin?ωx+4?的图象可看作是由函数 f(x)=sin x 的图象先向左平移 ? ? π π 1 个单位得 f(x)=sin?x+4?的图象,再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标不 ? ? 4 ω π π 5π π? ?π ? ? 变得到的, 而函数 f(x)=sin?x+4?的减区间是?4, 4 ?, ? ? ? ? 所以要使函数 f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?

?4×ω≤2, 上是减函数,需满足? 5π 1 ? 4 ×ω≥π,
1

π

π

1 5 解得 ≤ω≤ . 2 4

π 2π 2.函数 y=f(cos x)的定义域为?2kπ-6,2kπ+ 3 ? (k∈Z),则函数 y=f(x)的定义域为 ? ? ________. π 2π 解析:由 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 6 3 1 得- ≤cos x≤1. 2 1 故所求函数的定义域为?-2,1?. ? ? 1 答案:?-2,1? ? ? π π 3.(文)(2012· 汕头模拟)已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时, ? ? ? ?

-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间. π π π 7 解:(1)∵x∈?0,2?,∴ ≤2x+ ≤ π, ? ? 6 6 6 π 1 ∴- ≤sin?2x+6?≤1, ? ? 2 又∵a>0,-5≤f(x)≤1,
?-2a+2a+b=-5, ?a=2, ? ? ∴? 即? ? ? ?a+2a+b=1, ?b=-5.

π (2)f(x)=-4sin?2x+6?-1, ? ? π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 得 2 6 2 π π - +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 3 6 π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 得 2 6 2 π 2 +kπ≤x≤ π+kπ,k∈Z, 6 3 π 2π ∴f(x)的单调递增区间为?6+kπ, 3 +kπ?(k∈Z), ? ? π π 单调递减区间为?-3+kπ,6+kπ?(k∈Z). ? ? π π 3.(理)已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. ? ? ? ? (1)求常数 a,b 的值; π (2)设 g(x)=f?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ? π π π 7π 解:(1)∵x∈?0,2?,∴2x+ ∈?6, 6 ?. ? ? ? 6 ? π 1 ∴sin?2x+6?∈?-2,1?, ? ? ? ? π ∴-2asin?2x+6?∈[-2a,a]. ? ? ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. (2)由(1)得 a=2,b=-5, π ∴f(x)=-4sin?2x+6?-1, ? ?

π 7π g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 ? ? ? ? π =4sin?2x+6?-1, ? ? 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1, π π 1 ∴4sin?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?> , ? ? ? ? 2 π π 5π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时, 6 6 2 π g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 π ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z ? ? π π 5π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时, 2 6 6 π π g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3 π π ∴g(x)的单调减区间为?kπ+6,kπ+3?,k∈Z. ? ?

π 1.(2012· 湖南高考)函数 f(x)=sin x-cos?x+6?的值域为( ? ? A.[-2,2] C.[-1,1] 解析: B 因为 f(x)=sin x- 选 以函数 f(x)的值域为[- 3, 3 ]. B.[- 3, 3 ] D.?-

)

?

3 3? , 2 2?

π 3 1 3 1 ? cos x+ sin x= 3? sin x- cos x = 3sin?x-6?, ? ? 所 2 2 2 ? 2 ?

2.(2012· 温州模拟)已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π),其图象与直线 y=2 某两个交点的横坐标分别为 x1,x2,若|x2-x1|的最小值为 π,则该函数的一个递增区间可以 是( ) π π A.?-2,-4? ? ? π C.?0,2? ? ? π π B.?-4,4? ? ? π 3π D.?4, 4 ? ? ?

π π 解析: A 由函数为偶函数知 φ= +kπ(k∈Z), 选 又因为 0<φ<π 所以 φ= , 从而 y=2cos 2 2 ωx.又由条件知函数的最小正周期为 π,故 ω=2,因此 y=2cos 2x.经验证知 A 满足条件.

π 3.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,给出以下四个论断: ? ? ①它的最小正周期为 π; π ②它的图象关于直线 x= 成轴对称图形; 12 π ③它的图象关于点?3,0?成中心对称图形; ? ? π ④在区间?-6,0?上是增函数. ? ? 以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 ________(用序号表示即可). 答案:①②?③④(或①③?②④) 2π 4.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?0<φ< 3 ?的最小正周期为 π. ? ? (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; π 3 (2)若 f(x)的图象过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ? 2π 解:∵由 f(x)的最小正周期为 π,则 T= =π,∴ω=2. ω ∵f(x)=sin(2x+φ). (1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x). ∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得 sin 2xcos φ=0, 由已知上式对?x∈R 都成立, 2π π ∴cos φ=0,∵0<φ< ,∴φ= . 3 2 π π 3 3 π 3 (2)f(x)的图象过点? , ?时,sin?2×6+φ?= ,即 sin?3+φ?= . ? ? 2 ? ? 2 ?6 2 ? 2π π π 又∵0<φ< ,∴ < +φ<π. 3 3 3 π 2π π ∴ +φ= ,φ= . 3 3 3 π ∴f(x)=sin?2x+3?. ? ? π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 5π π ∴f(x)的递增区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ?

第四节

函数 y=sin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[知识能否忆起] 一、y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)表示一 个振动量时 A 2π T= ω 1 ω f= = T 2π ωx+φ φ 振幅 周期 频率 相位 初相

二、用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x ωx+φ y=Asin(ωx+ φ) - φ ω φ π - + ω 2ω π 2 A π-φ ω π 0 3π φ - 2ω ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

0 0

三、函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

[小题能否全取] x 1.函数 y=sin 的图象的一条对称轴的方程是( 2 )

A.x=0 C.x=π

π B.x= 2 D.x=2π

x π x 解析:选 C 由 = +kπ 得 x=π+2kπ(k∈Z).故 x=π 是函数 y=sin 的一条对称轴. 2 2 2 π π 2.(教材习题改编)已知简谐运动 f(x)=2sin?3x+φ??|φ|<2?的图象经过点(0,1),则该简谐 ? ?? ? 运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( π A.T=6,φ= 6 π C.T=6π,φ= 6 ) π B.T=6,φ= 3 π D.T=6π,φ= 3

2π 解析:选 A 最小正周期为 T= =6; π 3 1 π 由 2sin φ=1,得 sin φ= ,φ= . 2 6 3. (2012· 安徽高考)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象, 只要将函数 y=cos 2x 的图象( A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移 个单位 2 B.向右平移 1 个单位 1 D.向右平移 个单位 2 )

1 解析:选 C ∵y=cos(2x+1)=cos 2?x+2?, ? ? 1 ∴只要将函数 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位即可. 2 π 4. 用五点法作函数 y=sin?x-6?在一个周期内的图象时, 主要确定的五个点是________、 ? ? ________、________、________、________. π 2π 答案:?6,0? ? 3 ,1? ? ? ? ?

?7π,0? ?5π,-1? ?13π,0? ?6 ? ?3 ? ? 6 ?

5.函数 y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所 示,则 ω=________.

2π 解析:观察函数图象可得周期 T= , 3 2π 2π 则 T= = ,所以 ω=3. 3 ω 答案:3

1.确定 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π)中的参数的 方法: 在由图象求解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 M-m M+m 2π A= ,k= ,ω 由周期 T 确定,即由 =T 求出, 2 2 ω φ 由特殊点确定. 2.由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin(ωx+φ)的图象,两 种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的 量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移 |φ| 的量是 (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针 ω 对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是于 ωx 加减多少值.

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

典题导入 1 π [例 1] 已知函数 f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ? (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? [自主解答] (1)列表取值: x π 2 3 π 2 5 π 2 7 π 2 9 π 2

1 π x- 2 4 f(x)

0 0

π 2 3

π 0

3 π 2 -3

2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位, 然后把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍, 再 4 把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象.

由题悟法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作法 (1)五点法: 用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图, 主要是通过变量代换, z=ωx+φ, 设 π 3 由 z 取 0, ,π, π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. 2 2 (2)图象变换法:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主 要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 以题试法 π 1 1. (2012· 江西省重点中学联考)把函数 y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍 ? ? 2 π (纵坐标不变),再将图象向右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( 3 π A.x=- 2 π C.x= 8 π B.x=- 4 π D.x= 4 )

π π 解析: A 依题意得, 选 经过图象变换后得到的图象相应的解析式是 y=sin?2?x-3?+6? ? ?

?

?

π π =sin?2x-2?=-cos 2x,注意到当 x=- 时,y=-cos(-π)=1,此时 y=-cos 2x 取得最大 ? ? 2 π 值,因此直线 x=- 是该图象的一条对称轴. 2 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

典题导入

[例 2]

(2011· 江苏高考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常

数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是________. T 7π π π [自主解答] 由图可知:A= 2, = - = ,所以 T=π, 4 12 3 4 π 2π π π ω= =2,又函数图象经过点?3,0?,所以 2× +φ=π,则 φ= ,故函数的解析式为 f(x) ? ? T 3 3 π = 2sin?2x+3?, ? ? π 6 所以 f(0)= 2sin = . 3 2 [答案] 6 2

若本例函数的部分图象变为如图所示,试求 f(0). 解:由图知 A=5, T 5π 3π 由 = -π= ,得 T=3π, 2 2 2 2π 2 ∴ω= = . T 3 2 此时 y=5sin?3x+φ?. ? ? π 2 将最高点坐标?4,5?代入 y=5sin?3x+φ?, ? ? ? ? π 得 5sin?6+φ?=5, ? ? π π π ∴ +φ=2kπ+ ,∴φ=2kπ+ (k∈Z). 6 2 3 2 π π 5 3 ∴f(x)=5sin?3x+3?,f(0)=5sin = . ? ? 3 2

由题悟法 确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= 2π (2)求 ω,确定函数的周期 T,则可得 ω= . T (3)求 φ,常用的方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω,b 已知)或代入图象与直线 y=b 的交 M-m M+m ,b= . 2 2

点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”) π 时 ωx+φ= ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=π;“第四点”(即图象的 2 3π “谷点”)时 ωx+φ= ;“第五点”时 ωx+φ=2π(如例 2). 2 以题试法 π 2.(1)(文)(2012· 浙江金华模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的图象与 y ? ? π 轴交于点(0, 3),在 y 轴右边到 y 轴最近的最高点坐标为?12,2?,则不等式 f(x)>1 的解集 ? ? 是( ) π 5 A.?kπ-6,kπ+6π?,k∈Z ? ? π 5 B.?kπ-12,kπ+6π?,k∈Z ? ? π π C.?kπ-16,kπ+4?,k∈Z ? ? π π D.?kπ-12,kπ+4?,k∈Z ? ? π 解析:选 D 依题意 A=2,2sin φ= 3且|φ|< , 2 π 则 φ= , 3 πω π πω π π 由 2sin? 12 +3?=2 得 + = ,则 ω=2, ? ? 12 3 2 π π π 5π π π 由 f(x)=2sin?2x+3?>1,得 2kπ+ <2x+ <2kπ+ (k∈Z),所以 kπ- <x<kπ+ (k∈Z). ? ? 6 3 6 12 4 (理)(2012· 陕西师大附中模拟)若三角函数 f(x)的部分图象如图,则函数 f(x)的解析式,以 及 S=f(1)+f(2)+?+f(2 012)的值分别为( )

1 πx A.f(x)= sin +1,S=2 012 2 2 1 πx B.f(x)= cos +1,S=2 012 2 2 1 πx C.f(x)= sin +1,S=2 012.5 2 2

1 πx D.f(x)= cos +1,S=2 012.5 2 2 2π 解析:选 A 根据已知图象,可设 f(x)=Asin(ωx+φ)+1(ω>0,A>0),由 T=4 得 =4, ω f?x?最大值-f?x?最小值 1.5-0.5 1 π ∴ω= ,A= = = , 2 2 2 2 1 又 f(0)= sin φ+1=1, 2 1 πx ∴sin φ=0,得 φ=0,∴f(x)= sin +1. 2 2 又 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.5+1+0.5+1=4, ∴S=f(1)+f(2)+?+f(2 012)=503×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=503×4=2 012,故选 A. (2)(2012· 长春调研)函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该 函数的部分图象如图所示, B 分别为最高点、 A、 最低点, AB=2 2, 且 则该函数图象的一条对称轴为( 2 A.x= π C.x=2 ) π B.x= 2 D.x=1

π π 解析:选 D 由 y=cos(ωx+φ)为奇函数知 φ=kπ+ ,其中 k∈Z.又 0<φ<π,所以 φ= , 2 2 π 则 y=cos?ωx+2?=-sin ωx.由 AB=2 2知 ? ? =-sin

?T?2+22=2 2,所以 T=4=2π,得 ω=π,y ? 2? ω 2

π×1 πx πx .结合选项知当 x=1 时,y=-sin =-1,此时函数 y=-sin 取得最小值, 2 2 2

因此该函数图象的一条对称轴为 x=1. 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用

典题导入 π [例 3] 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的图象与 y 轴的交点为(0,1), 它在 ? ? y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).

(1)求 f(x)的解析式及 x0 的值; (2)求 f(x)的增区间; (3)若 x∈[-π,π],求 f(x)的值域.

