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学11高中数学必修1复习讲座 第一讲至第三讲 答案 1


学 11 高中数学必修 1 复习讲座

第一讲至第三讲 答案

1

第一讲练习参考答案 1. D 2.A 3. -3 即 A ? x ?3 ? x ? 1

4. 解: A 是函数 y ? 3 ? 2 x ? x 2 的定义域 ?3 ? 2 x ? x2 ? 0 解得 ?3 ? x ? 1

?

?

B 是函数 y ? x2 ? 2x ? 3,x ?[0,3] 的值域解得
5. 解:

2? y?6

即B ? y 2? y ? 6 ?A

?

?

B??

A B ? A , ? B ? A ,又 A B ? {5} ,? B={5} 即方程 x 2 ? mx ? n ? 0 有两个相等的实根且根为

?? ? m 2 ? 4n ? 0 ?m ? ?10 ?? ?? ?n ? 25 ?25 ? 5m ? n ? 0
6.解: 又

A

B=A ? B ? A ,且 A={1,2} ,? B ? ?或{1}或{2}或{1, 2}

? ? m2 ? 4m ? 4 ? (m ? 2)2 ? 0 ? B ? {1}或{2}或{1, 2}

当 B ? {1} 时,有 ?

?? ? (m ? 2) 2 ? 0 ?? ? (m ? 2) 2 ? 0 ? m ? 2, 当 B ? {2} 时,有 ? ? m不存在, ?1 ? m ? m ? 1 ? 0 ?4 ? 2m ? m ? 1 ? 0

? ? ? (m ? 2) 2 ? 0 ? ?m?3 ?1 ? 2 ? m 当 B ? {1, 2}时,有 ,由以上得 m=2 或 m=3. ?1? 2 ? m ? 1 ?
7. 解:

A B=? (1)当 A=? 时,有 2a+1 ? a-1 ? a ? -2 (2)当 A ? ? 时,有 2a+1 ? a-1 ? a>-2 1 1 又 A B ? ? ,则有 2a+1 ? 0或a-1 ? 1 ? a ? - 或a ? 2 ??2 ? a ? - 或a ? 2 2 2 1 由以上可知 a ? - 或a ? 2 2

23.解:由题可得 B={2,3},C={- 4,2}

(1)

?2 ? 3 ? a A B=A B ? A=B, ∴2,3 是方程 x2 ? ax ? a2 ? 19 ? 0 的两个根即 ? ? a ? 5, 2 ?2 ? 3 ? a ? 19
C=? ,? 3 ? A ,即 9-3a+ a 2 -19=0 ? a 2 -3a-10=0 ? a ? 5或a ? ?2
C={2} ? ? ,? a ? 5 (舍去)

(2)? ? ? ? ( A ? B) 且 A

当 a ? 5 时,有 A={2,3} ,则 A

当 a ? ?2 时,有 A={-5,3} ,则 ? ? ? ( A ? B) = ?3 ?且A ? C ? ? ,? a ? ?2 符合题意,即 a ? ?2 (3)

A

B ? A C ? ? ,? 2 ? A ,

2 2 即 4-2a+ a -19=0 ? a -2a-15=0 ? a=5或a= - 3 ,

当 a ? 5 时,有 A={2,3} ,则 A 当 a ? ?3 时,有 A={2,-5} ,则 A

, B={2,3} ? A C={2} ,? a ? 5 (舍去)

B={2} ? A C ,? a ? ?3 符合题意,

? a ? ?3
第二讲习题参考答案
1、函数

习题

基础练习

y ? log 2 x ?

4 ( x ? [2, 4]) 的最大值是______. log 2 x
2 ? x ? 4,?1 ? log 2 x ? 2,?1 ? t ? 2. 因对号函数 y ? t ?
4 在区间[1,2]上单调递减, 故 t

【解析】令t ? log 2 x,

当 t ? 1 时函数取得最大值为 5. 2、下列函数中,不满足 f (2 x) ? 2 f ( x) 的是 A. f ( x ) ? x B. f ( x ) ? x ? x C. f ( x) ? x ?? ( D. f ( x ) ? ? x )

【解析】 f ( x) ? kx 与 f ( x) ? k x 均满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 得: A, B, D 满足条件 ,故 C 不满足. 3. 函数 y ? log 2 (1 ? x) ? 4 ? 2 x 的定义域为(D) ( - 1 , 2 ) ( B ) ( 0 , 2 ] ( C ) ( 0 , 2 ) ( D ) ( - 1 , 2 ]

( A ) 4、函数 A.

的值域为 B.

( D ) C. D. 时的解析式是( D )

5.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x A. f(x)= x 2 -2x B. f(x)= x 2 +2x

0 时,f(x)= x 2 -2x,则 f(x)在 C. f(x)= - x 2 +2x

D. f(x)= - x 2 -2x

二.能力提高
1、设 g ( x) 是定义在 R 上、以 1 为周期的函数,若 f ( x) ? 2 x ? g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [?1,3] ,则 f ( x) 在区 间 [0,3] 上的值域为________.

