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山东省泰安市2013年中考数学试题(word版,含解析)


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2013 年山东省泰安市中考数学试卷
一.选择题(本大题共 20 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出 来,每小题选对的 3 分,选错,不选或选出的答案超过一个,均记零分) 1. (2013 泰安) (﹣2) A.﹣4 B.4
﹣2

等于( D.



C.﹣

考点:负整数指数幂. 分析:根据负整数指数幂的运算法则进行运算即可. 解答:解: (﹣2) =
﹣2

= .

故选 D. 点评:本题考查了负整数指数幂的知识,解答本题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则. 2. (2013 泰安)下列运算正确的是( ) A.3x ﹣5x =﹣2x
3 3

B.6x ÷2x =3x C. (

3

﹣2

) = x D.﹣3(2x﹣4)=﹣6x﹣12

2

6

考点:整式的除法;合并同类项;去括号与添括号;幂的乘方与积的乘方;负整数指数幂. 分析:根据合并同类项的法则、整式的除法法则、幂的乘方法则及去括号的法则分别进行各选项的判断. 3 3 3 解答:解:A.3x ﹣5x =﹣2x ,原式计算错误,故本选项错误; ﹣2 3 5 B.6x ÷2x =3x ,原式计算错误,故本选项错误; C. ( ) = x ,原式计算正确,故本 选项正确;
2 6

D.﹣3(2x﹣4)=﹣6x+12,原式计算错误,故本选项错误; 故选 C. 点评:本题考查了整式的除法、同类项的合并及去括号的法则,考察的知识点较多,掌握各部分的运算法 则是关键. 3. (2013 泰安)2012 年我国国民生产总值约 52 万亿元人民币,用科学记数法表示 2012 年我国国民生产 总值为( ) 12 12 14 13 A.5.2×10 元 B.52×10 元 C.0.52×10 元 D.5.2×10 元 考点:科学记数法—表示较大的数. n 分析:科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变 成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当 原数的绝对值<1 时,n 是负数. 13 解答:解:将 52 万亿元=5200000000000 用科学记数法表示为 5.2×10 元. 故选:D. n 点评:此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为 整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 4. (2013 泰安)下列图形:其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为( )

A.13 B.11 C.10 考点:轴对称图形.

D.8

-1-

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分析:根据轴对称及对称轴的定义,分别找到各轴对称图形的对称轴个数,然后可得出答案. 解答:解:第一个图形是轴对称图形,有 1 条对称轴; 第二个图形是轴对称图形,有 2 条对称轴; 第三个图形是轴对称图形,有 2 条对称轴; 第四个图形是轴对称图形,有 6 条对称轴; 则所有轴对称图形的对称轴条数之和为 11. 故选 B. 点评:本题考查了轴对称及对称轴的定义,属于基础题,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分 能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 5. (2013 泰安)下列几何体中,主视图是矩形,俯视图是圆的几何体是( )

A.

B.

C.

D.

考点:简单几何体的三视图. 分析:主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看,所得到的图形. 解答:解:A.主视图为矩形,俯视图为圆,故选项正确; B.主视图为矩形,俯视图为矩形,故选项错误; C.主视图为等腰三角形,俯视图为带有圆心的圆,故选项错误; D.主视图为矩形,俯视图为三角形,故选项错误. 故选:A. 点评:本题考查了三视图的定义考查学生的空间想象能力. 6. (2013 泰安)不等式组 的解集为( )

A.﹣2<x<4 B.x<4 或 x≥﹣2 C.﹣2≤x<4 D.﹣2<x≤4 考点:解一元一次不等式组. 分析:分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答:解: ,

解①得:x≥﹣2, 解②得:x<4, ∴不等式组的解集为:﹣2≤x<4, 故选:C. 点评:本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不 到”的原则是解答此题的关键. 7. (2013 泰安)实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试,每人投篮六次,投中的次数统计如下:5,4, 3,5,5,2,5,3,4,1,则这组数据的中位数,众数分别为( ) A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5,5 考点:众数;中位数. 分析:根据众数及中位数的定义,结合所给数据即可作出判断. 解答:解:将数据从小到大排列为:1,2,3,3,4,4,5,5,5,5, 这组数据的众数为:5; 中位数为:4.

