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福建省福州市2010届高三3月质量检查(数学文)(word)(2010.3)


2010 年福建省福州市高中毕业班质量检查 文科数学试卷
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,?, x n 的标准差;

s?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ],其中x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh, 其中S为底面面积 、h 为高;

1 Sh, 其中S为底面面积, h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4?R ,V ? ?R , 其中 R 为球的半径。 3
锥体体积公式: V ? 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置。 1.已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B 等于
2

( D. {x | x ? 2} (



A. {x | 0 ? x ? 1}

B. {x |1 ? x ? 2}

C. {x | 0 ? x ? 2}

2.在同一坐标系内,函数 y ? x ? a 与 y ? log a x 的图象可能是



3.在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,则“ a ? b ”是“ sin A ? sin B ”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (



4.在等差数列 {an } 中, a9 ? a11 ? 10 ,则数列 {an } 的前 19 项之和为 A.90 B.93
2 2



C.95

D.98 ( )

5.过点(1,2)且与圆 x ? y ? 2 x ? 3 相切的直线方程为 A. x ? 1 或 y ? 2 C. y ? 2 B. x ? ?1 或 x ? 3 D. x ? 1

6.某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型 H1N1 流感的预防作用,把 1000 名注射了

-1-

疫苗的人与另外 1000 名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较,提出假设 H0: “这种疫 苗不能起到预防甲型 H1N1 流感的作用” 并计算出 P( ? 2 ? 6.635) ? 0.01 ,则下列说法正确的 , 是 A.这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的有效率为 1% B.若某人未使用该疫苗,则他在半年中有 99%的可能性得甲型 H1N1 C.有 1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用” D.有 99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用” 7.如图所示的程序框图,运行后输出的结果为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 8.设 ?、? 是两个不同的平面, l , m 是两条不重合的直线, 下列命题中正确的是 A.若 l / /? , ? ? ? ? m ,则 l / / m B.若 l / / m, m ? ? ,则 l / /? ( ) ( )

//? ,则 l / / m C.若 l / /? , m / / ? 且?
D.若 l ? ? , m ? ? 且? ? ? ,则 l ? m 9.抛物线 C 的顶点为原点,焦点在 x 轴上。直线 x ? y ? 0 与抛物线 C 交于 A、B 两点,

P(1,1)为线段 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为
A. y ? 2 x2 B. y 2 ? 2 x C. x2 ? 2 y D. y 2 ? ?2 x )





10.如图 e1 , e2 为互相垂直的单位向量,向量 a ? b 可表示为( A. 3e2 ? e1 B. ?2e1 ? 4e2 C. e1 ? 3e2 D. 3e1 ? e2

?y ?1 ? 11.已知实数 x、y 满足 ? y ? 2 x ? 1 ,则目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?x ? y ? 5 ?
A.1 B. ?1 C.0 D.4





12.设曲线 y ? x n ?1 (n ? N *) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则

log2010 x1 ? log2010 x2 ? ...... ? log 2010 x2009 的值为
A. ? log 2010 2009 B. ?1 C. ( log 2010 2009 ? ? 1 D.1 ?





二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 13.设 z ? 1 ? i(i 是虚数单位) ,则 z 2 = ________________; 14.如图所示是甲、乙两个班同学数学测试成绩数据的茎叶图, 则甲班成绩的中位数是___ _. 乙班成绩的最高分为________;

-2-

15.若一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的表面 积为_____.

16.已知整数的数对表如下:
(1,1) (1,2),(2,1) (1,3),(2,2),(3,1) (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) ??????

则这个数对表中,每 20 行从左到右的第 10 个数对是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x, 3) ,b ? (2cos x,cos 2 x) ,函数 f ( x) ? a·b 。 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式和它的单调递减区间; (Ⅱ)请根据 y ? f ( x) 的图象是由 y ? sin x 的图象平移和伸缩变换得到的过程,补充填写下 面的内容。 (以下两小题任选一题,两题都做,以第 1 小题为准) ①把 y ? sin x 的图象由_____________得到________的图象,再把得到的图象上的所 有点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变) ,得到_________________的图象, 最后把图象上的所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变) 得到 , _____________的图象 ②把 y ? sin x 的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变) ,得到 __________的图象,再将得到的图象向左平移______单位,得到__________的图象; 最后把图象上的所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到_________ 的图象。

-3-

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b2 ? S1 , b4 ? a2 ? a3 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

19. (本小题满分 12 分) 某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如 下方式分成五组:第一组 ?50, 60? ,第二组 ?60, 70? ,?,第五组 [90,100] .下图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图 (Ⅰ)若成绩大于或等 60 且小于 80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人 数; (Ⅱ)从测试成绩在 ?50, 60 ? ? [90,100] 内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分 别为 m、n,求事件“ | m ? n |? 10 ”概率。

20. (本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱垂直于底面, BAC ? 900 ,AB ? AA1 ? 2, AC ? 1, M , N ? 分别是 A1 B1 , BC 的中点。 (Ⅰ)证明: MN / / 平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)若点 P 线段 BN 上,且三棱锥 P-AMN 的体积 VP ? AMN ?