T 1 [自主解答] (1)由图象知 A=2,由 =2π 得 T=4π,所以 ω= . 2 2 1 ∴f(x)=2sin?2x+φ?, ? ? π ∴f(0)=2sin φ=1,又∵|φ|< , 2 1 π π ∴φ= ,∴f(x)=2sin?2x+6?, ? ? 6 1 π 由 f(x0)=2sin?2x0+6?=2, ? ? 1 π π ∴ x0+ = +2kπ, 2 6 2 2π x0=4kπ+ ,k∈Z, 3 又(x0,2)是 y 轴右侧的第一个最高点, 2π ∴x0= . 3 π 1 π π 4π 2π (2)由- +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ,k∈Z 得- +4kπ≤x≤ +4kπ,所以 f(x)的增区间为 2 2 6 2 3 3

?-4π+4kπ,2π+4kπ?,k∈Z. 3 ? 3 ?
(3)∵-π≤x≤π, π 1 π 2π ∴- ≤ x+ ≤ , 3 2 6 3 ∴- 1 π 3 ≤sin?2x+6?≤1, ? ? 2

∴- 3≤f(x)≤2,所以 f(x)的值域为[- 3,2]. 由题悟法 1 利用三角函数图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的 个最小正周期, 可求 2 解参数 ω 的值,利用图象的最高点、低点为三角函数最值点,可求解参数 A 的值.在求函数 值域时,由定义域转化成 ωx+φ 的范围,即把 ωx+φ 看作一个整体,再结合三角函数的图象 求解. 以题试法 π 3.函数 f(x)=Asin?ωx-6?+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之间的 ? ? π 距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; π α (2)设 α∈?0,2?,则 f?2?=2,求 α 的值. ? ? ? ?

解:(1)因为 A+1=3,所以 A=2.又因为函数图象相邻对称轴之间的距离为半个周期, T π 2π 所以 = ,得 T=π,所以 ω= =2, 2 2 T π 所以 f(x)=2sin?2x-6?+1. ? ? α π (2)因为 f?2?=2sin?α-6?+1=2, ? ? ? ? π 1 所以 sin?α-6?= . ? ? 2 π 因为 0<α< , 2 π π π π π π 所以- <α- < ,所以 α- = ,所以 α= . 6 6 3 6 6 3

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定 A、ω、φ 问题是高考 的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行 三角恒等变换的能力.

“大题规范解答——得全分”系列之(三)

由三角函数图象确定解析式的答题模板 [典例] (2012 湖南高考· 满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+

π φ)?x∈R,ω>0,0<ω<2?的部分图象如图所示. ? ? (1)求函数 f(x)的解析式; π π (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ? [教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息 观察 条件 ― → 函数f?x?=Asin?ωx+φ?的部分图象 ― ― ― ― ― ―及两个平衡点 → ― ― ―
可知图象与y轴的交点

5π 11π 11π 5π 可确定周期 ?0,1?,?12,0?,? 12 ,0? ― ― → T=2? 12 -12?=π ― ― ? ? ? ? ? ?

2.审结论,明解题方向 观察所求结论 ― → 求函数f?x?的解析式 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →
需要确定A,ω,φ三个参数

应建立关于A,ω,φ的三个方程 3.建联系,找解题突破口 结合条件和求解可知 ― ― ― ― ― →
由周期确定ω

2π =π,即ω=2 ω

― ― ― ― → ― ― ― ―

由平衡点确定φ

5π π 初步确定函数解析式 2× +φ=π即φ= ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 12 6 π f?x?=Asin?2x+6? ? ? π f?x?=2sin?2x+6? ? ? ― ― ― ― → ― ― ― ―
由点?0,1?确定A

π Asin =1,A=2 6

A,ω,φ都已求出,解析式确定

― ― ― ― ― ― → ― ― ― ― ― ―

1.审条件,挖解题信息 观察 ?2x+π? → 6? 条件 ― f?x?=2sin? 2.审结论,明解题方向 观察所求 结论 π g?x?=2sin?2x-3? ? ? 3.建联系,找解题突破口 联想函数y=sin x的单调性 ?????????? ? π π π 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z ? 2 3 2 π 5π π 5π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z ? g?x?的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z ? ? 12 12 [教你准确规范解题] 11π 5π (1)由题设图象知,周期 T=2? 12 -12?=π, ? ? 2π ∴ω= =2.? 分) (2 T 5π 5π 5π 因为点?12,0?在函数图象上,所以 Asin?2×12+φ?=0,即 sin? 6 +φ?=0. ? ? ? ? ? ?
? ?? ? 单调递增区间为 ? 2 k? ? ,2 k? ? ? 2 2? ?

― →

π π 求函数g?x?=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间 ? ? ? ?

― ― ― ― ― ― ― →

化简g?x?的解析式

π 又∵0<φ< , 2 ∴ 5π 5π 4π 5π π < +φ< ,从而 +φ=π,即 φ= .? 分) (4 6 6 3 6 6

π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,解得 A=2, 6 π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?.? 分) ? ? (6 π π π π (2)g(x)=2sin?2?x-12?+6?-2sin?2?x+12?+6? ? ? ? ? ? ? ? ? π =2sin 2x-2sin?2x+3? ? ? 1 3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 2 ? ? =sin 2x- 3cos 2x π =2sin?2x-3?,? 分) (9 ? ? π π π π 5π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.? 分) (11 2 3 2 12 12 π 5π ∴g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z.? 分) (12 ? ? ,,[常见失分探因]

? ? ?

5π 易忽视φ的范围或点?12,0?为第二个平衡点而导致解题错误. ? ?

易将单调区间写成不等式 kπ- 确.

5? ? ≤x≤kπ+ ,k∈Z 或漏写 k∈Z 造成结论表述不准 12 12

———————————[教你一个万能模板]————————————————— 由图象确定函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式,一般可用以下几步解答:

第一步 ― → 第二步

根据图象确定五点作图中的第一个平衡点、 第二个平衡点的坐标或图象的最 高点、最低点

将“ωx+φ”作为一个整体,找到对应的值(通常利用周期求 ω,利

用图象的某一个点(通常选取平衡点)确定 φ) ― → 第三步 ― → 第四步 ― → 回顾反思.查看关键点,易错点及答题规范.如本题中在求 φ 第五步 5π 时,要注意?12,0?是“五点作图”中的第二个零点 ? ? 写出所求的函数解析式 列方程组求解(求 φ 时,要利用 φ 的范围)

π 1.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的 2 解析式应为( A.-sin x C.-cos x ) B.sin x D.cos x

π 解析:选 A 由图象的平移得 g(x)=cos?x+2?=-sin x. ? ? π 2.(2012· 潍坊模拟)将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 个单位,得到函数 y=f(x)· x 的 sin 4 图象,则 f(x)的表达式可以是( A.f(x)=-2cos x C.f(x)= 2 sin 2x 2 ) B.f(x)=2cos x D.f(x)= 2 (sin 2x+cos 2x) 2

解析:选 B

π 平移后的函数解析式是 y=cos 2?x-4?=sin 2x=2sin xcos x,故函数 f(x) ? ?

的表达式可以是 f(x)=2cos x. π 3.(2012· 天津高考)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得图 4 3π 象经过点? 4 ,0?,则 ω 的最小值是( ? ? 1 A. 3 ) B.1

5 C. 3

D.2

π 解析:选 D 将函数 f(x)=sin ωx 的图象向右平移 个单位长度,得到的图象对应的函数 4 π ωπ 3π 3ωπ ωπ 解析式为 f(x)=sin ω?x-4?=sin?ωx- 4 ?.又因为函数图象过点? 4 ,0?,所以 sin? 4 - 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ωπ ωπ =sin =0,所以 =kπ,即 ω=2k(k∈Z),因为 ω>0,所以 ω 的最小值为 2. 2 2

4.(2012· 海淀区期末练习)函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,φ∈R)的部分 图象如图所示,那么 f(0)=( 1 A.- 2 C.-1 ) B.- 3 2

D.- 3

π 解析:选 C 由图可知,A=2,f?3?=2, ? ? 2π 2π ∴2sin? 3 +φ?=2,∴sin? 3 +φ?=1, ? ? ? ? ∴ 2π π π +φ= +2kπ(k∈Z),φ=- +2kπ(k∈Z), 3 2 6

π 1 ∴f(0)=2sin φ=2sin?-6+2kπ?=2×?-2?=-1. ? ? ? ? 5.(2012· 福州质检)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所 示,则函数 f(x)的一个单调递增区间是( 7π 5π A.?-12,12? ? ? π 7π C.?-12,12? ? ? )

7π π B.?-12,-12? ? ? π 5π D.?-12,12? ? ?

1 2π 5π 解析:选 D 由函数的图象可得 T= - ,∴T=π, 4 3 12 5π 5π 则 ω=2,又图象过点?12,2?,∴2sin?2×12+φ?=2, ? ? ? ? π π 5π π ∴φ=- +2kπ,k∈Z,∴f(x)=2sin?2x-3?,其单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈ ? ? ? ? 3 Z,取 k=0,即得选项 D. 6.(2012· 潍坊模拟)如图,为了研究钟表与三角函数的关系, 建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置 P(x,y).若初始位置为

P0?

3 1? ,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数 2 2? ? , ) π π B.y=sin?-60t-6? ? ? π π D.y=sin?-30t-3? ? ?

关系为(

π π A.y=sin?30t+6? ? ? π π C.y=sin?-30t+6? ? ?

π 解析:选 C 由题意可得,函数的初相位是 ,排除 B、D.又函数周期是 60(秒)且秒针按 6 顺时针旋转,即 T= 2π π π =60,所以|ω|= ,即 ω=- . |ω| 30 30

π 7.(2012· 南京模拟)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?, ? ? y π =f(x)的部分图象如图,则 f?24?=________. ? ? 3π π 2π 解析:由题中图象可知,此正切函数的半周期等于 - = = 8 8 8 3π π π ,即周期为 ,所以,ω=2.由题意可知,图象过定点? 8 ,0?,所 ? ? 4 2 3π 3π 3π π 以 0=Atan?2× 8 +φ?,即 +φ=kπ(k∈Z),所以,φ=kπ- (k∈Z),又|φ|< ,所以,φ= ? ? 4 4 2 π π π π π π .再由图象过定点(0,1), A=1.综上可知, 得 f(x)=tan?2x+4?.故有 f?24?=tan?2×24+4?=tan ? ? ? ? ? ? 4 3 = 3. 答案: 3 8.(2012· 成都模拟)如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 π O 的距离 s(cm)和时间 t(s)的关系式为 s=6sin?2πt+6?, ? ? 那么单摆来回摆 动一次所需的时间为________s. 2π 解析:单摆来回摆动一次所需的时间即为一个周期 T= =1. 2π 答案:1 9.给出下列六种图象变换方法: 1 (1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ; 2 (2)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍; π (3)图象向右平移 个单位; 3 π (4)图象向左平移 个单位; 3

2π (5)图象向右平移 个单位; 3 2π (6)图象向左平移 个单位. 3 x π 请用上述变换中的两种变换,将函数 y=sin x 的图象变换到函数 y=sin?2+3?的图象, ? ? 那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即 可). π ?2? ?4? 解析:y=sin x― →y=sin?x+3?― → ― ? ? ― x π 1 ?6? ?2? y=sin?2+3?,或 y=sin x― →y=sin x― → ― ― ? ? 2 2π x π 1 y=sin ?x+ 3 ?=sin?2+3?. ? ? ? 2? 答案:(4)(2)(或((2)(6))) 10.(2012· 苏州模拟)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+n 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周 π π π 期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,若 A>0,ω>0,0<φ< ,求函数的解析式. 2 3 2
? ? ?A+n=4, ?A=2, 解:由题意可得? 解得? ?-A+n=0, ?n=2. ? ?

π 2π 又因为函数的最小正周期为 ,所以 ω= =4. 2 π 2 π π π 由直线 x= 是一条对称轴可得 4× +φ=kπ+ (k∈Z), 3 3 2 5π π π 故 φ=kπ- (k∈Z),又 0<φ< ,所以 φ= . 6 2 6 π 综上可得 y=2sin?4x+6?+2. ? ? π π 3 11.设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π,且 f?4?= . ? ? ? ? 2

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. 2π 解:(1)周期 T= =π,∴ω=2, ω

π π π 3 π π ∵f?4?=cos?2×4+φ?=cos?2+φ?=-sin φ= ,∵- <φ<0,∴φ=- . ? ? ? ? ? ? 2 2 3 π (2)∵f(x)=cos?2x-3?,列表如下: ? ? π 2x- 3 x f(x) 图象如图: - 0 1 2 π 3 0 π 6 1 π 2 5π 12 0 π 2π 3 -1 3π 2 11π 12 0 5π 3 π 1 2

x π x π 12.已知函数 f(x)=2 3sin?2+4?cos?2+4?-sin (x+π). ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上 6 的最大值和最小值. π π 3 1 解:(1)因为 f(x)= 3sin?x+2?+sin x= 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x?=2sin?x+3?, ? ? ? ? 2 ?2 ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6 π π π π ∴g(x)=f?x-6?=2sin??x-6?+3?=2sin?x+6?. ? ? ? ? ? ?

?

?

π π 7π ∵x∈[0,π],∴x+ ∈?6, 6 ?, ? 6 ? π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时, 6 2 3 π sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? π π 7π 1 当 x+ = ,即 x=π 时,sin?x+6?=- ,g(x)取得最小值-1. ? ? 6 6 2

1. (2012· 江西九校联考)已知 A, C, 是函数 y=sin(ωx+φ)(ω B, D π π >0,0<φ< )一个周期内的图象上的四个点, 如图所示, ?-6,0?, A? ? 2 B 为 y 轴上的点, 为图象上的最低点, 为该函数图象的一个对称 C E π 中心,B 与 D 关于点 E 对称,CD― →在 x 轴上的投影为 ,则 ω, 12 φ 的值为( ) π B.ω=2,φ= 6 1 π D.ω= ,φ= 2 6

π A.ω=2,φ= 3 1 π C.ω= ,φ= 2 3 解析:选 A

π π 由 CD― →在 x 轴上的投影为 ,知 OF= , 12 12 π T π π 又 A?-6,0?,所以 AF= = = ,所以 ω=2. ? ? 4 2ω 4 同时函数图象可以看做是由 y=sin x 的图象向左平移而来,故 φ φ π π 可知 = = ,即 φ= . ω 2 6 3 π π 2.已知 f(x)=sin?x+2?,g(x)=cos?x-2?,则下列结论中正确的是( ? ? ? ? A.函数 y=f(x)· g(x)的周期为 2 B.函数 y=f(x)· g(x)的最大值为 1 π C.将 f(x)的图象向左平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 π D.将 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 π 解析:选 D ∵f(x)=sin?x+2?=cos x, ? ? π π g(x)=cos?x-2?=cos?2-x?=sin x, ? ? ? ? 1 ∴y=f(x)· g(x)=cos x· x= sin 2x. sin 2 2π 1 T= =π,最大值为 , 2 2 ∴选项 A、B 错误. π ? 又∵f(x)=cos x ?????? g(x)=cos?x-2? ? ?
向右平移 个单位 2

)

?

