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2013年重庆一中高2014级高三上期第一次月考理科数学试题


=

一、选择题.(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A. B. ,则集合 C. 有( )个子集 D.

2.函数 A. B.

的定义域是(

) C. D.

3.函数 ( A. 4.已知关于 ) B. 的方程 ,则实数

,若

,则

C.

D. 的两个实数根 满足

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

5.已知条件 A.

,则使得条件 B.

成立的一个充分不必要条件是( C. 或 D.

) 或

=

6.若 A.

且 B.

,则

的取值范围是( C.

) D.

7 . 若 函 数

在 实 数 集 ,则实数 的取值范围是(

上 单 调 递 增 , 且 ) D.

A.

B.

C.

8.已知 ( ) A.

,对任意

,恒有

,则

B.

C.

D.

二、填空题.(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已 知 幂 函 数 = ; 在 处有定义,则实数 m

=

12. 设 13 .已知

,若 是定义在 的解集是

,则 上的奇函数,且当 ; 满 足 ,则 时,

; ,则不等式

14 . 定 义 在

上 的 函 数 ,又

是 偶 函 数 , 且 恒 有 ;

15. 已知

是定义在

上的单调函数,且恒有

,则方 程 的实数解的个数是 ;

三、 解答题.(共 6 小题, 共 75 分, 解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. ) 16. (13 分)已知函数 为 . (1)求实数 的值; (2)求 的单调区间. 的图像在点 处的切线的斜率

17. (13 分)已知条件 在 使得不等式

函数



上单调递增;条件



成立.如果“

且 ”为真命题,

求实数 的取值范围.

18. (13 分)已知函数 (1)当 (2) 求函数 表示) . 时,求函数 在

. 上的最大值和最小值; 的值域 (用

的定义域, 并求函数

=

19. (12 分)市场营销人员对最近一段时间内某商品的销售价格与销售量的关系 作数据分析后发现如下规律:当该商品的价格上涨 %( 就减少 )时,其日销售数量

%(其中 为正数),预测此规律将持续下去.目前该商品定价为每件 10

元,统计得到此时每日的销售量为 1000 件. (1)当 此最大值; (2)如果在涨价过程中只要 不超过 100,其日销售总金额就不断增加,求 的 取值范围. 时,问该商品该定价多少,才能使日销售总金额达到最大?并求出

20 .( 12 分 ) 定 义 二 元 函 数

,如

. 已 知 二 次 函 数

过 点

, 且 满 足

对 (1)求 的值,并求函数

恒成立. 的解析式; ( 为自然对数的底数, 为参数)

(2)若关于 的方程 在 上有解,求实数 的取值范围;

(3)记函数

,试证明:

是关于 的增函数,其中



=

=

2013 年重庆一中高 2014 级高三上期第一次月考 数 学 试 题 参 考 答 案(理科)
2013.9

18. (13 分) 解: (1)令 故 取得) , (在 即 时取得) ,显然 在 , 即当 时, 上单调递减,故 , (在 即 , 时

( 2 ) 由 ,

的 定 义 域 为

, 由 题 易 得 :

因为

,故

的开口向下,且对称轴

,于是:

=





时 ,

的 值 域 为









时,

的值域为 (

20. (12 分) 解





1



发现,在令 设

时可得 , 由 , 得 , 于 是

由题:



, 检验知此时满足 ,故 ;

=

【或解: 当没有发现 由题:

时, 下面给出一种解答: 设



, 于 是
可 得

代回 ; 】



中可得

,于是得到

(2)令

,因为

,故

,题意

关于

的方程



上有解,分离参数,得到

, 的范围即为右式的值域,令



则右式 ,也即满足题意的 的范围为 ( 3 ) 即 证

,由双勾函数知其值域为 ; , 等 价 于 证



法一: (导数法)所证

考查函数

,则

,令

=

, 因为 在 在 , ,所以 时, 时

,所以 ,故

令 法二: (用

, 则 阶均值不等式)

, 即

, 证毕;



=

(2)先研究 推关系: 因为 整数, 故 时,

时函数

的值域中的元素个数,记为

,下研究

的递



,其含有

个正

,由(1)知

,叠加可得

即当 于 是 当

时函数

的值域中的元素个数为 时 函 数 的 值 域 中 的 元 素 个 数 为

(说明:也可直接研究 于是:



的关系)

第一项保留不动,从第二项起,利用上式放缩,得:

,证毕. 附 加 说 明 : 下 面 这 种 放 缩 方 法 :

在保留前三个项(或更少项)时是证不出来的,需要至少保留前四项才可以证得 出来,下面给出证明:

, 利用分析法得:

=

,此式成立,证毕. Over 了.


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