-2-

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故选 A. 点评:本题考查了众数、中位数的知识,解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义. 8. (2013 泰安)如图, 五边形 ABCDE 中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3 分别是∠BAE、∠AED、∠EDC 的 外角,则∠1+∠2+∠3 等于( )

A.90° B.180° C.210° D.270° 考点:平行线的性质. 分析:根据两直线平行,同旁内角互补求出∠B+∠C=180°,从而得到以点 B.点 C 为顶点的五边形的两个 外角的度数之和等于 180°,再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解. 解答:解:∵AB∥CD, ∴∠B+∠C=180°, ∴∠4+∠5=180°, 根据多边形的外角和定理,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°, ∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°. 故选 B.

点评:本题考查了平行线的性质,多边形的外角和定理,是基础题,理清求解思路是解题的关键. 9. (2013 泰安)如图,点 A,B,C,在⊙O 上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC 等于( )

A.60° B.70° C.120° D.140° 考点:圆周角定理. 分析: A、 作⊙O 的直径 AD, 过 O 分别在等腰△ OAB、 等腰△ OAC 中, 根据三角形外角的性质求出 θ=2α+2β. 解答:解:过 A 作⊙O 的直径,交⊙O 于 D; △ OAB 中,OA=OB, 则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°, 同理可得:∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°, 故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°. 故选 D

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点评:本题考查了圆周角定理,涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质,解答本题的关键是求出 ∠COD 及∠BOD 的度数. 10. (2013 泰安)对于抛物线 y=﹣ (x+1) +3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线 x=1; ③顶点坐标为(﹣1,3) ;④x>1 时,y 随 x 的增大而减小, 其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点:二次函数的性质. 分析:根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解. 解答:解:①∵a=﹣ <0, ∴抛物线的开口向下,正确; ②对称轴为直线 x=﹣1,故本小题错误; ③顶点坐标为(﹣1,3) ,正确; ④∵x>﹣1 时,y 随 x 的增大而减小, ∴x>1 时,y 随 x 的增大而减小一定正确; 综上所述,结论正确的个数是①③④共 3 个. 故选 C. 点评:本题考查了二次函数的性质,主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标,以及二次函数的 增减性. 11. (2013 泰安)在如图所示的单位正方形网格中,△ ABC 经过平移后得到△ A1B1C1,已知在 AC 上一点 P(2.4,2) 平移后的对应点为 P1, P1 绕点 O 逆时针旋转 180°, 点 得到对应点 P2, P2 点的坐标为( 则 )
2

A. (1.4,﹣1) B. (1.5,2) C. (1.6,1) D. (2.4,1) 考点:坐标与图形变化-旋转;坐标与图形变化-平移. 分析:根据平移的性质得出,△ ABC 的平移方向以及平移距离,即可得出 P1 坐标,进而利用中心对称图 形的性质得出 P2 点的坐标.

-4-

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解答:解:∵A 点坐标为: (2,4) 1(﹣2,1) ,A , ∴点 P(2.4,2)平移后的对应点 P1 为: (﹣1.6,﹣1) , ∵点 P1 绕点 O 逆时针旋转 180°,得到对应点 P2, ∴P2 点的坐标为: (1.6,1) . 故选:C. 点评:此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质,根据已知得出平移距离是解题关键. 12. (2013 泰安)有三张正面分别写有数字﹣1,1,2 的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面 朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面数字作为 a 的值,然后再从剩余的两张卡片随机抽一张,以其正面的 数字作为 b 的值,则点(a,b)在第二象限的概率为( )
[来源:Zxxk.Com][来源:Z#xx#k.Com]

A.

B.

C.

D.

考点:列表法与树状图法;点的坐标. 专题:图表型. 分析:画出树状图,然后确定出在第二象限的点的个数,再根据概率公式列式进行计算即可得解. 解答: 解:根据题意,画出树状图如下:

一共有 6 种情况,在第二象限的点有(﹣1,1) (﹣1,2)共 2 个, 所以,P= = . 故选 B. 点评:本题考查了列表法与树状图法,第二象限点的坐标特征,用到的知识点为:概率=所求情况数与总 情况数之比. 13. (2013 泰安)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AD 切⊙O 于点 A,点 C 是 立的是( ) 的中点,则下列结论不成

A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE 考点:切线的性质;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理. 专题:计算题. 分析:由 C 为弧 EB 的中点,利用垂径定理的逆定理得出 OC 垂直于 BE,由 AB 为圆的直径,利用直径所 对的圆周角为直角得到 AE 垂直于 BE,即可确定出 OC 与 AE 平行,选项 A 正确; 由 C 为弧 BE 中点,即弧 BC=弧 CE,利用等弧对等弦,得到 BC=EC,选项 B 正确; 由 AD 为圆的切线,得到 AD 垂直于 OA,进而确定出一对角互余,再由直角三角形 ABE 中两锐角互余, 利用同角的余 角相等得到∠DAE=∠ABE,选项 C 正确; AC 不一定垂直于 OE,选项 D 错误.

