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2014年江苏高考数学试题含答案word版


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2014 年江苏高考数学试题
数学Ⅰ试题
参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl, 其中 c 是圆柱底面的周长,l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh,其中 S 是圆柱的底面积,h 为高.
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . .
? 1,, 3 4} , B ? {?1 , 2, 3} ,则 A 1.已知集合 A ? {?2 , 3} 【答案】 {?1 ,
B?



2.已知复数 z ? (5 ? 2i)2 (i 为虚数单位),则 z 的实部为 【答案】21 3.右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 【答案】5 .



2 ,, 3 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的 4.从 1 ,

概率是 【答案】 1 3



5.已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ≤ ? ? ?) ,它们的图象有一个横坐标为
? 的交点,则 的值是 ? 3



【答案】 ? 6
130] 上,其频率分布 6.设抽测的树木的底部周长均在区间 [80 ,

直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 树木的底部周长小于 100 cm. 【答案】24



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京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班 7.在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a2 ? 1 , a8 ? a6 ? 2a4 , 则 a 6 的值是 【答案】4 8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1 , S 2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等,且 .

S1 9 V ? ,则 1 的值是 S2 4 V2
【答案】 3 2



9 .在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 截得的弦长 为 .

【答案】 2 55 5
m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 m 的 10.已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 ,若对任意 x ? [m ,

取值范围是



? ? 2, 0? 【答案】 ? ? 2 ? ?

b 为常数)过点 P(2 , ? 5) ,且该曲线 11.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ax2 ? b ( a , x

在点 P 处的切线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b 的值是 【答案】 ?3



AD ? 5 , CP ? 3PD , 12.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知, AB ? 8 , AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的

值是



【答案】22

3) 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 .若函 13.已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ? [0 , 2 4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 数 y ? f ( x) ? a 在区间 [?3 ,



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1 【答案】 0 , 2

? ?


14.若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是 【答案】 6 ? 2 4

二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内 作答, 解答时应写出文字说 ........ 明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)已知 ? ? ? , ? , sin ? ? 5 . 5 2

? ?

? ? (2)求 cos ? ?? ? 2? ? 的值. 6
(1)求 sin ? ? ? 的值; 4 【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算 求解能 力. 满分 14 分. (1)∵ ? ? ? , ? , sin ? ? 5 , 2 5 ∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 2 5 5

? ?

sin ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 (cos ? ? sin ? ) ? ? 10 ; 4 4 4 2 10
(2)∵ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 4 , cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 3 5 5 ∴ cos ?? ? 2? ? cos ?? cos 2? ? sin ?? sin 2? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? 4 ? ? 3 3 ? 4 . 6 6 6 2 5 2 5 10
E, F 分别为棱 PC , AC , AB 的中 16.(本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, D , PA ? 6 ,BC ? 8 ,DF ? 5 . 点.已知 PA ? AC ,

?

?

?

?

? ?

(1)求证:直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系, 考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.
E 为 PC , AC 中点 ∴DE∥PA (1)∵ D ,

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京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班 ∵ PA ? 平面 DEF,DE ? 平面 DEF ∴PA∥平面 DEF
E 为 PC , AC 中点 ∴ DE ? 1 PA ? 3 (2)∵ D , 2 F 为 AC , AB 中点 ∴ EF ? 1 BC ? 4 ∵E, 2

∴ DE ? EF ? DF
2 2

2

∴ ?DEF ? 90° ,∴DE⊥EF

PA ? AC ,∴ DE ? AC ∵ DE //PA ,

∵ AC

EF ? E

∴DE⊥平面 ABC

∵DE ? 平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 ABC.
F2 分 别 是 椭 圆 17 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , F1 ,
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,顶点 B 的坐标为 (0 , b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于 2 2 a b

点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连结 F1C .

1 ,且 BF ? 2 ,求椭圆的方程; (1)若点 C 的坐标为 4 , 2 3 3
? AB ,求椭圆离心率 e 的值. (2)若 FC 1

? ?

