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湖南省浏阳一中2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


浏阳一中 2016 上学期高二数学(文科)期中考试试题
时量:120 分钟,总分:150 分,选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1. 已知全集 U ? R , M ? x ? 2 ? x ? 2} , N ? x x ? 1 } ,那么 M ? N ? ( A. x ? 2 ? x ? 1 } 2.函数 y ? (A)

?

?



?

B. x ? 2 ? x ? 1 } )

?

C. x x ? ?2}

?

D . x x ? 2}

?

6 ? x ? x 2 的定义域是(
(B) [2,??)

?? 3,2 ?

(C) [?3,2] )

(D)

?

? ?,?3 ? ? ?2,??

?

3、已知函数 f ( x ? A、8

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,则 f(3)= ( x x
B、9 C、10

D、11 )

4.已知向量 a ? ?1, x ? , b ? ?x,3? ,若 a 与 b 共线,则 a ? (

A. 2
A.13

B. 3
B.26 )

C .2

D.4
) D.156

5.在等差数列 {an } 中, a3 ? a11 ? 4 ,则此数列的前 13 项之和等于( C.52

6.下列判断正确的是(

A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” C. “ sin ? ?

? 3 ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 3 2
x

D. 命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2 0 ? 0 ”
x

7.对于定义在 R 上的奇函数 f ( x), 满足f ( x ? 3) ? f ( x), 则f (1) ? f (2) ? f (3) ? ( A.0 B.—1 C.3 D.2
2



8 、下列图中,画在同一坐标系中,函数 y ? ax ? bx 与 y ? ax ? b(a ? 0, b ? 0) 函数的图象只可能是 ( )

y

y

y

y

x A B

x C

x D

x

9. 设 f ?x ? 是定义在 R 上的单调递减的奇函数,若 x1 ? x2 ? 0, x2 ? x3 ? 0, x3 ? x1 ? 0, 则( A . f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? 0 B.



f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? 0
1

C. f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? 0 10.函数 f ( x) ? ? A.(1,2)

D.

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?
)

?(a ? 2) x ?1 x ? 1 在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围为( x ?1 ? log a x
B.(2,3) C.(2,3] D.(2,+∞)

11.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,称这些函数为—同族函数。那么,函数的解 析式为 y ? x 2 ,值域为 ?4,9? 的同族函数共有( A. 7个 B. 8个 C. 9 个 ) D.10 个 )

12、 已知函数 f ( x) ? ? A.5 5

? x 2 ? 2 x, x ? 0 1 , 当 x ? [0,10] 时, 关于 x 的方程 f ( x ) ? x ? 的所有解的 ( 5 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
B.100 C.110 D.120

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13、已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x , x ? 0, ?3 ? 1, x ? 0,
x

则 f ( f ( 1 )) 的值是

4



2 2 2 2 14. . 已知函数 f (t ) 是奇函数且是 R 上的增函数, 若 x, y 满足不等式 f ( x ? 2 x) ? ? f ( y ? 2 y) , 则x ? y

的最大值 是 15.已知函数 f(x)=x -(3+2a)x+6a,其中 a>0. 若存在实数 b 使得 围是 .
2

)≤0, 成立,则实数 a 的取值范 ? ff ((b b ?1)≤0
2

* * * 16. 已知 f ?1,1? ? 1, f ? m, n ? ? N m, n ? N ,且对任意 m, n ? N 都有:

?

?

① f ? m, n ?1? ? f ? m, n? ? 2 则(1)f(1.5)= ;

② f ? m ?1,1? ? 2 f ? m,1?

(2)f(5.6)=

三、解答题:(本大题共 6 小题,共计 70 分) 17、(本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x ) = x ? bx ? c ,且不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x 1 ? x ? 3 。
2

?

?

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2) 求 f ( x ) 在定义域为 ?? 1,4? 上的值域 (3)若不等式 f ( x) ? m x ? 1 对于 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围。

18:(本小题 12 分)

数列 ? bn ?(n ? N * ) 是递增的等比数列,且 b1 ? b3 ? 5, b1b3 ? 4,

(1)求数列 ?bn ? 的通项公式;
2

(2)若 an ? 2 log2 bn ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; ( 3)若 cn ? an ? bn 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn

19.已(本小题满分 10 分)知直线 L:

(t 为参数),曲线 C1:

(θ 为参数).

