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【全国百强校】山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届高三上学期第二次联考数学(理)试题


2016 届 高 三 年 级 第 二 次 四 校 联 考

数学(理)试题
2015.12 命题:康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中 【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】 一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合 M ? ?x | x ? 1? ,集合 N ? x | x 2 ? 2 x ? 0 ,则 M I N 等于 A. ?x |1 ? x ? 2? B. ?x | 0 ? x ? 1 ? 2. i 是虚数单位,若 A. ?2 C.

?

?

?x | 0 ? x ? 2?

D. ?x | x ? 2?

2?i ? a ? bi (a, b ? R) ,则 lg(a ? b) 的值是 1? i 1 B. ?1 C. 0 D. 2

3. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序.若输入 x 的值为 1,则输出 S 的值为 A. 64 C. 512 B. 73 D . 585

4. 已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? 2 a7 ? a8
D. 3 ? 2 2

r r r r r r r 5. 已知| a |=1,| b |= 2,且 a ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为
A.

C. 3 ? 2 2

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

6. 某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分 布 直 方图 如图 ,数据 的 分组 依次 为

?20,40? ,?40,60? ?60,80? ,?80,100? , 若 低 于
60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是 A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

四校二联数学(理)试题

第 1 页 共 11 页

7. "a ? 0" 是“函数 f (x)= (ax-1)x 在区间 (0,+?) 内单调递增”的 A. 充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 A. 28 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 B. 60 ? 12 5 D. 30 ? 6 5

9. 将函数 y ? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个 单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

? 6
10

B.

?
12

C.
2

? 3

D.
10

5? 6

10. 已知 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? L ? a10 ?1 ? x ? ,则 a8 等于 A.-5
2

B.5

C.90

D.180

11. 设抛物线 C : y ? 3 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的圆过点 (0, 2) ,则 C 的方程为

A. y ? 4 x或y ? 8x
2 2

B. y ? 2 x或y ? 8x
2 2

C. y ? 4x或y ? 16x
2 2

D. y ? 2x或y ? 16x
2 2

12. 已知函数 f ( x) ? x ? e ?
2 x

1 ( x ? 0) 与 g ? x ? ? x2 ? ln ? x ? a ? 的图象上存在关于 2

y 轴对称的点,则 a 的取值范围是
A. ? ??,

? ?

1 ? ? e?

B. ??, e

?

?

C. ? ?

? ?

1 ? , e? e ?

D. ? ? e ,

? ?

1 ? ? e?

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)

四校二联数学(理)试题

第 2 页 共 11 页

13. 定积分

?

4

0

16 ? x 2 dx =

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 14. 已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,求 z ? ( x ? 1) ? ? y ? 1? 的最小值是 ?y ? 0 ?
15. 若三棱锥 P-ABC 的最长的棱 PA ? 2 ,且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接 球的体积是 16. 已知数列{an}满足 a1=1,an+1· an=2n(n∈N*),则 S2 016=______ 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过 程。) 17. (本小题满分 12 分) ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别是 a , b , c ,且 cos A ? (1)求 cos
2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

1 . 3

(2)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

18. (本小题满分 12 分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣 小组为了验证这个结论, 从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) , 给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如 下表:(单位:人)

(1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟,乙每次解答 一道几何题所用的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答 完的概率. (3)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 附表及公式

19. (本小题满分 12 分) 如图, 三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , 上,且 2PF ? FA . (1)求证: BE ? 平面 PAC ;

?BCA ? 90? ,PB ? BC ? CA ? 2 ,E 为 PC 的中点,点 F 在 PA

(2)求直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值.

四校二联数学(理)试题

第 3 页 共 11 页

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原 2 a b 3

点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴长为半径的圆与直线 2x ? 2 y ? 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知点 A,B 为动直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上是否 存在定点 E,使得 EA ? EA? AB 为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值;若不存在,请说 明理由.
2

2e x ?1 . 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ln x ? x
x

(1)求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (2)证明: f ? x ? ? 1 . 选做题: 请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已 知 ?ABC中,AB ? AC , D为?ABC 外 接 圆 劣 弧 ? AC 上的点(不与点 A 、 C 重合) ,延长 BD 至 E , 延长 AD 交 BC 的延长线于 F . (1)求证: ?CDF ? ?EDF ; (2)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

第 22 题图

? ?s ?x ? 3 ? 1 0 c o

?n ? ? y ? 1? 1 0 s i

( ? 为参数),以直角坐标系原点为

极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹. (2)若直线的极坐标方程为 sin ? ? cos ? ?

1

?

,求直线被曲线 C 截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲。 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? m, m ? 0, f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? .
四校二联数学(理)试题 第 4 页 共 11 页

(1)求 m 的值; (2)若 ?x ? R , f ( x) ? 2 x ? 1 ? t 2 ?