2、 已知函数

满足:



, 则

=_________.

3、 已知函数 则 的取值范围是_____.

其中

. 那么

的零点是_____; 若

的值域是



【解析】当 0 ? x ? 9 时, f ( x) ? 0 即 x=0 当 ?2 ? x ? 0 时, f ( x) ? 0 即 x 2 ? x ? 0 即 x ? ?1或0 (舍)∴x=-1

1 2 ∴综上得:零点为 0 或-1 当 0 ? x ? c 时, y ? x 2 ∴ y ? [0, c ] 当 ?2 ? x ? 0 时, y ? x ? x ∴ y ? [? , 2] 4
∵函数的值域为 [ ?

1

1 ,3] ∴ c ? 2 ∴ c ? 4 ∵ 0 ? x ? c ∴ 0 ? c ? 4 4
0<x<1) 1 的正方形 1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x 的性质,构造了如图所示的两个边长为 1)

4. 某同学为研究函数 f ( x) =

ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这些信息,推知
函数 f ( x) 的极值点是 ;函数 f ( x) 的值域是

.

f ( x) ?
5. 函数

x ?1 ( x ? 0) x ?1 的值域是_(-1,1)_____.

?2 x , x ? 0, a ? 1 时, 【解析】 由方程 f ( x) ? af ( x) ? 0 可得 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? a , 结合 f ( x) ? ? 的图像可知, ?log 2 x, x ? 0
2

方程有 3 个实数解,要使方程恰有 3 个不同的实数解则 0 ? a ? 1 ,即 ?a | 0 ? a ? 1? 。

ex 1 7.记号[ f ( x) ]表示不大于 f ( x) 的最大整数,已知 f ( x) ? x ? ,则函数 e ?1 2

[ f ( x)] ? [ f (? x)] 的值域为 (
A. (-1,1)

) C.{0,-1} D.{0}

B.{1,0,-1}

4.已知集合

,定义函数

.若点 ,则满足条件的函

的外接圆圆心为 D,且 数 有 A. 6 个 B. 10 个 C. 12 个 D. 16 个

?e ? x ? 2, ( x ? 0) (a是常数且a ? 0) ,对于下列命题: 8.已知函数 f ( x) ? ? ?2ax ? 1, ( x ? 0)
①函数 f ( x) 的最小值是—1;②函数 f ( x) 在 R 上是单调函数;③若 f ( x) ? 0在[ , ??) 上恒成立,则 a 的取值 范围是 a>1;④对任意 x1 ? 0, x2 ? 0且x1 ? x2 , 恒有

1 2

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 其中正确命题的序号是 2 2



【答案】①③④. 【解析】因为函数 f ( x) 的最小值是 f(0)=—1 ②函数 f ( x) 在 x ? 0 上是单调减函数;在 x>0 上单调递增函数,故错误。

第三讲

部分例题、练习题答案

例 2 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=-1 时,求 f(|x|)的单调区间. 【方法诠释】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化 为分段函数,再求单调区间. 解析:(1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在[-4,2)上为减函数,在(2,6]上为增函数, ∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.

2a ? ? a, (2)函数 f(x)=x2+2ax+3 的对称轴为 x ? ? 2
∴要使 f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4 或-a≥6,解得 a≥4 或 a≤-6. (3)当 a=-1 时,f(|x|)=x2-2|x|+3
2 2 ? ?x ? 2x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2, x ? 0 ?? 2 2 ? ?x ? 2x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2, x>0

其图象如图所示:

练习答案 2 1.【解析】选 .依题意,函数 f(x)=x +bx+c 的对称轴方程为 x=2,且 f(x)在[2,+∞)上为增函数, 因为 f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3),2<3<4,∴f(2)<f(3)<f(4),即 f(2)<f(1)<f(4).

2.【解析】选 ∴

.∵f(x1)=f(x2)(x1≠x2),

x1 ? x 2 b b b b 2 b ?? ,即 x1+x2=,∴f(x1+x2)=f(- )=a(- ) +b·(- )+c=c. 2 2a a a a a

3.【解析】选 .当 a=0 时,f(x)=-3x+1 显然成立,

?a<0 ? 当 a≠0 时,需 ? a ? 3 , 解得-3≤a<0, ? ? ? 1 ? ? 2a
4.【解析】由题意知 ?

综上可得-3≤a≤0.

??=b 2 ? 4a ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0

,解得 ?