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知 识,考查运 算求解能力. 满分 14 分.

16 1 4 1 (1)∵ C , ,∴ 92 ? 92 ? 9 a b 3 3

? ?

∵ BF2 2 ? b2 ? c 2 ? a 2 ,∴ a2 ? ( 2)2 ? 2 ,∴ b 2 ? 1 ∴椭圆方程为 x ? y 2 ? 1 2
2

0) , F2 (c , 0) , C( x , y) (2)设焦点 F1 (?c ,
C 关于 x 轴对称,∴ A( x , ? y) ∵ A,

b? y F2 , A 三点共线,∴ b ? ∵ B, ,即 bx ? cy ? bc ? 0 ① ?c ?x
? AB ,∴ ∵ FC 1

y ? b ? ?1 ,即 xc ? by ? c 2 ? 0 ② x ? c ?c

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? x ? ca 2 ? b2 ? c2 ①②联立方程组,解得 ? bc 2 ?y ? 2 2 b ? c2 ?
a2c 2 b ? c2 ∵C 在椭圆上,∴ a2

∴C

? b a?cc ,b2bc ?c ?
2 2 2 2 2 2

?

? ?
2

2bc 2 b2 ? c2 ? b2

? ?1,
2

化简得 5c 2 ? a 2 ,∴ c ? 5 , 故离心率为 5 5 a 5 18.(本小题满分 16 分)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆 形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并 与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m.经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan ?BCO ? 4 . 3 (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形 等基础知识,考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分 16 分. 解法一: (1) 如图,以 O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy. 由条件知 A(0, 60),C(170, 0), 直线 BC 的斜率 k BC=-tan∠BCO=-

4 . 3 3 . 4

又因为 AB⊥BC,所以直线 AB 的斜率 k AB= 设点 B 的坐标为(a,b),则 k BC= k AB=

b?0 4 ?? , a ? 170 3

b ? 60 3 ? , a?0 4

2 2 解得 a=80,b=120. 所以 BC= (170 ? 80) ? (0 ? 120) ? 150 .

因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由条件知,直线 BC 的方程为 y ? ?

4 ( x ? 170) ,即 4 x ? 3 y ? 680 ? 0 3

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京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班 由于圆 M 与直线 BC 相切,故点 M(0,d)到直线 BC 的距离是 r, 即r ?

| 3d ? 680 | 680 ? 3d ? . 5 5

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,

? 680 ? 3d ? d ≥ 80 ? ?r ? d ≥ 80 ? 5 所以 ? 即? 解得 10 ≤ d ≤ 35 ?r ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 5 ?
故当 d=10 时, r ?

680 ? 3d 最大,即圆面积最大. 5

所以当 OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图,延长 OA, CB 交于点 F. 因为 tan∠BCO=

4 4 3 .所以 sin∠FCO= ,cos∠FCO= . 3 5 5 680 . 3

因为 OA=60,OC=170,所以 OF=OC tan∠FCO= CF=

OC 850 500 ? ,从而 AF ? OF ? OA ? . cos ?FCO 3 3
4 , 5

因为 OA⊥OC,所以 cos∠AFB=sin∠FCO== 又因为 AB⊥BC,所以 BF=AF cos∠AFB== 因此新桥 BC 的长是 150 m.

400 ,从而 BC=CF-BF=150. 3

(2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D,连接 MD,则 MD⊥BC,且 MD 是圆 M 的半 径,并设 MD=r m,OM=d m(0≤d≤60). 因为 OA⊥OC,所以 sin∠CFO =cos∠FCO, 故由(1)知,sin∠CFO =

680 ? 3d MD MD r 3 . ? ? ? , 所以 r ? 5 MF OF ? OM 680 ? d 5 3

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,

? 680 ? 3d ? d ≥ 80 ? ?r ? d ≥ 80 ? 5 所以 ? 即? 解得 10 ≤ d ≤ 35 ?r ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 5 ?
故当 d=10 时, r ?

