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必修2导学案


曲江一中

高一数学?必修 2?导学案

天生我才必有用

§2.1.1
学习目标

直线的倾斜角

1、会用直线的斜率判断三点共线问题; 2、理解直线的倾斜角的定义及范围; 3、知道直线的倾斜角与斜率的关系。 注意点: 直线的倾斜角与斜率的关系, 直线倾 斜角的范围。 学习过程 一、课前准备 1.(预习课本 P71~P72,找出疑惑之处) 复习:1、直线的斜率是怎样定义的?它是怎 样刻画直线的倾斜程度的?是否每一条直线 都有斜率? 斜率一定是正数吗? 一条直线上任意两点确定的斜率有什么关 系? 2、用斜率如何判断三点是否共线? 学生练习:判段下列三点是否在同一直线上: (1) (0,2) (2,5) ( 3,7) , , (2) (-1,4) (2,1) (-2,5) , , 。 解:

★反思: 是否所有的直线都有倾斜角?一条直线的倾 斜角惟一吗? 直线的倾斜角与斜率有什么关系? 观察下面两图: 在图(1)中直线的斜率是__,倾斜角为_ _角,斜率 k ?
Y B B

?y ?x

?

BN AN

? tan ?
Y

A

?

?
O

N N X

?
O

A

?

?
X (2)

(1)

在图(2)中直线的斜率是__,倾斜角为_ _角。斜率 k ?
? ? tan( 180
0

?y ?x

?

BN ? AN

? ? tan ?

? ?)
o

规定: ? tan (1 8 0 ? ? ) ? tan ? 。 3、填空:
tan 3 0 ?
o

; tan 6 0 ?
o

; tan 4 5 ?
o o

; ;

tan 1 5 0 ?
o

; tan 1 2 0 ?
o

; tan 1 3 5 ?

tan 0 ?
o

; tan 9 0

o

;

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1、斜率可以刻画直线的倾斜程度,还可 例 1. 过点 M ( 3 , 2 ), N ( 2 , 3 ) 的直线 以用什么来刻画直线的倾斜程度? 的倾斜角为____. 探究 2、什么叫做直线的倾斜角?倾斜角的范 围是什么?倾斜角与斜率有什么关系?用倾 斜角怎样刻画直线的倾斜程度? 变式:过点 M ( 5 , 3 ), N ( 1 0 , 6 )的直线 ▲新知:直线的倾斜角定义: 的斜率为____. 在平面直角坐标系中, 对于一条与 X 轴相交的 小结: 利用两点斜率公式求出斜率, 再用公式 直线, X 轴所在的直线绕___按___方 把 k ? tan ? 求出 a 向旋转到___时所转过的___正角称为 例2、 已 知 直 线 l 经 过 点 这条直线的倾斜角。 P (2 a ? 1, a ), Q ( a ? 1, 2) 若 直 线 l 的 倾 斜 角 为 规定:与 X 轴___的直线的倾斜角为 0. 直线的倾斜角 ? 的范围是:__ 3? 当直线与 X 轴垂直时,直线的倾斜角是__。 ,求 a 的值
4
因材施教 合作探究 31

所以当 ? 为钝角时, k ? tan ? 。 问:当直线的倾斜角为直角时,它的斜率怎 样? 小结:当直线的倾斜角 ? 不为直角时,它的 斜率 k 与倾斜角 ? 的关系是: k ? tan ? ; 当直线的倾斜角为直角时,它的斜率不存在。 ※ 典型例题

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(2)若直线 l 与 Y 轴垂直,求 a 的值。 变 式 : 已 知 直 线
P( 2? a 1 a,
l

经 过 点

课后作业 1、过点 M ( 2 , ? 2 ) ,N ( 2 ,? 斜角为____. 2 、 已 知 直
2 )的直线的倾

轴垂 ? Q , ,若直线 l 与, X 2 ) ) a ( 1

直,求 a 的值。 小结: 利用两点斜率公式, 及公式 k ? tan ? 或 据没有斜率的直线上任意两点的横坐标相等, 求出 a 的值。 ※ 动手试试 练习:1、若直线 X=1 的倾斜角为 a ,则 a = ____. 2、已知直线 l 经过点(0,0)(1,1) , ,则直 线 l 的倾斜角是____. 3、有下列叙述: ①一条直线倾斜角为 a ,则它的斜率为 k ? tan ? 。 ②若直线斜率 k ? ? 1 , 则它的倾斜角为 1 3 5 。
o

线

l







P (2 a ? 1, a ), Q ( a ? 1, 2) ,若直线 l 的倾斜角



?
6

,求 a 的值

3.预习:直线的方程——点斜式,斜截式

③若 A (1, ? 3), B (1, 3), , 则直线 AB 的倾斜角为
90 。
o

④若直线过点(1,2) ,且它的倾斜角为 4 5 , 则这直线必过(3,4)点。 ⑤若直线斜率为
3 4

o

,则这条直线必过(1,1)

与(5,4)两点。 其中正确命题的序号为____(填序号) 二、 总结 ※ 学习小结 ① 直线的倾斜角定义: ② 直线的倾斜角与斜率的关系 ③ 一条直线一定有惟一的倾斜角,但不一定 有斜率。 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1、 过点 M (1,1), N ( 2 , 2 ) 的直线的倾斜角 为____. 2 、 已 知



线

l







P (2 a ? 1, a ), Q ( a ? 1, 2) ,

(1)若直线 l 的倾斜角为

?
4

,求 a 的值
因材施教 合作探究 32

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§2.1.1
学习目标

直线的斜率

y

y2

l Q ( x2 , y2 )

1 .理解直线的斜率的定义和斜率公式; 2、会用斜率公式求直线的斜率。

y 2 ? y1 y1 P ( x1 , y 1 ) x1 ? x 2 x1 x2

学习过程
一、 课前预习(预习教材 P69~P70,找出疑 惑之处) 复习: 1、日常生活中人们说的“山坡很陡”“楼梯 , 很陡, ”在数学上是用什么来刻化的? 2、坡度是怎样的概念?它是怎样刻画山坡的 倾斜程度的?能否用类似方法来刻画直线的 倾斜程度? 3、看下图,当楼梯台阶的宽度不变时,高度 越大,坡度就越__,楼梯就越__。
坡度=高度∕宽度 高 度 宽度

O

x

新知: 、直线的斜率的定义:已知直线上两点
p ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) , 如果 x1 ? x 2 , 那么直线

PQ
k ?









:

y1 ? y 2 x1 ? x 2

( x1 ? x 2 ) .

反思:1、当 x1 ? x 2 时,直线的斜率怎样?直 线的位置怎样? 2、若一条直线的斜率存在,则这条直线的斜 率与直线上选取的两点的位置有关吗?斜率 惟一吗? 3、在公式
y1 ? y 2 x1 ? x 2

高 宽度 度

k ?

( x1 ? x 2 ) .

小结: 山坡或楼梯、 路面的倾斜程度可用__ 来刻画,坡度=___,坡度是一个正数,坡 度越大表示越___。 除坡度外, 还可用什么 来刻画倾斜程度? 三、 新课探究 问:1、在平面直角坐标系中,确定直线的要 素有哪些?点用什么来刻画?用什么来刻画 直线的倾斜程度? 2.直线的斜率是怎样定义的? 3.如图,因为高度=___,宽度____, 所以坡度=___。

中 , y 2 ? y1 ? ? y = 纵 坐 标 的 增 量 ,
x 2 ? x1 ? ? x =横坐标的增量,纵坐标的增量,

横坐标的增量一定是正数吗?斜率一定是正 数吗? 小结:当 x1 ? x 2 时,直线的斜率不存在,直 线与 X 轴垂直; 若一条直线的斜率存在, 则这条直线的斜率与 直线上选取的两点的位置无关, 一条直线的斜 率若存在则惟一。 斜率可以是一个正数, 也可 以是一个负数,还可以是零。 ※ 典型例题 例 1 已知直线 l1 , l 2 , l3 都经过点 P ( ? 2, 3) ,又

因材施教 合作探究

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l1 , l 2 , l 3











Q1 (2,1), Q 2 (4, ? 2 ), Q 3 ( ? 3, ? 2 ) ,试计算直线

小结: ①求出直线上另一点坐标后画直线; ② 按课本方法即利用平移得另一点坐标画图。 ※ 动手试试 练习:1
( 2, ? 1) 。

求斜率:直线经过点 ( ? 3, ? 1) 与点

l1 , l 2 , l 3 的斜率,并画图象。

解:

小结:据斜率公式
k ? y1 ? y 2 x1 ? x 2 ( x1 ? x 2 ) .

2、已知直线上一点的坐标及斜率,写出直线 上另一点的坐标(答案不唯一) ,并画图: (1) 斜率-2,点(-2,-3) ; (2)斜率
4 3

,点(-3,2)

可求 问: 由上例图知直线的斜率分别为正数, 负 数时,直线怎样倾斜? 直线的斜率为零时,直线的位置怎样? 变式: 已知直线上一点的坐标及斜率, 写出直 线上另一点的坐标(答案不唯一) : (1) 斜率-2,点(-2,-3) ; (2)斜率
4 3

三、总结 ※ 学习小结 ①直线斜率的定义: ②直线斜率存在的条件及求法; ③已知直线上一点及斜率求另一点坐标及画 直线。 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ) A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1、经过点 ( ? 1, 3) 与点 ( 3 , ? 3 ) 的直线的斜 率为____。 2、直线的斜率为
4 3

,点(-3,2)

小结:据斜率公式
k ? y1 ? y 2 x1 ? x 2 ( x1 ? x 2 ) .

