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福建省厦门市杏南中学2013-2014学年高二3月阶段测试数学(文)试题 Word版含答案


福建省厦门市杏南中学 2013-2014 学年高二 3 月阶段测试数学(文)试题

考试时间:120 分钟;命题人:林玉莲 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题每题 5 分,共 12 题,总计 60 分 1.复数 z=(x -1)+(x+1)i 是纯虚数,则实数 x 的值为( ). A.-1 B.1 C.±1 D.2 2.复数 z= (
2

i 2 ) ,则复数 z+1 在复平面上对应的点位于( 1? i

).

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ? 3.因为无理数是无限小数,而 ? 是无理数,所以 是无限小数.属于哪种推理( ) A.合情推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.归纳推理 4.若回归直线方程的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是( A. y =1.23x+4 B. y =1.23x+5 C. y =1.23x+0.08 D. y =0.08x+1.23 5.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形 6.用反证法证明“若 a,b,c<3,则 a,b,c 中至少有一个小于 1”时, “假设”应为 A.假设 a,b,c 至少有一个大于 1 B.假设 a,b,c 都大于 1 C.假设 a,b,c 至少有两个大于 1 D.假设 a,b,c 都不小于 1 7.设函数 f(x)= A.x=

).

2 +ln x,则( x

).

1 为 f(x)的极大值点 2

B.x=

1 为 f(x)的极小值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点

D.x=2 为 f(x)的极小值点

8.设函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g(x))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线的斜率为( ). A.4 B.-

2

1 4

C.2 D.-

1 2
3

9.直线 y=kx+b 与曲线 y=x +ax+1 相切于点(2,3),则 b 的值为( ). A.-3 B.9 C.-15 D.-7 10.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x) (

).

A.在(-∞,0)上为减函数 B.在 x=0 处取极小值 C.在(4,+∞)上为减函数 D.在 x=2 处取极大值 11.函数 f(x)=e sin x 在区间 ? 0,
x

? ?? 上的值域为( ? 2? ?

).

12.若曲线 y=2x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则切线 l 的方程为( A.x+4y+3=0 B.x+4y-9=0 C.4x-y+3=0 D.4x-y-2=0

2

).

第 II 卷(非选择题)
评卷人 得分 二、填空题每题 4 分,共计 16 分

z ? 2?i
13.已知复数

i
( 是虚数单位) ,则

z ?
.



14.曲线 y ? ln x 在点 (e,1) 处的切线方程为

15.观察下列不等式

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1?

?? 照此规律,第五个 不等式为 ... 16.在直角三角形

ABC

中,

?A ? 900

,过

A



BC

边的高

利用上述结论,类似地推出在空间四面体

O ? ABC

中,若

1 1 1 ? ? 。请 2 2 AD AB AC 2 0 A ? OB, OA ? OC , OB ? OC O
,有下列结论 ,

AB

点到平面

ABC 的高为 OD ,则
评卷人 得分

.

三、解答题前五题每题 12 分,最后一题 14 分,共 74 分

m2 ? m ? 6 17.m 取何实数时,复数 z ? ? (m 2 ? 2m ? 15)i . m?3
(1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数? 18.2013 年 9 月 20 日是第 25 个全国爱牙日。某区卫生部门成立了调查小组,调查 “常吃零食与患龋齿 的关系” ,对该区六年级 800 名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:不常吃零食且不患 龋齿的学生有 60 名,常吃零食但不患龋齿的学生有 100 名,不常吃零食但患龋齿的学生有 140 名.

P( K 2 ? k 0 )

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828 附:

k0

能 否 在 犯 错 概 率 不 超 过 0.001 的 前 提 下 , 认 为 该 区 学 生 的 常 吃 零 食 与 患 龋 齿 有 关 系 ?

k2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.已知函数 f ( x ) ? 2 ax ? 9 x ? 6( a ? 2) x ? 2 , a ? R . (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (2)若 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 在区间 ?0, 3? 上的最大值和最小值. 20.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ax(a, x ? R ) .
3 2

3

2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 在区间 [0, ??) 上单调递增,试求 a 的取值或取值范围 21.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经 济损失并获得一定净收入, 在乙方不赔付甲方的情况下, 乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足函数关系

x=2 000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S 元(以下称 S 为赔付价格).
(1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t (元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产 的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 S 是多少? 22.设函数 f ( x) ?