?a ? 1 . ?b ? 2

答案:1

2

3 2 25 )的图象,数形结合求解. 2 4 3 2 25 3 3 25 3 2 【解析】y=x -3x-4=(x- ) ,对称轴为 x= ,当 x= 时,y=,∴m≥ , 2 2 2 2 4 4 3 3 而当 x=3 时,y=-4,∴m≤3.综上: ≤m≤3. 答案: ≤m≤3 2 2
5.【解题指南】可作出函数 y=(x6.【解析】(1)∵f(x)=(x-a) +5-a (a>1),∴f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均为[1,a] ,∴
2 2

? ?1 ? 2a ? 5 ? a ?f ?1? ? a , ,即? 2 解得 a=2. ? 2 a ? 2a ? 5 ? 1 f a ? 1 ? ? ? ? ?

(2)若 a≥2,又 x=a∈ [1,a+1] , 且(a+1)-a≤a-1, ∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2. ∵对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4, ∴f(x)max-f(x)min≤4,即 2 (6-2a)-(5-a )≤4,解得-1≤a≤3,
又 a≥2,∴2≤a≤3. 若 1<a<2,f(x)max=f(a+1)=6-a ,f(x)min=f(a)=5-a , f(x)max-f(x)min≤4 显然成立, 综上 1<a≤3.
2 2 例 4 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解.
2 2

解:由不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解为 x ? 2, 或 x ? 3 ,可知
2

a ? 0 ,且方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根分别为 2 和 3, b c b c ? 6 ,即 ? ?5 , ?6. ∴? ? 5, a a a a 2 由于 a ? 0 ,所以不等式 bx ? ax ? c ? 0 可变为 b 2 c x ? x ? ? 0 ,即 - 5x 2 ? x ? 6 ? 0 , a a 2 整理,得 5x ? x ? 6 ? 0 ,
2 所以,不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解是

6 x<-1,或 x> . 5

练习答案 2.已知不等式 x ? (a ? 1) x ? a ? 0 , (1)__ 3 ____; (2)__ (1, ??) _______; (3)__ [3, ??) ___。
2

1? a a 1 3. 设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x=- ,若- ≥ ,即 a≤-1 时,则 f(x)在? ?0,2?上是减函数, 2 2 2 1? 5 应有 f? ?2?≥0?-2≤a≤-1 1? a 若- ≤0,即 a≥0 时,则 f(x)在? ?0,2?上是增函数,应有 f(0)=1>0 恒成立,故 a≥0 2 a a2 a2 a 1 a2 5 - ?= - +1=1- ≥0 恒成立,故-1≤a≤0.综上,有- ≤a. 若 0≤- ≤ ,即-1≤a≤0,则应有 f? ? 2? 4 2 2 2 4 2 例 5 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0

(1 )若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围

解:(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得

1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? m ? R, ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ? ? ? ?? 1 ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?
∴?

y

-1

o

1

2

x

5 1 ?m?? 6 2
1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ?

(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

? f ( 0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ? ? ? 0, ? ?0 ? ? m ? 1

y

o

1

x

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过) 例 6 已知对于 x 的所有实数值,二次函数 f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的,求关于 x 的方程 -1|+2 的根的取值范围 解:由条件知Δ ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴- (1)当-

x =|a a?2

3 ≤a≤2 2

3 1 25 ≤a<1 时,原方程化为 x=-a2+a+6,∵ -a2+a+6=-(a- )2+ 2 2 4 3 9 1 25 9 25 ∴a=- 时,xmin= ,a= 时,xmax= ∴ ≤x≤ 2 4 2 4 4 4
(2)当 1≤a≤2 时,x=a2+3a+2=(a+

3 2 1 )- 2 4 [来源:学|科|网] 9 ≤x≤12 4

∴当 a=1 时,xmin=6,当 a=2 时,xmax=12,∴6≤x≤12 综上所述, 练习答案:

?a ? 2 ? 0 1 解析 当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0,恒成立∴a=2,当 a-2≠0 时,则 a 满足 ? ,解得-2<a ?? ? 0
<2,所以 a 的范围是-2<a≤2 答案 C 2 解析∵f(x)=x2 -x+a 的对称轴为 x= 答案 A 3 解析 只需 f(1)=-2p2-3p+9>0 或 f (-1)=-2p2+p+1>0 即-3<p< 答案 (-3,

1 ,且 f(1)>0,则 f(0)>0,而 f(m)<0,∴m∈(0,1), ∴m-1<0,∴f(m-1)>0 2 3 1 3 或- <p<1∴p∈(-3, ) 2 2 2

3 ) 2

4 解析 由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2<x<0 答案-2<x<0 5 解 ∵f(0)=1>0 (1)当 m<0 时,二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧,符合题意
[来源:学,科,网 Z,X,X,K] [来源:Z*xx*k.Com]

(2)当 m>0 时,则 ? 3 ? m

?? ? 0 ?

?0 ? ? m

解得 0<m≤1

综上所述,m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0}


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