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2014届高三文科数学佛一模考前热身训练


佛山三中 2014 届高三(文科)数学佛一模考前热身训练题

一.选择题 1. i 是虚数单位, A.

1 1 ? i 2 2
2

i ? ( ) 1? i 1 1 B. ? ? i 2 2

C.

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

2.若集合 A={x|x -4x ? 0},B={x|-1<x<3},则 A∩B 等于 ( ) A.{x| 0 ? x ? 4 } B.{x|-1<x<3} C.{x| 0 ? x ? 3 } ) D. ?

3.若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R) ,则 f ( x) 是( A.最小正周期为

1 2

π 的奇函数 2

B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 )
2

C.最小正周期为 2π 的偶函数
2

4.命题“ ?x ?R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是 ( A. ?x ?R , x ? 2 x ? 1≥0
2

B. ?x ?R , x ? 2 x ? 1 ? 0 D. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R , x ? 2 x ? 1≥0
2
3

5.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1, 处的切线的倾斜角为 ( ) 3) A.30° B.45° C.60° D.120°

6.若等差数列 ?an ? 的前 5 项和 S5 ? 30 ,且 a2 ? 7 ,则 a7 ? ( ) A.0 B.1
2

C.2

D.3 ) D.-4

7.已知 f ( x) ? x ? 2 xf '(1) ,则 f '(0) 等于 ( A.2 B.0 C.-2

8.设 P 是双曲线 y ? A. 1

??? ???? ? 1 上一点,点 P 关于直线 y ? x 的对称点为 Q ,点 O 为坐标原点,则 OP ? OQ ? ( ) x
C. 3
2

B. 2
2

D. 0

9.经过圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 ( ) A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

10.已知|AB|=4,M 是 AB 的中点,点 P 在平面内运动且保持|PA|+|PB|=6,则|PM|的最大值和最小值

分别是 ( )

A.3 和 5

B.5 和 5

C.3 和 3

D.4 和 3

二.填空题 11.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几 何体的表面积是 .

2 4
俯视图 正(主)视图

4
侧(左)视图

12.设函数 f ( x) ? x ? ax 的导函数 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,则数
m

列{

1 }( n ? N *) 的前 n 项和是 f ( n)

.

2 13.若函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 1 是偶函数,则实数 a 的值为

?

?

. B P D A O

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图3,圆 O 的半径为 5 cm ,点 P 是弦 AB 的中点, C

CP 1 ? ,则 CD 的长为 OP ? 3 cm ,弦 CD 过点 P ,且 CD 3

cm .

15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的 参数方程分别为 l : ?

? x ? t ? 2, ? x ? 1 ? s, ( s 为参数)和 C : ? ( t 为参数) , 2 ? y ? 1? s ?y ? t


图3

若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 AB ? 三.解答题

n 16.已知向量 m ? ? 2 cos , ? , n ? ? sin , ? ? x ? R ? ,设函数 f ? x ? ? m? ? 1 . 1 1
(1)求函数 f ? x ? 的值域; (2)已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A , B , C ,若 f ? A ? ?

??

? ?

x 2

? ?

?

? ?

x 2

? ?

?? ?

5 3 , f ? B ? ? ,求 f ? C ? 的值. 13 5

17. (本小题满分12分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考 试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分 成六段: ?40,50 ? , ?50,60 ? ,?, ?90,100 ? 后得到如图 4 的 频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高 一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3) 若从数学成绩在 ? 40, 50 ? 与 ?90,100? 两个分数段 内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩 之差的绝对值不大于 10 的概率. 频率 组距

a
0.025 0.020

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

图4

18.如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 60 ,

?

AB ? 2 AD , PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 BMD ; (2)求证: AD ? PB ;

P

M

D

(3)若 AB ? PD ? 2 ,求点 A 到平面 BMD 的距离.
A 图4 B

C

1 1 **19.数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? (n ? N * ) . 2 ? an 2
(1)证明:数列 {

1 } 是等差数列; an ? 1

(2)求数列{ an }的通项公式. 并证明数列{ an }是单调递增数列.

**20.设 F1 、 F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点. a 2 b2

(1)设椭圆 C 上点 ( 3,

3 ) 到两点 F1 、 F2 距离和等于 4 ,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程.