(1)求直线 L 的普通方程,C1 的普通方程 (2)设 L 与 C1 相交于 A,B 两点 ,求|AB|; (3)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 L 的距离的最小值. 倍,得到曲线 C2,设点 P 是

20.(本小题满分 12 分)为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对 20 名男生和 20 名女生进行问卷 调查,结果如下: 女生: 睡眠时间(小时) 人数 男生: 睡眠时间(小时) 人数

? 4,5?
2

?5,6?
4

?6,7 ?
8

?7,8?
4

?8,9?
2

? 4,5?
1

?5,6?
5

?6,7 ?
6

?7,8?
5

?8,9?
3

(1)现把睡眠时间不足 5 小时的定义为“严重睡眠不足”,从睡眠时间不足 6 小时的女生中随机抽取 2 人 ,求此 2 人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率; (2)完成下面 2×2 列联表,并回答是否有 90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”? 睡眠时间少于 7 小时 男生 女生] 合计 (K ?
2

睡眠时间不少于 7 小时

合计

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

21(本小题满分 12 分).如图,四棱锥 P-ABCD 底面为直角梯形,BA⊥AD, P( K 2 ≥ k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 PA=AD=CD=2AB=2,PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点,F 为 PD 的中点, k :EF∥平面 2.072 (1)证明 ABCD;2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

P F D A B E C
3

(2)证明:EF ? 平面 PAD; (3 求点 B 到平面 PDC 的距离.

22.(本题满分 12 分) 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件: ①当 x ∈R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x -1)= f (- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x ) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) ; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立.

浏阳一中 2016 上学期高二数学(文科)期中考试试题 时量:120 分钟,总分:150 分,命题:李忠平,审题:张先祥 一、 选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分)

1. 已知全集 U ? R , M ? x ? 2 ? x ? 2} , N ? x x ? 1 } ,那么 M ? N ? ( A ) A. x ? 2 ? x ? 1 }

?

?

?

B. x ? 2 ? x ? 1 }

?

C. x x ? ?2}

?

D . x x ? 2}
4

?

2.函数 y ? (B)

6 ? x ? x 2 的定义域是( C
(B) [2,??)

) (D)

?? 3,2 ?

(C) [?3,2]

?

? ?,?3 ? ? ?2,??

?

3、已知函数 f ( x ? A、8

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,则 f(3)= ( D ) x x
C、10 D、11

B、9

4.已知向量 a ? ?1, x ? , b ? ?x,3? ,若 a 与 b 共线,则 a ? ( C )

A. 2
A.13

B. 3
B.26

C .2

D.4
)

5.在等差数列 {an } 中, a3 ? a11 ? 4 ,则此数列的前 13 项之和等于( B C.52

D.156

6.下列判断正确的是( D ) A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” C. “ sin ? ?

? 3 ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 3 2
x

D. 命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2 0 ? 0 ”
x

7.对于定义在 R 上的奇函数 f ( x), 满足f ( x ? 3) ? f ( x), 则f (1) ? f (2) ? f (3) ? ( A ) A.0 B.—1 C.3 D.2 8 、下列图中,画在同一坐标系中,函数 y ? ax ? bx 与 y ? ax ? b(a ? 0, b ? 0) 函数的图象只可能是
2



B )

y

y

y

y

x A B

x C

x D

x

9. 设 f ?x ? 是定义在 R 上的单调递减的奇函数,若 x1 ? x2 ? 0, x2 ? x3 ? 0, x3 ? x1 ? 0, 则( A . f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? 0 C. f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? 0 B. D.

B



f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? 0 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ?