2

x2 ? 2ax ? 3 ln x 0 ? a ? 3 . 2 x2 ? 2ax ? 3 ln x 的单调区间; 2
3 恒成立,求 a 的取值范围. 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) ?

(2)当 x ? ?1,?? ? 时,若 f ( x) ? ?5 x ln x ? 3ln x ?

2013-2014 学年度杏南中学高二文科数学 3 月月考卷
考试时间:120 分钟 姓名:__________原班级:_____考试班级:_____考号:__________考试座位号:________ 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
1.复数 z=(x -1)+(x+1)i 是纯虚数,则实数 x 的值为( A ). A.-1 B.1 C.±1 D.2 2.复数 z= (
2

i 2 ) ,则复数 z+1 在复平面上对应的点位于( C ). 1? i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ? 3.因为无理数是无限小数,而 ? 是无理数,所以 是无限小数.属于哪种推理( C ) A.合情推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.归纳推理 4.若回归直线方程的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是( A ). A. y =1.23x+4 B. y =1.23x+5 C. y =1.23x+0.08 D. y =0.08x+1.23 5.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( B ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形 6.用反证法证明“若 a,b,c<3,则 a,b,c 中至少有一个小于 1”时, “假设”应为 D A.假设 a,b,c 至少有一个大于 1 B.假设 a,b,c 都大于 1 C.假设 a,b,c 至少有两个大于 1 D.假设 a,b,c 都不小于 1 7.设函数 f(x)= A.x=

2 +ln x,则( x

).

1 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2
C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 【答案】D 【解析】∵f(x)=

2 2 1 +ln x(x>0),∴f′(x)=- 2 + ,由 f′(x)=0 解得 x=2.当 x∈(0,2)时, x x x

f′(x)<0,f(x)为减函数;当 x∈(2,+∞)时,f′(x)> 0,f(x)为增函数. x=2 为 f(x)的极小值点.
8.设函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g(x))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线的斜率为( ). A.4 B.-
2

1 4

C.2 D.-

1 2

【答案】A 【解析】依题意得 f′(x)=g′(x)+2x,g′(1)=2,则 f′(1)=2+2=4. 3 9.直线 y=kx+b 与曲线 y=x +ax+1 相切于点(2,3),则 b 的值为( ). A.-3 B.9 C.-15 D.-7 【答案】C 3 【解析】把点(2,3)代入 y=kx+b 与 y=x +ax+1 得:a=-3,2k+b=3, 2 又 k=y′|x=2=(3x -3)|x=2=9,∴b=3-2k=3-18=-15. 10.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x) (

).

A.在(-∞,0)上为减函数 B.在 x=0 处取极小值 C.在(4,+∞)上为减函数 D.在 x=2 处取极大值 【答案】C 【解析】使 f′(x)>0 的 x 的取值范围为增区间;使 f′(x)<0 的 x 的取值范围为减区间. 11.函数 f(x)=e sin x 在区间 ? 0,
x

? ?? 上的值域为( ? 2? ?

).

12.若曲线 y=2x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则切线 l 的方程为 ( A.x+4y+3=0 B.x+4y-9=0 C.4x-y+3=0 D.4x-y-2=0 【答案】D 【解析】y′=4x,设切点 M(x0,y0),∴k=4x0.又∵x+4y-8=0 的斜率 k1= -

2

).

1 2 ,∴k=4x0=4,x0=1,y0=2 x0 =2,即切点为 M(1,2),k=4.故切线 l 的方程为 y-2=4(x-1),即 4

4x-y-2=0,故选 D.

第 II 卷(非选择题)
14.曲线 y ? ln x 在点 (e,1) 处的切线方程为 【答案】 y ? 【解析】 试题分析:∵ y ? ln x ,∴ y ' ? 考点:用导数求切线方程. 评卷人 得分 三、解答题前五题每题 12 分,最后一题 14 分,共 74 分
3 2

.