∴选项 C 错误,D 正确. 3.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙

的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少, 浪费很严重, 为了控制经营成本, 减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来 客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物? 解:(1)设该函数为 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个 函数的周期是 12; 由②可知, f(2)最小, f(8)最大, f(8)-f(2)=400, 且 故该函数的振幅为 200; 由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且 f(2)=100,所以 f(8)=500.
? ? ?-A+B=100, ?A=200, 2π π 根据上述分析可得, =12,故 ω= ,且? 解得? ω 6 ?A+B=500, ?B=300. ? ?

根据分析可知,当 x=2 时 f(x)最小,当 x=8 时 f(x)最大, π π 故 sin?2×6+φ?=-1,且 sin?8×6+φ?=1. ? ? ? ? 5π 又因为 0<|φ|<π,故 φ=- . 6 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 π 5π f(x)=200sin?6x- 6 ?+300. ? ? π 5π (2)由条件可知,200sin?6x- 6 ?+300≥400,化简,得 ? ? π 5π 1 π π 5π 5π sin?6x- 6 ?≥ ?2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ ,k∈Z, ? ? 2 6 6 6 6 解得 12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为 x∈N*,且 1≤x≤12,故 x=6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.

1.定义行列式运算 ?

?a1 a2? =a a -a a .将函数 f(x)= ? 3 sin x ? 的图象向左平移 ? ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1 cos x?
) π B. 3 2π D. 3

n(n>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( π A. 6 5π C. 6

解析:选 C 依题意可得 f(x)=?

π ? 3 sin x ? ?= 3cos x-sin x=2 cos?x+6?,图象向左平 ? ? ?1 cos x?

π 5π 移 n(n>0)个单位得 f(x+n)=2cos?x+n+6?, 则 ? ? 要使平移后的函数为偶函数, n 的最小值为 6 . π 2.已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0),0<φ<π)在 x= 时取得最大值 4. 12 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式. 解:(1)∵f(x)=Asin(3x+φ), 2π 2π ∴T= ,即 f(x)的最小正周期为 . 3 3 π (2)∵当 x= 时,f(x)有最大值 4, 12 π π ∴A=4.∴4=4sin?3×12+φ?,∴sin?4+φ?=1. ? ? ? ? π π π 即 +φ=2kπ+ ,得 φ=2kπ+ (k∈Z). 4 2 4 π ∵0<φ<π,∴φ= . 4 π ∴f(x)=4sin?3x+4?. ? ? 3.(2012· 北京模拟)设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x π = . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象. π 解:(1)∵x= 是函数 y=f(x)的图象的对称轴, 8 π ∴sin?2×8+φ?=± ? ? 1, π π ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z, 4 2 3π ∵-π<φ<0,∴φ=- . 4 3π 3π (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin?2x- 4 ?. ? ? 4 π 3π π 由题意得 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z. 2 4 2 π 5π 解得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8

3π π 5π 所以函数 y=sin?2x- 4 ?的单调递增区间为?kπ+8,kπ+ 8 ?,k∈Z. ? ? ? ? 3π (3)由 y=sin?2x- 4 ?列表如下: ? ? x y 0 - 2 2 π 8 -1 3π 8 0 5π 8 1 7π 8 0 π - 2 2

故函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象为:

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[知识能否忆起] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β; (4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; tan α+tan β (5)T(α+β):tan(α+β)= ; 1-tan αtan β tan α-tan β (6)T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;

2tan α (3)T2α:tan 2α= . 1-tan2α 3.常用的公式变形 (1)tan α± β=tan(α± tan β)(1?tan αtan β); 1+cos 2α 1-cos 2α (2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, π sin α± α= 2sin?α± ?. cos ? 4? [小题能否全取] sin 2α 1.(2011· 福建高考)若 tan α=3,则 2 的值等于( cos α A.2 C.4 解析:选 D B.3 D.6 sin 2α 2sin αcos α = =2tan α=2×3=6. cos2α cos2α ) )

2.sin 68° 67° sin -sin 23° 68° cos 的值为( A.- C. 3 2 2 2 B. 2 2

D.1 2 . 2

解析:选 B 原式=sin 68° 23° cos -cos 68° 23° sin =sin(68° -23° )=sin 45° = 2 3.已知 sin α= ,则 cos(π-2α)等于( 3 A.- 1 C. 9 解析:选 B 5 3 )

1 B.- 9 D. 5 3

4 1 cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2× -1=- . 9 9

π 4 4.(教材习题改编)若 cos α=- ,α 是第三象限角,则 sin?α+4?=________ ? ? 5 3 解析:由已知条件 sin α=- 1-cos2α=- , 5 π 2 2 7 2 sin?α+4?= sin α+ cos α=- . ? ? 2 2 10 7 2 答案:- 10

π 2 5.若 tan?α+4?= ,则 tan α=________. ? ? 5 π tan α+1 2 解析:tan?α+4?= ? ? 1-tan α=5, 即 5tan α+5=2-2tan α. 3 则 7tan α=-3,故 tan α=- . 7 3 答案:- 7

1.两角和与差的三角函数公式的理解 (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”. “符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为“+”号;前 面是两角差,则后面中间为“-”号. (2)余弦公式概括为“余余,正正符号异”. (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令 β=α 所得.特别地, 对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公 式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中 常有体现. 2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变 式”;变角为:对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角; 变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理 化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般 是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异, 再选择适当的三角公式恒等变形.

三角函数公式的应用

典题导入 [例 1] 1 π (2011· 广东高考)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ?

5π (1)求 f? 4 ?的值; ? ?

π π 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 13 5 1 π [自主解答] (1)∵f(x)=2sin?3x-6?, ? ? 5π 5π π π ∴f? 4 ?=2sin?12-6?=2sin = 2. ? ? ? ? 4 π π 10 6 (2)∵α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= , ? ? ? ? 13 5 π 6 10 ∴2sin α= ,2sin?β+2?= . ? ? 5 13 5 3 即 sin α= ,cos β= . 13 5 12 4 ∴cos α= ,sin β= . 13 5 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β = 12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α、β 的三角函数表示 α± β 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统 一角和角与角转换的目的. 以题试法 π 3 1.(1)已知 sin α= ,α∈?2,π?,则 ? ? 5 =________. π 2sin?α+4? ? ? π 5 ,则 tan?4+2α?=( ? ? 5 ) cos 2α

(2)(2012· 济南模拟)已知 α 为锐角,cos α= A.-3 4 C.- 3 解析:(1) cos 2α π 2sin?α+4? ? ? = 1 B.- 7 D.-7

cos2α-sin2α =cos α-sin α, ? 2sin α+ 2cos α? 2 2 ?2 ?

π 3 4 ∵sin α= ,α∈?2,π?,∴cos α=- . ? ? 5 5 7 ∴原式=- . 5 4 1- 3 2×2 π 2 5 4 (2)依题意得,sin α= ,故 tan α=2,tan 2α= =- ,所以 tan?4+2α?= =- ? ? 5 3 4 1-4 1+ 3

1 . 7 7 答案:(1)- (2)B 5

三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入 [例 2] x (2012· 德州一模)已知函数 f(x)=2cos2 - 3sin x. 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π 1 cos 2α (2)若 α 为第二象限角,且 f?α-3?= ,求 的值. ? ? 3 1+cos 2α-sin 2α π x [自主解答] (1)∵f(x)=2cos2 - 3sin x=1+cos x- 3sin x=1+2cos?x+3?, ? ? 2 ∴周期 T=2π,f(x)的值域为[-1,3]. π 1 1 1 (2)∵f?α-3?= ,∴1+2cos α= ,即 cos α=- . ? ? 3 3 3 2 2 ∵α 为第二象限角,∴sin α= . 3 cos2α-sin2α cos 2α ∴ = 1+cos 2α-sin 2α 2cos2α-2sin αcos α 1 2 2 - + 3 3 cos α+sin α 1-2 2 = = = . 2cos α 2 2 - 3 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α+β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. 以题试法 π π 4 3 2.(1)(2012· 赣州模拟)已知 sin?α+6?+cos α= ,则 sin?α+3?的值为( ? ? ? ? 5 4 A. 5 C. 3 2 3 B. 5 D. 3 5 )

3π (2)若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 解析:(1)由条件得 3 3 4 3 sin α+ cos α= , 2 2 5

1 3 4 即 sin α+ cos α= . 2 2 5 π 4 ∴sin?α+3?= . ? ? 5 tan α+tan β 3π (2)-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β ∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2. 答案:(1)A (2)2 角 的 变 换

典题导入 [例 3] (1)(2012· 温州模拟)若 sin α+cos α =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α

π 4 π (2)(2012· 江苏高考)设 α 为锐角,若 cos?α+6?= ,则 sin?2α+12?的值为________. ? ? 5 ? ? sin α+cos α tan α+1 [自主解答] (1)由条件知 = =3, sin α-cos α tan α-1 则 tan α=2. 故 tan(β-2α)=tan [(β-α)-α] = tan?β-α?-tan α -2-2 4 = = . 1+tan?β-α?tan α 1+?-2?×2 3

π 4 (2)因为 α 为锐角,cos?α+6?= , ? ? 5 π 3 π 24 所以 sin?α+6?= ,sin 2?α+6?= , ? ? 5 ? ? 25 π 7 cos 2?α+6?= , ? ? 25 π π π 所以 sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ? ? ? ?

?

?



24 2 7 2 17 2 × - × = . 25 2 25 2 50 17 2 (3) 50 由题悟法

4 [答案] (1) 3

1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然

后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的配角技巧: α α=2·;α=(α+β)-β; 2 α=β-(β-α); 1 α= [(α+β)+(α-β)]; 2 1 β= [(α+β)-(α-β)]; 2 π π π π π +α= -?4-α?;α= -?4-α?. ? ? 4 2 ? 4 ? 以题试法 π 1 π 2 3.设 tan(α+β)= ,tan?β-4?= ,则 tan?α+4?=( ? ? 4 ? ? 5 13 A. 18 3 C. 22 解析:选 C 13 B. 22 1 D. 6 π π tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? )



3 = . π? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ?

π tan?α+β?-tan?β-4? ? ?

[典例]

(2012· 广东高考)已知函数 f(x)=

π 2cos?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. ? ? (1)求 ω 的值; π 5π 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+ 3 ?=- , ? ? ? ? 5 5π 16 f?5β- 6 ?= ,求 cos(α+β). ? ? 17

π 2π 1 [尝试解题] (1)∵f(x)=2cos?ωx+6?,ω>0 的最小正周期 T=10π= ,∴ω= . ? ? ω 5 1 π (2)由(1)知 f(x)=2cos?5x+6?, ? ? π 5π 5π 16 6 而 α,β∈?0,2?,f?5α+ 3 ?=- ,f?5β- 6 ?= , ? ? ? ? ? 17 5 ? 5π π 1 6 ∴2cos?5?5α+ 3 ?+6?=- , ? ? ? ? 5 5π π 16 1 2cos?5?5β- 6 ?+6?= , ? ? ? 17 ? π 3 8 即 cos?α+2?=- ,cos β= , ? ? 5 17 3 4 15 于是 sin α= ,cos α= ,sin β= , 5 5 17 4 8 3 15 13 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × =- . 5 17 5 17 85

——————[易错提醒]—————————————————————————— 1.在解答本题时有两点容易失误: ?1?忽略角α,β的范围,求解cos α,sin β的值时出错; ?2?在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致错误. 2.解决三角函数问题时,还有以下几点容易失误: ?1?对公式记忆不准确而使公式应用错误; ?2?三角公式不能灵活应用和变形应用; ?3?忽略角的范围或者角的范围判断错误. —————————————————————————————————————— ?针对训练 1 1.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sin B= ,则 sin A 的值为________. 3 π 解析:由题意知,C-A= ,且 C+A=π-B, 2 π B 故 A= - , 4 2 π B B B 2 则 sin A=sin?4- 2 ?= ?cos 2 -sin 2 ?, ? ? 2? ? 1 1 则 sin2A= (1-sin B)= , 2 3 又 sin A>0,则 sin A= 答案: 3 3 3 . 3

π π 3 12 2.已知 sin(2α-β)= ,sin β=- ,且 α∈?2,π?,β∈?-2,0?,求 cos 2α 的值. ? ? ? ? 5 13 π 解:∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 π π 5π ∵- <β<0,∴0<-β< ,π<2α-β< , 2 2 2 3 而 sin(2α-β)= >0, 5 5π 4 ∴2π<2α-β< ,cos(2α-β)= . 2 5 π 12 5 又- <β<0 且 sin β =- ,∴cos β= , 2 13 13 ∴cos 2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β 12 56 4 5 3 = × - ×?-13?= . ? 65 5 13 5 ?