**21.已知函数 f ?x ? ? x ? 3ax ? bx ,其中 a, b 为实数.
3 2

(1)若 f ? x ? 在 x ? 1处取得的极值为 2 ,求 a, b 的值; (2)若 f ? x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数,且 b ? 9a ,求 a 的取值范围.

佛山三中 2014 届高三(文科)数学佛一模考前热身训练答案 1.

i i (1 ? i ) 1? i .选 A. ? ? 2 1 ? i (1 ? i )(1 ? i )

2.?A={x| 0 ? x ? 4 },?A∩B={x| 0 ? x ? 3 }.选 C. 3. f ( x) ? sin 2 x ?

1 1 ? cos2 x 1 ?cos2 x .选 D. ? ? ? 2 2 2 2

4.将特称变为全称.选 C. 5. y ? 3x ? 2, 切线的斜率 k= 3 ?1 ? 2 ? 1 .故倾斜角为 45°.选 B.
/ 2

2

6.由条件得, 5a1 ? 10d ? 30, a1 ? d ? 7, 解出 d=-1. a1 ? 8 .? a7 ? 8 ? 6( ?1) ? 2 .选 C. 7.? f ( x ) ? 2 x ? 2 f '(1) ,? f / (1) ? 2 ? 2 f '(1) .解出 f / (1) ? ?2 .? f (0) ? 2 f '(1) ? ?4. 选 D.
/ /

8.设点 P 的坐标为( t , ),则点 P 关于直线 y ? x 的对称点 Q 的坐标为( ,t ),? OP ? OQ ? 2.选 B. 9.过点(-1,2), 斜率为 1 的直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 .选 A. 10. 建 立 适 当 的 坐 标 系 . 利 用 定 义 知 点 P 的 轨 迹 为 一 个 椭 圆 , 设 所 求 椭 圆 方 程 是

1 t

1 t

??? ???? ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,求出 a ? 3, c ? 2, b ? 5 ,|PM|的最大值和最小值分别是 a和b .选 A. a2 b2
二.填空题 11.几何体的表面积是 2? ? 2 ? ? ? 2 ? 12? .
2 2

12. f ( x ) ? mx
/

m ?1

? a = 2 x ? 1 ,? m ? 2, a ? 1. 1 ?
f (n)

n 1 1 1 ,?前 n 项和是 . ? ? n ?1 n(n ? 1) n n ? 1

13.0 三.解答题

14. 6 2

15. 2

16.(1) f ? x ? ? m?n ? 1 ? ? 2cos , ?? sin , ? ? 1 ? 2cos 1 ? 1

?? ? ?

? ?

x 2

?? ??

x 2

? ?

x x sin ? 1 ? 1 ? sin x . 2 2

1 ∵ x? R,∴函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,? .
(2)∵ f ? A ? ?

5 3 5 3 , f ? B ? ? ,∴ sin A ? , sin B ? .∵ A, B 都是锐角, 13 5 13 5

∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ?

12 4 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? .∴ f ? A ? B ? ? sin ? A ? B ? 5 13 56 5 4 12 3 56 ? sin A cos B ? cos Asin B ? ? ? ? ? .∴ f ? A ? B ? 的值为 . 13 5 13 5 65 65
所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .?解得 a ? 0.03 .?

17、 (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1,

(2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 . 由于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩 不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人. (3)解:成绩在 ? 40, 50 ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,分别记为 A , B .????6 分 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,分别记为 C , D , E , F .???7 分 若从数学成绩在 ? 40, 50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本 事件有: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? , ? A, E ? , ? A, F ? , ? B, C ? , ? B, D ? , ? B, E ? , ? B, F ? ,

? C , D ? , ? C , E ? , ? C , F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ?

共 15 种.如果两名学生的数学成绩

都在 ? 40, 50? 分数段内或都在 ?90,100? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一 定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40, 50 ? 分数段内,另一个成绩在 ?90,100? 分数段内,那么这两名 学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ,则事件 M 包含的基本事件有:

? A, B ? , ? C , D ? , ? C , E ? , ? C , F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ? 共
P?M ? ?