10.函数 f ( x) ? ? A.(1,2)

?(a ? 2) x ?1 x ? 1 在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围为( C ) x ?1 ? log a x
B.(2,3) C.(2,3] D.(2,+∞)
5

11.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,称这些函数为—同族函数。那么,函数的解 析式为 y ? x 2 ,值域为 ?4,9? 的同族函数共有( A. 7个 B. 8个 C. 9 个 C ) D.10 个

12、已知函数 f ( x) ? ? ( B )

? x 2 ? 2 x, x ? 0 1 ,当 x ? [0,10] 时,关于 x 的方程 f ( x ) ? x ? 的所有解的和为 5 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
B.100 C.110 D.120

A.5 5

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13、已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x , x ? 0, ?3 ? 1, x ? 0,
x

则 f ( f ( 1 )) 的值是

4

.10/9

14. 已知函数 f (t ) 是奇函数且是 R 上的增函数, 若 x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2 x) ? ? f ( y 2 ? 2 y) , 则 x2 ? y2 的最大值 是
2

8

15、已知函数 f(x)=x -(3+2a)x+6a,其中 a>0. 若有实数 b 使得 是 .

)≤0, 成立,则实数 a 的取值范围 ? ff ((b b ?1)≤0
2

(0,

2 ] ? [5,??) . 2

* * 16. 已知 f ?1,1? ? 1, f ? m, n ? ? N m, n ? N ,且对任意 m, n ? N * 都有:

?

?

① f ? m, n ?1? ? f ? m, n? ? 2 则(1)f(1.5)= 9;

② f ? m ?1,1? ? 2 f ? m,1? 26

(2)f(5.6)=

三解答题:(本大题共 6 小题,共计 70 分) 17、(本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x ) = x ? bx ? c ,且不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x 1 ? x ? 3 。
2

?

?

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2) 求 f ( x ) 在定义域为 ?? 1,4? 上的值域 (3)若不等式 f ( x) ? m x ? 1 对于 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围。
6

解:1) f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 -----------4 分 2) f ( x) ? ?? 1,8? 3)-8<m<0 18:(本小题 12 分) 数列 ? bn ?(n ? N * ) 是递增的等比数列,且 b1 ? b3 ? 5, b1b3 ? 4, (1)求数列 ?bn ? 的通项公式;(1) bn ? 2 n?1 ;-----------------4 分 (2)若 an ? 2 log2 bn ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; ( 3)若 cn ? an ? bn 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn

an ? 2n ---------3 分

sn ? (n ? 1)2 n?1 ? 2 -------5 分

19.已知直线 l:

(t 为参数),曲线 C1:

(θ 为参数).

(1)求直线 l 的普通方程,C1 的普通方程 (2)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点 ,求|AB|; (3)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2,设点 P 是

曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 2 2 解: 解:(I)l 的普通方程为 y= (x﹣1),C1 的普通方程为 x +y =1,------------4 分 (2)联立方程组 ,解得交点坐标为 A(1,0),B( ,﹣ )

所以|AB|=

=1;-----------------------------------------4 分

(3)曲线 C2:

(θ 为参数).

设所求的点为 P( cosθ ,

sinθ ),

则 P 到直线 l 的距离 d= 当 sin( )=﹣1 时,d 取得最小值 .-----------------------------4 分

20.(本小题满分 12 分)为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对 20 名男生和 20 名女生进行问卷
7

调查,结果如下: 睡眠时间(小时) 人数 男生:

女生:

? 4,5?
2

?5,6?
4

?6,7 ?
8

?7,8?
4

?8,9?
2

睡眠时间(小时) 人数

? 4,5?
1

?5,6?
5

?6,7 ?
6

?7,8?
5

?8,9?
3

(1)现把睡眠时间不足 5 小时的定义为“严重睡眠不足”,从睡眠时间不足 6 小时的女生中随机抽取 2 人 ,求此 2 人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率; (2)完成下面 2×2 列联表,并回答是否有 90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”? 睡眠时间少于 7 小时 男生 女生] 合计 (K ?
2

睡眠时间不少于 7 小时

合计

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

解:(1) 选取的 20 名女生中,“睡眠严重不足”的有 2 人,设为 A, B ,睡眠时间在 [5, 6) 的有 4 人,设 为 a, b, c, d . 从中选取 2 人的情况有 AB, Aa, Ab, Ac, Ad Ba, Bb, Bc, Bd , ab, ac, ad , bc, bd , cd , 其中恰有 1 人“睡眠严重不足”的有 8 种,因此 2 人中恰有一个为“严重睡眠不足”的概率为

8 . 15

----6 分

(2) P( K 2 ≥ k )

k

(表格记 2 分) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 7 小时 6.635 睡眠不少于 小时 2.072 2.706 睡眠少于 3.841 5.024 7.879 710.828 男生 女生 合计 12 14 26 8 6 14

合计 20 20 40

k?