1. (2012· 重庆高考)设 tan α, β 是方程 x2-3x+2=0 的两根, tan (α+β)的值为( tan 则 A.-3 C.1 B.-1 D.3

)

解析:选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α· β=2, tan tan(α+β)= tan α+tan β =-3. 1-tan αtan β )

π π 3 2.(2012· 南昌二模)已知 cos?x-6?=- ,则 cos x+cos?x-3?的值是( ? ? ? ? 3 2 3 A.- 3 C.-1 解析:选 C 2 3 B.± 3 D.± 1

π 1 3 3 3 cos x+cos ?x-3? =cos x+ cos x+ sin x= cos x+ sin x= 3 ? ? 2 2 2 2

? 3cos x+1sin x?= 3cos?x-π?=-1. ? 6? 2 ?2 ?
π π 1 3.(文)(2012· 乌鲁木齐诊断性测验)已知 α 满足 sin α= ,那么 sin?4+α?sin?4-α?的值为 ? ? ? ? 2 ( ) 1 A. 4 1 B.- 4

1 C. 2

1 D.- 2

π π π π π 1 1 解析: A 依题意得, ?4+α?sin?4-α?=sin?4+α?· ?4+α?= sin?2+2α?= cos 2α 选 sin? ? ? ? ? ? cos? ? 2 ? ? 2 1 1 = (1-2sin2α)= . 2 4 24 θ 3.(理)(2012· 大同模拟)已知 θ 为第二象限角,sin(π-θ)= ,则 cos 的值为( 25 2 3 A. 5 3 C.± 5 解析:选 C ∵θ 为第二象限角, θ ∴ 为第一、三象限角. 2 θ ∴cos 的值有两个, 2 24 24 由 sin(π-θ)= ,可知 sin θ= , 25 25 7 θ 18 ∴cos θ=- ,∴2cos2 = . 25 2 25 θ 3 ∴cos =± . 2 5 4.已知函数 f(x)=x3+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 4,则函数 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x 的最大值和最小正周期为( A.1,π C. 2,2π ) 4 B. 5 4 D.± 5 )

B.2,π D. 3,2π

解析:选 B 由题意得 f′(x)=3x2+b, f′(1)=3+b=4,b=1. 所以 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x π = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6?, ? ? 故函数的最大值为 2,最小正周期为 π. π 7π 4 3 5.(理)(2012· 合肥模拟)已知 cos?6-α?+sin α= ,则 sin?α+ 6 ?的值是( ? ? ? ? 5 2 3 A.- 5 4 C. 5 2 3 B. 5 4 D.- 5 )

π 3 1 解析:选 D 由条件知 cos?6-α?+sin α=? cos α+ sin α?+sin α ? ? 2 ?2 ?

= 3?

π 4 3 3 1 ? sin α+ cos α = 3sin?α+6?= 5 . ? ? 2 ?2 ?

π 4 ∴sin?α+6?= . ? ? 5 7π π ∴sin?α+ 6 ?=sin?α+6+π? ? ? ? ? π 4 =-sin?α+6?=- . ? ? 5 5.(文)(2012· 东北三校联考)设 α、β 都是锐角,且 cos α= ( ) 2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 或 25 5 2 5 B. 5 D. 5 5 或 5 25 2 5 , 5 5 3 ,sin(α+β)= ,则 cos β= 5 5

解析:选 A 依题意得 sin α= 1-cos2α= 4 cos(α+β)=± 1-sin2?α+β?=± . 5 又 α、β 均为锐角,因此 0<α<α+β<π, 4 5 4 cos α>cos(α+β),注意到 > >- , 5 5 5 4 所以 cos(α+β)=- . 5

4 5 3 2 5 2 5 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- × + × = . 5 5 5 5 25 6.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- C. 5 9 5 3 B.- D. 5 3 5 9 3 ,则 cos 2α=( 3 )

解析:选 A 将 sin α+cos α=

3 1 2 两边平方,可得 1+sin 2α= ,sin 2α=- ,所以(-sin 3 3 3

5 α+cos α)2=1-sin 2α= .因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以-sin α+cos α 3 =- 15 5 ,所以 cos 2α=(-sin α+cos α)· α+sin α)=- . (cos 3 3

π 4π 1 7.(2012· 苏锡常镇调研)满足 sin sin x+cos cos x= 的锐角 x=________. 5 5 2 解析:由已知可得

4π 4π 1 cos cos x+sin sin x= , 5 5 2 4π 1 即 cos? 5 -x?= , ? ? 2 4π π 7π 又 x 是锐角,所以 -x= ,即 x= . 5 3 15 7π 答案: 15 2tan?45° -α? sin αcos α 8.化简 · =________. 2 1-tan ?45° -α? cos2α-sin2α 1 sin 2α 2 解析:原式=tan(90° -2α)· cos 2α 1 sin 2α sin?90° -2α? 2 = · cos?90° -2α? cos 2α = cos 2α 1 sin 2α 1 · = . sin 2α 2cos 2α 2

1 答案: 2 9.(2013· 烟台模拟)已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β∈ 1 4 (0, 角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- , α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 , π), 角 3 5 则 cos α=________. 解析:依题设及三角函数的定义得: 1 4 cos β=- ,sin(α+β)= . 3 5 π π 2 2 3 又∵0<β<π,∴ <β<π, <α+β<π,sin β= ,cos(α+β)=- . 2 2 3 5 ∴cos α=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β 1 4 2 2 3 =- ×?-3?+ × 5 ? ? 5 3 = 3+8 2 . 15

3+8 2 答案: 15 π π 1 10.已知 α∈?0,2?,tan α= ,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值. ? ? ? ? 2

1 2tan α 解:∵tan α= ,∴tan 2α= = 2 1-tan2α sin α 1 = ,即 cos α=2sin α, cos α 2

1 2× 2 4 = , 1 3 1- 4



又 sin2α+cos2α=1, π ∴5sin2α=1,而 α∈?0,2?, ? ? ∴sin α= 5 2 5 ,cos α= . 5 5 5 2 5 4 × = , 5 5 5

∴sin 2α=2sin αcos α=2×

4 1 3 cos 2α=cos2α-sin2α= - = , 5 5 5 π π π 4 1 3 3 4+3 3 ∴sin?2α+3?=sin 2αcos +cos 2αsin = × + × = . ? ? 3 3 5 2 5 2 10 π 4 π 11.已知:0<α< <β<π,cos?β-4?= . ? ? 5 2 (1)求 sin 2β 的值; π (2)求 cos?α+4?的值. ? ? π π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos?β-4?=cos cos β+sin β= cos β+ sin β= , ? ? 4 2 2 3 ∴cos β+sin β= 2 2 7 ,∴1+sin 2β= ,∴sin 2β=- . 3 9 9

π π 7 法二:sin 2β=cos?2-2β?=2cos2?β-4?-1=- . ? ? ? ? 9 π (2)∵0<α< <β<π, 2 π π 3 π 3π ∴ <β<- < π, <α+β< , 4 4 4 2 2 π ∴sin?β-4?>0,cos(α+β)<0. ? ? π 1 4 ∵cos?β-4?= ,sin(α+β)= , ? ? 3 5 π 2 2 ∴sin?β-4?= ? ? 3 , 3 cos(α+β)=- . 5 π π ∴cos?α+4?=cos??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ??

π =cos(α+β)cos?β-4? ? ? 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 x x 12.(2012· 衡阳模拟) 函数 f(x)=cos?-2?+sin?π-2?,x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π π 2 10 (2)若 f(α)= ,α∈?0,2?,求 tan?α+4?的值. ? ? ? ? 5 x x x π x x 解:(1)f(x)=cos?-2?+sin?π-2?=sin +cos = 2sin?2+4?, ? ? ? ? ? ? 2 2 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 2 10 α α 2 10 (2)由 f(α)= ,得 sin +cos = , 5 2 2 5 α α 2 10?2 则?sin2+cos2?2=? ? ? ? 5 ?, 8 3 即 1+sin α= ,解得 sin α= , 5 5 π 又 α∈?0,2?,则 cos α= 1-sin2α= ? ? 故 tan α= sin α 3 = , cos α 4 π 3 tan α+tan +1 4 4 = =7. π 3 1-tan αtan 1- 4 4 9 4 1- = , 25 5

π 所以 tan?α+4?= ? ?

1 π 1.若 tan α=lg(10a),tan β=lg?a?,且 α+β= ,则实数 a 的值为( ? ? 4 A.1 1 C.1 或 10 1 B. 10 D.1 或 10

)

解析:选 C

1 lg?10a?+lg?a? ? ? tan α+tan β tan(α+β)=1? = =1?lg2a+lg a=0, 1-tan αtan β ?1? 1-lg?10a?· ?a? lg

1 所以 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或 . 10 π π 2.化简 sin2?α-6?+sin2?α+6?-sin2α 的结果是________. ? ? ? ?

π π 1-cos?2α-3? 1-cos?2α+3? ? ? ? ? 解析:原式= + -sin2α 2 2 π π 1 =1- ?cos?2α-3?+cos?2α+3??-sin2α ? ? ?? 2? ? π cos 2α 1-cos 2α 1 =1-cos 2α· -sin2α=1- cos - = . 3 2 2 2 1 答案: 2 π π 3 π π 3 5 3.已知 sin α+cos α= ,α∈?0,4?,sin?β-4?= ,β∈?4,2?. ? ? ? ? 5 ? ? 5 (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值. 9 解:(1)由题意得(sin α+cos α)2= , 5 9 4 即 1+sin 2α= ,∴sin 2α= . 5 5 π 3 又 2α∈?0,2?,∴cos 2α= 1-sin22α= , ? ? 5 sin 2α 4 ∴tan 2α= = . cos 2α 3 π π π π 3 π (2)∵β∈?4,2?,β- ∈?0,4?,sin?β-4?= , ? ? ? ? ? ? 5 4 π 4 ∴cos?β-4?= , ? ? 5 π π π 24 于是 sin 2?β-4?=2sin?β-4?cos?β-4?= . ? ? ? ? ? ? 25 π 又 sin 2?β-4?=-cos 2β, ? ? 24 ∴cos 2β=- , 25 π 7 又∵2β∈?2,π?,∴sin 2β= , ? ? 25 1+cos 2α 4? π 又∵cos2α= = ?α∈?0,4??, ? ?? 2 5 2 5 5 ∴cos α= ,sin α= . 5 5 ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β = 24 2 5 5 7 11 5 ×?-25?- × =- . ? ? 5 25 5 25

π 1.(2012· 北京西城区期末)已知函数 f(x)= 3sin2x+sin xcos x,x∈?2,π?. ? ? (1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令 f(x)=0,得 sin x· 3sin x+cos x)=0, ( 所以 sin x=0 或 tan x=- 3 . 3

π 由 sin x=0,x∈?2,π?,得 x=π; ? ? 由 tan x=- π 3 5π ,x∈?2,π?,得 x= . ? ? 3 6

5π 综上,函数 f(x)的零点为 ,π. 6 (2)f(x)= π 3 1 3 (1-cos 2x)+ sin 2x=sin?2x-3?+ . ? ? 2 2 2

π π 2π 5π 因为 x∈?2,π?,所以 2x- ∈? 3 , 3 ?. ? ? ? 3 ? π 2π π 所以当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最大值为 3; 3 3 2 π 3π 11π 3 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最小值为-1+ . 3 2 12 2 β α π 1 2 2.已知 0<β< <α<π,且 cos?α-2?=- ,sin?2-β?= ,求 cos(α+β)的值; ? ? ? ? 3 2 9 π 解:∵0<β< <α<π, 2 π α π π β ∴- < -β< , <α- <π. 4 2 2 4 2 α ∴cos?2-β?= ? ? = α 1-sin2?2-β? ? ?

2 5 1-?3?2= , ? ? 3

β sin?α-2?= ? ? =

β 1-cos2?α-2? ? ?

1 4 5 1-?-9?2= . ? ? 9

α+β β α ∴cos =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? 2 β α β α =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 5 4 5 2 7 5 =- × + × = . 9 3 9 3 27 ∴cos(α+β)=2cos2 α+β 49×5 239 -1=2× -1=- . 2 729 729

第六节

简单的三角恒等变换

[知识能否忆起] 半角公式(不要求记忆) α α α 1.用 cos α 表示 sin2 ,cos2 ,tan2 . 2 2 2 α 1-cos α α 1+cos α α 1-cos α sin2 = ;cos2 = ;tan2 = . 2 2 2 2 2 1+cos α α α α 2.用 cos α 表示 sin ,cos ,tan . 2 2 2 α sin =± 2 α tan =± 2 1-cos α α ;cos =± 2 2 1-cos α . 1+cos α 1+cos α ; 2

α 3.用 sin α,cos α 表示 tan . 2 1-cos α α sin α tan = = . 2 1+cos α sin α [小题能否全取] 1 α 1.(教材习题改编)已知 cos α= ,α∈(π,2π),则 cos 等于( 3 2 A. C. 6 3 3 3 B.- D.- 6 3 3 3 )

1 α π 解析:选 B ∵cos α= ,α∈(π,2π),∴ ∈?2,π?, ? 3 2 ? α ∴cos =- 2 1+cos α =- 2 1 1+ 3 6 =- . 2 3

π π π 2.已知函数 f(x)=cos2?4+x?-cos2?4-x?,则 f?12?等于( ? ? ? ? ? ? 1 A. 2 C. 3 2 1 B.- 2 D.- 3 2

)

解析:选 B

π π π π 1 f(x)=cos2?4+x?-sin2?x+4?=-sin 2x,∴f?12?=-sin =- . ? ? ? ? ? ? 6 2 )

cos 2α+sin 2α+1 1 3.已知 tan α= ,则 等于( 2 cos2α A.3 C.12 解析:选 A B.6 3 D. 2

cos 2α+sin 2α+1 2cos2α+2sin α· α cos = cos2α cos2α

=2+2tan α=3. 4. sin 20° 20° cos =________. cos 50°

1 1 sin 40° sin 40° 2 2 sin 20° 20° cos 1 解析: = = = . cos 50° cos 50° sin 40° 2 1 答案: 2 1+tan α 1 5.若 =2 013,则 +tan 2α=________. cos 2α 1-tan α 1+sin 2α ?cos α+sin α?2 1 解析: +tan 2α= = cos 2α cos 2α cos2α-sin2α = cos α+sin α 1+tan α = =2 013. cos α-sin α 1-tan α

答案:2 013

三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式:一是化简;二是求 值;三是三角恒等式的证明. (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、 同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解. (2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值, 对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解. (3)三角恒等式的证明,要看左右两侧函数名、角之间的

关系,不同名则化同名,不同角则化同角,利用公式求解 变形即可.

