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2.3.2等比数列的前n项和


等比数列的前n项和

知识回顾:
1.等比数列的定义: 2.等比数列的 通项公式:
a n ?1 an

( q ? 0, n ? N ? ) ? q(常数)
n ?1

an ? a1 ? q

3.等比数列的等比中项:

a, G, b 成等比数列 ? G 2 ? ab (G,a,b ≠ 0)

数列的前n项和
Sn=a1+a2+…+an. an =

S1 (n=1)
Sn-Sn -1(n>1)

传说在古代印度,国王要奖赏国际象棋的发 明者西萨,西萨说:“请在棋盘的第1个格子里放 上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3 个格子里放上4颗麦粒,依此类推,每个格子里 放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍, 直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述 要求”。国王觉得并不难,就欣然同意了他的要 求。你认为国王有能力满足发明者的要求吗? (假定千粒麦子的质量为40g,据查,目前世界 年度小麦产量约6亿t)

由刚才的例子可知:实际上就是一个以1为首项,2 为公比的等比数列的前64项的求和问题,即: ① S ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ?…… ? 2 62 ? 2 63
64

把上式左右两边同乘以2 得: 2S ? 2 ? 4 ? 8 ? 16+ …… 由②- ①得:
64

? 2 63 ? 2 64



S 64 ? 2 ? 1
64
19 ? 10 2 ? 1 超过了1 .84 说明: ,假定千粒麦子的质量为 40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王 是不可能同意发明者的要求。

64

等比数列的前n项和
设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?
它的前n项和是 即

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an


Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1qn?1.

⑴×q, 得

qSn ?
⑴-⑵,得
由此得q≠1时,

a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1q n?1 ? a1qn . n ?1 ? q?? Sn ? a1 ? a1q ,
a1 ? 1 ? q Sn ? 1? q



?

n

?

说明:这种求和方法称为错位相减法

等比数列的前n项和公式的其它形式
a1 (1 ? q ) 当q≠1时, S n ? 1? q
n

????????????
a1 ? an q Sn ? 1? q
当q=1时,

a1 (1?q n )?a1 ?a1q n ?a1 ?( a1q n?1 ) q ?a1 ?an q

Sn ? na1

等比数列的前n项和表述为:

Sn ?

{

na1 ,

a1 ? an q a1 ? 1 ? q ? , (q≠1). 1? q 1? q
n

?

?

( q=1).

分析等比数列的前n项和公式

q ? 1时,求sn需知哪些量?
a1

q

n



a1

q

an

q = 1时呢?
只需知道任意一项和项数n

解题时先把已知量、所求量分析清楚是必要的

例1 、求下列等比数列的前 8项的和 1 1 1 ( 1 ) , , ,? 2 4 8 1 (2)a1=27,a9= ,q ? 0 243 1 1 1 1 解: (1)由 a1 ? , q ? ? ? , 4 2 2 2
8

n=8,得

8 ? 1 ?1? ? 1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S8 ? 1 1 1? 2 2 8 255 ?1? ? 1? ? ? ? 256 ?2?

1 1 ?2?由a1 ? 27, a9 ? , 可得 =27 ? q8 243 243 1 又由q ? 0, 可得q ? ? 3
? ? 1? ? 27 ?1 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 1640 ? 于是当n ? 8时,S8 ? ? 1? 81 ? 1? ? ? ? ? 3?
8

小 结 填 表
数 前 列 n 等 差 数 列 等 比 数 列

项 和 公 式

n?a1 ? an ? Sn ? 2 n?n ? 1? ? na1 ? d 2
倒序相加

a1 1 ? q n Sn ? 1 ? q ?q ? 1? a1 ? a n q ? 1? q
错位相减

?

?

推导方法

【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑

公比是否为1 .

想一想
若老师将消息在一小时内传给二位同学,二 位同学再用一小时各传给另二位不知道的同 学,依次类推,一天时间可传遍多少学生?
分析
已知? 每小时所传学生数组成等比数列 {an }

a1 = 2

q= 2

n = 24
24

求?

S24 = 2 + 4 + 8 + ... + 2 =?

例题1
若老师将消息在一小时内传给二位同学,二 位同学再用一小时各传给另二位不知道的同 学,依次类推,一天时间可传遍多少学生?

分析: 已知等比数列{an }中,a1 = 2, q = 2, n = 24, 求S24 解: 每小时所传同学数组成等比数列{an }
a1 = 2
q= 2

n = 24

S24 =

a1 (1- q 24 ) 2(1- 224 ) = 1- q 1- 2
25

= 2 - 2 = 33554430 答:一天时间可传遍3554430个学生

思考
老师将消息在一小时内传给二位同学,二位同学再 用一小时各传给另二位不知道的同学,依次类推, 如果全校有1022个学生,需要几小时传遍消息?最 后一次传给几个学生? 分析:
已知? 求? 怎么求?
等比数列 {an }中 a1 = 2 q = 2 Sn = 1022

n

最后一项an

求和公式

通项公式

例题2 老师将消息在一小时内传给二位同学,二位同学再 用一小时各传给另二位不知道的同学,依次类推, 如果全校有1022个学生,需要几小时传遍消息?最 后一次传给几个学生? 解: 每小时所传同学数组成等比数列{an }
a1 = 2

q= 2

Sn = 1022

a1 (1- q n ) Sn = ? 1022 1- q

? 2(1 2 ) = - 1022
? 1 2n = - 511

2(1- 2n ) 1- 2 n

a9 = a1q = 2? 28 512

9- 1

? 2n

512 ? 2n

29 ? n

9

答:全校传遍需9小时,最后一次传给512个同学

练习
中国人有句老话“一传十,十传百”,若有个人将 一则消息在二小时内传给其他十个人,这十人又再 用二小时各传给另十位不知道的人,依次类推, (1)十二小时后可传遍多少人? (2)若中国人口总数为11,1111,1111人, 则传遍全中国需几小时?

分析:
求S6

(1)已知等比数列 {a n }中,a1 = 1, q = 10, n = 6,

(2)已知等比数列{an }中,a1 = 1, q = 10, Sn = 11,1111,1111 求n

参考答案
(1)解: a1 ? 1, q ? 10, n ? 6, a1 (1 ? q 6 ) 1 ? 106 S6 ? ? ? 111111 1? q 1 ? 10 答:12小时后传遍111111人
a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q 1 ? 10n ? 1111111111 ? 1 ? 10 ? 10n ? 1 ? 9999999999 ? 10n ? 1010 ? n ? 10 答:传遍全中国需20小时.

(2)解: a1 ? 1, q ? 10, S n ? 1111111111,

小结
知 三 求
等比数列的前n项和公式

Sn = a1 + a2 + 鬃 ? an
错位相减法



Sn =

a1 (1- q n ) 1- q

a1 - an q = (q ? 1) 1- q

Sn = na1 (q = 1)

通项 公式

a1 , q, n an , S n

求和 公式
an = a1 ?qn- 1

作业
1.书面作业 2.合作研究性作业:
在苏格兰埃及学家莱因得(A. H. Rhind)于1858年购自埃及、 时间属于约公元165年的埃及数学纸草(通常称为莱因得纸草或阿 莫斯纸草,今藏大英博物馆)上,我们见到这么一张表: 请同学们四人一组,由 莱因得纸草上的表格, 研究等比数列前n项和 的其他推导方式? 并解释这张表格。 (注:可上网查找)


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