1 x e 1 1 1 1 ,∴ k ? ,∴切线方程为 y ? 1 ? ( x ? e) ,即 y ? x . x e e e

19.已知函数 f ( x ) ? 2 ax ? 9 x ? 6( a ? 2) x ? 2 , a ? R . (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (2)若 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 3? 上的最大值和最小值. 【答案】 (1) a ? 【解析】 试题分析: (1)先求导,因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的极值点,则 f ?(1) ? 0 ,即可求实数 a 的值。 (2)先求导 再令导数等于 0,导论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的增减性可求其最值。 试题解析:解答: (1)∵函数 f ( x ) ? 2 ax ? 9 x ? 6( a ? 2) x ? 2 , ∴ f ?( x ) ? 6 ax ? 18 x ? 6 a ? 12 . ∵函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,∴ f ?(1) ? 0 , ∴ f ?(1) ? 6 a ? 18 ? 6 a ? 12 ? 0 ,∴实数 a ? 经检验,当 a ?
5 . 2
2 3 2

5 19 (2)最小值 ? ,最大值 29 2 4

2分

4分 6分

5 5 时, f ( x ) 取得极小值,故 a ? . 2 2
3 2

(2)当 a ? 2 时, f ( x ) ? 4 x ? 9 x ? 2 .
2 ?3? ∵ f ?( x ) ? 12 x ? 18 x ? 6 2 x ? 3 ,∴ f ' ? ? ? 0 . ?2?

?

?

8分

? 3? ?3 ? ∵在区间 ?0, ? 上, f ?( x )<0 ;在区间 ? , 3? 上, f ?( x )>0 , ? 2? ?2 ?

? 3? ?3 ? ∴在区间 ?0, ? 上,函数 f ( x ) 单调递减;在区间 ? , 3? 上,函数 f ( x ) 单调递增.10 分 ? 2? ?2 ?
19 ?3? ?3? ?3? ∴ f ? x ?最小值 ? f ? x ?极小值 ? f ? ? ? 4 ? ? ? 9 ? ? ? 2 ? ? . 4 ?2? ?2? ?2?
3 2

11 分

∵ f (0) ? 2, f (3) ? 4 ? 3 ? 9 ? 3 ? 2 ? 29 ,∴ f ? x ?最大值 ? 29 .
3 2

12 分

考点:1 导数;2 用导数研究函数的单调性。 20.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? ax(a, x ? R ) . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 在区间 [0, ??) 上单调递增,试求 a 的取值或取值范围 【答案】 (1)极大值为 1,极小值为 ? 【解析】 试题分析: (1)当 a ? 1 时,令导数等于零得极值点,代入函数求得极值; (2)若 f ( x) 在区间 [0, ??) 上 是单调递增函数,则 f ?( x) 在区间 [0, ??) 内恒大于或等于零,讨论求得 a ? 0 . 试题解析: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ,∴ f ( x) ? 3 x ? 2 x ? 1 ,
3 2 / 2

5 ; (2) a ? 0 . 27

令 f ( x) ? 0 ,则 x1 ?
/

1 , x2 ? ?1 , 3

2分

x 、 f / ( x) 和 f ( x) 的变化情况如下表 x
f / ( x)
f ( x) (??, ?1)
+

?1
0 极大值

1 (?1, ) 3 ?

1 3
0 极 小 值

1 ( , ??) 3
+

f (?1) ? 1
即函数的极大值为 1,极小值为 ? (2) f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a ,
2

1 5 f( )?? 3 27
5分

5 ; 27

若 f ( x) 在区间 [0, ??) 上是单调递增函数, 则 f ?( x) 在区间 [0, ??) 内恒大于或等于零, 若 a ? 0 ,这不可能,
2

6分

7分 9分
2

若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x 符合条件,

若 a ? 0 ,则由二次函数 f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a 的性质知

? 2 ?a ? 0 ?? ? 0 ,即 ? ,这也不可能, ? 3a a ? 0 ? ? ? f (0) ? ?a ? 0

13 分

所以 a ? 0 14 分 考点:利用导数求函数极值、二次函数、利用导数研究函数单调性. 21.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经 济损失并获得一定净收入, 在乙方不赔付甲方的情况下, 乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足函数关系

x=2 000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S 元(以下称 S 为赔付价格).
(1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; 2 (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t (元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产 的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 S 是多少? 【答案】 (1)t0= (