三角函数式的化简

典题导入 1 2cos4x-2cos2x+ 2 [例 1] 化简 . ?π-x?sin2?π+x? 2tan?4 ? ?4 ? 1 -2sin2xcos2x+ 2 [自主解答] 原式= π π 2sin?4-x?cos2?4-x? ? ? ? ? π cos?4-x? ? ? 1 1 2 ?1-sin22x? cos 2x 2 2 = = π π π 2sin?4-x?cos?4-x? sin?2-2x? ? ? ? ? ? ? 1 = cos 2x. 2 由题悟法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”, 这是最重要的一环, 通过看角之间的差别与联系, 把角进行合理的拆分, 从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化 弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要 通分”等.

以题试法

? 1 -tan 1.化简? α tan ? 2

α? α ? 2?·1+tan α· tan ?. 2? ?

?

?cos2 sin2 ? ? sin α sin2 ? 解:法一:原式=? α - α?· 1+cos α· α? ? cos ? ? sin2 cos2? ? 2
α α α α cos2 -sin2 cos αcos +sin αsin 2 2 2 2 = · α α α sin · cos cos αcos 2 2 2 α cos?α-2? ? ? 2cos α = · sin α α cos αcos 2 2cos α 2 · = . sin α α sin α cos αcos 2 cos α 2

α

α

α



α α sin αsin 1-tan2 2 2 法二:原式= · 1+ α α cos αcos tan 2 2

? ? ?

? ? ?

α α cos αcos +sin αsin 2 2 2 = · tan α α cos αcos 2 α cos 2 2cos α 2 = · = . sin α α sin α cos α· cos 2 三角函数式的求值

典题导入 [例 2] A.- 1 C. 2 sin 47° -sin 17° 30° cos (1)(2012· 重庆高考) =( cos 17° 3 2 1 B.- 2 D. 3 . 2 )

3 4 (2)已知 α、β 为锐角,sin α= ,cos(α+β)=- ,则 2α+β=________. 5 5 sin?30° +17° ?-sin17° 30° cos [自主解答] (1)原式= cos 17° = = sin 30° 17° cos +cos 30° 17° sin -sin 17° 30° cos cos 17° sin 30° 17° cos 1 =sin 30° . = cos 17° 2

π 3 (2)∵sin α= ,α∈?0,2?, ? ? 5 4 ∴cos α= , 5 4 ∵cos(α+β)=- ,α+β∈(0,π), 5 3 ∴sin(α+β)= , 5 4 4 3 3 ∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)= ×?-5?+ × =0. 5 ? ? 5 5 3π 又 2α+β∈?0, 2 ?. ? ? ∴2α+β=π. [答案] (1)C (2)π 由题悟法 三角函数求值有三类 (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察 非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角 并且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关 键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 确定角. 以题试法 π 2.(2012· 广州一测)已知函数 f(x)=tan?3x+4?. ? ? π (1)求 f?9?的值; ? ? 3π α π π (2)设 α∈?π, 2 ?,若 f?3+4?=2,求 cos?α-4?的值. ? ? ? ? ? ? π π tan +tan 3 4 π π π 3+1 解:(1)f?9?=tan?3+4?= = =-2- 3. ? ? ? ? π π 1- 3 1-tan tan 3 4 α π 3π π (2)因为 f?3+4?=tan?α+ 4 +4?=tan(α+π)=tan α=2, ? ? ? ? sin α 所以 =2,即 sin α=2cos α.① cos α 又 sin2α+cos2α=1,②

1 由①②解得 cos2α= . 5 3π 5 2 5 因为 α∈?π, 2 ?,所以 cos α=- ,sin α=- . ? ? 5 5 π π π 5 2 2 3 10 2 5? 所以 cos?α-4?=cos αcos +sin αsin =- × +?- × =- . ? ? 4 4 5 2 ? 10 5 ? 2

三角恒等变换的综合应用

典题导入 [例 3] 7π 3π (2011· 四川高考)已知函数 f(x)=sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?,x∈R. ? ? ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)= ,cos(β+α)=- ,0<α<β≤ ,求证:[f(β)]2-2=0. 5 5 2 7π π π [自主解答] (1)∵f(x)=sin?x+ 4 -2π?+cos?x-4-2? ? ? ? ? π π π =sin?x-4?+sin?x-4?=2sin?x-4?, ? ? ? ? ? ? ∴T=2π,f(x)的最小值为-2. 4 (2)证明:由已知得 cos βcos α+sin βsin α= , 5 4 cos βcos α-sin βsin α=- . 5 两式相加得 2cos βcos α=0. π π π ∵0<α<β≤ ,∴β= .∴[f(β)]2-2=4sin2 -2=0. 2 2 4

在本例条件不变情况下,求函数 f(x)的零点的集合. π 解:由(1)知 f(x)=2sin?x-4?, ? ? π π ∴sin?x-4?=0,∴x- =kπ(k∈Z), ? ? 4 π ∴x=kπ+ (k∈Z). 4
? ? π 故函数 f(x)的零点的集合为?x?x=kπ+4 ,k∈Z?. ? ? ?

由题悟法

三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思 想解决相关问题. 以题试法 π 3.已知函数 f(x)=2cos xcos?x-6?- 3sin2x+sin xcos x. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 α∈[0,π]时,若 f(α)=1,求 α 的值. π 解:(1)因为 f(x)=2cos xcos?x-6?- 3sin2x+sin xcos x ? ? = 3cos2 x+sin xcos x- 3sin2x+sin xcos x π = 3cos 2x+sin 2x=2sin?2x+3?, ? ? 所以最小正周期 T=π. π (2)由 f(α)=1,得 2sin?2α+3?=1, ? ? π π 7π 又 α∈[0,π],所以 2α+ ∈?3, 3 ?, ? 3 ? π 5π π 13π 所以 2α+ = 或 2α+ = , 3 6 3 6 π 11π 故 α= 或 α= . 4 12

解决这一类问题的基本途径,同求解其他函数 最值一样,一方面应充分利用三角函数自身的特 殊性?如有界性等?,另一方面还要注意将求解三 角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数 ?二次函数等?最值问题.下面介绍几种常见的三角 函数最值的求解策略.

1.配方转化策略

对能够化为形如 y=asin2x+bsin x+c 或 y=acos2x+bcos x+c 的三角函数最值问题,可 看作是 sin x 或 cos x 的二次函数最值问题,常常利用配方转化策略来解决. [典例 1] 求函数 y=5sin x+cos 2x 的最值. [解] 5 33 2 y=5sinx+(1-2sin x)=-2sin2x+5sin x+1=-2?sin x-4?2+ . ? ? 8

π ∵-1≤sin x≤1,∴当 sin x=-1,即 x=2kπ- ,k∈Z 时, 2 ymin=-2× [题后悟道] 81 33 π 1 33 + =-6;当 sin x=1,即 x=2kπ+ ,k∈Z 时,ymax=-2× + =4. 16 8 2 16 8 这类问题在求解中,要注意三个方面的问题:其一要将三角函数准确变形

为 sin x 或 cos x 的二次函数的形式;其二要正确配方;其三要把握三角函数 sin x 或 cos x 的 范围,以防止出错,若没有特别限制其范围是[-1,1]. 2.有界转化策略 对于所给的三角函数能够通过变形化为形如 y=Asin(ωx+φ)等形式的,常常可以利用三 角函数的有界性来求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一. π [典例 2] (2012· 重庆高考改编)设函数 f(x)=4cos?ωx-6?sin ωx-cos(2ωx+π), 其中 ω>0. ? ? 求函数 y=f(x)的最值. [解] f(x)=4? 3 1 ?sin ωx+cos 2ωx ? 2 cos ωx+2sin ωx?

=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin 2ωx+1, 因为-1≤sin 2ωx≤1, 所以函数 y=f(x)的最大值为 3+1,最小值为 1- 3. [题后悟道] 求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题,

然后利用三角函数的有界性求其最值. 3.单调性转化策略 借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略.对于三角函数来说,常常是 先化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再利用三角函数的单调性求解. [典例 3] ________. 17π 5π π 5π [解析] 由 π≤x≤ ,得 ≤x+ ≤ . 12 4 4 3 因 为 f(x) = 5π 17π 2 ? π? 3 ? 5π? sin ?x+4? - 在 ?π, 4 ? 上 是 减 函 数 , 在 ? 4 , 12 ? 上 是 增 函 数 , 且 ? ? 2 2 函数 f(x)= 2 ? π? 3 ? 17π? sin ?x+4? - 在 ?π, 12 ? 上的最大值为________,最小值为 2 2

11π 5π π 3 5π 2 2 3 f(π)>f? 12 ?,所以当 x= 时,f(x)有最小值为 sin? 4 +4?- =- - . ? ? ? ? 2 4 2 2 2 当 x=π 时,f(x)有最大值-2. [答案] -2 - [题后悟道] 2 3 - 2 2

这类三角函数求最值的问题,主要的求解策略是先将三角函数化为一个角

的三角函数形式,然后再借助于函数的单调性,确定所求三角函数的最值. 4.数形结合转化策略 b-sin x b-sin x 对于形如 y= 的三角函数最值问题来说, 常常利用其几何意义, y= 将 视 a-cos x a-cos x 为定点(a,b)与单位圆上的点(cos x,sin x)连线的斜率来解决. -sin x [典例 4] 求函数 y= (0<x<π)的最小值. 2-cos x 0-sin x [解] 将表达式改写成 y= , 可看成连接点 A(2,0)与点 P(cos y 2-cos x x,sin x)的直线的斜率.由于点(cos x,sin x)的轨迹是单位圆的上半圆(如 图),所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点,使得相应的直线斜率 最小. 设过点 A 的直线与半圆相切于点 B,则 kAB≤y<0. 5π 3 可求得 kAB=tan =- . 6 3 所以 y 的最小值为- [题后悟道] π 3? 此时x= ?. 3? 3?

这类三角函数的最值问题,求解策略就是先将函数化为直线斜率的形式,

再找出定点与动点满足条件的图形,最后由图形的几何意义求出三角函数的最值.

1 1.在△ABC 中,tan B=-2,tan C= ,则 A 等于( 3 π A. 4 π C. 3 解析:选 A 3π B. 4 π D. 6 tan A=tan[π-(B+C)]

)

1 -2+ 3 tan B+tan C =-tan(B+C)=- =- 1 1-tan Btan C 1-?-2?× 3 π =1.故 A= . 4 2. sin?180° +2α? cos2α · 等于( 1+cos 2α cos?90° +α? ) B.-cos α D.cos α
2

A.-sin α C.sin α

?-sin 2α?· α cos 解析:选 D 原式= ?1+cos 2α?· ?-sin α? = 2sin α· α· 2α cos cos =cos α. 2cos2α· α sin

3.(2012· 深圳调研)已知直线 l: xtan α-y-3tan β=0 的斜率为 2,在 y 轴上的截距为 1, 则 tan(α+β)=( 7 A.- 3 5 C. 7 ) 7 B. 3 D.1

解析:选 D 依题意得,tan α=2,-3tan β=1, tan α+tan β 1 即 tan β=- ,tan(α+β)= = 3 1-tan αtan β 1 2- 3 =1. 2 1+ 3 )

π π 3 7 4.(2012· 山东高考)若 θ∈?4,2?,sin 2θ= ,则 sin θ=( ? ? 8 3 A. 5 C. 7 4 4 B. 5 3 D. 4

π π π 解析:选 D 因为 θ∈?4,2?,所以 2θ∈?2,π?, ? ? ? ? 1 所以 cos 2θ<0,所以 cos 2θ=- 1-sin22θ=- . 8 1 9 又 cos 2θ=1-2sin2θ=- ,所以 sin2θ= , 8 16 3 所以 sin θ= . 4 π tan?4+α?· 2α ? ? cos 5.(2012· 河北质检)计算 的值为( 2?π -α? 2cos ?4 ?

)

A.-2 C.-1

B.2 D.1 π tan?4+α?· 2α ? ? cos π 2cos2?4-α? ? ?