令其中一点为已知点, 另一点坐标为 ( x1 , y1 ) , 由 x1 的值可求 y 1 的值 例 2 经过点(3,2)画直线,使直线的斜率 分别为: (1)
3 4

,过点 P(-3,2) ,则另



(2) ?

4 5

一点坐标是( ) (答案不唯一)并画图 3、若直线过点 P(1,2),Q(1,-3),则直线斜率为_ __; 若直线点 P(1,2),Q(2,2),则直线斜率为_ __。 课后作业 1.课本 72 页 1、 1) (2) ( 2 1) (4) ( 3(1) (3) 2.预习:据直线的斜率怎样证明三点共线?, 直 线的倾斜角是怎样的?它与直线的斜率有怎 样的关系?

变式:根据下列条件,分别画出经过点 P,且 斜率为 K 的直线:
(1) (3) P (1, 3), K ? 4; P ( ? 2, 3), K ? 0; (2) (4) P (2, 3), K ? ? P ( ? 3, 0), 3 4 ;

斜率不存在。
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2.1.2 直线的方程(一) 学习目标
1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法, 掌 握直线的点斜式方程;了解直线方程的斜截 式是点斜式的特例; 2.能通过待定系数(直线上的一个点的坐标 ( x1 , y1 ) 及斜率 k , 或者直线的斜率 k 及在 y 轴上的截距 b )求直线方程; 3.掌握斜率不存在时的直线方程, x ? x1 学 即 问题 7:在同一坐标系中作出直线: y=1,y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1 根据图 像你能推测直线 y=kx+1 有什么特点吗? 注意:截距 b 就是函数图象与 y 轴交点的纵 坐标. 问题 6 :能否用斜截式表示平面内的所有直 线 ?斜截式与我们学过的一次函数表达式比 较你会得出结论?

习过程 一、课前准备
(预习教材 P70-P72,找出疑惑之处) 1.斜率的计算公式。 2.倾斜角的范围 二、新课导学 学习探究 问题 1:直线l上点 A(2,3) 。斜率为 2,点 P 在直线上运动,那么 P 的坐标满足什么条 件?

问题 8:在同一坐标系中作出直线: y=3x,y=3x+1,y=3x-1,y=3x+2,y=3x-2 根据图像你能推测直线 y=3x+b 有什么特点 吗?

问题 2:求直线的方程,其实就是研究直线上 任意一点 P ( x , y ) 的 之间的关 系. 新知 1: 直线 l 经过点 P1 ( x1 , y1 ) , 斜率为 k 时, 直线方程为 做直线的点斜式方程. ,该方程叫 例 2: 直线 l 过点 (-1, , 2)且倾斜角为 135 , 求直线的点斜式和斜截式方程,并画出直线。
0

典型例题 例 1:直线 l 斜率为 2,过点 P(0,-1) ,求 直线 l 的方程.

问题 3: 直线的点斜式方程能否表示坐标平面 上的所有直线呢? 问题 4:⑴x 轴所在直线的方程是 _____,y 轴所在直线的方程是________ ⑵经过点 P1 ( x1 , y1 ) 且平行于 x 轴(即垂直于 轴)的直线方程是__________ ⑶经过点 P1 ( x1 , y1 ) 且平行于 y 轴(即垂直于 轴)的直线方程是__________. 问题 5:直线 l 斜率为 k ,与 y 轴的交点是 P ( 0 , b ) ,求直线 l 的方程。 新知 2:直线 l 与 y 轴交点(0,b) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距,直线 y =kx +b 叫做直线的斜截式方程

变式:⑴直线 l 过点(-1,2) ,且平行于 x 轴 的直线方程_______________ ; ⑵ 直线 l 过点(-1,2) ,且平行于 y 轴的直 线方程 ________________; ⑶ 直 线 l 过 点(-1,2) 且 过 原 点 的 , 直 线 l 方程_______________. 例 3:写出下列直线的斜截式方程,并画出图 形: (1) 斜率为
3 2

,在 y 轴上的纵截距为-2
0

(2) 倾斜角是 135 , y 轴上的纵截距为 在 0
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变式:已知直线的方程 3x+2y - 6=0,求直线 的斜率及纵截距

3. 方程 y ? k ( x ? 2) 表示(



( A ) 通过点 ( ? 2, 0) 的所有直线

动手试试:
( B ) 通过点 ( 2, 0 ) 的所有直线

练习 1:经过点 P ( 2, 4 ) ,且倾斜角为 6 0 的 直线方程是 ;
( C ) 通过点 ( 2, 0 ) 且不垂直于 x 轴的直线 ( D ) 通过点 ( 2, 0 ) 且除去 x 轴的直线

?

练习 2:求直线 y=4x+8 与坐标轴所围成的三 角形的面积

4、 直线 l 经过点 (-2, , 2) 且与直线 y=x+6 在 y 轴上有相同的截距,求直线的方程.

三、总结提升 学习小结: 1、直线的方程: (1)点斜式 y- y 0 =k(x- x 0 ) (2)斜截式 y=kx+b 这两个公式都只能在斜率 存在的前提下才能使用 2、求直线的方程要考虑斜率不存在的情况。 学习评价 自我评价你完成本节教学案的情况为() A、 很好 B、教好 C、一般 D、较差 当堂检测 1. 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点 A (2, ? 1) ,斜率为 2 ;

课后作业: 1、课本 P72-P73 习题 2、已知直线 l 经过点 (2,1) ,且它的倾斜角是 直 线 l1 : y ? 程.
3 x ? 2 的一半,求直线 l 的方

3 、 设 直 线 ax ? by ? c ? 0 经 过 点 ( 1 , 1 ) 和
( ? 3, 5) ,求 a : b : c .

4、已知直线 l 的斜率为 (2)经过点 B ( ? 2 , 2 ) ,倾斜角为 30 ; (3)经过点 C (0, 3) ,倾斜角是 0 ;
?
?

3 4

,且与坐标轴所围

成的三角形的面积为 6 ,求直线 l 的方程

5、求过点(3,1)和点(a,3)的直线的方程 (4)经过点 D ( ? 4, ? 2) ,倾斜角是 1 2 0 .
?

2.写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率是
5 2

,在 y 轴上的截距是 ? 3 ;

(2)斜率是 ? 3 ,与 x 轴交点坐标为 ( 2, 0 ) .

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问题 3:a,b 表示截距,是不是表示直线与

2.1.2 直线的方程(二) 学习目标
(1)掌握直线方程的两点式、截距式,了解 截距式是两点式的特殊情况; (2)能够根据条件熟练地求出直线的方程. 坐标轴的两交点到原点的距离? 问题 4: 目前为止我们所学的直线的方程有多 少种表达形式?他们之间有什么关系?

学习过程
一、课前准备
(预习教材 P73-P74,找出疑惑之处) 1.直线的斜率公式 2.直线的点斜式方程 3.直线过点(2,-3) ,斜率是 1,则直线的方 程是______________ 4.已知直线过两点 A(1,2) ,B(3,5) ,求 直线 l 的方程___________ 二、新课导学 学习探究 问题 1:过两点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的直 线方程为____________. 新 知 1 : 已 知 直 线 上 两 点 P1 ( x 1 , y 1 ) ,
P2 ( x 2 , y 2 ) 且( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ),则通过这

典型例题 例 1:求过下列两点的直线的两点式方程,再 化为截距式方程 ⑴ A(2,1),B(0,-3); ⑵ A(-4,-5),B(0,0)

例 2: 已知三角形的三个顶点 A(-5, 0),B(3, -3),C(0,2) ,求 三角形的三条边所在直线 的方程

动手试试: 练习 1: 求出下列直线的方程,并画出图形 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 倾斜角为 45 在 y 轴上的截距为 0 ; 在 x 轴上的截距为-5,y 轴上的截距为 6; x 轴上截距是-3 ,与 y 轴平行; y 轴上的截距是 4,与 x 轴平行
0

两点的直线方程为______________, 由于这个 直线方程由两点确定, 所以我们把它叫直线的 两点式方程,简称两点式。 问题 2:哪些直线不能用两点式表示? 例 1: 点 A(1,0),B(0,-2), 过 求直线的方程, 并画出图象。

新知 2:已知直线 l 与 x 轴的交点 ( a , 0 ) , y 轴 与 的交点 (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,则直线 l 的 方程为_____________,叫做直线的截距式方程 注意: 直线与 x 轴交点 (a,0 ) 的横坐标 a 叫 做直线在 x 轴上的截距;直线与 y 轴交点 (0,b )的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的 截距

三、总结提升: 学习小结: 1、直线方程的各种形式总结为如下表格: 直 已 直 适 线 知 线 用 名 条 方 范 称 件 程 围 点 P1 ( x 1 , y 1 ) , 斜 k 式 斜 截 k,b 式 两 ( x1 , y1 ) 点 ( x2 , y 2 ) 式 截 距 a,b
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的直线方程
( B ) 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a , b 的直线

2、过两点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) 的直线能写成 两点式的条件是 x1 ? x 2 且 y1 ? y 2 , 如果没有 这个条件, 就必须分类讨论, 这点容易被忽略; 只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时, 才 可以用直线方程的截距式. 学习评价: 自我评价: 你完成本导学案的情况为( ) A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测 1.直线 3 x ? 2 y ? 4 的截距式方程为(
( A)

方程为

x a

?

y b

?1

( C ) 直线 y ? k x ? b 与 y 轴的交点到原点的

距离为 b
( D ) 不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一

定可以写成两点式或斜截式 5.直线 ( m ? 2 ) x ? ( 2 ? m ) y ? 2m 在 x 轴上 的截距为 3,则 m 的值是( )
( A)
6 5



3x 4
x 4 3

?

y 2
y ?2

?1

(B)

x 1 3

?

y 1 2

?1

(C ) 6 (D ) ?6 5 6.若直线 m x ? n y ? 1 ? 0 同时经过一、三、

(B) ?

