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【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库:第4章 第3讲 三角函数的图象与性质]


第 3 讲 三角函数的图象与性质
一、填空题 π? ? 1.函数 f(x)=sin?2x+3?图象的对称轴方程为________. ? ? 答案 π kπ x=12+ 2 (k∈Z)

π 2.将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移4个单位长度,所得图象经过点 ?3π ? ? 4 ,0?,则 ω 的最小值是________. ? ? 解析 π 将函数 f(x) = sin ωx 的图象向右平移 4 个单位长度得到函数 y =

ωπ ω ? ? π?? ?3π ? sin?ω?x-4??的图象,因为所得图象经过点? 4 ,0?,则 sin 2 =0,所以 2 π= ? ? ?? ? ? kπ,即 ω=2k,又 ω>0,所以 ωmin=2. 答案 2 x+φ (φ∈[0,2π])是偶函数,则 φ=________. 3

3.若函数 f(x)=sin

x+φ φ π 3π 解析 由已知 f(x)=sin 3 是偶函数, 可得3 =kπ+2, 即 φ=3kπ+ 2 (k∈Z). 又 3π φ∈[0,2π],所以 φ= 2 . 答案 3π 2

4. 若三角函数 f(x)的部分图象如图, 则函数 f(x)的解析式, 以及 S=f(1)+f(2)+… +f(2 01 2)的值分别为 ________.

解析

2π 根据已知图象,可设 f(x)=Asin(ωx+φ)+1(ω>0,A>0),由 T=4 得 ω

f?x?最大值-f?x?最小值 1.5-0.5 1 π 1 =4,∴ω=2,A= = =2,又 f(0)=2sin φ+1=1,∴ 2 2 1 πx sin φ=0,得 φ=0,∴f(x)=2sin 2 +1. 又 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.5+1+0.5+1=4, ∴S=f(1)+f(2)+…+f(2 012)=503×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=503×4 =2 012. 答案 1 πx f(x)=2sin 2 +1,S=2 012

π? π ? 5.函数 f(x)=sin?2x+6?,g(x)=cos(x+φ),|φ|<2.如果 f(x)有对称轴经过 g(x)的对 ? ? ?π? 称中心,则 g?3?的值为________. ? ? 解析 考查三角函数的对称性.熟记 f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称轴与对称

中心的通解. k π f(x)图象的对称轴为 x=2π+6(k∈Z),g(x)的对称中心为 π ? ? ?nπ+2-φ,0?(n∈Z), ? ? k? π ? ∴φ=?n-2?π+3, ? ? π π π 1 3 ?π? ∵|φ|<2,∴φ=3或-6,∴g?3?=-2或 2 . ? ? 答案 1 3 -2或 2

6.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 π, π ?5π? 且当 x∈[0,2]时,f(x)=sin x,则 f? 3 ?的值为________. ? ? 解析 答案 π 3 ?5π? ? π? ?π? f? 3 ?=f?-3?=f?3?=sin3= 2 . ? ? ? ? ? ? 3 2

π? ? 7.若 f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间?0,3?上的最大值是 2,则 ω=________. ? ? π ωπ π 解析 由 0≤x≤3,得 0≤ωx≤ 3 <3,

π? ωπ ? 则 f(x)在?0,3?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 2,所以 2sin 3 = ? ? ωπ π 2,且 0< 3 <3, ωπ π 3 所以 3 =4,解得 ω=4. 3 答案 4 1 1 8.已知函数 f(x)=2(sin x+cos x)-2|sin x-cos x|,则 f(x)的值域是________. 1 1 解析 f(x)=2(sin x+cos x)-2|sin x-cos x| ?cos x?sin x≥cos x?, =? ?sin x?sin x<cos x?.

2 画出函数 f(x) 的图象,可得函数的最小值为- 1 ,最大值为 2 ,故值域为 ? 2? ?-1, ?. 2? ? ? 2? 答案 ?-1, ? 2? ? 9.已知过原点的直线与函数 y=|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点,α 是交点中横坐标的最大值,则 解析 ?1+α2?sin 2α 的值为________. 2α

y=|sin x|(x≥0)的图像如图,

若过原点的直线与函数 y=|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点,则第三个 ?π 3π? 交点的横坐标为 α,且 α∈?2, 2 ?, ? ?

