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北京市海淀区2013届高三年级第二学期期末练习(word版)数学文 含标答


海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学(文科)
2013.5 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 —、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出 符合题目要求的一项. 1. 集合 A
?

?x

| ( x ? 1) ( x ? 2 ) ? 0 ? , B ?

?x

x ? 0 ? ,则 A ? B ?

A. ( ? ? , 0 ] B. ( ? ? ,1] 2 已知 a =ln
1 2

C. [1, 2 ] ,c=
? 1 2

D. [1, ? ? )

,b=sin

1 2

2

,则 a,b,c 的大小关系为 D. b <c < a
?

A. a < b < c B. a <c <b C.b <a<c

3. 如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随机撒豆子,若 撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m , n ,则图形 ? 面积的估计值为 A.
ma n

B.

na m

C.

ma n

2

D.

na m

2

4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. 1 8 0 C. 2 7 6 D. 3 0 0
5

B. 2 4 0

5 下列函数中,为偶函数且有最小值的是 A.f(x) =x2 +x B.f(x) = |lnx| C.f(x) =xsinx D.f(x) =ex+e-x 6 在四边形
??? ? ???? ???? ??? ? A B C D 中, ? ? ? R , “ 使得 A B ? ? D C , A D ? ? B C

6

” “四边形 A B C D 为 是

主视图 6 6

左视图

平行四边形”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2

俯视图

7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,且 F 2 恰为抛物线 y

? 4x

的焦点,设双曲线 C 与该抛

物线的一个交点为 A ,若 ? A F1 F 2 是以 A F1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为 A.
2

B. 1 ?

2

C. 1 ?

3

D. 2 ?

3

1

8. 若数列 { a n } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 a n ? T ? a n 成立,则称数列 { a n }
? a n ? 1, ? 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? m ( m ? 0 ) , a n ? 1 = ? 1 , ?a ? n a n ? 1, 0 ? an ? 1.

为周期数列,周期为 T .

则下列结论中错误的是 .. A. 若 m=
4 5

,则 a5=3

B 若 a3=2,则 m 可以取 3 个不同的值 C. 若 m ? D. ? m
?Q

2

,则数列 { a n } 是周期为 3 的数列
? 2

且m

,数列 { a n } 是周期数列

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9 复数
2i 1? i

=______

10 甲、乙两名运动员在 8 场篮球比赛中得分的数据统计 如右图, 则甲乙两人发挥较为稳定的是_____. 11 已知数列{an}是等比数列,且 a1 .a3 =4,a4=8,a3 的值为____.

12 直线 y= x+1 被圆 x2-2x +y2-3 =0 所截得的弦长为_____ 13 已知函数 f(x)=sin( 2 ? x ? 上的单调递增区间为________
?y ?1? 0 ? 14 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 其中 k ? R , k ? 0 ? y ? 1 ? k ( x ? 1) ?

?
6

)( 0 ? ? ? 1 ) 的图象经过点[0, ? ]

(I)当 k=1 时的最大值为______; (II)若
y x
2

的最大值为 1,则实数 a 的取值范围是_____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15 (本小题满分 13 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn (I)若 a1=1,S10= 100,求{an}的通项公式; (II)若 Sn=n2-6n,解关于 n 的不等式 Sn+an>2n
2

16 (本小题满分 13 分) 已知点 D 为Δ ABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ? ADB =75 , ? ACB =30°,AD = 2 . (I)求 CD 的长; (II)求Δ ABC 的面积
0

17 (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 A B C D 中,AD//BC, ? ADC =90 ,BA=BC 把Δ BAC 沿 A C 折起到
?PAC
0

的位置,使得点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 A C 上,如图 2 所示,

点 E , F 分别为线段 PC,CD 的中点.

(I) 求证:平面 OEF//平面 APD; (II)求直线 CD 与平面 POF (III)在棱 PC 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P,O,C,F 四点的距离相等?请说明理由.

3

18 (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x) =lnx g(x) =x a (a ? 0)

(1)当 a=1 时, 若曲线 y=f(x)在点 M (x0,f(x0))处的切线与曲线 y=g(x)在点 P (x0, g(x0) ) 处的切线平行,求实数 x0 的值; (II)若 ? x ? (0,e],都有 f(x)≥g(x)
3 2

,求实数 a 的取值范围.