6

四象限,则 m 、 n 分别满足的条件是 ( )
( A ) m ? 0, n ? 0 ( C ) m ? 0, n ? 0 ( B ) m ? 0, n ? 0 ( D ) m ? 0, n ? 0

(C )

?

?1

(D )

3x 4

?

y ?2

?1

2.根据下列条件,求直线的方程: (1)过点 A (3, 4 ) 和 B (3, ? 2) ; (2) x 轴上、 y 轴上的截距分别是 2,? 3 ; 在 (3)过点 A ( ? 1, 4) ,且在 x 轴上的截距为 3. 课后作业: 1.求过点 P (2, ? 1) ,在 x 轴和 y 轴上的截距 分别为 a , b ,且满足 a ? 3 b 的直线方程. 2.过点 P (1, 2) 且在两坐标轴上的截距和为 0 的直线方程为 .

3.经过点 (3, ? 4 ) 且在两坐标轴上截距相等的 直线方程是( )

( A) x ? y ? 1 ? 0 (B ) x ? y ? 1 ? 0 (C ) 4 x ? 3 y ? 0 (D ) 4x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0

3. 过点 (1, 5) 且在两坐标轴上截距的绝对值相 等的直线共有 条.

4.下列说法正确的是(
( A)
y ? y1 x ? x1



? k 是过点 M ( x1 , y1 ) 且斜率为 k

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2.1.2 直线的方程(三) 学习目标
1、明确直线方程一般式的形式特征; 2、会把直线方程的一般式化为斜截式,进而 求斜率和截距; 3、会把直线方程的点斜式、两点式化为一般 式。 学习过程 课前准备 (预习教材 P75-P76 ,找出疑惑之处) 复习 1: ⑴已知直线经过原点和点(0,4) 则直线的 方程______________ ⑵在 x 轴上截距为-1,在 y 轴上的截距为 3 的直线方程_________________ 复习 2: 平面直角坐标系中的每一条直线都可 以用一个关于 x,y 的二元一次方程表示吗? 新课导学 学习探究 新知:关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By + C=0 (A,B 不同时为 0)叫做直线的一般式 方程,简称一般式。 当 A?0 , B?0 时 , 方 程 表 示 ________________直线, 当 B?0 , A?0 时 , 方 程 表 示 ________________直线. 问题 1: 直线一般式能表示平面内的任何一条 直线吗? 问题 2: 直线方程的一般式与其他几种形式的 直线方程相比,它有什么优点? 例 1:已知直线过点 A (6, ?4) ,斜率为 ?
4 3

例 2:求直线 l : 3 x ? 5 y ? 1 5 ? 0 的斜率及 x 轴, y 轴上的截距,并作图.

例 3:设直线 l : ( m ? 2 m ? 3) x ? (2 m ? m ? 1) y
2 2

? 2 m ? 6 ? 0 ( m ? ? 1) 根 据 下列 条 件分 别确 定

m 的值: (1)直线 l 在 x 轴上的截距为 ? 3 ;

(2)直线 l 的斜率为 1 .

例 4:求证:不论 m 取什么实数,直线
(2 m ? 1) x ? ( m ? 3) y ? ( m ? 11) ? 0 恒 过 定

点,并求此定点坐标.



求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方 程.

动手试试 1.证明:不论 m 取什么实数,直线
( m ? 2 ) x ? (2 m ? 1) y ? 3 m ? 4 恒过定点,并
因材施教 合作探究 39

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求出该定点坐标.

5、 已知直线 l 的倾斜角为 6 0 , y 轴上的截 在 距为 ? 4 ,求直线 l 的点斜式、截距式、斜截 式和一般式方程.

?

2.已知直线过点 A ( ? 2,1) 和 B (1, 2) ,则直线 的一般式方程为 三、总结提升 学习小结 1、直线方程 4 种特殊形式的转化,都可化为 一般式。 2、证明直线过定点问题,要找到一定点,证 明其坐标始终满足直线方程即可 学习评价: 自我评价: 你完成本导学案的情况为( ) A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测
,q 1、 p ? 0r 若 r ? 0



课后作业 1、直线 3 x ? 4 y ? m ? 0 在两坐标轴上截距之 和为 2,则实数 k 等于 .

2、 已知直线 ( a ? 2) y ? x ? a ? 6 a ? 8 不经过
2

第二象限,求实数 a 的取值范围.

则直线 p x ? q y ? r ? 0 不

经过(
( A ) 第一象限 (C )


( B ) 第二象限 (D )

第三象限

第四象限
4 3

3、 求证: 不论 m 取什么实数, 直线 ( m ? 1) x ?
( 2 m ? 1) y ? m ? 5 总通过某个定点.

2.下列直线中,斜率为 ? 象限的是( )

,且不经过第一

( A) 3x ? 4 y ? 7 ? 0 ( C ) 4x+3y-42=0

( B ) 4 x ? 3y ? 7? ( D ) 4 x ? 4 y ? 42 ? 0

0

) 3 . 直 线 l 经 过 点 A ( 2 , 1, 且 与 直 线 x ? y ? 4 ? 0 和 x 轴围成等腰三角形, 则这样

4.光线由点 A(-1,4)射出, x 轴反射, 经 已知反 射光线过点(3,4) ,求反射光线所在直线的方 程。

的直线的条数共有(
( A) 1 条 (B) 2 条


(C ) 3 条 (D ) 4 条

4、若方程 Ax+By+C=0 表示一条直线,则() A、 A ? 1 C 、 AB ? 0 B、B ? 0 D、 A ? B
2 2

? 0
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2.1.3 两条直线的平行与垂直(1) 教学目标: 1. 掌握用斜率判定两条直
线行的方法, 并会根据直线方程判断两条直线 是否平行; 2.通过分类讨论、数形结合等数学思想的应 用,培养学生思维的严谨性和辨证性.

都与 x 轴垂直,故 l1 // l 2 . 如果 l1 、l 2 斜率一个为 0, 一个不存在,则两 直线的位置关系是垂直。 三、数学理论、数学运用 例 1:已知直线方程 l1 : 2 x ? 4 y ? 7 ? 0 ,
l 2 : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,证明: l 1 // l 2 .

学习过程
一.复习 1.直线斜率的定义:

2.直线的五种方程:

二.新课导学 学习探究 例 2. 求过点 A (2, ? 3) 且于直线 2x+y-5=0 平行的直线方程。

探究 1. 判定直线 l1 与 l 2 平行的前提是:
l1 与 l 2 是______________的两条直线。

探究 2.如果 l1 、 l 2 斜率都存在,则两直线平行 能得到_________,反之,如果 l1 、 l 2 斜率相 等,则两直线_________。 探究 3.如果 l1 、 l 2 斜率都不存在,那么两直 线都_________于 x 轴,它们也_________. 探究 4. 如果 l1 、 l 2 斜率一个存在, 一个不存 在,则两直线的位置关系是_________。 新知: 当两条直线 l1 与 l 2 的斜率都存在时,如果它 们互相平行,那么他们的斜率相等。反之, 如果两条直线的斜率相等,那么它们互相 平行。
l1 ? ? l 2 ? k 1 ? k( k 1 , k 2 均存在) 2

例 3. 证明:顺次连接 A (2, ? 3), B (5, ?

7 2

)

C ( 2, 3) , D ( ? 4, 4 ) 四 点所得的四边 形是梯

形.

四.动手试试:
1.直线 2 x ? y ? k ? 0 和 4 x ? 2 y ? 1 ? 0
41

当两条直线 l1 与 l 2 的斜率都不存在时,它们

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的位置关系是_________。 2.若直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 与
l 2 :2 x ? ( a ? 1) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 的

2.求与直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 平行,并且和 两坐标轴在第一象限所围成的三角形面 积是 24 的直线方程.

值为_________。 3.若过两点 P (6, m ) 和 Q ( m , 3) 的直线与 直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 平行,则 m 的值为( )
( A) 5 (B) 4 (C ) 9 (D ) 0

4.直线 m x ? y ? n ? 0 和 x ? m y ? 1 ? 0 平行的条件是( )
( A) m ? 1 ( B ) m ? ?1

七.预习提示: 2.1.3 两直线的垂直.

?m ? 1 (C ) ? ?n ? ?1

?m ? 1 ?m ? ?1 (D ) ? 或? ?n ? ?1 ?n ? 1

五.小结: (1)若两直线斜率不等,必定相交; 若两直线斜率相等,则平行或重合; (2)在两直线斜率存在的前提下,若两直 平行,则斜率相等,可以此来求直线方 程中的字母系数.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测 1.若直线 mx+4y-1=0 与直线 x+my-3=0 不 平行,求实数 m 的取值范围是_________。
2.与直线 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 平行且在两坐标 轴上截距之和为
7 3

的直线 l 的方程为______。

3. 平行于直线 3 x ? 8 y ? 25 ? 0 ,且在 y 轴 上截距为 ? 2 的直线方程是_________。 4 . 若 直 线 y ? ( a ? 2 a ? 3) x ? 1 与 直 线
2

y ? ( a ? 7 ) x ? 4平 行 , 则 a 的 值 为

_________。 六. 课后作业

1. p 8 2 2.
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2.1.3 两条直线的平行与垂直(2) 教学目标:

.

如果 l1 、 l 2 斜率一个为 0, 一个不存在,则 两直线的位置关系是垂直. 三、数学理论、数学运用 例 1. 已 知 四 点 A(5,3),B ( 10 , 6 ) C(3,-4),D(-6,11),求证: A B ? C D .