680 ? 3d 最大,即圆面积最大. 5

所以当 OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大. 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? e x ? e? x 其中 e 是自然对数的底数.

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京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班 (1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数;
? ?) 上恒成立,求实数 m 的取值范 (2 )若关于 x 的不等式 mf ( x) ≤ e? x ? m ? 1 在 (0 ,

围; (3)已知正数 a 满足:存在 x0 ? [1, ? ?) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x03 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a?1 与
a e?1 的大小,并证明你的结论.

【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数 学思想 方法分析与解决问题的能力.满分 16 分. (1) ?x ? R , f (? x) ? e? x ? e x ? f ( x) ,∴ f ( x) 是 R 上的偶函数 (2)由题意, m(e? x ? e x ) ≤ e? x ? m ? 1 ,即 m(ex ? e? x ? 1) ≤ e? x ? 1
? ?) ,∴ e x ? e? x ? 1 ? 0 ,即 m ≤ ∵ x ? (0 ,

e? x ? 1 对 x ? (0 , ? ?) 恒成立 e ? e? x ? 1
x

? ?) 恒成立 令 t ? e x (t ? 1) ,则 m ≤ 2 1 ? t 对任意 t ? (1, t ? t ?1

t ?1 1 ∵ 2 1? t ? ? ?? ≥ ? 1 ,当且仅当 t ? 2 时等号成立 t ? t ?1 (t ? 1)2 ? (t ? 1) ? 1 1 3 t ?1 ? ?1 t ?1
∴m≤?1 3
? ?) 上单调增 (3) f '( x) ? e x ? e? x ,当 x ? 1 时 f '( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (1 ,

令 h( x) ? a(? x3 ? 3x) , h '( x) ? ?3ax( x ? 1)
x ? 1 ,∴ h '( x) ? 0 ,即 h( x) 在 x ? (1 , ? ?) 上单调减 ∵ a ? 0,

? ?) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x03 ? 3x0 ) ,∴ f (1) ? e ? 1 ? 2a ,即 a ? 1 e ? 1 ∵存在 x0 ? [1, e 2 e

? ?

∵ ln aa?1 ? ln ae?1 ? ln ea?1 ? (e ? 1)ln a ? a ? 1 e
e-1

设 m(a) ? (e ? 1) ln a ? a ? 1 ,则 m '(a) ? e ? 1 ? 1 ? e ? 1 ? a , a? 1 e?1 a a 2 e 当 1 e ? 1 ? a ? e ? 1 时, m '(a) ? 0 , m(a) 单调增; 2 e 当 a ? e ? 1 时, m '(a) ? 0 , m(a) 单调减

? ?

? ?

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京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班 因此 m(a) 至多有两个零点,而 m(1) ? m(e) ? 0 ∴当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e?1 ? ea?1 ; 当 1 e ? 1 ? a ? e 时, m(a) ? 0 , a e?1 ? ea?1 ; 2 e 当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e?1 ? ea?1 . 20.(本小题满分 16 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn ? am ,则称 {an } 是“H 数列” . (1)若数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n (n ? N? ) ,证明: {an } 是“H 数列” ; (2)设 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .若 {an } 是“H 数列” ,求 d 的值; ( 3 ) 证 明 : 对 任 意 的 等 差 数 列 {an } , 总 存 在 两 个 “ H 数 列 ” {bn } 和 {cn } , 使 得
an ? bn ? cn (n ? N? ) 成立.

? ?

