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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第47课 数列求和(2)课件 文


考纲要求
1.熟练掌握错位相减法的求和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

基础自测
1.(2012 哈尔滨质检)等差数列 {a n } 的前项和为 S n ,若 a7 ? 0, a8 ? 0 , 则下列结论正确的是( A. S 7 ? S 8 C. S13 ? 0 ) B. S15 ? S16 D. S15 ? 0

【答案】C 【解析】 S13 ?

13(a1 ? a13 ) ? 13a7 ? 0 . 2

2.(2012 台州质检)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知
2 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2 m?1 ? 38 ,则 m ? (



A. 38 C. 10
【答案】C

B. 20 D. 9

【解析】∵在等差数列 {an } 中, am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,
2

∴ 2am ? am ? 0 ,∴ am ? 2 ,或 am ? 0 (舍去) ,
2

∴ S2 m?1 ? (2m ? 1)am ? 2(2m ? 1) ? 38 , ∴ m ? 10 .

3.(2012 东莞一模)已知数列 {a n } 的通项公式是 an ? (?1) (n ? 1) ,
n

则 a1 ? a2 ? a3 ? … ? a10 ? ( A. ?55
【答案】C 【解析】∵ an ? an ?1 ? (?1)
n

) C.5 D.55

B. ?5

? n ? 1? ? (?1)n?1 ? n ? 2 ? ? (?1)n?1 ,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 1 ,
∴ a1 ? a2 ? … ? a10 ? 1? 5 ? 5 .

1 4.数列 {an } 满足 an ? an ?1 ? (n ? N ? ) ,且 a2 ? 1 ,则数列的前 21 项 2
的和 S 21 ? ( )

9 A. 2
【答案】A

11 B. 2

C. 6

D. 10

1 【解析】∵ an ? an ?1 ? , 2 1 ∴ an ?1 ? an ? 2 ? ,∴ an ? 2 ? an , 2 1 1 ∵ a1 ? a2 ? ,且 a2 ? 1 ,∴ a1 ? ? , 2 2 11 9 ∴ S21 ? 11a1 ? 10a2 ? ? ? 10 ? . 2 2

典例剖析
3.错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,主要用于求 数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和,其中 ? an ? 、 ?bn ? 分别是等差数列和等比数列.

【例 3】 (2011 辽宁高考)已知等差数列 {an } 满足 a2 ? 0 , a6 ? a8 ? ?10 . (1)求数列 {an } 的通项公式;

?a ? (2)求数列 ? nn ? 的前 n 项和. ?1 ?2 ?
【解析】 (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,

? a1 ? d ? 0, ? a1 ? 1, 由已知可得 ? 解得 ? ? d ? ?1. ? 2a1 ? 12d ? ?10,
故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n .

(2)设数列 {

an } 的前 n 项和为 S n , n ?1 2 an a2 即 Sn ? a1 ? ? ? ? n?1 ,① 2 2 Sn a1 a2 an ? ? ? ? ? n .② 2 2 4 2
∴① ? ②,得

Sn a2 ? a1 an ? an?1 an ? a1 ? ??? ? n n?1 2 2 2 2 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ?1 ) ? n 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n?1 ) ? n , 2 2 n ∴ Sn ? n ?1 . 2
n ?a ? 综上,数列数列 ? nn ? 的前 n 项和 Sn ? n ?1 . ?1 2 ?2 ?

【变式】 (2012 肇庆二模)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n ,点 (n, Sn ) 在曲线 . f ( x) ? x 2 ? 4 x 上( x ? N * ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? (an ? 5) ? 2
n ?1

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的值.
2

【解析】 (1)∵点 (n, Sn ) 在曲线 f ( x) ? x ? 4 x 上( x ? N* ) ,∴ Sn ? n ? 4n ,
2

当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn ?1 ? n2 ? 4n ? [(n ? 1)2 ? 4(n ? 1)] ? 2n ? 5 ;
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?3 ,满足上式; ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 5 .

(2)由 bn ? (an ? 5) ? 2
2

n ?1

,得 bn ? n ? 2

n

∴ Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2

n ?1

? n ? 2n , ①

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 , ②
① ? ②,得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1

2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2n ?1 1? 2
? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 ,
∴ Tn ? (n ? 1) ? 2
n ?1

?2.

4.合并法求和

针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质, 因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 S n .

【例 4】求和: Sn ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? … ? (?1)
【解析】当 n 为偶数时,

n ?1

n2 .

Sn ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ? ? ? [(n ? 1) 2 ? n2 ]

? ?3 ? 7 ? 11 ? ? ? (2n ? 1)

(3 ? 2n ? 1) n n(n ? 1) . ?? ? ?? 2 2 2
当 n 为奇数时,

Sn ? 12 ? (?22 ? 32 ) ? (?42 ? 52 ) ? ? ? [?(n ? 1) 2 ? n2 ]

? 1 ? 5 ? 9 ? ??? ? (2n ? 1)

? 1?

(5 ? 2n ? 1) n ? 1 n(n ? 1) . ? ? 2 2 2
n ?1

∴ Sn ? (?1)

n(n ? 1) ? ( n ? N* ) . 2

【变式】 数列 {an } , a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an ,求 S 2012 .
【解析】∵ an ? 2 ? an ?1 ? an ,① ∴ an?3 ? an? 2 ? an?1 ,② ① ? ②,得 an ?3 ? ?an , ∴ an?6 ? ?an?3 ? an ,

∴ 数列的项是以 6 为周期的数列, ∵ a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an , ∴ a 4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a6 ? 0 ,

S2012 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a2012 ? 335(a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a6 ) ? a1 ? a2 ? 1 ? 3 ? 4 .


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