5 NP ,求 的值。 21 PB

-4-

21. (本小题满分 12 分) 已知直线 y ? ?2 x ? 与曲线 f ( x) ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? x 2 ? m 在 (0, ??) 上有两个解 x1 , x2 。 求:①m 的取值范围; ②比较 x1 x2 ? 9 与 3( x1 ? x2 ) 的大小。
2 3

1 3 x ? bx 相切 3

22. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,以双曲线 G 的顶点为焦点作椭圆 C, 分别以双曲线 G: 2 2
过椭圆 C 的右焦点作与 x、y 两轴均不垂直的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在 y 轴上是否存在点 N (0, n) ,使得 ( NA ? NB)?AB ? 0 ?若存在,求出 n 的取值范围; 若不存在,说明理由。
??? ??? ??? ? ? ?

-5-

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1—5 BCACC 6—10 DDDBC 11—12 BB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 13. 2i 14.86,95 15. 18 ? 2 3 16. (10,11) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分 17. (本小题满分 13 分) 解: (I) f ( x) ? a ? b ? 2sin x ? cos x ? 3 cos 2 x ??????1 分

? 2sin x ? 3 cos 2 x

? 2sin(2 x ? ?

?
3

)

????????3 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

? 2 k? , k ? Z

??????4 分 ??????5 分 ??????6 分

?

? 7? ? f ( x)的单调递减区间为[ ? k? , ? k? ], k ? Z 12 12 ? (II)①左平移 个单位; ????????8 分 3
y ? sin( x ?

12

? k? ? x ?

7? ? k? , k ? Z 12

?

3

);

??????10 分

y ? sin(2 x ? ) ; ??????11 分 3 y ? 2sin(2 x ?

?

?

3

) ; ??????12 分
????????8 分

② y ? sin 2 x ,

? 6

????????10 分

y ? sin(2 x ? ) ; ??????11 分 3 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ; ??????12 分 3
18. (本小题满分 12 分) 解: (I) a1 ? S1 ? 3 ????????2 分

?

?

-6-

当 n ? 2时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2n ? [(n ? 1) ? 2(n ? 1)]
2 2

? 2n ? 1

??????4 分
*

符合 n ? 1情况,所以a n ? 2n ? 1, (n ? N ) (II)设等比数列 {bn } 的公比为 q, 则 b2 ? 3, b4 ? 5 ? 7 ? 12所以 ?

??????6 分

?b1 q ? 3
3 ?b1 q ? 12

??????8 分

3 ? 3 ? ?b1 ? ?b1 ? ? 解得 ? 2或? 2 ?q ? 2 ? q ? ?2 ? ?

????????10 分

3 3 (1 ? 2n ) ? [1 ? (?2) n ] 所以 Tn ? 2 或Tn ? 2 1? 2 1 ? (?2)
即 Tn ?

3 n 1 (2 ? 1)或Tn ? [(?2) n ? 1] 2 2

??????12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (I)由直方图知,成绩在 ? 60,80 ? 内的人数为:50×10×(0.18+0.040)=29. 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有 29 人。 ??????3 分

(II)由直方图知,成绩在 ? 50, 60 ? 内的人数为:50×10×0.004=2, 设成绩为 x、y ????????5 分 成绩在[90,100]的人数为 50×10×0.006=3,设成绩为 a、b、c, ??????6 分 若 m, n ? ?50, 60 ? 时, 只有xy 一种情况, ??????7 分 若 m, n ? [90,100]时,有ab,bc,ac 三种情况, 若 m, n分别在 ?50, 60 ? 和[90,100] 内时,有 ??????8 分

a x
y

b

c xc
yc

xa
ya

xb
yb

共有 6 种情况,所以基本事件总数为 10 种,

??????9 分 ??????10 分

事件“ | m ? n |? 10 ”所包含的基本事件个数有 6 种

? P(| m ? n |? 10) ?