【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能 力, 满分 16 分. (1)当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ∴ n ? 1 时, S1 ? a1 ,当 n ≥ 2 时, Sn ? an?1 ∴ {an } 是“H 数列” (2) Sn ? na1 ?
n(n ? 1) n(n ? 1) d ?n? d 2 2 n(n ? 1) d ? 1 ? (m ? 1)d 2

对 ?n ? N ? , ?m ? N ? 使 Sn ? am ,即 n ? 取 n ? 2 得 1 ? d ? (m ? 1)d , m ? 2 ? 1 d

∵ d ? 0 ,∴ m ? 2 ,又 m ? N? ,∴ m ? 1 ,∴ d ? ?1 (3)设 {an } 的公差为 d 令 bn ? a1 ? (n ? 1)a1 ? (2 ? n)a1 ,对 ?n ? N ? , bn?1 ? bn ? ?a1
cn ? (n ? 1)(a1 ? d ) ,对 ?n ? N ? , cn?1 ? cn ? a1 ? d {cn } 为等差数列 则 bn ? cn ? a1 ? (n ? 1)d ? an ,且 {bn } ,

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n(n ? 1) n(n ? 3) (?a1 ) ,令 Tn ? (2 ? m)a1 ,则 m ? ?2 2 2

{bn } 的前 n 项和 Tn ? na1 ?

当 n ? 1 时 m ? 1; 当 n ? 2 时 m ? 1; 当 n ≥ 3 时,由于 n 与 n ? 3 奇偶性不同,即 n(n ? 3) 非负偶数, m ? N? 因此对 ?n ,都可找到 m ? N? ,使 Tn ? bm 成立,即 {bn } 为“H 数列” .
{cn } 的前n项和 Rn ?

n(n ? 1) n(n ? 1) (a1 ? d ) ,令 cn ? (m ? 1)(a1 ? d ) ? Rm ,则 m ? ?1 2 2

∵对 ?n ? N ? , n(n ? 1) 是非负偶数,∴ m ? N? 即对 ?n ? N ? ,都可找到 m ? N? ,使得 Rn ? cm 成立,即 {cn } 为“H 数列” 因此命题得证.

数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括 A, B,C,D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答. 若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. A.【选修 4-1:几何证明选讲】(本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点 证明:∠OCB=∠D. 本小题主要考查圆的基本性质,考查推理论证能力.满分 10 分. 证明:因为 B, C 是圆 O 上的两点,所以 OB=OC. 故∠OCB=∠B. 又因为 C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D.

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京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班 B.【选修 4-2:矩阵与变换】(本小题满分 10 分)
? ?1 2? ?1 1 ? ?2 ? 已知矩阵 A ? ? y 为实数,若 Aα = Bα ,求 x , y ? , B ? ? 2 ? 1? ,向量 ? ? ? y ? , x , 1 x ? ? ? ? ? ?

的值. 【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分.
?2 y ? 2? ?2 ? y ? ?2 y ? 2 ? 2 ? y , A? ? ? , Bα ? ? ,由 Aα = Bα 得 ? 解得 x ? ? 1 , y?4 ? ? 2 ? 2 ? xy ? ?4 ? y ? ?2 ? xy ? 4 ? y ,

C.【选修 4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)

? ?x ? 1 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? ?
B 两点,求线段 AB 的长. 物线 y 2 ? 4 x 交于 A ,

2 t, 2 (t 为参数),直线 l 与抛 2t 2

【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解 能力.满分 10 分. 直线 l: x ? y ? 3 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x 并整理得 x 2 ? 10 x ? 9 ? 0
2) , B(9 , ? 6) ,故 | AB |? 8 2 ∴交点 A(1 ,

D.【选修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分) 已知 x>0, y>0,证明:(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy. 本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分 10 分.
2 2 证明:因为 x>0, y>0, 所以 1+x+y2≥ 3 3 xy ? 0 ,1+x2+y≥ 3 3 x y ? 0 ,

2 2 所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥ 3 3 xy ? 3 3 x y =9xy.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P;
x2 , x3 ,随机 (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1 ,

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京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班 变量 X 表示 x1 , x2 , x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) . 22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算 求解能力.满分 10 分.
2 2 2 (1)一次取 2 个球共有 C9 ? 36 种可能情况,2 个球颜色相同共有 C2 4 ? C3 ? C2 ? 10 种可能

情况 ∴取出的 2 个球颜色相同的概率 P ? 10 ? 5 36 18
3 2 ,则 (2)X 的所有可能取值为 4 ,,

P( X ? 4) ? P( X ? 3) ?