解析:选 D



π sin?4+α?· 2α ? ? cos π π 2sin2?4+α?cos?4+α? ? ? ? ? cos 2α π π 2sin?4+α?cos?4+α? ? ? ? ? cos 2α π sin 2?4+α? ? ? cos 2α π sin?2+2α? ? ? cos 2α =1. cos 2α π ?a b?=ad-bc.若 cos α=1, sin α sin β ?=3 3, ? 0<β<α< , β 等于( 则 ? 7 ?cos α cos β? 14 2 ?c d ? ? ? π B. 6 π D. 3 )









6. 定义运算? π A. 12 π C. 4

解析:选 D 依题意有 sin αcos β-cos αsin β 3 3 =sin(α-β)= , 14 π π 又 0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 13 故 cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= , 14 1 4 3 而 cos α= ,∴sin α= , 7 7 于是 sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) = 4 3 13 1 3 3 3 × - × = . 7 14 7 14 2

π 故 β= . 3

π cos 2θ 7.若 tan?4-θ?=3,则 =________. ? ? 1+sin 2θ π 1-tan θ 解析:∵tan?4-θ?= ? ? 1+tan θ=3, 1 ∴tan θ=- . 2 ∴ cos2θ-sin2θ cos 2θ = 2 1+sin 2θ sin θ+2sin θcos θ+cos2θ

1 1- 4 1-tan2θ = 2 = =3. tan θ+2tan θ+1 1 -1+1 4 答案:3 8.若锐角 α、β 满足(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,则 α+β=________. 解析:由(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4, tan α+tan β 可得 = 3,即 tan(α+β)= 3. 1-tan αtan β π 又 α+β∈(0,π),所以 α+β= . 3 π 答案: 3 cos 10° 3sin 10° + 9.计算: =________. 1-cos 80° cos 10° 3sin 10° + 解析: 1-cos 80° = = 2?sin 30° 10° cos +cos 30° 10° sin ? 2 2sin 40° 2sin 40° = 2. 2sin 40°

答案: 2 10.已知函数 f(x)=sin x+cos x,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期; π (2)当 x∈?0,2?时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域. ? ? π 解:(1)由题意可知,f′(x)=cos x-sin x=- 2· ?x-4?, sin? ? 所以 y=f′(x)的最小正周期为 T=2π. (2)F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x =1+sin 2x+cos 2x

π =1+ 2sin?2x+4?. ? ? π π π 5π ∵x∈?0,2?,∴2x+ ∈?4, 4 ?, ? ? ? 4 ? π 2 ∴sin?2x+4?∈?- ,1?. ? ? ? 2 ? ∴函数 F(x)的值域为[0,1+ 2 ]. π α 1 2 11.已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. α 1 解:(1)∵tan = , 2 2 1 2× 2 4 ∴tan α= = = , 1?2 3 2α ? 1-tan 2 1-?2? 2tan α 2

? sin α =4, ? 由?cos α 3 ? ?sin2α+cos2α=1,
4 4 解得 sin α= ?sin α=-5舍去?. ? 5? (2)由(1)知 cos α= 1-sin2α = 4 3 1-?5?2= , ? ? 5

π 又 0<α< <β<π,∴β-α∈(0,π), 2 而 cos(β-α)= 2 , 10 1-? 2?2 7 2 = , 10 10 ? ?

∴sin(β-α)= 1-cos2?β-α?= 于是 sin β=sin[α+(β-α)] =sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α) 4 2 3 7 2 2 = × + × = . 5 10 5 10 2 π 3π 又 β∈?2,π?,∴β= . ? ? 4

12.已知 sin(2α+β)=3sin β,设 tan α=x,tan β=y,记 y=f(x). (1)求证:tan(α+β)=2tan α; (2)求 f(x)的解析式.

解:(1)证明:由 sin(2α+β)=3sin β, 得 sin [(α+β)+α]=3sin [(α+β)-α], 即 sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α, ∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. ∴tan(α+β)=2tan α. tan α+tan β x+y (2)由(1)得 =2tan α,即 =2x, 1-tan αtan β 1-xy x x ∴y= . 2,即 f(x)= 1+2x 1+2x2

π π 1 1.(2012· 郑州质检)已知曲线 y=2sin?x+4?cos?4-x?与直线 y= 相交,若在 y 轴右侧的 ? ? ? ? 2 交点自左向右依次记为 P1,P2,P3,?,则|P1P5― →|等于( A.π C.3π B.2π D.4π )

π π π π 解析:选 B 注意到 y=2sin?x+4?cos?4-x?=2sin2?x+4?=1-cos 2?x+4?=1+sin 2x, ? ? ? ? ? ? ? ? 2π 又函数 y=1+sin 2x 的最小正周期是 =π,结合函数 y=1+sin 2x 的图象(如图所示)可知, 2 |P1P5― →|=2π.

2.

3-sin 70° 等于( 2-cos210°

) B. D. 2 2 3 2

1 A. 2 C.2 解析:选 C =

3-sin 70° 3-cos 20° = 2-cos2 10° 2-cos210°

3-?2cos210° -1? 2?2-cos210° ? = =2. 2 2 2-cos 10° 2-cos 10°

π π 3.(2012· 江西重点高中模拟)已知函数 f(x)=sin?2x+3?+sin?2x-3?+ 3cos 2x-m,若 ? ? ? ? f(x)的最大值为 1. (1)求 m 的值,并求 f(x)的单调递增区间;

(2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f(B)= 3-1,且 3a=b+c, 试判断三角形的形状. π π 解:(1)f(x)=2sin 2x· + 3cos 2x-m=sin 2x+ 3cos 2x-m=2sin?2x+3?-m. cos ? ? 3 又 f(x)max=2-m,所以 2-m=1,得 m=1. π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z) 2 3 2 5π π 得到 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 12 12 5π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ? π (2)由 f(B)= 3-1,得 2sin?2B+3?-1= 3-1, ? ? π 所以 B= . 6 又 3a=b+c,则 3sin A=sin B+sin C, 5π π 1 1 3sin A= +sin? 6 -A?,即 sin?A-6?= , ? ? ? ? 2 2 π π 所以 A= ,C= ,故△ABC 为直角三角形. 3 2

1 1 1.求证:tan α+ = . π α? cos α tan?4+2? ? sin α 证明:左边= + cos α π α cos?4+2? ? ? π α sin?4+2? ? ?



π α π α sin αsin?4+2?+cos αcos?4+2? ? ? ? ? π α cos αsin?4+2? ? ? π α cos?4+2-α? ? ? π α cos αsin?4+2? ? ? π α cos?4-2? ? ? π α cos αsin?4+2? ? ?







1 = =右边. π α? cos α cos αsin?4+2? ?

π α sin?4+2? ? ?

故原式得证. 1 π π 2.已知 f(x)=?1+tan x?sin2x-2sin?x+4?· ?x-4?. sin? ? ? ? ? ? (1)若 tan α=2,求 f(α)的值; π π (2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围. ? ? π π 解:(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin?x+4?· ?x+4? cos? ? ? ? = 1-cos 2x 1 π + sin 2x+sin?2x+2? ? ? 2 2

1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2 由 tan α=2, 2sin αcos α 2tan α 4 得 sin 2α= 2 = = . sin α+cos2α tan2α+1 5 cos2α-sin 2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 = =- . 5 sin α+cos2α 1+tan2α 1 1 3 所以 f(α)= (sin 2α+cos 2α)+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 = π 1 2 ? sin?2x+4?+ . ? 2 2

π π 5π π 5 由 x∈?12,2?,得 ≤2x+ ≤ π. ? ? 12 4 4 故- π 2+1 2 ≤sin?2x+4?≤1,则 0≤f(x)≤ , ? ? 2 2

所以 f(x)的取值范围是?0,

? ?

2+1? ?. 2 ?

第七节

正弦定理和余弦定理

[知识能否忆起] 1.正弦定理 分类 定理 内容 a b c = = =2R(R 是△ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C ①a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C, 变形 公式 ②sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c, a b c ③sin A= ,sin B= ,sin C= 2R 2R 2R ①已知两角和任一边,求其他两边和另一角, ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角

解决的 问题

2.余弦定理 分类 定理 内容 在△ABC 中,有 a2=b2+c2-2bccos_A; b2=a2+c2-2accos_B;c2=a2+b2-2abcos_C b2+c2-a2 a2+c2-b2 cos A= ;cos B= ; 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角

变形 公式 解决的 问题

3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2 [小题能否全取] 1.(2012· 广东高考)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2 )

BC AC 3 2 AC 3 2 2 解析: B 由正弦定理得: 选 = , 即 = , 所以 AC= × =2 3. sin A sin B sin 60° sin 45° 2 3 2 2.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° C.60° B.45° D.75° )

b2+c2-a2 1+4-3 1 解析:选 C ∵cos A= = = , 2bc 2×1×2 2 又∵0° <A<180° ,∴A=60° . 3.(教材习题改编)在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45° ,则此三角形有( A.无解 C.一解 B.两解 D.解的个数不确定 )

a b 解析:选 B ∵ = , sin A sin B b 24 ∴sin B= sin A= sin 45° , a 18 2 2 ∴sin B= . 3 又∵a<b,∴B 有两个. π 4.(2012· 陕西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 a=2,B= , 6 c=2 3,则 b=________. 解析:由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=4+12-2×2×2 3× 答案:2 5.△ABC 中,B=120° ,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________. 解析:设 BC=x,由余弦定理得 49=25+x2-10xcos 120° , 整理得 x2+5x-24=0,即 x=3. 1 1 3 15 3 因此 S△ABC= AB×BC×sin B= ×3×5× = . 2 2 2 4 15 3 答案: 4 3 =4,所以 b=2. 2

(1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正 弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A> B?a>b?sin A>sin B. (2)在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下:

A 为锐角

A 为钝角 或直角

图形

关系 式 解的 一解 个数 两解 一解 一解 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b

利用正弦、余弦定理解三角形

典题导入 [例 1] (2012· 浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A = 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值. [自主解答] (1)由 bsin A= 3acos B 及正弦定理 a b = ,得 sin B= 3cos B, sin A sin B π 所以 tan B= 3,所以 B= . 3 a c (2)由 sin C=2sin A 及 = ,得 c=2a. sin A sin C 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 9=a2+c2-ac. 所以 a= 3,c=2 3.

在本例(2)的条件下,试求角 A 的大小. 解:∵ a b = , sin A sin B

asin B ∴sin A= = b π ∴A= . 6

π 3· sin 3 1 = . 3 2

由题悟法 1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余 弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷. 2.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三 角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 以题试法 1.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求 ; a (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. 解:(1)由正弦定理得, sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,即

sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. 故 sin B= b 2sin A,所以 = a 2.

?1+ 3?a (2)由余弦定理和 c2=b2+ 3a2,得 cos B= . 2c 由(1)知 b2=2a2, 1 故 c2=(2+ 3)a2.可得 cos2B= , 2 又 cos B>0,故 cos B= 2 ,所以 B=45° . 2

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

典题导入 [例 2] 在△ABC 中 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c +b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

[自主解答] (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)· b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=- ,∵0<A<180° ,∴A=120° . 2 3 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C= . 4 又 sin B+sin C=1, 1 解得 sin B=sin C= . 2 ∵0° <B<60° <C<60° ,0° ,故 B=C, ∴△ABC 是等腰的钝角三角形. 由题悟法 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应 关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变 形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论. [注意] 在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式, 以免漏解. 以题试法 2.(2012· 安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向 7 2A 量 m=(4,-1),n=?cos 2 ,cos 2A?,且 m· n= . ? ? 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=2a=2 3,试判断△ABC 的形状.
2A 解:(1)∵m=(4,-1),n=?cos 2 ,cos 2A?, ? ?

1+cos A A ∴m· n=4cos2 -cos 2A=4· -(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3. 2 2 7 又∵m· n= , 2 7 ∴-2cos2A+2cos A+3= , 2 1 解得 cos A= . 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3 (2)在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A,且 a= 3,

1 ∴( 3)2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc.① 2 又∵b+c=2 3, ∴b=2 3-c,代入①式整理得 c2-2 3c+3=0,解得 c= 3,∴b= c= 3,即△ABC 为等边三角形. 3,于是 a=b=

与三角形面积有关的问题

典题导入 [例 3] (2012· 新课标全国卷)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos

C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. [自主解答] (1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C- sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π 1 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?= . ? ? 2 π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 由题悟法 1.正弦定理和余弦定理并不是孤立的.解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要交 替使用. 1 1 1 2.在解决三角形问题中,面积公式 S= absin C= bcsin A= acsin B 最常用,因为公式 2 2 2 中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦定理结合应用. 以题试法 1 3.(2012· 江西重点中学联考)在△ABC 中, cos 2A=cos2A-cos A. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=3,sin B=2sin C,求 S△ABC.

1 解:(1)由已知得 (2cos2A-1)=cos2A-cos A, 2 1 π 则 cos A= .因为 0<A<π,所以 A= . 2 3 (2)由 b c sin B b = ,可得 = =2, sin B sin C sin C c

即 b=2c. b2+c2-a2 4c2+c2-9 1 所以 cos A= = = , 2bc 4c2 2 解得 c= 3,b=2 3, 1 1 3 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= ×2 3× 3× = . 2 2 2 2

正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点.主要考查利用正弦定理、 余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及测量、几何计算有关的实际问题.正、余弦 定理的考查常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差倍角公式甚至三角函数的图象和性质 等交汇命题,多以解答题的形式出现,属解答题中的低档题.

“大题规范解答——得全分”系列之(四)

解三角形的答题模板 [典例] (2012 江西高考· 满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已 π π π 知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. ? ? ? ? 4 π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. [教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息 观察 条件 ― → π π π A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a ? ? ? ? 4 ― ― 应统一 ― → ― ― ― ― ― ―
等式中既有边又有角,

π π sin Bsin?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A ? ? ? ? 2.审结论,明解题方向 观察所求 结论 ― → π 求证:B-C= 2 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →
应求角B-C的某一个三角函数值

sin?B-C?=1或cos?B-C?=0. 3.建联系,找解题突破口

― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 3π π 由0<B,C< ,解得B-C= 4 2

利用两角和与差的三角函数公式

sin?B-C?=1

― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →

要求角的值,还应确定角的取值范围

1.审条件,挖解题信息 观察 π π 可求B,C的值 5π π → ― ― ― → 条件 ― a= 2,A=4,B-C=2 ― ― ― ― B= 8 ,C=8 2.审结论,明解题方向 观察所求 结论 ― → 求△ABC的面积 ― 及其夹角 → ― ― ― ― ―
应具有两边

a b c 5π π 由 = = ,得b=2sin ,c=2sin sin A sin B sin C 8 8 3.建联系,找解题突破口 1 5π π π π 1 利用面积公式求结论 △ABC的边角都具备 ― ― ― ― ― S= bcsin A= 2sin sin = 2cos sin = ― ― ― ― → 2 8 8 8 8 2

[教你准确规范解题] π π (1)证明:由 bsin?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理,得 ? ? ? ? π π sin Bsin ?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A,? 分) (2 ? ? ? ? sin B? 2 2 ?-sin C? 2sin B+ 2cos B?= 2, 2 ? 2 sin C+ 2 cos C? ?2 ? 2

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,? 分) (5 即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= .? 分) (6 4 2 3π 5π π (2)B+C=π-A= ,因此 B= ,C= .? 分) (8 4 8 8 π asin B 5π asin C π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin ,? 分) (10 4 sin A 8 sin A 8 1 5π π 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin = 2 8 8 π π 1 2cos sin = .? 分),,[常见失分探因] (12 8 8 2

? ? ? ?