6 3 ? . 10 5

??????12 分

-7-

20. (本小题满分 12 分) 解: (I)证明:设 AC 的中点为 D,连结 DN,A1D。 ∵D,N 分别是 AC,BC 的中点, ∴ DN / /

1 AB 2

??????2 分

1 A1 B1 , A1 B1 / / AB, 2 ? A1 M / /DN , 又 ? A1 M ? ?四边形A1 DNM 是平行四边形
∴A1D//MN ??????4 分

? A1 D ? 平面ACC1 A1 , MN ? 平面ACC1 A1 ? MN / /平面ACC1 A1
??????6 分

(II)?VP ? AMN ? VM ? APN ? 又 M 到底面 ABC 的距离=AA1=2

5 21

1 5 ? ? S?APN ? AA1 ? 3 14
∵N 为 BC 中点

??????8 分

? S?ABN ?

1 1 1 S?ABC ? ? AB ? AC ? 2 2 2
PN S?APN 5 ? ? BN S?ABN 7

??????9 分

? P点在线段BN 上时,
此时

??????11 分

NP 5 ? PB 2

????????12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (I)? f ( x) ?

1 3 x ? bx,? f ?( x) ? x 2 ? b, 3

??????1 分

设切点为 ( x0 , y0 ) ,依题意得

?1 3 ? 3 x0 ? bx0 ? y0 ? 2 ? ? ? y0 ? ?2 x0 ? 3 ? 2 ? x0 ? b ? ?2 ? ?
解得: b ? 3

????????3 分

????????4 分
2

(II)设 h( x) ? f ( x) ? x ? m ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? m 3

??????5 分

-8-

h?( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) ,
①令 h?( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 3 在 (0,3)上, h?( x) ? 0, 故h( x) 在(0,3)上单调递减, 在 (3, ??)上, h?( x) ? 0, 故h( x)在(3, ??) 上是单调递增, ????7 分 若使 h( x)图像在(0, ??) 内与 x 轴有两个不同的交点, 则需 ?

?h(0) ? ?m ? 0 ? ?9 ? m ? 0. ??????9 分 ?h(3) ? ?9 ? m ? 0

此时存在 x ? 3时 , h( x) ? 0, 例如 x ? 5时, h ?

125 5 ? 25 ? 15 ? m ? ? m ? 0. 3 3
??????10 分

? 所求m的范围是 ? 9 ? m ? 0.
2

②由①知,方程 f ( x) ? x ? m在(0, ??)上有两个解x1 , x2 ,

满足0 ? x1 ? 3, x2 ? 3, x1 x2 ? 9 ? 3( x1 ? x2 ) ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ? 0

? x1 x2 ? 9 ? 3( x1 ? x2 )
22. (本小题满分 14 分)

??????12 分

解: (I)依题意可设椭圆 C 的方程为 且 a ? 2 ? 2? ? 4, c ? a ? b ? 2,
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

? b2 ? 2.

??????2 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

???4 分

(II)椭圆 C 的右焦点为 F ( 2, 0),

设直线l的方程为y ? k ( x ? 2), k ? 0. ? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 2 ? y ? k ( x ? 2), ?

-9-

得 (1 ? 2k ) x ? 4 2k x ? 4k ? 4 ? 0.
2 2 2 2

??????6 分

设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 记AB的中点为M ( x0 , y0 ), 则x0 ? x1 ? x2 2 2k 2 2k ? ,? y0 ? k ( x0 ? 2) ? ? , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

2 2k 2 2k ?M( ,? ), 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ??? ??? ??? ? ? ? 若存在点 N (0, n), 使得( NA ? NB) ? AB ? 0 ,
等价于存在点 N (0, n), 使得2 NM ? AB ? 0,

???? ??? ? ?

2k ?n 1 ? 2k 2 ? k ? ?1 , ??????8 分 从而 2 2k 2 1 ? 2k 2 ?
解得 n ?

2k 2 ? .k ? 0 , 2 1 1 ? 2k ? 2k k
1 2 ? 2k ? 2 2, 当且仅当k ? 时取等号。 ??????10 分 k 2

当 k ? 0时, 当 k ? 0时,

1 1 ? 2k ? ?[(? ) ? (?2k )] ? ?2 2 k k
2 时取等号。 ??????11 分 2
??? ? ??? ??? ? ?

当且仅当 k ? ?

所以存在点 N (0, n), 使得( NA ? NB) ? AB ? 0. 且 n 的取值范围是 ? ?

? 1 ? ? 1? , 0 ? ? ? 0, ? . ? 2 ? ? 2?

??????14 分

- 10 -


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