1.掌握两条直线垂直的判定方法,并会根据 直线方程判断两条直线是否垂直; 2.理解两条直线垂直条件的推导过程,注意 解几思想的渗透和表述的规范性, 培养学生的 探索和概括能力.

学习过程
一.复习 (1)当两条直线的斜率都存在时,如果 它们__________,那么它们互相平行.反 之,如果它们________,那么它们的斜率 相等。 ( 2 ) 当 两 条 直 线 l1 与 l 2 的 斜 率 都 不 存 在 时,它们________,故 l1 // l 2 . (3) 如果 l1 、 l 2 斜率一个存在, 一个不存在,则 两直线的位置关系是________。 二.新课导学 学习探究 (2)已知直线 l1 的斜率为 k 1 ?
2

3 4

,直线 l 2

经过点 A (3 a , ? 2 ), B (0, a ? 1) ,且 l1 ? l 2 , 求实数 a 的值.

例 2.已知三角形的三个顶点为
A (2, 4), B (1, ? 2 ), C ( ? 2, 3) ,求 B C 边

上的高 A D 所在的直 线方程.
C
D ?2 ?2
4

A

2
B

探究 1. 如果 l1 、 l 2 斜率都存在,则两直线垂
直,能得到_________,反之,如果 l1 、 l 2 斜 率_________,则两直线垂直。 探究 2.如果 l1 、 l 2 斜率都不存在,那么两直 线都垂直于 x 轴,它们_________. 探究 3. 如果 l1 、 l 2 斜率一个存在, 一个不存 在,则两直线的位置关系是_________。 新知:
l 如果 l1 、 2 斜率都存在, 则两直线垂直,能得到,

例 3.在路边安装路灯,路宽 23 m ,灯杆 长 2 .5 m ,且与灯柱成 1 2 0 角,路灯采用 锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱 高 h 为多少米时,灯罩轴线正好通过道路 路面的中线?(精确到 0 .0 1m )
?

他们斜率之积等于 -1,反之,如果
l1 、 l 2 斜率之积等于 -1,则两直线垂直。

四.动手试试:
如果 l1 、 l 2 斜率都不存在,那么两直线都 垂直于 x 轴,它们互相平行. 1. 以 A ( ? 1,1), B (2, ? 1), C (1, 4) 为顶点的三 角形是( )
43

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( A )锐角三角形 ( B )直角三角形 ( C )钝角三角形 2.直线 ( 3 ?
x?( 2? 2 ) x ? y ? 3 和直线

( A ) 等腰梯形 ( C ) 长方形

( B ) 梯形 ( D ) 正方形

3 ) y ? 2 的位置关系是 (



3.过点 (2,1) 的所有直线中,距离原点最远的 直线方程是_________. 4.分别经过点 A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相 平行,当它们之间的距离达到最大时,求 这两条直线的方程. 六. 课后作业

( A )相交不垂直 ( B )垂直 ( C )平行 ( D )重合 3. 过原点作直线 l 的垂线,若垂足为
( ? 2, 3) ,则直线 l 的方程是_________。

4 . 已 知 两 直 线 l1 : 2 x ? 4 y ? 7 ? 0 ,
l 2 : 2 x ? y ? 5 ? 0 ,求证: l 1 ? l 2 .

1. p 8 2 页 4 2. p 8 4 页 2,6,7

五.小结:(1)如果 l1 、 l 2 斜率都存在,则两直 线垂直,能得到,他们斜率之积等于 -1,反之, 如果 l1 、 l 2 斜率之积等于 -1,则两直线垂直。 (2) 如果 l1 、l 2 斜率都不存在,那么两直线都 垂直于 x 轴,它们互相平行. (3) 如果 l1 、 l 2 斜率一个为 0, 一个不存在,则 两直线的位置关系是垂直.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测
1.若直线 ( a ? 2 ) x ? (1 ? a ) y ? 3 ? 0 与 ( a ? 1) x ? ( 2 a ? 3 ) y ? 2 ? 0 互相垂直, 则实数 a 的值为_________.
? 2. 由 四 条 直 线 : x ? 2 y ? 1 2x ? y ?1 ? 0 0 ,

,

2x ? 4 y ?1 ? 0

, )
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4 x ? 2 y ? 1 ? 0 围成的四边形是 (

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§ 2.1.4 两直线的交点
学习目标
1.知道两条直线的相交、平行和重合三种位 置关系, 对应于相应的二元一次方程组有唯一 解、无解和无穷多组解; 2.当两条直线相交时,会求交点坐标; 3.通过一般形式的直线方程解的讨论,加深 对解析法的理解,培养转化能力。 例 2:直线 l 经过原点,且经过另外两条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , x ? y ? 1 ? 0 的交点,求直 线 l 的方程.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P82~ P84,找出疑惑之处) (1)求两直线的交点坐标只需将这两 条直线的方程联立组成方程组, _______________即为交点坐标. (2)在解由两直线的方程组成的方程组的时 候可能出现的三种结果是: ①方程组有一组解,该解为_____________; ②方程组有无数组解, 此时两直线的位置关系 为________,交点个数为_____________; ③方程组无解,此时两直线的位置关系是 _________,交点个数为___________. 二、新课导学 ※ 学习探究 问 题 1 : 已 知 两 直 线 方 程 l1 : , : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 如何判断这两条直线的位置关系/ 问题 2:如果两条直线相交,怎样求交点坐 标?交点坐标与二元一次方程组有什么关 系? ※ 典型例题 例 1:分别判断下列直线是否相交,若相交, 求出它们的交点: (1) l1 : 2 x ? y ? 7 , l 2 : 3 x ? 2 y ? 7 ? 0 ;
A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0

变式: 1. 求经过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交 点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程。

2. 求经过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交 点且与直线 3x+y-1=0 垂直的直线方程。

例 3:某商品的市场需求 y 1 (万件) 、市场供 求量 y 2 (万件) 、市场价格 x (元/件)分别 近 似 地 满 足 下 列 关 系 : y 1 ? ? x ? 70 , y 2 ? 2 x ? 20 . y 1 ? y 2 时的 当 市场价格称为市场平衡价格, 此时的需求量称 为平衡需求量. (1)求市场平衡价格和平衡需求量; (2)若要使平衡需求量增加 4 万件,政府对 每件商品应给予多少元补贴?

, l2

(2) l1 : 2 x ? 6 y ? 4 ? 0 ,
l 2 : 4 x ? 12 y ? 8 ? 0 ;

(3) l1 : 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 , l 2 : y ? ? 2 x ? 3

※ 知识拓展 1: 已知三条直线 l1 : 4 x ? y ? 4 ? 0 , l 2 :
xm ? y ? 0 , l 3 : 2 x ? 3 m y ? 4 ? 0 ,求分别

变式: 判断下列各对直线的位置关系; 如果相 交,求出交点坐标。 (1) l1 : x ? y ? 0 , l 2 : 3 x ? 3 y ? 10 ? 0 ; (2) l1 : 3 x ? y ? 0 , l 2 : 6 x ? 3 y ? 0 ;
( 3 ) l1 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 l 2

满足下列条件的 m 的值: (1)使这三条直线交于同一点; (2)使这三条直线不能构成三角形.

:

, :6x

? 8 y ? 10 ? 0

2:求证:不论 m 为何实数,直线 l : ( m ? 1) x ? (2 m ? 1) y ? m ? 5 恒过一定点,并 求出此定点的坐标.

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思维点拔:
因为直线上点的坐标就是对应方程的解,所以 两直线是否有交点,取决于它们对应方程组成 的方程组是否有唯一解.体验“形”的问题怎 样通过“数”的运算来解决,从而感悟到解析 几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几 何问题). ※ 动手试试 1.设 m ? n ? k ( k 为非零常数) ,则直线 m x ? n y ? 1 ? 0 恒过点_____________.

4.已知两直线 a1 x ? b1 y ? 3 ? 0 和
a 2 x ? b 2 y ? 3 ? 0 的交点是 ( 2, 3) ,则过两点 P ( a1 , b1 ), Q ( a 2 , b 2 ) 的直线方程是 (
( A) 3x ? 2 y ? 0 ( B ) 2 x ? 3y ? 3 ?


0

(C ) 3 x ? 2 y ? 3 ? 0

( D ) 2 x ? 3y ? 5?

0

5. (2002 北京文,6)若直线 l:y=kx ? 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限, 则直线 l 的斜率的取值范围是 。

课后作业
1.直线 5x+4y-2m-1=0 与直线 2x+3y-m=0 的交 点在第四象限,求 m 的取值范围。 2.求证:不论 m 为何实数,直线 l : (2 m ? 1) x ? ( m ? 3) y ? ( m ? 11) ? 0 恒 过一定点,并求出此定点的坐标. 为 实 数 , 两 直 线 l 1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相 交 于 一点,求证交点不可能在第一象限及 x 轴上。 2. a 已 知

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 两直线的交点问题一般地,将两条直线的
? A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 ? 方程联立,的方程组 ? A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 ,

若方程组有唯一解, 则两直线相交; 若方程组 有无数组解,则两直线重合;若方程组无解, 则两直线平行。 2.直线与直线的位置关系, 求两直线的交点坐 标,能将集合问题转化为代数问题来解决。

学习评价
※ 自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计 分: 变式:1. 若一条直线过点(2,1),且与另一条 直线 y ? k x ? b 相交于点(1,2),则该直线的方 程为______________________. 2. 若 三 条 直 线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0, x ? ky ? 0 相交于一点,则 k 的 值等于 ( )
( A) ?2 (B) ?
1 2

(C ) 2

(D )

1 2

3. 三条直线 x ? y ? 1 ? 0 , 2 x ? y ? 8 ? 0 ,
ax ? 3 y ? 5 ? 0 有且只有两个交点,则 a ?