-5-

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解答:解:A.∵点 C 是 ∴OC⊥BE, ∵AB 为 圆 O 的直径, ∴AE⊥BE, ∴OC∥AE,本选项正确;
[来源:学科网 ZXXK]

的中点,

B.∵

=



∴BC=CE,本选项正确; C.∵AD 为圆 O 的切线, ∴AD⊥OA, ∴∠DAE+∠EAB=90°, ∵∠EBA+∠EAB=90°, ∴∠DAE=∠EBA,本选项正确; D.AC 不一定垂直于 OE,本选项错误, 故选 D 点评:此题考查了切线的性质,圆周角定理,以及圆心角,弧及弦之间的关系,熟练掌握切线的性质是解 本题的关键. 14. (2013 泰安)化简分式 的结果是( )

A.2

B.

C.

D.﹣2

考点:分式的混合运算. 分析:这是个分式除法与减法混合运算题,运算顺序是先做括号内的加法,此时要先确定最简公分母进行 通分;做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算,而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解 的先分解,然后约分. 解答:解:

= =

÷[ ÷

+

]

=2. 故选:A. 点评:本题主要考查分式的化简求值,把分式化到最简是解答的关键,通分、因式分解和约分是基本环节. 15. (2013 泰安)某电子元件厂准备生产 4600 个电子元件,甲车间独立生产了一半后,由于要尽快投入市 场,乙车间也加入该电子元件的 生产,若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的 1.3 倍,结果用 33 天完成 任务,问甲车间每天生产电子元件多少个?在这个问题中设甲车间每天生产电子元件 x 个,根据题意可得 方程为( ) A. C. B. D.

考点:由实际问题抽象出分式方程.

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分析:首先设甲车间每天能加工 x 个,则乙车间每天能加工 1.3x 个,由题意可得等量关系:甲乙两车间生 产 2300 件所用的时间+乙车间生产 2300 件所用的时间=33 天,根据等量关系可列出方程. 解答:解:设甲车间每天能加工 x 个,则乙车间每天能加工 1.3x 个,根据题意可得: + =33,

故选:B. 点评:题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,再列出 方程. 2 16. (2013 泰安)在同一坐标系内,一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax +8x+b 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D. 考点:二次函数的图象;一次函数的图象. 分析:令 x=0,求出两个函数图象在 y 轴上相交于同一点,再根据抛物线开口方向向上确定出 a>0,然后 确定出一次函数图象经过第一三象限,从而得解. 解答:解:x=0 时,两个函数的函数值 y=b, 所以,两个函数图象与 y 轴相交于同一点,故 B、D 选项错误; 由 A、C 选项可知,抛物线开口方向向上, 所以,a>0, 所以,一次函数 y=ax+b 经过第一三象限, 所以,A 选项错误,C 选项正确. 故选 C. 点评:本题考查了二次函数图象,一次函数的图象,应该熟记一次函数 y=kx+b 在不同情况下所在的象限, 以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等. 17. (2013 泰安)把直线 y=﹣x+3 向上平移 m 个单位后,与直线 y=2x+4 的交点在第一象限,则 m 的取值 范围是( ) A.1<m<7 B.3<m<4 C.m>1 D.m<4 考点:一次函数图象与几何变换. 分析:直线 y=﹣x+3 向上平移 m 个单位后可得:y=﹣x+3+m,求出直线 y=﹣x+3+m 与直线 y=2x+4 的交 点,再由此点在第一象限可得出 m 的取值范围. 解答:解:直线 y=﹣x+3 向上平移 m 个单位后可得:y=﹣x+3+m, 联立两直线解析式得: ,

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解得:



即交点坐标为( ∵交点在第一象限,



) ,





解得:m>1. 故选 C. 点评:本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标,注意第一象限的点的横、纵坐标均大于 0.
[来源:学科网]

18. (2013 泰安)如图,AB,CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径,点 O1,O2,O3,O4 分别是 OA、OB、 OC、OD 的中点,若⊙O 的半径为 2,则阴影部分的面积为( )

A.8 B.4 C.4π+4 D.4π﹣4 考点:扇形面积的计算;圆与圆的位置关系. 分析:首先根据已知得出正方形内空白面积,进而得出扇形 COB 中两空白面积相等,进而得出阴影部分面 积. 解答:解:如图所示:可得正方形 EFMN,边长为 2, 正方形中两部分阴影面积为:4﹣π, ∴正方形内空白面积为:4﹣2(4﹣π)=2π﹣4, ∵⊙O 的半径为 2, ∴O1,O2,O3,O4 的半径为 1, 2 ∴小圆的面积为:π×1 =π, 扇形 COB 的面积为: =π,

∴扇形 COB 中两空白面积相等, 2 ∴阴影部分的面积为:π×2 ﹣2(2π﹣4)=8. 故选:A.