3 t ? 1 成立,求实数 t 的取值范围. 2

四校二联数学(理)试题

第 5 页 共 11 页

2016 届 高 三 年 级 第 二 次 四 校 联 考

数学(理)试题 答案
2015.12 命题:康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中 【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】 1---5 ACBCB 13. 4? 14. 6---10 BCDAD 11---12CB 16.

1 2

15.

4 ? 3

3 ? 21008 ? 3

17.解: ?1?

cos 2

1 ? cos ? B ? C ? B?C 1 cos A ? cos 2 A ? ? 2cos 2 A ? 1 ? ? ? 2cos 2 A ? 1 2 2 2 2
2

1 1 1 4 ?1? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?1 ? ? 2 2 3 9 ?3?
………6 分

? 2 ? 由余弦定理:
9 2 2 4 ( 3 ) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? b ? bc .∴ bc ? , 4 3 3 3
………8 分 当且仅当 b ? c ?

3 9 时 bc 有最大值 4, 2
2

1 2 2 ?1? ? cos A ? , A ? ? 0, ? ? ,sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ? ? ? 3 3 ?3?
1 1 9 2 2 3 2 ? ∴ ? S? ABC ?max ? bc sin A ? ? ? 2 2 4 3 4

………10 分

………12 分

18.解:(Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值

2

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 ? ? 5.556 ? 5.024 ………2 分 30 ? 20 ? 30 ? 20 9 所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.)………3 分 (Ⅱ) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的区域为
2

K2 ?

?5 ? x ? 7 (如图所示) ? ?6 ? y ? 8
四校二联数学(理)试题 第 6 页 共 11 页
1 O

y

1

x

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y ………5 分

1 ? 1? 1 1 2 由几何概型 P( A) ? ? ? 2? 2 8

即乙比甲先解答完的概率为

1 .………7 分 8

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C8 2 ? 28 种, 其中甲、 乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种; 恰有一人被抽到有 C21 ? C61 =12 种; 两人都被抽到有 C2 2 ? 1 种

? X 可能取值为 0,1, 2 , P( X ? 0) ?
P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? 12 3 ? , 28 7 1 28

15 , 28

………8 分

………9 分

………10 分 ………11 分

X 的分布列为:
? E( X ) ? 0 ? 15 12 1 1 +1 ? +2 ? ? 28 28 28 2 .
………12 分

X
P

0 15 28

1

12 28

2 1 28

19. 解答:( 1 )证明:∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB ………1 分
? 由 ?BCA ? 90 ,可得 AC ? CB

………………………2 分 ………………3

又? PB ? CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC 分 注意到 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE

…………………4 分 ………………5 分 …………………………6 分

? PB ? BC , E 为 PC 中点,∴ BE ? PC

? PC ? AC ? C , BE ? 平面 PAC

(2)如图,以 B 为原点、 BC 所在直线为 x 轴、 BP 为 z 轴建立空间直角坐标系. 则 C (2,0,0) , A(2,2,0) , P(0,0,2) , E (1,0,1) …………………………7 分 ………………8 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 2 2 4 BF ? BP ? PF ? BP ? PA ? ( , , ) . 3 3 3 3

四校二联数学(理)试题

第 7 页 共 11 页

设平面 BEF 的法向量 m ? ( x, y, z) . 由 m ? BF ? 0, m ? BE ? 0 得

??

?? ??? ?

?? ??? ?

2 2 4 x? y? z ?0, 3 3 3

即 x ? y ? 2 z ? 0 ……………(1)

x?z ?0

……………(2)

取 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ?1 , m ? (1,1, ?1) .

??

…10 分

AB ? (?2,?2,0) , cos AB, m ?

AB ? m AB ? m

?

6 3

? sin ? ?

6 6 . ………12 分 ,直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值 3 3 6 c 6 6 得 ? ,即 c ? a a 3 3 3

2 2 2

20.解答.(1)由 e ?

………1 分

又以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长轴长为半径的圆为 x ? y ? a 且与直线 2x ? 2 y ? 6 ? 0 相切, 所以 a ?

6 2 ? (? 2 )
2
2 2

2

? 6 代入①得 c=2,
x2 y 2 ? ?1 6 2

………2 分

所以 b ? a ? c ? 2 .所以椭圆 C 的标准方程为
2

………4 分

? x2 y 2 ? ? ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 (2)由 ? 6 2 ? ? y ? k ( x ? 2)

………6 分

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),所以 x1 ? x 2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

………8 分

根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0), 使得 EA ? EA ? AB ? ( EA ? AB ) ? EA ? EA ? EB 为定值.
四校二联数学(理)试题 第 8 页 共 11 页
2

则 EA? EB ? ?x1 ? m, y1 ? ? ?x2 ? m, y2 ? ? ( x1 ? m)?x2 ? m? ? y1 y2 ………9 分

= k ? 1 x1 x 2 ? 2k ? m ?x1 ? x2 ? ? 4k ? m
2 2 2

?