______________.
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§ 2.1.5 平面两点间的距离
学习目标
1. 了解两点间的距离公式的产生过程 2. 掌握两点间的距离公式和中点公式 3. 会用两点间的距离公式解决问题

问题 2:已知 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 求两点间 的距离? (1) y 1 ? y 2 时,如图

Y
P1 ? x 1, y 1 ?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P85~ P89,找出疑惑之处) 复习 1:判断两条直线的位置关系有以下结 论:
L 1 :y= k 1 x+ b 1 L 1 : A1 X+ B 1 Y+ C 1 =0
?
P2 ? x 2 , y 2 ?

?

x1

o

x2

x

L 2 :y= k 2 x+ b 2

L 2 A 2 X+ B 2 Y+ C 2 =0
A 2 B 2 C 2 ≠0)

( k 1 , k 2 均存在) ( A1 B 1 C 1 ≠0 , 平行 重合 相交 垂直

P1 P2 ? __________

_________

(2) x 1 ? x 2 时,如图
?P1 ? x 1, y 1 ?

y1

o
y2
?
P2

x
? x 2, y 2 ?

复习 2:初中学的平行四边形的判定定理有哪 些? ① ② ③ ④

P1 P2 ? __________

_________

(3) x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ,如图

Y
P1 ? x1, y 1 ?

?

P2 ? x 2, y 2 ?

Q ? x1, y 2 ?

在图中取点 Q,由初中学的 ________
P1 P2 ? __________ __________

定理有

(1) 在坐标系中描出这四个点, 作出四边形。

____

新知: 由上可知两点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 的 距离公式: __________
__________ _

方法一: (利用平行)

※ 典型例题 例 1:(1)求 A(-1,5) ,B(2,3)两点间的 距离。 (2)已知 A(10,0),B(-5,a);两点间的 距离是 17,求 a 的值。

方法二: (利用相等) ,即是求哪些边相等?
因材施教 合作探究 47

?

?

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:已知点 A(-1,3) ,O(0,0) , B(3,-1)C(2,2) ,试问:四边形 AOBC 是什么四边形?

o

x

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例 2 :已知 B(-2,-1) ,C(4,7) ,如何求 BC 的中点坐标 M ?

※ 学习小结 1. 两点距离公式: __________ _
2. 中点公式: __________
___

自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
小 结 : 对 于 平 面 上 的 两 点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 线段 P1 P2 的中点是 M
? x 0 ? ________ ? ( x0 , y0 ) ,则 ? ? y ? ________ ? 0

课后作业
课本 P90 , 1, 2, 3 预习 2.1.6 点到直线的距离

※ 动手试试 练习 1:求线段 AB 的长及其中点坐标: ① A(6,8), B(-2,2) ② ②A(- 5 , 2 ),B( ? 2 , 5 )

练习 2: 已知 ? ABC 的顶点坐标为 A (-1, , 5) B(-2,-1) ,C(4,7) (1)求 BC 边的长 ; (2)求 BC 边上的中线 AM 的长; (3) BC 边上的中线 AM 所在直线的方程。 求 练习 3:已知 ? ABC 的顶点坐标为 A(2,3) , B(0,1) ,C( 5 , ? 3 ) (1)求 AB 边上的中线 CM 的长; (2)求 CM 所在直线的方程。

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§ 2.1.6 点到直线的距离
学习目标
1.巩固点到直线的距离公式及两平行直线间 的距离公式; 2.掌握点、直线关于点成中心对称(或关于 直线成轴对称)的点、直线的求解方法; 3.能运用点到直线的距离公式及两平行直线 间的距离公式灵活解决一些问题.

例 3:已知直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 ,
l 2 : 2 x ? y ? 3 ? 0 ,求直线 l 2 关于直线 l 1 对

称的直线 l 的方程. 【解】

学习过程
※课前准备 1.点P? ?5 , 7) 到直线 12x ? 5 y?? 3 ??0 的距离 ( ? 为____
2.若 Q 0 ( x 0 , y 0 ) 与 Q ( x , y ) 关于点 P ( a , b ) 对 称, 则
x0 ? x 2 ?

____ ,

y0 ? y 2

?

____ .

3.已知点 P(-1,2) ,则点 P 关于原点的对 称点是__ __,点 P 关于 x 轴的对称点是_ _ __,点 P 关于 y 轴的对称点是__ __. 3. 若 Q 0 ( x 0 , y 0 ) 与 Q ( x , y ) 关于直线
Ax ? By ? C ? 0 对 称 , 则 Q 0 ( x 0 , y 0 ) 与 Q ( x , y ) 的中点落在_________________上,

例 4:建立适当的直角坐标系,证明:等腰三 角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于 一腰上的高.



Q0



Q

的 连 线 与 直 线

Ax ? By ? C ? 0 ____.

※ 典型例题 例 1:在直线 x ? 3 y ? 0 上找一点,使它到原 点和直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离相等. 【解】

【证明】

例 2: 求直线 2 x ? 11 y ? 16 ? 0 关于点 P (0,1) 对称的直线方程. 【解】

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※动手试试 1. 点 P 在 x 轴上,若它到直线
4x ? 3y ? 3 ? 0

的距离等于 1 ,则 P 的坐标是____________.

2. 直线 y ? 3 x ? 4 关于点 P ( 2 , ? 1) 对称的直 线的方程为 .

※学习总结 在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么 对称情况, 这里大致可以分为: 点关与点对称, 点关于直线对称, 直线关于点对称, 直线关于 直线对称这四种情况, 一旦确定为哪种情况后 对应本节课的四种基本方法进行求解.

3. 光线沿直线 l 1: 2 x ? y ? 3 ? 0 照射到直线 求反射线所在直线 l3 l 2: ? y ? 4 ? 0 上后反射, x 的方程.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计 分: 1.直线 3 x ? 4 y ? 2 7 ? 0 上到点 P ( 2 ,1) 距离 最 近 的 点 的 坐 标 为 ( )
( A ) (5, ? 3) ( B ) (9, 0 )

( C ) ( ? 3, 5)

( D ) ( ? 5, 3)

2.一个正方形的中心坐标是 ( ? 3, 2) ,一条边 4. 求证: 等腰三角形底边延长线上任一点到 两腰 (所在直线) 的距离的差的绝对值等于一 腰上的高. y
B

所在的直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 , 则这个正方 形的面积等于___________. 3.点 P 在直线 3 x ? y ? 5 ? 0 上,且 P 到直 线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 , P 的坐标为 _____. 4.直线 3 x ? 4 y ? 7 ? 0 关于点 P (1,1) 对称的 直线方程为________________. 5. m 变化时.两平行直线
3 x ? 4 y ? m ? 1 ? 0 与 3 x ? 4 y ? m ? 0 之间
2

E P
C O

A
D

x

的距离最小值为__________.

【解】

课后作业
P94
2、15、17、18 预习提纲 圆的方程内容:标准方程的推导过程及应用、 圆的一般方程及运用.

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§ 2.2.1 圆的标准方程
学习目标
1. 掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写 出圆的标准方程; 2. 会用待定系数法求圆的标准方程。

的方程.

小结: 探究:点 M ( x 0 , y 0 ) 与圆
( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的关系的判断方法:
2 2 2

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P96~ P100,找出疑惑之处) 1. 在直角坐标系中,确定直线的基本要素是 什么?圆作为平面几何中的基本图形,确 定它的要素又是什么呢? 2. 什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一 条直线都可用一个二元一次方程来表示, 那么,圆是否也可用一个方程来表示呢? 如果能,这个方程又有什么特征呢? 二、新课导学 ※ 学习探究

(1) ( x 0 ? a ) ? ( y 0 ? b ) > r ,点在圆外
2 2

2

(2) ( x 0 ? a ) ? ( y 0 ? b ) = r ,点在圆上
2 2

2

(3) ( x 0 ? a ) ? ( y 0 ? b ) < r ,点在圆内
2 2

2

自学评价
1. 以 ( a , b ) 为圆心, r 为半径的圆的标准方 程:_______________________________ . 2. 圆心在原点 (0, 0 ) , 半径为 r 时, 圆的方程 则为:___________________________; 3. 单位圆:________________________;其 方程为:________________. 注意:交代一个圆时要同时交代其圆心与半 径. 探究:确定圆的标准方程的基本要素? ※ 典型例题 例 1: 分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与 半径: ⑴ ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 7 ;
2 2

变 式 : △ ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 是
A (5,1), B (7, ? 3), C (2, ? 8), 求 它 的 外 接 圆 的

方程. 反思: 1. 确定圆的方程的主要方法是待定系数法。 即 列 出 关 于 a、 b、 r 的 方 程 组 , 求 a、 b、 r 或直接求出圆心 (a,b) 和半径 r。 2. 待定系数法求圆的步骤: (1)根据题意设 所 求 圆 的 标 准 方 程 为 2 2 2 ( 根据已知条件, ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ; 2) 建立关于 a、b、r 的方程组; (3)解方程 组,求出 a、b、r 的值,并代入所设方程, 得到圆的方程。 例 3.已知圆 C 经过点 A(1,1)和 B(2,-2) , 且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求此圆的 标准方程。

⑵ ( x ? 5) ? ( y ? 4 ) ? 1 8
2 2

⑶ x ? ( y ? 1) ? 3
2 2

⑷ x ? y ? 144
2 2

⑸ ( x ? 4) ? y ? 4
2 2

变式: (1)求以点 A (1, 2) 为圆心,并且和 x 轴相切的圆的方程; (2)已知两点 P ( 4, 9 ) , Q (6, 3) ,求以线段
P Q 为直径的圆的方程.