19 (本小题满分丨 4 分) 已知椭圆 C: 的四个顶点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若直线 y =kx 交椭圆 C 于 A,B 两点,在直线 l:x+y-3=0 上存在点 P,使得 Δ PAB 为 等边三角形,求 k 的值.
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的四个顶点恰好是一边长为 2,一内角为 6 0 ? 的菱形

20 (本小题满分 13 分) 设 A 是由 m
? n

个实数组成的 m 行 n 列的数表, 如果某一行 (或某一列) 各数之和为负数,

则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. 1
?2

(Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作” ,使得到的数表每行的 各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所 得的数表(写出一种方法即可) ;

2 1 表1

3 0

?7

1

(Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作” ,才可使得到的数表每行的各数之和与每 列的各数之和均为非负整数,求整数 a 的所有可能值; .. (Ⅲ)对由 m ? n 个实数组成的 m 行n 列的任意一个数表 A , 能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.
a 2? a a ?1
2

?a a ? 2

?a a
2

2

1? a

2

表2

4



学 (文科)
2013.5

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C

7 B

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. ? 1 ? i 12. 2
2

10.乙 13.
1 2 ;(? π 2π , ) 3 3

11. ? 1 6 或 1 6 14. 1; 0 ? k ? 2

注:11 题少写一个,扣两分,错写不给分 13 题开闭区间都对 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

15. (本小题满分 13 分) 解: (I)设 { a n } 的公差为 d 因为 a 1 所以 a 1
?1

, S10

?

a1 ? a 9 2

? 10 ? 100

????????2 分 ????????4 分

? 1, a 1 0 ? 1 9

所以 d ? 2 所以
an ? 2n ? 1

????????6 分

(II)因为 S n

? n ? 6n
2

当 n ? 2 时, S n ? 1

? ( n ? 1) ? 6 ( n ? 1)
2

5

所以 a n

? 2n ? 7

,n ? 2

????????9 分

又 n ? 1 时, a 1 所以

? S1 ? ? 5 ? 2 ? 7

an ? 2n ? 7

????????10 分

所以 S n 所以 n 2

? an ? n ? 4n ? 7
2

? 4n ? 7 ? 2n

,即 n 2

? 6n ? 7 ? 0

所以 n ? 7 或 n ? ? 1 , 所以 n ? 7 , n ? N ????????13 分

16. 解: (I)因为 ? A D B

? 75

?

,所以 ? D A C
2

? 45

?

在 ? A C D 中, A D 根据正弦定理有 所以 C D ? 2

?


? AD s in 3 0
?

CD s in 4 5
?

????????4 分 ????????6 分

(II)所以 B D ? 4 又在 ? A B D 中,
? AD B ? 75
?

????????7 分

, s in 7 5 ?
1 2

? s in ( 4 5 ? 3 0 ) ?
?

?

?

6 ? 4

2

????????9 分 ????????12 分 ????????13 分

所以 S ? A D B 所以 S ? A B C

?

A D ? B D ? s in 7 5 ?
3 3 ? 3 2

3 ?1

?

3 2

S ?ABD ?

同理,根据根据正弦定理有 而
s in 1 0 5 ? s in ( 4 5 ? 6 0 ) ?
? ? ?

AC s in 1 0 5
?

?
2

AD s in 3 0
?

6 ? 4

????????8 分 ????????10 分 ????????11 分

所以 A C

?

3 ?1

又 BD ? 4 , BC ? 6 所以 ????????13 分

17.解: (I)因为点 P 在平面 A D C 上的正投影 O 恰好落在线段 A C 上 所以 P O ? 平面 A B C ,所以 P O ? A C
6

???????2 分

因为 A B ? B C , 所以 O 是 A C 中点, 所以 O E / / P A 同理 O F / / A D 又OE
? OF ? O , PA ? AD ? A

???????3 分 ???????4 分

所以平面 O E F / / 平面 P D A (II)因为 O F / / A D , A D ? C D 所以 O F ? C D 又 P O ? 平面 A D C , C D ? 平面 A D C 所以 P O ? C D 又O F
? PO ? O

???????6 分

???????7 分

???????8 分

所以 C D ? 平面 P O F (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为 C D ? 平面 P O F , P F ? 平面 P O F 所以 C D ? P F 又 E 为 P C 中点,所以
EF ? 1 2 PC ? EC ? OE ? 1 2

???????10 分 ???????11 分

???????12 分
PC

同理,在直角三角形 P O C 中, E P



???????13 分 ???????14 分

所以点 E 到四个点 P , O , C , F 的距离相等

18.解: (I)当因为 a ? 1 , 若函数

f '( x ) ?

1 x

, g(x) ?

