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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修1-2


第二章——

2.2

直接证明与间接证明 2.2.2 反证法

[学习目标]
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.

1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实
重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功

[知识链接] 1.有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题,这种 说法对吗?为什么?



这种说法是错误的,反证法是先否定命题,然后再证

明命题的否定是错误的,从而肯定原命题正确,不是通过

逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的,原命题正确,
其命题的否定一定不对.

2.反证法主要适用于什么情形? 答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由

条件推出结论的线索不够清晰;②如果从正面证明,
需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明, 只要研究一种或很少的几种情形.

[预习导引]

1.反证法定义
假设原命题 不成立 ,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明 假设错误 ,从而证明了 原命题成立 ,这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已 知条件 矛盾,或与假设矛盾,或与 定义、公理、定理、事实 矛 盾等.

3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下: 结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有 n 个 反设词 结论词 反设词 一个也没有 (不存在) 只有一个 至少有两个 至多有 (n-1) 个 至少有 (n+1)个

对所有x成立 存在 某个 x不成立

对 任意 x不成立 存在某个x成立

没有或至少
有两个

结论词

都是

一定是

p或q

P 且 q

反设词

不都是

不一定是 綈p 且 綈q 綈p或綈q

要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题 例1 已知 x,y>0,且 x+y>2.

1+x 1+y 求证: y , x 中至少有一个小于 2.

1+x 1+y 证明 假设 y , x 都不小于 2,
1+x 1+y 即 y ≥2, x ≥2.

∵x,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x.
∴2+x+y≥2(x+y),

即x+y≤2与已知x+y>2矛盾.
1+x 1+y ∴ y , x 中至少有一个小于 2.

规律方法

对于含有“至多”、“至少”的命题适合

用反证法,对于此类问题,需仔细体会 “ 至少有一 个”、“至多有一个”等字眼的含义,弄清结论的否 定是什么,避免出现证明遗漏的错误.

跟踪演练1

已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,

求证:a,b,c,d中至少有一个是负数. 证明 假设a,b,c,d都是非负数, ∵a+b=c+d=1, ∴(a+b)(c+d)=1. 又∵(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, ∴ac+bd≤1.

这与已知ac+bd>1矛盾,
∴a,b,c,d中至少有一个是负数.

要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题
例2 对称.
证明 假设存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称,设A(x1,
? ? x + x y + y 1 2 1 2 ? ? ? , 2 ? 2 ? ?

求证对于直线 l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l

与双曲线 C : 3x2 - y2 = 1 的交点 A 、 B 关于直线 y = ax(a 为常数 )

y1)、B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直;(2)点

A、B在直线l:y=kx+1上;(3)线段AB的中点
在直线y=ax上,所以

? ?ka=-1 ? ?y1+y2=k?x1+x2?+2 ? ?y +y x1+x2 2 ? 1 = a ? 2 ? 2

① ② ③

? ?y=kx+1, 2 2 由? 2 得 (3 - k )x -2kx-2=0. 2 ? ?y =3x -1,



当k2=3时,l与双曲线仅有一个交点,不合题意.

由②、③得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2
2k 由④知 x1+x2= 2,代入⑤整理得: 3-k ak=3,这与①矛盾.



所以假设不成立,故不存在实数k,使得A、B关于直线y= ax对称.

规律方法

证明“唯一性”问题的方法:“唯一性”包含

“ 有一个 ” 和 “ 除了这个没有另外一个 ” 两层意思 . 证明 后一层意思时,采用直接证法往往会相当困难,因此一般 情况下都采用间接证法,即用反证法 ( 假设 “ 有另外一

个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它
就是 “ 已知那一个 ”) 证明,而用反证法有时比用同一法

更方便.

跟踪演练2 求证:过一点只有一条直线与已知平面垂直.
已知:平面α和一点P.

求证:过点P与α垂直的直线只有一条.
证明 如图所示,不论点P在 α 内还是在 α 外,设PA⊥α,垂

足为A(或P).

假设过点 P 不止有一条直线与 α 垂直,如还有另一条直线 PB⊥α,设PA,PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平 面β内过点P有两条直线PA,PB垂直于a,这与过一点有且

只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,∴假设不成立,原
命题成立.

要点三 用反证法证明否定性命题 例3 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1+ 2, S3=9+3 2.

(1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn;



? ?a1= 2+1, 设公差为 d,由已知得? ? ?3a1+3d=9+3 2,

∴d=2,故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2).

Sn (2)设 bn= n (n∈N*), 求证: 数列{bn}中任意不同的三项都不 可能成为等比数列.

Sn 证明 由(1)得 bn= n =n+ 2.
假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等 比数列,则 b2 q=bpbr,

即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2),

∴(q2-pr)+(2q-p-r) 2=0.

∵p,q,r∈N*,
2 ? q ? -pr=0, ∴? ? ?2q-p-r=0,

?p+r? ?2=pr,(p-r)2=0, ∴? ? 2 ?

∴p=r,这与p≠r矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

规律方法

(1)当结论中含有 “不”、“不是”、“不可能”、

“ 不存在 ”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适于 应用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作 为已知条件推导出矛盾.

(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为
条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,

不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.

x-2 跟踪演练 3 已知 f(x)=a + (a>1),证明方程 f(x)=0 没有负数根. x+1
x

证明

假设 x0 是 f(x)=0 的负数根,则 x0<0 且 x0≠-1 且 ax0=

x 0 -2 x0-2 x - ,由 0<a 0 <1?0<- <1, x 0 +1 x0+1

1 解得2<x0<2,这与 x0<0 矛盾,所以假设不成立,

故方程f(x)=0没有负数根.

1 2 3 4 5

1. 证明 “ 在 △ABC 中至多有一个直角或钝角 ” ,第一步应
假设( B )

A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角

1 2 3 4 5

2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”, 应先假设这个三角形中( B ) A.有一个内角小于60° C.有一个内角大于60° B.每一个内角都小于60° D.每一个内角都大于60°

1 2 3 4 5

3.“a<b”的反面应是( D ) A.a≠b B.a>b

C.a=b

D.a=b或a>b

1 2 3 4 5

4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b” 时,应假设( D )

A.a不垂直于c
C.a⊥b

B.a,b都不垂直于c
D.a与b相交

1 2 3 4 5

5.已知a是整数,a2是偶数,求证a也是偶数. 证明 (反证法)假设a不是偶数,即a是奇数. 设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1. ∵4(n2+n)是偶数,

∴4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾.
由上述矛盾可知,a一定是偶数.

课堂小结
1.反证法证明的基本步骤

(1)假设命题结论的反面是正确的;(反设)
(2)从这个假设出发,经过逻辑推理,推出与已知条件、 公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾;(推谬) (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论是正 确的.(结论)

2.用反证法证题要把握三点:

(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一
论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.

(2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行
论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就 不是反证法. (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与 已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾, 但推导出的矛盾必须是明显的.


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