7 种.所以所求概率为

7 .????????????????????????????12 分 15

18、(1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O , 连接 MO , ∵ ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点. ∴ MO // AP . ∴ PA // 平面 BMD . (2)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ∵ M 为 PC 的中点, ∵ PA ? 平面 BMD , MO ? 平面 BMD , ?????3 分

∴ PD ? AD . ∵ ?BAD ? ?BCD ? 60 , AB ? 2 AD , ∴ BD
2 ?

?????4 分
P

? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 60?
? AB 2 ? AD 2 ? 2 AD 2
? AB 2 ? AD 2 .
D

M

?????5 分
O A

N

C

∴ AB

2

? AD ? BD .
2 2

B

∴ AD ? BD . ∵ PD ? BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , ∴ AD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD ,

?????6 分

∴ AD ? PB .

(3)解:取 CD 的中点 N ,连接 MN ,则 MN // PD 且 MN ? ∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 2 , ∴ MN ? 平面 ABCD , MN ? 1 . 在 Rt△ PCD 中, CD ? AB ? PD ? 2 , DM ? ∵ BC // AD , AD ? PB , 在 Rt△ PBC 中, BM ? ∴ BC ? PB .

1 PD . 2

?????9 分

1 1 PC ? 2 2

PD 2 ? CD 2 ?

2,

1 PC ? 2

2.

在△ BMD 中, BM ? DM , O 为 BD 的中点, ∴ MO ? BD .在 Rt△ ABD 中, BD ? AB ? sin 60 ? 2 ?
?

3 ? 2

3.

在 Rt△ MOB 中, MO ?

BM 2 ? OB 2 ?

5 . 2

∴ S ΔABD ?

1 3 1 ? AD?BD ? ? BD?MO ? , S ΔMBD ? 2 2 2

15 .????11 分 4

设点 A 到平面 BMD 的距离为 h , ∵ VM ? ABD ? VA ? MBD ,



1 1 ?MN ? S ΔABD ? ?h? S ΔMBD . 3 3



1 3 1 ? 1? ? ?h? 3 3 2
2 5 . 5

15 , 解得 4

h ?

2 5 . 5
1 ? an ?1 ? 1 an ? 1 ? 1

∴点 A 到平面 BMD 的距离为

19.(1)?

1 1 2 ? an

1 1 2 ? an 1 ?a ? 1 ? ?2 , ? ? ? n ? ?1, 而 a1 ? 1 an ? 1 ?1 ? an an ? 1 an ? 1 ?1

?

?数列 {

1 } 是首项为 ? 2 ,公差为 ? 1 的等差数列. an ? 1

(2)由(1)得

n ?1 n ( n 2 ? 2n ? 1) ? ( n 2 ? 2n ) n 1 .? an ?1 ? an ? ? ? ? ? n ? 1 ,? an ? an ? 1 n ?1 ( n ? 2)( n ? 1) n ? 2 n ?1

?

1 ? 0 ,? an ?1 ? an ,?数列{ an }是单调递增数列. (n ? 2)(n ? 1)

3 2 3 x2 y2 ( 3)2 ( 2 ) ) 在椭圆上, 2 ? 20(1)由于点 ( 3, ? 1 得 2 a =4, 椭圆 C 的方程为 ? ? 1 ,焦点 4 3 2 a b2
坐标分别为 (?1,0),(1,0) .

x2 y 2 ? ?1 (2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y) ,把 K 的坐标代入椭圆 4 3 (2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 1 2 y2 ? ? 1 .线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? ) ? ? 1. 3 4 3 2 4
21. f ??1? ? 0 且 f ?1? ? 2 ,即 ?
2

中得

?3 ? 6a ? b ? 0 4 ,解得 a ? , b ? ?5. 3 ?1 ? 3a ? b ? 2
2

(2)? f ??x ? ? 3x ? 6ax ? b ? 3x ? 6ax ? 9a ,又 f ? x ? 在 ?? 1, 2? 上为减函数,

? f ?? x ? ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立,即 3x 2 ? 6ax ? 9a ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立.
?a ? 1 ?3 ? 6a ? 9a ? 0 ? ?? ? f ??? 1? ? 0 且 f ?2? ? 0 ,即 ? 3 ? a ? 1 ,? a 的取值范围是 a ? 1. ?12 ? 12 a ? 9a ? 0 ?a ? 7 ?


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