1 x
2

???????2 分

f ( x ) 在点 M ( x 0 , f ( x 0 ) )

处的切线与函数 g ( x ) 在点 P ( x 0 , g ( x 0 ) )

处的切线平行, 所以 此时
1 x0 ? 1 x0
2

,解得 x 0

?1

f ( x ) 在点 M (1, 0 ) g(x)

处的切线为 y

? x ?1 ? x ?2

在点 P (1, ? 1) 处的切线为 y

所以 x 0

?1

???????4 分

7

(II)若 ? x ? ( 0, e ] ,都有 记F (x)
? f (x) ? g(x) ? 3 2

f (x) ? g(x) ? ? ln x ? a x ? 3 2

3 2



只要 F ( x ) 在 ( 0 , e ] 上的最小值大于等于 0
F '( x ) ? 1 x ? a x
2

?

x ?a x
2

???????6 分

则F

'( x ), F ( x )

随 x 的变化情况如下表:
x
(0, a )
?

a

(a , ?? )
?

F '( x ) F (x)

0 极大值

?

?

???????8 分 当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 ( 0 , e ) 上单调递减, F ( e ) 为最小值 所以 F ( e ) 所以 a ? e 当a
? e

?1?

a e

?

3 2

? 0

,得 a

?

e 2

???????10 分

时,函数 F ( x ) 在 ( 0 , a ) 上单调递减,在 ( a , e ) 上单调递增 ,
? ln a ? a a ? 3 2 ? 0

F (a )

为最小值,所以 F ( a )
e ? a ? e

,得 a

?

e

所以

??????12 分 ??????13 分

综上,

e ? a

19.解:(I)因为椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的四个顶点恰好是一边长为 2,

一内角为 6 0 ? 的菱形的四个顶点, 所 以
a ? 3 b ? ,

,1 椭



C









x

2

? y

2

?1

3

??????4 分 (II)设 A ( x 1 , y 1 ) , 则 B ( ? x 1 , ? y 1 ) , 当直线 A B 的斜率为 0 时, A B 的垂直平分线就是 y 轴,
y

轴与直线 l :
A B |?

x? y ?3? 0
3 , | P O |? 3

的交点为 P ( 0 , 3 ) ,
? 60
?

又因为 |

,所以 ? P A O
8



所以 ? P A B 是等边三角形,所以直线 A B 的方程为 y

? 0 ? kx

??????6 分

当直线 A B 的斜率存在且不为 0 时,设 A B 的方程为 y
?x 2 ? y ?1 ? 2 2 所以 ? 3 ,化简得 ( 3 k ? 1) x ? 3 ? y ? kx ?
2

所以

| x 1 |?

3 3k
2

?1

,则 |

A O |?

1? k

2

3 3k
2

?1

?

3k 3k

2 2

? 3 ?1

??????8 分

设 A B 的垂直平分线为 y
?y ? ?x ? 3 ? 所以 ? 1 ?y ? ? x k ?

? ?

1 k

x

,它与直线 l :

x? y ?3? 0

的交点记为 P ( x 0 , y 0 )

3k ? x ? ? 0 ? k ?1 ,解得 ? ?3 ?y ? 0 ? k ?1 ?

,

则| PO

|?

9k

2

?9
2

( k ? 1)

??????10 分

因为 ? P A B 为等边三角形, 所以应有 | P O
9k
2

|?

3 | AO |

代入得到 |

?9
2

( k ? 1)

?

3

3k 3k

2 2

?3 ?1

,解得 k ? 0 (舍) k ? ? 1 ?????13 分 ,

此时直线 A B 的方程为 y ? ? x 综上,直线 A B 的方程为 y ? ? x 或
y ? 0

??????14 分

20.解: (I) 法 1:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 4列

1 ?2

2 1

3 0

7 ?1

????? ?

改 变 第 2行

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 2:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 2行

1 2

2 ?1

3 0

?7 ?1

????? ?

改 变 第 4列

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 3:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 1列

?1 2

2 1

3 0

?7 1

????? ?

改 变 第 4列

?1 2

2 1

3 0

7 ?1

9

(写出一种即可) ???????3 分

(II)

每一列所有数之和分别为 2,0, ? 2 ,0,每一行所有数之和分别为 ? 1 ,1; ①如果操作第三列,则
a 2? a a ?1
2

a 2? a

?a a
2

2

1? a

2

则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2 a ,
?2a ? 1 ? 0 ? ?5 ? 2a ? 0

,解得 a ? 1, a ? 2 .

???????6 分

② 如果操作第一行
?a 2?a 1? a 1? a
2

a a ?2

a a

2

2

2

则每一列之和分别为 2 ? 2 a , 2 解得 a ? 1 综上 a ? 1

? 2a

2

, 2a ? 2 , 2a 2 ???????9 分 ???????10 分

(III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得 数阵中 m n 个数之和增加,且增加的幅度大于等于 1 ? ( ? 1)
? 2

,但是每次操作都只

是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中 m n
m n

个数之和必然小于等于 ? ?
i ?1 j ?1

| a ij | ,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止

之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数, 故结论成立 ???????13 分

10


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