40(12 ? 6 ? 14 ? 8)2 40 ? ? 0.440 ? 2.706 20 ? 26 ? 14 ? 20 91

----------------------------10 分

所以没有 90% 的把握认为“睡眠时间与性别有关” --------------------------12 分

21(本小题满分 12 分).如图,四棱锥 P-ABCD 底面为直角梯形,BA⊥AD, PA=AD=CD=2AB=2,PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点,F 为 PD 的中点,

P E D C
8

(1)证明:EF∥平面 ABCD; (2)证明:EF ? 平面 PAD; (3)求点 B 到平面 PDC 的距离.

F

(1)证明:PD 中点 F,连 EF,AF,因为 E,F 分别为 PC, PD 的中点,故 有 EF ∥CD,∴EB∥平面 ABCD; (2)EF 垂直 AD,EF 垂直 PA ∴ EF 垂直平面 PAD; (3)连 AF,易证 AF⊥CD,AF⊥PD,故 AF⊥面 PCD,故线段 AF 的长为直线 AB 到平面 PDC 的距离,在直角边长为 2 的直角 等腰三角形 PAD 中,易求得 AF= 2 ,故直线 B 到平面 PDC 的距离为 2 . 22.(本题满分 12 分) 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件: ①当 x ∈R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x ) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) ; (2)求 f ( x ) 的解析式;

P E F D A B C

(3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立. 解:(1)f(1)=1????2 分 (2)f(x)=

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4

.????7分

(3)只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立。 f (1 ? t ) ? 1并且f (m ? t ) ? m

1 f (1 ? t ) ? 1 解得 ? 4 ? t ? 0 , f (m ? t ) ? m 解得 ( m ? t ? 1) 2 ? m 4
所以: ? 2 m ? m ? t ? 1 ? 2 m 等价于 m ? 2 m ? (?1 ? t ) max ; m ? 2 m ? (?1 ? t ) min 所以 m=9????16 分 解法 2:(3)假设存在 t∈R, 只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. 取 x=1 有 f(t+1)≤1. 即((1/4)(t+1)) + ((1/2)(t+1))+(1/4)≤1, 解得-4≤t≤0. ????9分 对固定的 t∈[-4,0],取 x=m, 有 f(t+m)≤m,即((1/4)(t+m) )+ (1/2)(t+m))+(1/4)≤m,
2 ( 2

9

化简有 m -2(1-t)m+(t +2t+1)≤0 解得 1 ? t ? ? 4t ≤m≤ 1 ? t ? ? 4t
2 2

????12 分

于是有 m≤ 1 ?

t

? 4t ≤ 1 ? (?4) ? ? 4 ? (?4) =9

????14 分

当 t=-4 时,对任意的 x∈[1, 9],恒有 f(x-4)-x=(

1 1 2 )(x -10x+9)= (x-1)(x-9)≤0. 4 4

所以 m 的最大值为9。 ????16 分

解法 3:(3)由题意, 在区间 [1, m] 上函数 y ? f ( x ? t ) 的图像在直线 y ? x 的下方,且 m 最大,???9 分 故 1 和 m 是关于 x 的方程

1 ( x ? t ? 1) 2 ? x ??①的两个根???10 分 4
令 x=1 代入①,得 t=0 或 t=-4???11 分 当 t=0 时,方程①的解为 x1 ? x2 ? 1(这与 m>1 矛盾)???12 分 当 t=-4 时,方程①的解为 x1 ? 1, x2 ? 9 ,所以 m=9???13 分 又当 t=-4 时,对任意 x ? [1,9] ,恒有

( x ? 1)( x ? 9) ? 0 ?

1 ( x ? 4 ? 1) 2 ? x 4
所以 m 的最大值为 9???16 分

即 f ( x ? 4) ? x ???15 分

10


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