1000 2 ) (2)S=20(元/吨)时,获得最大净收入 S

【解析】(1)因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为 w=2 000 t -St.

w′=

1000 1000 ? S t -S= , t t
1000 2 ) . S

令 w′=0,得 t=t0= (

当 t<t0 时,w′>0; 当 t>t0 时,w′<0,所以 t=t0 时,w 取得最大值. 因此乙方取得最大利润的年产量 t0= (

1000 2 ) (吨). S

x2 ? 2ax ? 3 ln x 0 ? a ? 3 . 22.设函数 f ( x) ? 2
(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) ?

x2 ? 2ax ? 3 ln x 的单调区间; 2

(2)当 x ? ?1,?? ? 时,若 f ( x) ? ?5 x ln x ? 3ln x ?

3 恒成立,求 a 的取值范围. 2

【答案】 (1)函数 f ( x) 单调增区间为 ?0,1?, ?3,?? ? ,单调减区间为 ?1,3? ; (2) 0 ? a ? 1 . 【解析】 试题分析:(1)此类题目考查利用导数研究函数的单调性,解法是:求函数的导数,令导数大于零,解得单 调增区间(注意函数的定义域) ,令导数小于零,解得单调减区间(注意定义域) ; ( 2 )先将不等式

f ( x) ? ?5 x ln x ? 3ln x ?

x2 3 3 在 x ? ?1, ??) 恒成立问题转化为 ? 2ax ? 5 x ln x ? ? 0 在 x ? ?1, ??) 恒 2 2 2

x2 3 成立问题,然后可用两种方法求出参数的范围,法一是:令 g ( x) ? ? 2ax ? 5 x ln x ? ,通过导数求出 2 2
该函数的最小值,由这个最小值大于或等于 0 即可解出 a 的取值范围(注意题中所给的 0 ? a ? 3 ) ;法二 是: 先分离参数得

x 5 ln x 3 x 5 ln x 3 再令 g ( x) ? ? , 只须求出该函数的最小值 [ g ( x)]min , ? ? ?a, ? 4 2 4x 4 2 4x

从而 a ? [ g ( x)]min ,同时结合题中所给 0 ? a ? 3 的范围可得参数 a 的取值范围. 试题解析: (1)函数 f ( x) 的定义域为 ?0,?? ? 1分

3 x 2 ? 4 x ? 3 ( x ? 3)( x ? 1) f ( x) ? x ? 4 ? ? ? x x x
'

2分

' 当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数 ' 当 x ? ?1,3? 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数 ' 当 x ? ?3,?? ? 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数

所以,函数 f ( x) 单调增区间为 ?0,1?, ?3,?? ? ,单调减区间为 ?1,3? (2)因为 f ( x) ? ?5 x ln x ? 3 ln x ?

5分

3 , 2

所以

x2 3 ? 2ax ? 3 ln x ? ?5 x ln x ? 3 ln x ? 2 2



x2 3 ? 2ax ? 5 x ln x ? ? 0 2 2 x2 3 ? 2ax ? 5 x ln x ? 2 2
7分

法一:令 g ( x) ?
'

所以 g ( x) ? x ? 5 ln x ? 5 ? 2a 因为 g ( x) 在 x ? ?1,?? ? 时是增函数
'

8分

所以 g ' ( x) ? g ' (1) ? 6 ? 2a 又因为 0 ? a ? 3 ,所以 g ' ( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 ?1,?? ? 为增函数 要使 g ( x) ? 0 恒成立,只需 g ( x) ? g (1) ? 2 ? 2a ? 0 所以 0 ? a ? 1

9分 10 分

11 分

12 分


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