例 2.(1)写出圆心为 A (2, ? 3) ,半径长为 5 的 圆 的 方 程 , 并 判 断 点 例4:已知隧道的截面是半径为 4 m 的圆的 半圆, 车辆只能在道路中心线的一侧行驶, 车 辆宽度为 3m ,高为 3.5m 的货车能不能驶入 这个隧道?
51

M 1 (5, ? 7 ), M 2 ( ? 5 , ? 1) 是否在这个圆上。

(2)求圆心是 C (2, ? 3) ,且经过原点的圆

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A .( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 13
2 2

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B .( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 13
2 2

C .( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 13
2 2

D .( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 13
2 2

2.点 P(m ,5)与圆的 x +y =24 的位置关系 是( ) 。 A. 在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 3.圆心在直线 x=2 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A (0,-4) ,B(0,-2)则圆 C 的方程为( )
A .( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 5
2 2

2

2

2

B .( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25
2 2

C .( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 5
2 2

D .( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25
2 2

思考:假设货车的最大的宽度为 a m ,那么货 车要驶入该隧道,限高为多少?

4. 圆

( x ? 2) ? y
2

2

?5

关于原点(0,0)对 ;

称的圆的方程

5. 过点 A(2,4)向圆 x2+y2=4 所引的切线方 程 。

※ 动手试试 练 1. 已知圆经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3) 的圆的标准方程。

课后作业
1.P100 习题 2.2(1)1、2、3 2 2 2.已知圆 x +y =25,求: (1)过点 A(4,-3) 的切线方程; (2)过点 B(-5,2)的切线方 程。 3.已知圆的圆心在直线 2x+y-0 上,且与直线 x+y-1=0 切于点(2,-1) ,求圆的标准方程。 4. 预习 P98~100 圆的一般方程及其推导。

练 2. 求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程。

三、总结提升 ※ 学习小结 一.方法归纳: 1. 利用圆的标准方程能直接求出圆心和半 径。 2. 比较点到圆心的距离与半径的大小,能得 出点与圆的位置关系。 3. 借助弦心距、 半径之间的关系计算时, 弦、 可大大化简计算的过程与难度。 二.圆的标准方程的两种求法: 1. 根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程 组,解方程组得到 a、b、r 的值,写出圆 的标准方程。 2. 根据圆的要素,以及题设条件,分别求出 圆心坐标和半径大小,然后写出圆的标准 方程。

学习评价
※ 自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1. 已知 A(2,4) ,B(-4,0) ,则以 AB 为直径的圆 的 方 程 ( )

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§ 2.2.1 圆的一般方程
学习目标
1.掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成 圆的标准方程; 2.能分析题目的条件选择圆的一般方程或标 准方程解题; 3.解题过程中能分析和运用圆的几何性质.

※ 典型例题 例1: 判断下列二元二次方程是否表示圆的方 程?如果是,请求出圆的圆心及半径。
(1) 4 x ? 4 y
2 2

? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ; ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0

(2)4 x ? 4 y
2

2

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P97~ P100,找出疑惑之处)

自学评价
1. ( a ) b 为圆心, 为半径的圆的标准方程: 以 , r _______________________.若圆心为坐标原 点,则圆的方程就是 。 2. 求过三点 O (0, 0), M 1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆 的方程. 二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1.方程 x2+y2-2x+4y+1=0 表示什么 图形?方程 x2+y2-2x+4y+6=0 表示什么 图形? 探究 1.将 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 展开得: _________________________________.
2 2 2

例 2:已知线段 A B 的端点 B 的坐标是
( 4, 3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,
2 2

求线段 A B 中点 M 的坐标 ( x , y ) 中 x , y 满足 的关系?并说明该关系表示什么曲线?

探究 2.形如 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 的都 表示圆吗?_________________
2 2

(1)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程表示以 __________为圆心, ___________为半径的圆;
2 2

例 3:某圆拱桥的示意图如右图,该圆拱的跨 度 A B 是 3 6 米,拱高 O P 是 6 米,在建造时, 每隔 3 米需用一个支柱支撑,求支柱 A 2 P2 的 长度(精确到 0 .0 1 米) .

(2)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程表示 ______________________________;
2 2

(3)当 D ? E ? 4 F ? 0 时, ______________________________; 小结:圆的一般方程:_________________ . 注意:对于圆的一般方程:
2 2

(1) x 和 y 的系数相等,且都不为 0 (通 常都化为 1 ) ; (2)没有 x y 这样的二次项; (3)表示圆的前提条件:
D ? E ? 4 F ? 0 ,通常情况下先配方配成
2 2

2

2

y P
A2

( x ? a) ? ( y ? b) ? m , 通过观察 m 与 0 的关系,
2 2

观察方程是否为圆的标准方程, 而不要死记条 件 D ? E ? 4F ? 0 . 思考; 1. 圆的一般方程的特点? 2. 圆的标准方程与一般方程的区别?
2 2

※ 动 手 试 A B x 试 练 1. 求过三点 A (0, , 0) B(1,1),C(4,2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标。

P2



2. 已 知 一 个 圆 的 直 径 端 点 是
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A(x1,y1),B(x2,y2),试求此圆的方程。

1.
2


2



线

2x+3y+1=0





x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 相交于 A,B,求弦 AB

的垂直平分线方程。

三、总结提升 ※ 学习小结 2 2 1. 方 程 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 中 含 有 三个参变数,因此必须具备三个独立的条 件,才能确定一个圆,还要注意圆的一般 式方程与它的标准方程的转化。 2. 待定系数法是数学中常用的一种方法,在
以前也已运用过。例如:由已知条件确定 二次函数,利用根与系数的关系确定一元 二次方程的系数等。这种方法在求圆的方 程有着广泛的运用,要求熟练掌握。 3. 使用待定系数法的一般步骤: (1)根据题 意,选择标准方程或一般方程; (2)根据 条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组; (3)解出 a,b,r 或 D,E,F 代入标准方程 或一般方程。

2. 求 经 过 点

A(-2,-4) 且 与 直 线 l : x ? 3 y ? 26 ? 0 相切于点 B(8,6)的圆的方 程。

3.预习 P101 2.2.2 直线与圆的位置关系

学习评价
※ 自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 2 2 1.若方程 x ? y ? x ? y ? m ? 0 表示一个 圆,则有( ) 。
A. m ? 2
2 2

B .m ? 2

C.m ?

1 2

D.m ?

1 2

2.圆 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 的圆心和半径分别 为( ) 。 A. (2,0), C.(0,2), 3.
2 2

5 5

B.(0,-2), 5 D. (2,2), 动
2

5.



x ? y ? ( 4 m ? 2 ) x ? 2 my ? 4 m ? 4 m
? 1 ? 0 的圆心轨迹是( ) 。 A. 2x+y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x-y+1=0 D. x-2y-1=0 4.过点 C(-1,1),D(1,3),圆心在 x 轴上的圆的 方程是 。

5. 圆 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 的 点 到 直 线 3x-4y+20=0 的距离的最大值为 。
2 2

课后作业
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§2.2.2 直线与圆的位置关系
学习目标
1.依据直线和圆的方程,能熟练求出它们的 交点坐标; 2.能通过比较圆心到直线的距离和半径之间 的大小关系判断直线和圆的位置关系; 3.理解直线和圆的三种位置关系与相应的直 线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解 的对应关系; 4.会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的 问题; 5.灵活处理与圆相交的问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P101~ P103,找出疑惑之处) 例
2

3. 求 直 线 x ?
2

3y ? 2

? 3

被 圆 0

x ? y ? 4 截得的弦长.

小结:判断直线与圆的位置关系有两种方法: (1)判断直线与圆的方程组是否有解 ①有解,直线与圆有公共点,有一组则相切; 有两组,则相交; ②无解,则直线与圆相离。 (2) 如果直线的方程为 Ax+By+C=0, 圆的方 2 2 程为(x-a) +(y-b) =r2,则圆心到直线的距离
d ? Aa ? Bb ? c A ? B
2 2

自学评价
1. 直线与圆有一个交点称为 相切, 有两个交 点称为 ,没有交点称为 . 2.设圆心到直线的距离为 d ,圆半径为 r , 当 时,直线与圆相离, 当 时,直线与圆相切, 当 时,直线与圆相交. 3.直线 l 与圆 C 的方程联立方程组,若方程组 无解,则直线与圆 ,若方程组仅有一组 解,则直线与圆 ,若方程组有两组不同 的解,则直线与圆 ※ 典型例题 3 4 和0 圆 例 1. 求 直 线 4 x ? y ?
x ? y ? 1 0 0 的公共点坐标,并判断它们的
2 2

(1)如果 d<r 直线与圆相交; (2)如果 d=r 直线与圆相切; (3)如果 d>r 直线与圆相离。 ※ 动手试试 练 1.直线 y=x 与圆 x2+(y-1)2=r2 相切,求 r 的值。

位置关系.

练 2.求圆心在直线 2x-y=3 上,且与两坐标轴 相切的圆的方程。

例 2. 自点 A ( ? 1, 4 ) 作圆 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线 l ,求切线 l 的方程.

※ 知识拓展 圆、切线、截距
例 4: 已知圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 1 ,求该圆 与 x 轴和 y 轴的截距相等的切线 l 的方程.
2 2

思考:当点 A 的坐标为(2,2)或(1,1) 时,结果分别有什么变化? 例 5: 若直线 y ? x ? b 与 x ?
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4? y

2

恰有一
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个公共点,求实数 b 的取值范围.?

