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独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计


2014 年河南省高中数学优质课评比

《独立性检验的基本思想及其初步应用》 教学设计

赵剑涛 洛阳市孟津县第一高级中学

3.2.1 《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计
洛阳市孟津县第一高级中学 【教学目标】 1.知识与技能:通过对典型案例的探究,了解独立性检验的基本思想,会对两个分类变 量进行独立性检验,明确独立性检验的基本步骤,并能解决实际问题。 2.过程与方法:通过设置问题,引导学生自主发现、合作探究、归纳展示、质疑对抗, 使学生成为课堂主体。 3.情感、态度与价值观:通过本节课学习,让学生体会统计方法在决策中的作用;合作 探究的学习过程,使学生感受发现、探索的乐趣及成功展示的成就感, 培养学生学习数学知识的积极态度。 【教学重点】 了解独立性检验的基本思想及实施步骤。 【教学难点】 独立性检验的基本思想;随机变量 K 的含义。 【学情分析】 本节课是在学习了统计、 回归分析的基本思想及初步应用后, 利用独立性检验进一步分 析两个分类变量之间是否有关系,为以后学习统计理论奠定基础。 【教学方式】 多媒体辅助,合作探究式教学。 【教学过程】 一、情境引入,提出问题 请看视频:
2

赵剑涛

[设计意图说明] 好的课堂情景引入,能激发学生的求知欲,是新问题能够顺利解决的前提之一。

2

问题 1、你认为吸烟与患肺癌有关系吗?怎样用数学知识说明呢?

[设计意图说明] 提出问题,引导学生自主探究,指明方向,步步深入。 二、阅读教材,探究新知 1.分类变量 对于性别变量,其取值为男和女两种:

[设计意图说明] 利用图像向学生展示变量的不同取值,更加形象的表示分类变量的概念。 这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量。 生活中有很多这样的分类变量如: 是否吸烟 宗教信仰 国籍 民族 ?

?

2.列联表 为研究吸烟是否对患肺癌有影响, 某肿瘤研究所随机地调查了 9965 人, 得到如下结果:

3

表 3—7

吸烟与患肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 42 49 91

单位:人 总计 7817 2148 9965

不吸烟 吸烟 总计

7775 2099 9874

这样列出的两个分类变量的频数表, 称为列联表 (一般我们只研究每个分类变量只取两 个值,这样的列联表称为 2 ? 2 列联表) 。 问题 1、吸烟与患肺癌有关系吗? 由以上列联表,我们估计①在不吸烟者中患肺癌的比例为________; ②在吸烟者中患肺癌的比例为 。

因此,直观上可以得到结论:吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。 还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关呢? 3.等高条形图

比较图中两个深色条的高可以发现, 在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些, 因此直观上 可以认为吸烟更容易引发肺癌。 [设计意图说明] 从具体的事例出发引入概念,有利于帮助学生对概念的理解。 三、小组讨论,合作交流 问题 2、你有多大程度判断吸烟与患肺癌有关?用什么方法进行检验呢? 我们先假设

H 0 :吸烟与患肺癌没有关系。

用 A 表示不吸烟, B 表示不患肺癌,则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患 肺癌独立” ,即假设 H 0 等价于: P( AB) ? P( A) ? P( B) 上述列联表中的数字用字母代替,可得如下列联表:

4

表 3—8

吸烟与患肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌

单位:人 总计

不吸烟 吸烟 总计 则有 P ( AB ) ?

a c

b
d b?d

a?b
c?d a?b?c?d

a?c

a a?b c?d , P( B) ? , P ( A) ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量 n n n a a?b c?d ? ? n n n

所以在 H 0 成立的条件下应该有: 即 即

(a ? b ? c ? d ) ? a ? (a ? b) ? (c ? d )
ad ? bc

探究: ad ? bc 的大小能说明了什么?

ad ? bc 越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; ad ? bc 越大,说明吸烟与患肺癌
之间关系越强。 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准, 基于上面的分析, 我们构造一个随机变 量

n(ad ? bc) 2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

(1)

其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。 探究: K 的大小能说明什么? 若 H 0 成立,即“吸烟与患肺癌没有关系” ,则 K 应该很小。根据表 3—7 中的数据, 利用公式(1)计算得到 K 的观测值为
2 2 2

k?

9965? (7775? 49 ? 42 ? 2099 )2 ? 56.632 7817? 2148? 9874? 91

9965? (7775? 49 ? 42 ? 2099 )2 ? 56.632这个值到底能告诉我们什么 探究: k ? 7817? 2148? 9874? 91
呢? 统计学家经过研究后发现,在 H 0 成立的情况下,

P( K 2 ? 6.635) ? 0.01

(2)

5

(2)式说明,在 H 0 成立的情况下, K 的观测值超过 6. 635 的概率非常小,近似为 0.01,是一个小概率事件。
2 现在 K 的观测值 k ? 56.632 ,远远大于 6.635,所以有理由断定 H 0 不成立,即认为

2

“吸烟与患肺癌有关系” 。 但这种判断会犯错误, 犯错误的概率不会超过 0.01, 即我们有 99% 的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” 。 在上述过程中,实际上是借助于随机变量 K 的观测值 k 建立了一个判断 H 0 是否成立 的规则: 如果 k ? 6. 635,就判断 H 0 不成立,即认为吸烟与患肺癌有关系;否则,就判断 H 0 成 立,即认为吸烟与患肺癌没有关系。 在该规则下, 把结论 “ H 0 成立” 错判成 “ H 0 不成立” 的概率不会超过 P( K ? 6.635 ) ? 0.01,
2
2