易忽视角B-C的范围,直接由sin?B-C?=1,求得结论.

———————————————[教你一个万能模板]———————————— 解三角形问题一般可用以下几步解答:

第一步 利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角) ― → 第二步 三角变换、化简、消元,从而向已知角(或边)转化 ― → 第三步 代入求值 ― → 第四步 反思回顾,查看关键点,易错点,如本题中公式应用是否正确

1. 在△ABC 中, b 分别是角 A、 所对的边, a、 B 条件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 C a<b?A<B?cos A>cos B. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

π 2.(2012· 泉州模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A= ,b=1, 3 △ABC 的面积为 A.1 C. 3 2 3 ,则 a 的值为( 2 ) B.2 D. 3

1 1 π 3 解析:选 D 由已知得 bcsin A= ×1×c×sin = ,解得 c=2,则由余弦定理可得 a2 2 2 3 2 π =4+1-2×2×1×cos =3?a= 3. 3 3.(2012· “江南十校”联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a tan A 2c =2 3,c=2 2,1+ = ,则 C=( tan B b A.30° ) B.45°

C.45° 135° 或

D.60°

tan A 2c 解析:选 B 由 1+ = 和正弦定理得 tan B b cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos A, 即 sin C=2sin Ccos A, 1 所以 cos A= ,则 A=60° . 2 2 3 2 2 由正弦定理得 = , sin A sin C 则 sin C= 2 , 2

又 c<a,则 C<60° ,故 C=45° . 4.(2012· 陕西高考)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2= 2c2,则 cos C 的最小值为( A. 3 2 ) B. 2 2

1 C. 2

1 D.- 2

1 1 解析:选 C 由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C,又 c2= (a2+b2),得 2abcos C= (a2 2 2 a2+b2 2ab 1 +b2),即 cos C= ≥ = . 4ab 4ab 2 5.(2012· 上海高考)在△ABC 中,若 sin2 A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 )

a2+b2-c2 解析:选 C 由正弦定理得 a2+b2<c2,所以 cos C= <0,所以 C 是钝角,故△ 2ab ABC 是钝角三角形. 6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 b=2asin B,则角 A 的大小为 ________. 解析:由正弦定理得 sin B=2sin Asin B,∵sin B≠0, 1 ∴sin A= ,∴A=30° A=150° 或 . 2 答案:30° 150° 或 π 7.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,A= ,则 C 的大小为________. 3 bsin A 解析:由正弦定理可知 sin B= = a 3sin 3 π 3 1 π 5π = ,所以 B= 或 (舍去),所以 C=π- 2 6 6

π π π A-B=π- - = . 3 6 2 π 答案: 2 8.(2012· 北京西城期末)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b= π 5 2 5,B= ,sin C= ,则 c=________;a=________. 4 5 b c bsin C 解析:根据正弦定理得 = ,则 c= =2 2,再由余弦定理得 b2=a2+c2- sin B sin C sin B 2accos B,即 a2-4a-12=0,(a+2)(a-6)=0,解得 a=6 或 a=-2(舍去). 答案:2 2 6

1 9.(2012· 北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 1 解析:根据余弦定理代入 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×?-4?,解得 b=4. ? ? 答案:4 10.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 解:(1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 故 cos B= 2 ,因此 B=45° . 2 2+ 6 . 4

(2)sin A=sin(30° +45° )=sin 30° 45° cos +cos 30° 45° sin = 2+ 6 sin A 故 a=b× = =1+ 3, sin B 2 sin C sin 60° c=b× =2× = 6. sin B sin 45°

11.(2013· 北京朝阳统考)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边, 且满足 3a-2bsin A=0. (1)求角 B 的大小;

AC 的值. (2)若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求 AB ·
解:(1)因为 3a-2bsin A=0, 所以 3sin A-2sin Bsin A=0, 3 . 2

? ??? ??? ?

因为 sin A≠0,所以 sin B=

π 又 B 为锐角,所以 B= . 3 π (2)由(1)可知,B= .因为 b= 3 7.

π 根据余弦定理,得 7=a2+c2-2accos , 3 整理,得(a+c)2-3ac=7. 由已知 a+c=5,得 ac=6. 又 a>c,故 a=3,c=2. b2+c2-a2 7+4-9 7 于是 cos A= = = , 2bc 14 4 7 所以 AB · | AC =| AB |·AC |cos A=cbcos A =2× 7× 7 =1. 14

? ??? ??? ?

? ??? ??? ?

12.(2012· 山东高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. 解:(1)证明:在△ABC 中,由于 sin B(tan A+tan C)= tan Atan C, sin A sin C sin A sin C 所以 sin B?cos A+cos C?= ? ? cos A· C, cos 因此 sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, 所以 sin Bsin(A+C)=sin Asin C. 又 A+B+C=π, 所以 sin(A+C)=sin B, 因此 sin2B=sin Asin C. 由正弦定理得 b2=ac, 即 a,b,c 成等比数列. (2)因为 a=1,c=2,所以 b= 2, a2+c2-b2 12+22-2 3 由余弦定理得 cos B= = = , 2ac 2×1×2 4 因为 0<B<π,所以 sin B= 1-cos2B= 7 , 4

1 1 7 7 故△ABC 的面积 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4

1.(2012· 湖北高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若三边的长为连 续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为( A.4∶3∶2 C.5∶4∶3 B.5∶6∶7 D.6∶5∶4 )

解析:选 D 由题意可得 a>b>c,且为连续正整数,设 c=n,b=n+1,a=n+2(n>1, ?n+1?2+n2-?n+2?2 且 n∈N ),则由余弦定理可得 3(n+1)=20(n+2)· ,化简得 7n2-13n-60 2n?n+1?
*

=0,n∈N*,解得 n=4,由正弦定理可得 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4. 2.(2012· 长春调研)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 4sin2 7 cos 2C= ,且 a+b=5,c= 7,则△ABC 的面积为________. 2 A+B 7 解析:因为 4sin2 -cos 2C= , 2 2 7 所以 2[1-cos(A+B)]-2cos2C+1= , 2 7 1 2+2cos C-2cos2C+1= ,cos2C-cos C+ =0, 2 4
2 2 1 1 a +b -7 解得 cos C= .根据余弦定理有 cos C= = , 2 2 2ab

A+B - 2

ab=a2+b2-7,3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18,ab=6,所以△ABC 的面 1 1 3 3 3 积 S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 3 3 答案: 2 3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2b-c)cos A-acos C=0. (1)求角 A 的大小; 3 3 (2)若 a= 3,S△ABC= ,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 4 解:(1)法一:由(2b-c)cos A-acos C=0 及正弦定理,得 (2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0, ∴2sin Bcos A-sin(A+C)=0, sin B(2cos A-1)=0. ∵0<B<π,∴sin B≠0, 1 ∴cos A= . 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3 法二:由(2b-c)cos A-acos C=0,

b2+c2-a2 a2+b2-c2 及余弦定理,得(2b-c)· -a· =0, 2bc 2ab b2+c2-a2 1 整理,得 b2+c2-a2=bc,∴cos A= = , 2bc 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3 1 3 3 (2)∵S△ABC= bcsin A= , 2 4 1 π 3 3 即 bcsin = , 2 3 4 ∴bc=3,① π ∵a2=b2+c2-2bccos A,a= 3,A= , 3 ∴b2+c2=6,② 由①②得 b=c= 3, ∴△ABC 为等边三角形.

1.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1,b= 3,A+C =2B,则 sin C=________. 解析:在△ABC 中,A+C=2B,∴B=60° .又∵sin A= ∴C=90° ,∴sin C=1. 答案:1 2.在△ABC 中,a=2bcos C,则这个三角形一定是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 ) asin B 1 = ,∴A=30° 150° 或 (舍), b 2

解析:选 A 法一:(化边为角)由正弦定理知: sin A=2sin Bcos C,又 A=π-(B+C), ∴sin A=sin(B+C)=2sin Bcos C. ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, ∴sin(B-C)=0. 又∵B、C 为三角形内角,∴B=C. a2+b2-c2 法二:(化角为边)由余弦定理知 cos C= , 2ab a2+b2-c2 a2+b2-c2 ∴a=2b· = , 2ab a

∴a2=a2+b2-c2,∴b2=c2,∴b=c. 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 1 cos 2C=- . 4 (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 1 解:(1)因为 cos 2C=1-2sin2C=- ,且 0<C<π, 4 所以 sin C= 10 . 4 a c = , c=4.由 cos 2C=2cos2C-1=- 得 sin A sin C

(2)当 a=2,2sin A=sin C 时, 由正弦定理 1 6 ,及 0<C<π 得 cos C=± . 4 4

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 b2± 6b-12=0,解得 b= 6或 2 6,

?b= 6, ?b=2 6, 所以? 或? ?c=4 ?c=4.
4.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, 4 且 cos B= ,b=2. 5 (1)当 A=30° 时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 4 3 解:(1)因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5 由正弦定理 a b a 10 5 = ,可得 = ,所以 a= . sin A sin B sin 30° 3 3

1 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac· B,sin B= , sin 2 5 3 所以 ac=3,ac=10. 10 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 8 得 4=a2+c2- ac=a2+c2-16, 5 即 a2+c2=20. 所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以 a+c=2 10.

第八节

正弦定理和余弦定理的应用

[知识能否忆起] 1.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角 (如图 1).

(2)方位角: 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图 2). (3)方向角: 相对于某一正方向的水平角(如图 3) ①北偏东 α° 即由指北方向顺时针旋转 α° 到达目标方向. ②北偏西 α° 即由指北方向逆时针旋转 α° 到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度: ①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4,角 θ 为坡角). ②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4,i 为坡比). 2.解三角形应用题的一般步骤 (1)审题,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)选择正弦定理或余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求.

[小题能否全取] 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 之间的关系是( A.α>β C.α+β=90° 答案:B 2.若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( ) A.北偏东 15° C.北偏东 10° 解析:选 B 如图所示, ∠ACB=90° , 又 AC=BC, ∴∠CBA=45° , 而 β=30° , ∴α=90° -45° -30° =15° . ∴点 A 在点 B 的北偏西 15° . 3.(教材习题改编)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB =105° ,则 A、B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m 解析:选 A 由正弦定理得 AC· ∠ACB sin AB= = sin B 50× 1 2 2 2 =50 2(m). ) B.50 3 m 25 2 D. m 2 B.北偏西 15° D.北偏西 10° B.α=β D.α+β=180° )

4.(2011· 上海高考)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° ,∠CBA =60° ,则 A、C 两点之间的距离为________千米. 解析:如图所示,由题意知∠C=45° , AC 2 由正弦定理得 = , sin 60° sin 45° ∴AC= 2 3 · = 6. 2 2 2

答案: 6

5. (2012· 泰州模拟)一船向正北航行, 看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条 直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东 60° ,另一灯塔在船的南偏东 75° ,则 这艘船每小时航行________海里. 解析:如图,由题意知在△ABC 中,∠ACB=75° -60° =15° ,B =15° ,∴AC=AB=8. 在 Rt△AOC 中,OC=AC· 30° sin =4. 4 ∴这艘船每小时航行 =8 海里. 1 2 答案:8

解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中 在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个 或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件 的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量, 从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

测量距离问题

典题导入 [例 1] 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示, 城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的 底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,AC=8 米,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由). [自主解答] (1)在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = ,① 2AC· BC 2×8×5 在△ABD 中,由余弦定理得

AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cos D= = ,② 2AD· BD 2×7×7 由∠C=∠D 得 cos C=cos D. 解得 AB=7,所以 AB 的长度为 7 米. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 1 易知 S△ABD= AD· BDsin D,S△ABC= AC· BCsin C, 2 2 因为 AD· BD>AC· BC,且∠C=∠D, 所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低.

若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元,试求最低造价为多少? 解:因为 AD=BD=AB=7,所以△ABD 是等边三角形, ∠D=60° ,∠C=60° . 1 故 S△ABC= AC· BCsin C=10 3, 2 所以所求的最低造价为 5 000×10 3=50 000 3≈86 600 元.

由题悟法 求距离问题要注意: (1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有 未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 以题试法 1.如图所示,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度, 在河段的一岸边选取两点 A、 观察对岸的点 C, B, 测得∠CAB=105° , ∠CBA=45° ,且 AB=100 m. (1)求 sin ∠CAB 的值; (2)求该河段的宽度. 解:(1)sin ∠CAB=sin 105° =sin(60° +45° ) =sin 60° 45° cos +cos 60° 45° sin



6+ 2 3 2 1 2 × + × = . 2 2 2 2 4

(2)因为∠CAB=105° ,∠CBA=45° , 所以∠ACB=180° -∠CAB-∠CBA=30° . 由正弦定理,得 AB BC = , sin ∠ACB sin ∠CAB

AB· 105° sin 则 BC= =50( 6+ 2)(m). sin 30° 如图所示,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,则 CD 的长就是该河 段的宽度.在 Rt△BDC 中, CD=BC· 45° sin =50( 6+ 2)× 2 =50( 3+1)(m). 2

所以该河段的宽度为 50( 3+1)m.