距离为 的点的坐标。

思维点拔:
在解决直线与圆的位置关系的问题时, 我们通 常采用“几何法” .例如,求与圆相切的直线 方程时, 先用待定系数法设出直线方程, 然后 根据 d ? r 即可求得.这种数形结合的思想贯 穿了整个章节. ※ 动手试试 1. 已知圆 x ? y ? 2 , 求该圆与 x 轴和 y 轴
2 2

2.若直线 4x-3y+a=0 与圆 x +y =100。 (1)相 交; (2)相切; (3)相离;分别求实数 a 的取 值范围。

2

2

的截距的绝对值相等的切线 l 的方程. 3.预习 P1042.2.3 圆与圆的位置关系。

2.若直线 y ? x ? b 与 y ?

4?x

2

有两个不

同的交点,求实数 b 的取值范围.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计 分:
1.直线 3x-4y+6=0 与圆(x-2) +(y-3) =4 (
2 2

) 。

A.相切 B.相离 C.过圆心 D.相交不过圆心 2.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 的值为( ) 。 A.0 或 2 B. 2 C. 2 D.无解 3.已知直线 l 过点 (-2,0) ,当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时,其斜率 k 的 取值范围是( )
A .( ? 2 2 , 2 2 ) C .( ? 2 4 , 2 4
2

B ..( ? D .( ?

2,

2)

)

1 1 , ) 8 8
2

4.过点 M(2,2)的圆 x +y =8 的切线方程为 。 5.圆 x2+y2=16 上的点到直线 x-y-3=0 距离的最 大值为 。

课后作业
1.圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 l: x+y+1=0 的
2

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§2.2.3 圆与圆的位置关系
学习目标
1.掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别 方法; 2.了解用代数法研究圆的关系的优点; 3.了解算法思想.

例 2.求过点 A (0, 6 ) 且与圆
C : x ? y ? 1 0 x ? 1 0 y ? 0 切于原点的圆的
2 2

方程.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P104~ P105,找出疑惑之处) 变式: 1.圆 C1 的方程是: +y -2mx+4y+m -5=0, x 2 2 2 圆 C2 的方程是:x +y +2x-2my+m -3=0,m 为何 值两圆(1)相切; (2)相交; (3)外离; (4)内含。
2 2 2

自学评价
1.圆与圆之间有 , 五种位置关系. , , ,

2.设两圆的半径分别为 r1 , r2 ,圆心距为 d , 当 时,两圆外离, 当 时,两圆外切, 当 时,两圆相交, 当 时,两圆内切, 当 时,两圆内含. 3.思考:用代数方法,通过联立方程组,用判 别式法可以判断两个圆的位置关系吗?为什 么?

2. 若圆 x ? y ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相交,求实数 m 的取值范围.
2 2

二、新课导学 ※ 学习探究 探究: 如何根据圆的方程, 判断两圆的位置关 系? ※ 动手试试 2 2 2 2 练 1.已知两圆 x +y -6x=0 与 x +y -4y=m, m 问 取何值时,两圆相切。

新课:两圆的位置关系利用圆的方程来判断, 通常是通过解方程或不等式和方法加以解决。 ※ 典型例题 例 1.判断下列两圆的位置关系:
(1)( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1与 ( x ? 2) ? ( y ? 5) ? 16
2 2 2 2

( 2 ) x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 与 x ? y ? 6 y ? 27 ? 0
2 2 2 2

练 2.求过圆 x +y -6x=0 与 x +y =4 的交点和点 M(2,-2)的圆的方程。

2

2

2

2

变式: 若将这两个圆的方程相减, 你发现了什 么?

三、总结提升 ※ 学习小结
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1. 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数 解确定。 (2)依据连心线的长与两半径长的和 r1+r2 或两半径的差的绝对值的大小关系。 2.对于求切线问题, 注意不要漏解, 主要是根 据几何图形来判断切线的条数。 3.一般地, 两圆的公切线条数为: ①相内切时, 有一条公切线;②相外切时,有三条公切线; ③相交时,有两条公切线;④相离时,有四条 公切线。 4.求两圆的公共弦所在直线方程, 就是使表示 圆的两个方程相减消去二次项即可得到。

2.预习: 本节书所学的内容, 并进行归纳总结。

学习评价
※ 自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计 分: 2 2 2 1. 已知 0 ? r ? 2 ? 1 则 两 圆 x +y =r 与 2 2 (x-1) +(y+1) =2 的位置关系是( ) A.外切 B.相交 C.外离 D.内含 2 2 2 . 两 圆 x +y -2x=0 与 2 2 x +y -4y=0 的公共弦长( ) Q ( 3, ? 3 )
A. 4 5 5
2 2

B .1

C.

2 5 5

D .2
2 2

3.两圆 x +y -4x+2y+1=0 与 x +y +4x-4y-1=0 公切线有( ) 。 A.1 条 B.2 条 C.4 条 D.3 条 2 2 2 2 4.两圆 x +y +4x-4y=0,x +y +2x-12=0 相交于 A,B 两点,则直线 AB 的方程是 。 2 2 2 2 5.两圆 x +y =1 和(x-3) +y =4 的内公切线方 程 。

课后作业
1. 求 过 两 圆 C1:x +y -4x+2y=0 和 圆 2 2 C2:x +y -2y-4=0 的 交 点 , 且 圆 心 在 直 线 l :2x+4y-1=0 上的圆的方程。
2 2

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§2.2.3
学习目标

直线与圆习题课

1.理解直线与圆的位置关系的几何性质; 2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置 关系; 3.会用“数形结合”的数学思想解决问题。

学习过程
一、课前准备

自学评价
1.使圆 x2+y2=r2 与 x2+y2+2x-4y+4=0 有 公共点则( ) A.r< 5 +1 C.|r- 5 |<1
2 2

四.弦问题 主要是求弦心距 (圆心到直线的距离) 弦长、 , 圆心角等问题。一般是构成直角三角形来计 算。 例 4.直线 l 经过点(5,5) ,且和 x2+y2=25 相 交,截得的弦长为 4 5 ,求 l 的方程。

B.r> 5 +1 D.|r- 5 |≤1

2.x +y - 2x+4y - 20=0 截 直 线 5x -

12y+c=0 所得的弦长为 8,则 c 的值是
二、新课导学 ※ 典型例题 一.圆的标准方程 例 1.一个圆经过点 A(5,0)与 B(-2,1)圆心 在直线 x-3y-10=0 上,求此圆的方程。

五.轨迹问题 充分利用几何图形的性质, 熟练掌握两点间的 距离公式、点到直线的距离公式。 例 3.求过点 A(4,0)作直线 l 交圆 O:x2+y2=4 于 B,C 两点,求线段 BC 的中点 P 的轨迹方程。

二.直线与圆的关系 2 2 例 2.求圆(x-2) +(y+3) =4 的点到 x-y+2=0 的 最远、最近的距离。

※ 动手试试 练习:
1. 求 圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 关 于 直 线
2 2

x-2y-2=0 对称的圆的方程。

三.对称问题 例 3.求圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 关于点(2,
2 2

2)对称的圆的方程。

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2.等腰三角形的顶点是 A(4,2)底边一个端点是 B(3,5),求另一个端点的轨迹是什么?

2.已知圆的半径为 10 , 圆心在直线 y=2x 上, 圆被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 2 ,求圆的 方程。

3.由圆外一点 P(2,1)引圆 O: :x2+y2=4 的割线交 圆于 A,B 两点,求弦 AB 的中点的轨迹。

2.预习:2.2.4 空间直角坐标系。

学习评价
※ 自我评价 你完成本节教学案的情况为 ( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计 分: 1.如果实数 x , y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 , 那

y x

的最大值是 B、
3 3

( C、
3 2
2 2

) D、 3

A、

1 2

2.已知点 A(-1,1)和圆 C: ( x ? 5 ) ? ( y ? 7 ) ? 4 , 一束光线从 A 点经过 x 轴反射到圆周 C 的最 短路程是( ) A.10 B. 6 2 ? 2 C. 4 6 D. 8 3.过 A(-3,0) ,B(3,0)两点的所有圆中 面积最小的圆方程是______________. 4.设圆 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 的弦 AB 的中点
2 2

为 P ( 3 ,1) ,则直线 AB 的方程是

课后作业
1.由圆外一点 P(1,1)向圆:x2+y2=1 引割线,交 该圆于 A,B 两点, 求弦 AB 的中点的轨迹方程。

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§ 2.3.1 空间直角坐标系
学习目标 1.了解空间直角坐标系以及右手直角坐标系 的概念; 2. 能在空间直角坐标系中作出点以及根据图 形建立适当的空间直角坐标系求出某些点的 坐标, 体会空间直角坐标系下和平面直角系下 点的坐标及图形之间的区别和联系; 3. 掌握空间直角坐标系下作点或求点的坐标 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P107~ P109,找出疑惑之处) 复习 1:怎样建立平面直角坐标系?怎样用坐 标来表示平面上任意一点的位置?怎样求平 面上某点的坐标? 复习 2:观察教室的地板面,相邻的两面墙, 它们的交线有什么关系?怎样确定灯泡的位 置?长方体相邻的三条棱有怎样的关系?怎 样确定各个顶点的位置? 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 怎样建立空间直角坐标系?怎样 表示空间中某点的位置? 新知:空间直角坐标系: 从空间某一个定点引三条____的 数轴,就建立了空间直角坐标系 O ? xyz , 坐标原点是__, 坐标轴是_ __, 每两条坐标轴确定一个坐标平面, 分别是____平面,__平面,__ _平面 右手直角坐标系: 在空间直角坐标系中, 右手 的母指指向_轴的正方向,食指指向_轴的 正方向,中指指向__轴的正方向,这样的 坐标系称为___ 空间直角坐标系的直观图的画法:__轴与 O y 轴、 _轴均成 135 , y 轴与__轴垂直, y x 轴与__轴的单位长度相同, 轴的单位长度 为_轴的单位长度的一半。 空间中任意一点 A 的坐标: 过点 A 分别作三条坐标轴上的射影,即过点 A 作平面 ? ? x 轴,平面 ? ? y 轴,平面
? ? z 轴,平面 ? , ? , ? 分别交 x , y , z 轴于点
P , Q , R ,这三点在相应数轴上的坐标为__

z

R A(x,y,z) z Q y

O P x x

y

※ 典型例题 例 1 在空间直角坐标系中,作出点 P(3,2,5) 变式:在空间直角坐标系中,作出点 Q(-4,3,-6),E(2,0,5),F(0,4,0),G(-2,-4,-6)