即有 99%的把握认为 H 0 不成立。 [设计意图说明] 独立性检验的思想是本节课的教学重点,通过层层设疑,把学生推向问题的中心,学生 不仅能够直观感受,更是直接参与讨论和总结,从而让学生理解独立性检验的基本思想,突 破本节课难点,培养学生的分析、探究、归纳能力以及小组协作的意识。 四、形成概念,重点精讲 上面解决问题的想法类似于反证法。要判断“两个分类变量有关系” ,首先假设该结论 不成立,即

H 0 :两个分类变量没有关系
成立。在该假设下我们所构造的随机变量 K 应该很小。如果由观测数据计算得到的 K 的 观测值 k 很大,则在一定可信程度上说明 H 0 不成立,即在一定可信程度上认为“两个分类 变量有关系” ;如果 k 的值很小,则说明在样本数据中没有发现足够的证据拒绝 H 0 。 怎样判断 K 的观测值 k 是大还是小呢?这仅需确定一个正数 k0 ,当 k ? k 0 时就认为
2 2 2

K 2 的观测值 k 大。此时相应于 k0 的判断规则为:如果 k ? k 0 ,就认为“两个分类变量之间
有关系” ;否则就认为“两个分类变量之间没有关系” 。我们称这样的 k0 为一个判断规则的

6

临界值。按照上述规则,把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之 间有关系”的概率不超过 P( K 2 ? k 0 ) 。 在实际应用中,我们把 k ? k 0 解释为有 (1 ? P( K 2 ? k0 )) ?100% 的把握认为“两个分 类变量之间有关系” ; 把 k ? k0 解释为没有 (1 ? P( K 2 ? k0 )) ?100% 的把握认为 “两个分类 变量之间有关系” ,或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。 上面这种利用随机变量 K 来判断“两个分类变量有关系”的方法,称为独立性检验。 根据上述, “独立性检验”的具体做法步骤为: 第一步:根据实际问题需要的可信程度确定临界值 k0 ; 第二步:利用公式计算随机变量 K 的观测值 k ; 第三步:比较 k 与 k0 的大小得出结论。 在实际应用中,要在获取样本数据之前通过下表确定临界值 k0 : 表 3-11 临界值表 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.897 0.001 10.828
2 2

P( K 2 ? k0 )
k0

五、运用新知,归纳展示 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机 抽取 500 名学生,得到如下列联表: 喜欢数学课程 男 女 总计 104 95 199 不喜欢数学课程 128 173 301 单位:人 总计 232 268 500

能够有 95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗? 解:根据列联表中的数据,得到

k?

500? (104? 173? 128? 95) 2 ? 4.5663 232? 268? 199? 301

? 4.5663 ? 3.841
所以,能够有 95%的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系” 。 [设计意图说明]

7

学以致用,学生对独立性检验进行实际应用。通过学生展示,一方面巩固了知识,体现 了数学在实际中的应用,另一方面暴露了学生的书写不规范问题,加强规范要求。 六、课堂检测,节节达标 1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是 ( ) A.若 K ? 6.635,则有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关,那么 100 名吸烟者中,有
2

99 个患肺病。 B.从独立性检验可知,有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么 他有 99%的可能性患肺病。 C.若从统计数据中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关, 是指有 5%的可能性使推 断出现错误。 D.以上三种说法都不对。 2.为了研究高中生的数学成绩和物理成绩的关系 ,在某校随机抽取部分学生调查,得到 如下列联表: 物理好 数学好 数学差 合计 104 56 160 物理差 96 94 190 单位:人 合计 200 150 350

根据抽查数据,你能够有 99%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩之间有关系吗?请 阐明得出结论的依据。 [设计意图说明] 通过目标检测结果性评价来激发学生的学习兴趣,提高课堂效率,及时反馈学生信息, 了解学生的学习效果。 七、归纳小结,提炼精髓 1.了解 2×2 列联表的意义并能识别等高条形图; 2.了解独立性检验的基本思想; 3.了解独立性检验的操作步骤。 [设计意图说明] 通过回忆、归纳、总结,强调重点知识,体现课标精神,达到教学目的。 八、课后作业,自主学习 必做题:课本 P97 选做题:课本 P101 习题 3.2 第1题 第3题

复习参考题 A 组

[设计意图说明] 巩固本节课基础知识,加深知识的应用。作业分为必做题和选做题,满足不同层次学生

8

的需求。

【板书设计】

3.2.1 1、分类变量 2、列联表

独立性检验的基本思想及其初步应用 学生展示探究成果

3、等高条形图 4、卡方统计量

【教学评价与反思】 教学过程始终贯彻以学生为主体的探究式学习,学生思考、探究、讨论,得出解决问题 的思路并完成落实, 总结出解题的一般步骤, 教师只起到提出问题, 适时点评、 提升的作用。 通过课堂检测,及时反馈学生学习效果,达到了教学目标。课堂上处处以学生为主体,体现 高效课堂本质,相比传统课堂效果更好,培养了学生能力,体现课标精神。

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