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课题:一元二次不等式的解法(1)


课题: 一元二次不等式的解法(1)教学设计 浙师大 2003 级数学教育硕士 陈辉 浙江绍兴市职教中心 一、地位和作用:一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的 延续和深化,对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用,也与后面的函数、数列、 三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助 一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基 础性,体现出很大的工具作用。 二、教学设计说明 本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学 生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程, 不时给予引导,及时纠偏。 三、教学目标 知识目标:熟练掌握一元二次不等式的两种解法;理解一元二次方程、一元二次不等式 和二次函数之间的关系。 能力目标:培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力。 情感目标: 在自主探究与讨论交流过程中,培养学生的合作意识和创新精神。 四、教学重点: 一元二次不等式的解法 教学难点: 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系 五、教法分析:为了更好地体现课堂教学中"教师为主导,学生为主体"的教学关系和" 以人为本,以学定教"的教学理念,在本节课的教学过程中,我围绕:教师组织--启发引导, 学生探究--交流发现,组织开展教学活动,设计了①创设情景--引入新课,②交流探究--发 现规律,③启发引导--形成结论,④练习小结--深化巩固,⑤思维拓展--提高能力,五个环环 相扣、层层深入的教学环节,在教学中注意关注整个过程和全体学生,充分调动学生积极参 与教学过程的每个环节。 六、教学过程: (一)引入新课 问题 1:(幻灯片 1)画出一次函数 y=2x-7 的图象,填空: 2x-7=0 的解是 .不等式 2x-7>0 的解集是 .不等式 2x-7<0 的解集是 请同学们注意,一元一次方程、 一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?("三个一次" 关系,旨在为后面探讨"三个二次"的关系提供方法和思路)。 从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论。 (幻灯片 2): 一般地,设直线 y=ax+b 与 x 轴的交点是(x0,0),就有如下结果。

一元一次方程 ax+b=0 的解集是{x|x=x0} 一元一次不等式 ax+b>0(<0)解集 (1)当 a>0 时, 一元一次不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>x0}; 一元一次不等式 ax+b<0 解集是{x|x<x0};

(2)当 a<0 时,一元一次不等式 ax+b>0 解集是{x|x<x0}; 一元一次不等式 ax+b<0 解集是{x|x>x0}。 (学生看图总结,教师在幻灯片中给出结果)。 问题 2:(幻灯片 3)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x-3-2-101234y60-4-6-6-406 则 ax2+bx+c>0 解集是 。 引导学生运用解决问题 1 的方法,画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象求解.并请学生说出不 等式 ax2+bx+c<0 的解集和方程 ax2+bx+c=0 的解集,同时注意一元二次方程、 一元二次不等式 和二次函数有什么关系?("三个二次"关系)。 (二)讲授新课 1.问题 2 的解决表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出. 请同学们解下面两组题: 题组 1 (1)解不等式 2x2-3x-2>0 (2)解不等式-3x2+6x>2 学生根据问题 2 的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图象的要 领和方法。 2.题组 2 (1)解不等式 4x2-4x+1>0 (2)解不等式-x2+2x-2>0 学生不难想到,这两题的方法和上面完全相同,教师在巡回指导中及时提醒学生注意和上 面两题的不同,由图象写出解集是难点,必要时教师在黑板上画出图象给予一定的提示或讲 解。 3.至此我们掌握了用图象法来解一元二次不等式.当然我们可以仿照前面探讨"三个一次 "关系的做法来探讨这里"三个二次"的关系。 引导学生分三种情况(△>0,△<0,△=0)讨论一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0 )与 ax2+bx+c<0(a>0)的解集。 (幻灯片 4) △>0 △=0△<0

y=ax2+bx+c(a>0) 图 象 ax2+bx+c=0(a>0)根 x=x1 或 x=x2x1=x2= 无 解 ax2+bx+c>0(a>0) 解 集{x|x<x1 或 x>x2}{x|x≠ } Rax2+bx+c<0(a>0) 解 集{x|x1<x<x2}φ φ 请同学们思考,若 a<0,则一元二次不等式 ax2+bx+c >0 与 ax2+bx+c<0 的解集又将如何?课后仿上表给出。 4.由上面的例题和总结我们发现,一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、 二次方程 的根以及不等号有关,进一步引导学生总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化 成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为" 三步曲"法)。 (四)课堂练习 1. 解不等式:; ;; 2.(幻灯片 5)题组 3: (1)x2+x+k>0 恒成立,求 k 的取值范围。 (2)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为 。 ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立的条件为 。 (3) (x-a) (x-a2)<0(0<a<1)的解集是 。 课本 P19 练习 1 的四个小题由 4 位同学板演,教师通过学生板演发现问题,纠正错误,规范 书写过程。 课堂练习 1、 是两组有梯度的练习题,练习 1 面向全体学生,练习 2 供程度较好的学生进 2

一步发展提高。 (五)课时小结 1."三个二次"关系。 2.一元二次不等式的两种解法----图象法和"三步曲"法。 (六)课后作业 1. P21 习题 1,2,3 2.补充练习:1.若不等式 对一切 x 恒成立,求实数 m 的范围. 解析:∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0, ∴ 只须 mx2-mx-1<0 恒成立,即可: ①当 m=0 时,-1<0,不等式成立;②当 m≠0 时,则须 解之:-4<m<0。由(1)(2)得:-4<m≤0。 、 七、课后预案 课堂中学生可能提出的意外问题设想: 1.学生可能提出的问题:不等式(x+2)(x-3)<0 能不能转化为不等式组{或{求解? 学生提出的问题,想法非常好,应给予肯定和鼓励,并作说明。 2.学生在解题中可能出现的问题:把不等式(x-1)(x+2)>1 转化为{去解。 根据以往的经验,在解(x-1) (x+2)>1 一类的不等式的时候,由于受方程(x+1) (x+2) 可转化为 x-1=0 或 x+2=0 求解的影响, =0 有可能会出现将不等式转化为不等式组 {来求解的错误做法,教师要关注学生,及时发现问题并给予纠正,指出上面的转化不是等价 转化。


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