反思:在空间直角坐标系中,作点
P ( a , b , c 的作法 )

O ( a , b , c ) ? 正 ( a ? 或 负 ( a <? ?移? ?个 单 位 ? ? 0), ? ? 0)方 向 动 a ? ? P1 ( a , 0, 0 ) ? 向 右 ( b >? 或 向 左 (?0 ) 移 ?b ? ?? ? ? 0) ? ? b< ? 动 个 单 位 P2 ( a , b , 0 ) ? 向 上 ( z > 0? 向 下 ( z < 0? 动 z 个 单 位 ? ? ? )或 ? ? )移 ? ? ? P (a, b, c)
沿 与 z轴 平 行 的 方 向 沿 与 y轴 平 行 的 方 向

从 原 点 出 发 沿 x轴

例 2 在 长 方 体 A B C D ? A ' B 'C ' D ' , 中 ,
A B? 1 4 , A D ? 1 0 ,A A 以 6A 为坐标原 ? .
' '

点,射线 A B , A D , A A 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系, 求长方体各个顶点的坐标。
A B
' '

D
C
'

'

A B

D C

变式:在长方体 A B C D
'

? ABC D ,
' ' ' '



A B ? 6, A D ? 4, A A ? 7 ,建立适当的空间

直角坐标系,求出各个顶点的坐标

_, 则___叫做点 A 的坐 标, 记为___。 点 P , Q , R 称为点 A 在______上的射 影。

小结: 在图中找共顶点的两两垂直的三条射线 建立空间直角坐标系, 再据已知条件确定点的
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坐标。 变式: (1)在空间直角坐标系 O-xyz 中,画出 不共线的 3 个点 P,Q,R,使得这 3 个点的坐标 都满足 y=4,并画出图形。 (2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐 标应满足的条件。

( D ) 平行于 y 轴的一条直线

4.空间中过点 A ( ? 2,1, 3) ,且与 xO y 坐标平 面 垂 直 的 直 线 上 点 的 坐 标 满 足 ( )
( A) x ? ?2 (C ) x ? ? 2 或 y ?1 y ?1 (B) y ? 1 ( D ) x ? ?2 且

※ 动手试试 练 1 已知长方体的顶点坐标分别为 A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,5,0),D(0,5,0),E(0,0,6),F(3 ,0,6),G(3,5,6),H(0,5,6),在空间直角坐标系中画 出这个长方体,并求出体积。

2.在空间直角坐标系中画出下列各点: A (3, ? 2,1) 、 B ( ? 5, 4, 3) 、 C ( ? 9, ? 5, 2 )

5.点 ( 2, ? 3, 6 ) 在 x 轴、 y 轴上的射影的坐标 分别是 、 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1 点 P(x,y,z)在三条坐标轴上的射影坐 标分别为____, 在三个坐标平面内的射影 坐标分别为___, 关于三条坐标轴的对称点 的坐标分别为___, 关于三个坐标平面的对 称点的坐标分别为___. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. P (1, 2, 3) 关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是 ( )
( B ) (1, ? 2, ? 3)
( D ) ( ? 1, 2, ? 3)

( A ) ( ? 1, 2, 3)

( C ) ( ? 1, ? 2, 3)

2.空间直角坐标系中, P (3, 5,1), Q ( ? 3, ? 5, ? 1) 两 点的位置关系是
( A ) 关于 x 轴对称





( B ) 关于 y O z 平面对


( C ) 关于坐标原点对称 ( D ) 以上都不对

3.动点 P ( x , y , z ) 的坐标始终满足 y ? 3 , 则 (
( A)

动 点 )
y 轴上一点

P









( B ) 坐标平面 x O z

( C ) 与坐标平面 x O z 平行的一个平面

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§ 2.3.2 空间两点间的距离
学习目标 1.了解空间直角坐标系中两点间距离公式的 推导过程; 2. 能在空间直角坐标系中运用两点间距离公 式解决空间中的一些问题, 体会空间中两点距 离公式与平面两点距离公式之间的区别和联 系; 3. 掌握空间中两点距离的求法 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P109~ P113,找出疑惑之处) 复习 1:平面直角坐标系中两点间距离公式是 怎样的? 已知平面直角坐标系中点 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) , 则 PQ 的距离为___.,线段 p1 p 2 的中点
p ( x , y ) 的坐标为____

变式: (1)若 A(1,3,-2),B(-2,3,2),则 A,B 两点 间的距离为 (2) 设 A ( 4, ? 7 ,1), B (6, 2, z ), A B ? 1 1, 则 z= __,线段 AB 的中点坐标为____ 例 2(1)空间到两点 A (1, 0, ? 1), B (3, 2, 0 ) 距 离相等的点的坐标 ( x, y, z ) 所满足的条件 为 .

(2)若 O (0, 0, 0, ), P ( x, y, z) ,且 O P ? 1 , 则 x ? y ? z ? 1 表示的图形是
2 2 2

变式: 满足 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? ( z ? 6) 2 (1) 动点 p ( x , y , z ) 的轨迹是什么?, (2) 已知点 P 在 z 轴上,且满足

? 25



PO ? 1 ,

复 习 2 : 已 知 空 间 直 角 坐 标 系 中 P (2, 3, 4 ), Q (4, 5, ? 2 ), 作出点 p 与 Q.并求 PQ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:能否由平面内的两点间距离公 式, 中点坐标公式推广到空间中?怎样求空间 中两点间的距离?中点坐标公式是怎样的? z

(O 为原点) ,则 P 到点 A (1,1,1) 的距离是 小结: 从平面两点间距离到空间两点间距离
P1 P2 ?
P1 P2 ?

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ?
2 2

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? ( z 1 ? z 2 )
2 2

2

p2 ( x2 , y2 , z2 )

从平面的中点坐标公式到空间的坐标 公式 x
? x1 ? x 2 2
,y ?

,y ?

y1 ? y 2 2
,z ?

?
z1 ? z 2 2

O x Q R P1 ( x1 , y1, z1 )

y

x ?

x1 ? x 2 2

y1 ? y 2 2

从圆的方程推广到球面的的方程
(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2 2

?
2 2

新知:一般地,空间中任意两点 p1 ( x1 , y1 , z1 ), p 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 间的距离为
p 1 p 2 ? ________

(x ? a) ? ( y ? b) ? (z ? c) ? r

你还能得出哪些知识的推广?

线段 p1 p 2 的中点 p ( x , y , z ) 的坐标为 ________ ※ 典型例题 例 1 在长方体 A B C D ? A B C D 中,若 1 1 1 1
D (0, 0, 0), A (4, 0, 0), B (4, 2,1), A1 (4, 0, 3) , 则

※ 动手试试 1 已知 M (2, ? 3, ? 1), N ( ? 4, 5, 3), 线段 MN 的 中点为 P,则 P 与原点 O 之间的距离为 2 与点 P(1,2,-4)距离等于 3 的点 Q(x,y,z)的 坐标满足的条件是 动点 Q 的图 形是 ,
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对角线 A C 1 的长为____。线段 A C 1 的中 点坐标为____

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三、总结提升 ※ 学习小结 (1) 若 p1 ( x1 , y1 , z1 ), 则
p1 p 2 ?
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ? ( z 2 ? z 1 )
2 2 2

p2 ( x2 , y2 , z2 )



3 设 P 是点 Q(2,-3,5)关于平面 xoy 的对称点, 则 P,Q 两点间距离为 ,

线 段 p1 p 2 的 中 点 p ( x , y , z 的 坐 标 为 )
P( x1 ? x 2 2 , y1 ? y 2 2 , z1 ? z 2 2 )

(2) 若

PA ? r

,A 为定点,P 为动点,则动

点 P 的轨迹为以 A 为球心,r 为半径的球面, 若 P ( x , y , z ), A ( a , b , c ), 则 球 面 方 程 为
( x ? a) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r .
2 2 2 2

4 若点 P(x,2,1)在以 Q(1,1,2)和 R(2,1,1)为端 点的线段 QR 的垂直平分线上,则 x 的值 为 , 5 点 P(1,2,3)关于点 Q(-1,0,-4)的对称点 M 的 坐标是 ,

探究 ? 拓展 1 的 顶 点 坐 标 分 别 是 A ( ? 1, 2, 3), B (2, ? 2, 3), C (3, 5, 3) , 则 ? A B C 的
? ABC

形状为 , 2, 已知 A ( x , 5 x ? 11, 2 x ? 1), B (1, x ? 2, 2 ? x ) , A,B 当 两 点 间 距 离 最 小 时 , 线 段 AB 中 点 坐 标 为 , 3 已知三点 A(2,4,3),B(-1,1,5),C(5,7,1), 求证: A,B,C 三点共线。 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况 为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1 点 P(3,2,1)到 x 轴的距离为 ,

2 已 知 三 角 形 的 顶 点 A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4),则三角形 ABC 的 重心坐标为 ,
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