测量高度问题

典题导入 [例 2] (2012· 九江模拟)如图, 在坡度一定的山坡 A 处测得山顶

上一建筑物 CD(CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为 α, 从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后,又测得 CD 对于山坡的斜度为 β, 山坡对于地平面的坡角为 θ. (1)求 BC 的长; (2)若 l=24,α=15° ,β=45° ,θ=30° ,求建筑物 CD 的高度. [自主解答] (1)在△ABC 中,∠ACB=β-α, 根据正弦定理得 BC AB = , sin ∠BAC sin ∠ACB

lsin α 所以 BC= . sin?β-α? 24×sin 15° lsin α (2)由(1)知 BC= = =12( 6- 2)米. sin 30° sin?β-α? π π 2π 3 在△BCD 中,∠BDC= + = ,sin ∠BDC= , 2 6 3 2 根据正弦定理得 BC CD = , sin ∠BDC sin ∠CBD

所以 CD=24-8 3米.

由题悟法 求解高度问题应注意: (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与 水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的 运用. 以题试法 2. (2012· 西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度, C 点测得塔顶 A 的仰角 在 是 45° ,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30° ,并测得水平面上的∠BCD=120° ,CD=40 m,求 电视塔的高度. 解:如图,设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中, 由∠ACB=45° BC=x.在 Rt△ADB 中, 得 ∠ADB=30° , 则 BD= 3x. 在△BDC 中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC· cos 120° CD· , 即( 3x)2=x2+402-2· 40· 120° x· cos , 解得 x=40,所以电视塔高为 40 米.

测量角度问题

典题导入 [例 3] (2012· 太原模拟)在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°

方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75° 方向前进,若侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45° 方向拦截蓝方的小艇.若 +α 要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

[自主解答] 如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,

则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120° . 根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120° , 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20. 根据正弦定理得 BC AC = , sin α sin 120°

20sin 120° 5 3 解得 sin α= = . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 . 14 由题悟法 1.测量角度,首先应明确方位角,方向角的含义. 2.在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这一 步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理综合使 用的特点.

以题试法 3.(2012· 无锡模拟)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高 度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看 建筑物 CD 的张角∠CAD 的大小是________. 解析:∵AD2=602+202=4 000,AC2=602+302=4 500. 在△CAD 中,由余弦定理得 AD2+AC2-CD2 2 cos ∠CAD= = ,∴∠CAD=45° . 2AD· AC 2 答案:45°

[典例] 某港口 O 要将一件重要物品用小艇 送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮 船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里 的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东 方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/ 小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航 行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船 相遇,试确定小艇航行速度的最小值. [解]

(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则

S= 900t2+400-2· 20· 30t· cos?90° -30° ? = 900t2-600t+400 = 1 900?t-3?2+300, ? ?

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3, 3 1 3 即小艇以 30 3 海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇,如图所示.由题意可得:(vt)2=202 +(30t)2-2· 30t· 20· cos(90° -30° ),化简得: 1 3 400 600 v2= 2 - +900=400? t -4?2+675. ? ? t t 1 1 1 由于 0<t≤ ,即 ≥2,所以当 =2 时,v 取得最小值 10 13, 2 t t 即小艇航行速度的最小值为 10 13 海里/小时. [题后悟道] 解答本题利用了函数思想, 求解时, 把距离和速度分别表示为时间 t 的函数, 利用函数的性质求其最值,第二问应注意 t 的范围.关于三角形中的最值问题,有时把所求 问题表示关于角 θ 的三角函数,再利用三角函数的性质来求解. ?针对训练

π 如图,在△ABC 中,已知 B= ,AC=4 3,D 为 BC 边上一点.若 3 AB=AD,则△ADC 的周长的最大值为________. π 解析:∵AB=AD,B= ,∴△ABD 为正三角形, 3 在△ADC 中,根据正弦定理,可得 AD 4 3 DC = = , sin C 2π π sin sin?3-C? 3 ? ? π ∴AD=8sin C,DC=8 sin?3-C?, ? ? ∴△ADC 的周长为 π AD+DC+AC=8 sin C+8sin?3-C?+4 3 ? ? =8?sin C+

?

3 1 ? cos C- sin C +4 3 2 2 ?

1 3 =8? sin C+ cos C?+4 3 2 ?2 ? π =8sin?C+3?+4 3, ? ? 2π π π π 2π ∵∠ADC= ,∴0<C< ,∴ <C+ < , 3 3 3 3 3 π π π ∴当 C+ = ,即 C= 时,△ADC 的周长的最大值为 8+4 3. 3 2 6 答案:8+4 3

1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50° ,且到 A 的距离为 2,C 点的俯角 为 70° ,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( A. 16 C. 18 B. 17 D. 19 )

解析:选 D ∵∠BAC=120° ,AB=2,AC=3. ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos ∠BAC =4+9-2×2×3×cos 120° =19. ∴BC= 19. 2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人

在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达 点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m B.100 m D.150 m )

解析:选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,AB =100,BC= 3h, 根据余弦定理得, 3h)2=h2+1002-2· 100· 60° 即 h2+50h-5 000=0, ( h· cos , 即(h-50)(h +100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 3.(2012· 天津高考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b= 5c,C=2B,则 cos C=( 7 A. 25 7 C.± 25 ) 7 B.- 25 24 D. 25

解析:选 A 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理及 8b=5c 得 cos B= 4 sin C c 4 7 = = ,所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=2×?5?2-1= . ? ? 2 sin B 2b 5 25 4.(2012· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其 中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为( π A.?0,2? ? ? π π C.?6,3? ? ? π π B.?4,2? ? ? π π D.?3,2? ? ? )

解析:选 D 由题意得 sin2A<sin2B+sin2C, 再由正弦定理得 a2<b2+c2,即 b2+c2-a2>0. b2+c2-a2 则 cos A= >0, 2bc π ∵0<A<π,∴0<A< . 2 π 又 a 为最大边,∴A> . 3 π π 因此得角 A 的取值范围是?3,2?. ? ? 5.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观察 灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2 海里 C.20 2 海里 B.10 3 海里 D.20 3 海里 )

解析:选 A 如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30° ,∠ABC =105° , ∴∠BCA=45° . 1 又 AB=40× =20(海里), 2 20 BC ∴由正弦定理可得 = . sin 45° sin 30° 1 20× 2 ∴BC= =10 2(海里). 2 2 6.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的 高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯 角为 30° ,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75° ,则山顶的海 拨高度为(精确到 0.1 km)( A.11.4 C.6.5 ) B.6.6 D.5.6

1 50 000 解析:选 B ∵AB=1 000×1 000× = m, 60 3 AB 50 000 ∴BC= · 30° sin = m. sin 45° 3 2 50 000 ∴航线离山顶 h= ×sin 75° ≈11.4 km. 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6 km. 7.(2012· 南通调研)“温馨花园”为了美化小区,给居民提供更好的生 活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知 这种草皮的价格是 120 元/m2,则购买这种草皮需要________元. 1 解析:三角形空地的面积 S= ×12 3×25×sin 120° =225,故共需 225×120=27 000 2 元. 答案:27 000 8.(2012· 潍坊模拟)如图, 一艘船上午 9: 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30 30° 的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又 测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是 ________n mile/h. 解析:设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中 AB= v,BS=8 2,∠BSA=45° , 2

1 v 2 8 2 由正弦定理得 = ,则 v=32. sin 30° sin 45° 答案:32 9.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶 部测得俯角分别为 45° 60° 而且两条船与炮台底部连线成 30° 则两条船相距________m. 和 , 角, 解析:如图,OM=AOtan 45° =30(m), ON=AOtan 30° = 3 ×30=10 3(m), 3

在△MON 中,由余弦定理得, MN= 900+300-2×30×10 3× 3 2

= 300=10 3(m). 答案:10 3 10.如图,在△ABC 中,已知∠B=45° 是 BC 边上的一点,AD ,D =10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, AD2+DC2-AC2 由余弦定理得 cos∠ADC= 2AD· DC = 100+36-196 1 =- ,∴∠ADC=120° , 2 2×10×6

∴∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,∠B=45° ,∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin ∠ADB sin B AD· ∠ADB sin ∴AB= sin B 3 10× 2 10sin 60° = = =5 6. sin 45° 2 2 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观 测仪器的垂直弹射高度:A、B、C 三地位于同一水平面上,在 C 处 进行该仪器的垂直弹射, 观测点 A、 两地相距 100 米, B ∠BAC=60° , 2 在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒.在 A 地测得该仪器至最 17 高点 H 时的仰角为 30° ,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播 速度为 340 米/秒)

2 解:由题意,设 AC=x,则 BC=x- ×340=x-40, 17 在△ABC 中,由余弦定理得 BC2=BA2+CA2-2BA· cos ∠BAC, CA· 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,AC=420,∠CAH=30° ,∠ACH=90° , 所以 CH=AC· ∠CAH=140 3. tan 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米. 12.(2012· 兰州模拟)某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间 架设高压电线,测量人员在相距 6 km 的 C,D 两地测得∠ACD=45° , ∠ADC=75° ,∠BDC=15° ,∠BCD=30° (如图,其中 A,B,C,D 在同一平面上),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际 所需电线长度大约应该是 A, 之间距离的 1.2 倍, B 问施工单位至少应 该准备多长的电线? 解:在△ACD 中,∠ACD=45° ,CD=6,∠ADC=75° , 所以∠CAD=60° . CD AD 因为 = , sin ∠CAD sin ∠ACD CD×sin ∠ACD 所以 AD= = sin ∠CAD 6× 2 2 =2 6. 3 2

在△BCD 中,∠BCD=30° ,CD=6,∠BDC=15° , 所以∠CBD=135° . CD BD 因为 = , sin ∠CBD sin ∠BCD CD×sin ∠BCD 所以 BD= = sin ∠CBD 1 6× 2 =3 2. 2 2

又因为在△ABD 中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90° , 所以△ABD 是直角三角形. 所以 AB= AD2+BD2= ?2 6?2+?3 2?2= 42. 6 42 所以电线长度至少为 l=1.2×AB= (单位:km) 5 6 42 答:施工单位至少应该准备长度为 km 的电线. 5

1.某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上, 小山的高 BC 为 35 m, 在地面上有一点 A, 测得 A,C 间的距离为 91 m,从 A 观测电视发射塔 CD 的视角(∠CAD)为 45° ,则这座电视发射塔的高度 CD 为________米. 解析:AB= 912-352=84, 5 1+ 12 17 CD+35 BC 35 5 tan∠CAB= = = .由 =tan(45° +∠CAB)= = 得 AB 84 12 84 5 7 1- 12 CD=169. 答案:169 2.2012 年 10 月 29 日,超级风暴“桑迪”袭击美国东部,如图,在 灾区的搜救现场, 一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现 一个生命迹象,然后向右转 105° ,行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹 象,这时它向右转 135° 后继续前行回到出发点,那么 x=________. 解析:∵由题知,∠CBA=75° ,∠BCA=45° , ∴∠BAC=180° -75° -45° =60° , ∴ x 10 10 6 = .∴x= m. sin 45° sin 60° 3

10 6 答案: m 3 3.(2012· 泉州模拟)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消 息告知在甲船的南偏西 30° ,相距 10 海里的 C 处的乙船. (1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援, 其方向与 CA― →成 θ 角, f(x)=sin2θsin x+ 求 cos2θcos x(x∈R)的值域. 解:(1)连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10cos 120° =700. ∴BC=10 7,即所求距离为 10 7海里. (2)∵ sin θ sin 120° = , 20 10 7 3 . 7 4 . 7 3 4

∴sin θ=

∵θ 是锐角,∴cos θ=

f(x)=sin2θsin x+ =

3 2 3 3 cos θcos x= sin x+ cos x 4 7 7

2 3 ? π? sin?x+6?, 7

2 3 2 3? ∴f(x)的值域为?- . ? 7 , 7 ?

1.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定 方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海 里.问:乙船每小时航行多少海里? 解:如图,连接 A1B2 由已知 A2B2=10 2, A1A2=30 2× ∴A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知,A1B1=20, ∴∠B1A1B2=105° -60° =45° , 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B2=A1B2+A1B2-2A1B1· 1B2· 45° A cos 2 1 2 =202+(10 2)2-2×20×10 2× ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 ×60=30 20 2(海里/时). 2 =200, 2 20 =10 2, 60

2.如图,扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图,其中圆心角∠AOB 2π 为 ,半径 OA 为 1 km.为了便于游客观光休闲,拟在观光区内铺设一条 3 从入口 A 到出口 B 的观光道路,道路由弧 AC、线段 CD 及线段 DB 组成, 其中 D 在线段 OB 上,且 CD∥AO.设∠AOC=θ. (1)用 θ 表示 CD 的长度,并写出 θ 的取值范围; (2)当 θ 为何值时,观光道路最长? 解:(1)在△OCD 中,由正弦定理,得

CD OD CO 2 = = = , sin ∠COD sin ∠DCO sin ∠CDO 3 所以 CD= 2π 2 1 2 sin? 3 -θ?=cos θ+ sin θ,OD= sin θ, ? ? 3 3 3 2 sin θ<1, 3

因为 OD<OB,即 所以 sin θ<

3 π ,所以 0<θ< , 2 3 π 3 sin θ,θ 的取值范围为?0,3?. ? ? 3

所以 CD=cos θ+

(2)设观光道路长度为 L(θ), 则 L(θ)=BD+CD+弧 CA 的长 =1- 2 1 sin θ+cos θ+ sin θ+θ 3 3 π 1 sin θ+θ+1,θ∈?0,3?, ? ? 3 3 cos θ+1, 3

=cos θ-

L′(θ)=-sin θ-

π 3 由 L′(θ)=0,得 sin?θ+6?= , ? ? 2 π π 又 θ∈?0,3?,所以 θ= , ? ? 6 列表: θ L′(θ) L(θ)

?0,π? ? 6?
+ 增函数

π 6 0 极大值

?π,π? ? 6 3?
- 减函数

π π 所以当 θ= 时,L(θ)达到最大值,即当 θ= 时,观光道路最长. 6 6


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