C4 4 ? 1 4 C9 126
1 3 1 C3 4 C5 ? C3 C6 ? 13 C3 63 9

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? 11 14

∴X 的概率分布列为 X P 2
11 14

3
13 63

4
1 126

故 X 的数学期望 E ( X ) ? 2 ? 11 ? 3 ? 13 ? 4 ? 1 ? 20 14 63 126 9 23.(本小题满分 10 分) 已知函数 f 0 ( x) ? sin x ( x ? 0) ,记 f n ( x) 为 f n?1 ( x) 的导数, n ? N? . x (1)求 2 f1 ? ? ? f 2 ? 的值; 2 2 2 (2)证明:对任意的 n ? N? ,等式 nf n?1 ? ? ? f n ? ? 2 成立. 4 4 4 2 23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及运用数学归纳法的推 理论证能力.满分 10 分.

??

??

??

??

(1)解:由已知,得 f1 ( x) ? f 0?( x ) ? ?

? sin x ?? cos x sin x ? 2 , ? ? x x ? x ?

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于是 f 2 ( x) ? f1?( x) ? ? 所以 f1 ( ) ? ?

sin x 2 cos x 2sin x ? cos x ?? ? sin x ?? ? ? , ? ?? 2 ? ? ? x x2 x3 ? x ? ? x ?

?

2

? 2 16 , f2 ( ) ? ? ? 3 , ? 2 ? ?
4
2

故 2 f1 ( ) ?

?

?

2

f 2 ( ) ? ?1. 2 2

?

(2)证明:由已知,得 xf 0 ( x) ? sin x, 等式两边分别对 x 求导,得 f0 ( x) ? xf0?( x) ? cos x , 即 f 0 ( x) ? xf1 ( x) ? cos x ? sin( x ? ? ) ,类似可得 2
2 f1 ( x) ? xf 2 ( x) ? ? sin x ? sin( x ? ? ) ,

3 f 2 ( x) ? xf 3 ( x) ? ? cos x ? sin( x ? 3? ) , 2
4 f3 ( x) ? xf 4 ( x) ? sin x ? sin( x ? 2? ) .

下面用数学归纳法证明等式 nf n?1 ( x) ? xf n ( x) ? sin( x ? n? ) 对所有的 n ? N* 都成立. 2 (i)当 n=1 时,由上可知等式成立. (ii)假设当 n=k 时等式成立, 即 kf k ?1 ( x) ? xf k ( x) ? sin( x ? k? ) . 2
? 因为 [kf k ?1 ( x) ? xf k ( x)]? ? kf k? ?1 ( x) ? f k ( x) ? xf k ( x) ? (k ? 1) f k ( x) ? f k ?1 ( x),

[sin( x ? k? )]? ? cos( x ? k? ) ? ( x ? k? )? ? sin[ x ? 2 2 2
所以 (k ? 1) f k ( x) ? f k ?1 ( x) ? sin[ x ? 所以当 n=k+1 时,等式也成立.
(k ? 1)? ]. 2

(k ? 1)? ], 2

综合(i),(ii)可知等式 nf n?1 ( x) ? xf n ( x) ? sin( x ? n? ) 对所有的 n ? N* 都成立. 2 令x?

?
4

,可得 nf n?1 (? ) ? ? f n (? ) ? sin(? ? n? ) ( n ? N* ). 4 4 4 4 2

所以 nf n?1 (? ) ? ? f n (? ) ? 2 ( n ? N* ). 4 4 4 2

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