?

?

?

?

2

? ? ?3m

2

? 12m ? 10 k 2 ? m 2 ? 6 要 1 ? 3k 2
………10 分 .………11 分

?

?

?

使上式为定值,即与 k 无关, 3m 2 ? 12m ? 10 ? 3 m 2 ? 6 , 得m ?

?

?

7 . 3
2 2

此 时 , EA ? EA ? AB ? m ? 6 ? ?
2 5 EA ? EA? AB 为定值,且定值为 ? . 9

7 5 , 所 以 在 x 轴 上 存 在 定 点 E( ,0) 使 得 3 9
……12 分

21.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

f ' ( x) ? e x ln x ?

e x 2 xe x ?1 ? 2e x ?1 ? x x2

………2 分

由 题 意 可 得 f(1) = 2 , f′(1) = e , 故 曲 线 y ? f ? x ? 在 x ?1 处 的 切 线 方 程 为

y ? e( x ? 1) ? 2 ;
2 - (2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+ ex 1, x 2 - 从而 f(x)>1 等价于 xln x>xe x-e 设函数 g(x)=xln x, 则 g′(x)=1+ln x, 1 0, ?时,g′(x)<0; 所以当 x∈? ? e? 1 ? 当 x∈? ?e,+∞?时,g′(x)>0.

………4 分

.………6 分

? 1? ?1 ? 故 g(x)在 0,e 上单调递减,在 e,+∞ 上单调递增,从而 g(x)在(0,+∞)上的最小值 ? ? ? ?
1 ?1? 为 g e =-e ? ? 2 - - 设函数 h(x)=xe x- ,则 h′(x)=e x(1-x). e 所以当 x∈(0,1)时,h′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0. .………8 分

四校二联数学(理)试题

第 9 页 共 11 页

故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而 h(x)在(0,+∞)上的最大值 1 为 h(1)=- . e 1? 因为 gmin(x)=g? ?e ?=h(1)=hmax(x), 所以当 x>0 时,g(x)>h(x),即 f(x)>1. 22.解: ?1? 证明: Q A 、 B 、 C 、 D 四点共圆 ………12 分 ………10 分

? ?CDF ? ?ABC .

? AB ? AC ??ABC ? ?ACB
且 ?ADB ? ?ACB ,

?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ?ABC ,
? ?CDF ? ?EDF
...........5 分

? 2 ? 由 ?1? 得 ?ADB ? ?ABF ,又? ?BAD ? ?FAB ,
所以 ?BAD 与 ?FAB 相似,

?

AB AD ? AB 2 ? AD ? AF , ? AF AB

又? AB ? AC ,

? AB ? AC ? AD ? AF ,? AB ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF

根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,

AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .
23.解: ?1? ∵曲线 C 的参数方程为 ?

..........10 分

? ? x ? 3 ? 10 cos ? ? ? y ? 1 ? 10 sin ?
2

(α 为参数)
2

∴曲线 C 的普通方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 10 曲线 C 表示以 ? 3,1? 为圆心, 10 为半径的圆。 将?

? x ? ? cos? 代入并化简得: ? ? 6cos ? ? 2sin ? ? y ? ? sin ?
四校二联数学(理)试题 第 10 页 共 11 页

即曲线 c 的极坐标方程为 ? ? 6cos ? ? 2sin ?

.

..........5 分

? 2 ? ∵直线的直角坐标方程为 y ? x ? 1
∴圆心 C 到直线的距离为 d ?

9 3 2 ∴弦长为 2 10 ? ? 22 . ..........10 分 2 2

24.解: ?1? ? f ? x ? ? x ? 3 ? m ,所以 f ? x ? 3? ? x ? m ? 0 ,

?m ? 0

, ?x ? m

或 x ? ?m

, 又 ?

f ? x ? 3? ? 0 的 解 集 为

? ??, ?2? ? ?2, ??? .
故 m=2 . ..........5 分

? 2?

3 3 f ( x) ? 2 x ? 1 ? t 2 ? t ? 1 等价于不等式 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?t 2 ? t ? 3 , 2 2

? ? x ? 4, x ? ?3 ? 1 ? g ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?3x ? 2, ?3 ? x ? 2 ? 1 ? ? x ? 4, x ? ? , ? 2
故 g ( x) max ? g ( ) ?

.........8 分

1 2

1 7 7 3 2 2 , 则有 ? ?t ? t ? 3 , 即 2t ? 3t ? 1 ? 0 , 解得 t ? 或 t ? 1 2 2 2 2

即实数的取值范围 ? ??, ? ? ?1, ?? ? 2

? ?

1? ?

..........10 分

四校二联数学(理)试题

第 11 页 共 11 页


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