又在区间(π,2π)上,y=|sin x|=-sin x,则切点坐标为(α,-sin α), 又切线斜率为-cos α, 则切线方程为 y+sin α=-cos α(x-2) y=-cos x+αcos α=-sin α, 又直线过原点,把[0,0)代入上式得,α=tan α ?1+α2?sin 2α ∴ 2α = ?1+tan2α?2sin αcos α 2tan α

=(1+tan2α)cos2α sin2α ? ? =?1+cos2α?cos2α=cos2α+sin2α=1.[来源:Z&xx&k.Com] ? ? 答案:1 π? ? 10.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,给出以下四个论断: ? ? ①它的最小正周期为 π; π ②它的图像关于直线 x=12成轴对称图形;[来源:学+科+网] ?π ? ③它的图像关于点?3,0?成中心对称图形; ? ? ? π ? ④在区间 ?-6,0?上是增函数. ? ? 以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一 个命 题________(用序号表示即可). 解析 2π π π π 若①、②成立,则 ω= π =2; 令 2· + φ = k π + , k ∈ Z ,且 | φ |< 12 2 2,故

π? π? π π ? ? k=0, ∴φ= .此时 f(x)=sin?2x+3?, 当 x= 时,sin?2x+3?=sin π=0, ∴f(x) 3 3 ? ? ? ? ?π ? ? 5π π ? ? π ? 的图像关于?3,0?成中心对称; 又 f(x)在?-12,12?上是增函数, ∴在?-6,0? ? ? ? ? ? ? 上也是增函数, 因此①②?③④,用类似的分析可得①③?②④.因此填①② ?③④或①③?②④. 答案 二、解答题 ①②?③④(也可填①③?②④)

11.设 f(x)= 1-2sin x. (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值. 解 (1)由 1-2sin x≥0,根据正弦函数图象知: 5 13π 定义域为{x|2kπ+6π≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z}. (2)∵-1≤sin x≤1,∴-1≤1-2sin x≤3, ∵1-2sin x≥0,∴0≤1-2sin x≤3, ∴f(x)的值域为[0, 3], 3π 当 x=2kπ+ 2 ,k∈Z 时,f(x)取得最大值. π? ? ? π? ? π? 12.已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4?. ? ? ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ? π? ? ? π? ? π? 解 (1)f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4? ? ? ? ? ? ? 1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+sin2x-cos2x π? 1 3 ? =2cos 2x+ 2 sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?. ? ? 2π π π ∴最小正周期 T= 2 =π,由 2x-6=kπ+2(k∈Z), kπ π 得 x= 2 +3(k∈Z). kπ π ∴函数图象的对称轴为 x= 2 +3(k∈Z). π ? π 5π? ? π π? (2)∵x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, ? ? ? ? π? 3 ? ∴- 2 ≤sin?2x-6?≤1. ? ?

? ? 3 ? π π? 即函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域为?- ,1?. ? ? 2 ? ? π 13.已知函数 f(x)=sin 2x+acos2x(a∈R,a 为常数),且4是函数 y=f(x)的零点. (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的最小正周期; π? ? (2)若 x∈?0,2?,求函数 f(x)的值域,并写出 f(x)取得最大值时 x 的值. ? ? 解 π (1)由于4是函数 y=f(x)的零点,

π 即 x= 是方程 f(x)=0 的解, 4 π π ?π? 从而 f?4?=sin2+acos24=0, ? ? 1 则 1+2a=0,解得 a=- 2. 所以 f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1, π? ? 则 f(x)= 2sin?2x-4?-1, ? ? 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π? π ? π 3π? ? (2)由 x∈?0,2?,得 2x-4∈?-4, 4 ?, ? ? ? ? π? ? ? 2 ? 则 sin?2x-4?∈?- ,1?, ? ? ? 2 ? π? ? 则-1≤ 2sin?2x-4?≤ 2, ? ? π? ? -2≤ 2sin?2x-4?-1≤ 2-1, ? ? ∴函数 f(x)的值域为[-2, 2-1]. π π 当 2x-4=2kπ+2(k∈Z), 3 即 x=kπ+8π 时,f(x)有最大值, π? 3 ? 又 x∈?0,2?,故 k=0 时,x=8π, ? ? f(x)有最大值 2-1.

π? π? ? ? 14. 已知 a>0, 函数 f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b, 当 x∈?0,2?时, -5≤f(x)≤1. ? ? ? ? (1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ? π? π ?π 7π? ? 解 (1)∵x∈?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?. ? ? ? ? π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+6?∈?-2,1?,又∵a >0, ? ? ? ? π? ? ∴-2asin?2x+6?∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b], ? ? 又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. π? ? (2)由(1)得 a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin?2x+6?-1, ? ? 7π? ? π? ? g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 ? ? ? ? π? ? =4sin?2x+6?-1, ? ? 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π? π? 1 ? ? ∴4sin?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?>2, ? ? ? ? π π 5π ∴2kπ+6<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z, π π π π 其中当 2kπ+6<2x+6≤2kπ+2,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+6, k∈Z, π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z. ? ? π π 5π π 又∵当 2kπ+2<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ+6<x<kπ π +3,k∈Z. π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ+6,kπ+3?,k∈Z. ? ? π? π π? ? ? 综上,g(x)的递增区间为?kπ,kπ+6?(k∈Z);递减区间为?kπ+6,kπ+3?(k∈ ? ? ? ?

Z).


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