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点评:此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式,根据已知得出空白面积是解题关键. 19. (2013 泰安)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与 BC 的延长线交于点 E,与 DC 交于点 F,且点 F 为边 DC 的中点,DG⊥AE,垂足为 G,若 DG=1,则 AE 的边长为( )

A.2 B.4 C.4 D.8 考点:平行四边形的性质;等腰三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理. 专题:计算题. 分析:由 AE 为角平分线,得到一对角相等,再由 ABCD 为平行四边形,得到 AD 与 BE 平行,利用两直 线平行内错角相等得到一对角相等,等量代换及等角对等边得到 AD=DF,由 F 为 DC 中点,AB=CD,求 出 AD 与 DF 的长, 得出三角形 ADF 为等腰三角形, 根据三线合一得到 G 为 AF 中点, 在直角三角形 ADG 中,由 AD 与 DG 的长,利用勾股定理求出 AG 的长,进而求出 AF 的长,再由三角形 ADF 与三角形 ECF 全等,得出 AF=EF,即可求出 AE 的长. 解答:解:∵AE 为∠ADB 的平分线, ∴∠DAE=∠BAE, ∵DC∥AB, ∴∠BAE=∠DFA, ∴∠DAE=∠DFA, ∴AD=FD, 又 F 为 DC 的中点, ∴DF=CF, ∴AD=DF= DC= AB=2, 在 Rt△ ADG 中,根据勾股定理得:AG= 则 AF=2AG=2 , 在△ ADF 和△ ECF 中, , ∴△ADF≌△ECF(AAS) , ∴AF=EF, 则 AE=2AF=4 . 故选 B ,

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点评:此题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性质, 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键. 20. (2013 泰安)观察下列等式:3 =3,3 =9,3 =27,3 =81,3 =243,3 =729,3 =2187… 2 3 4 2013 解答下列问题:3+3 +3 +3 …+3 的末位数字是( ) A.0 B.1 C.3 D.7 考点:尾数特征. 2 3 4 2013 分析:根据数字规律得出 3+3 +3 +3 …+3 的末位数字相当于:3+7+9+1+…+3 进而得出末尾数字. 1 2 3 4 5 6 7 解答:解:∵3 =3,3 =9,3 =27,3 =81,3 =243,3 =729,3 =2187… ∴末尾数,每 4 个一循环, ∵2013÷4=503…1, ∴3+3 +3 + 3 …+3 的末位数字相当于:3+7+9+1+…+3 的末尾数为 3, 故选:C. 点评:此题主要考查了数字变化规律,根据已知得出数字变化规律是解题关键. 二. (本大题共 4 小题,满分 12 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 3 分) 21. (2013 泰安)分解因式:m ﹣4m= . 考点:提公因式法与公式法的综合运用. 分析:当一个多项式有公因式,将其分解因式时应先提取公因式,再对余下的多项式利用平方差公式继续 分解. 3 解答:解:m ﹣4m, 2 =m(m ﹣4) , =m(m﹣2) (m+2) . 点评:本题考查提公因式法分解因式,利用平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关键,要注意分解因 式要彻底. 22. (2013 泰安)化简: ( ﹣ )﹣ ﹣| ﹣3|= . 考点:二次根式的混合运算. 分析:根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可. 解答:解: ( ﹣ )﹣ ﹣| ﹣3| = ﹣3﹣2 ﹣(3﹣ ) , =﹣6. 故答案为:﹣6. 点评:此题主要考查了二次根式的化简与混合运算,正确化简二次根式是解题关键. 23. (2013 泰安)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E,交 BC 的延长线 于 F,若∠F=30°,DE=1,则 BE 的长是 .
[来源:Z_xx_k.Com]

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

2013

3

考点:含 30 度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质. 分析:根据同角的余角相等、等腰△ ABE 的性质推知∠DBE=30°,则在直角△ DBE 中由“30 度角所对的直 角边是斜边的一半”即可求得线段 BE 的长度. 解答:解:∵∠ACB=90°,FD⊥AB, ∴∠∠ACB=∠FDB=90°,

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∵∠F=30°, ∴∠A=∠F=30°(同角的余角相等) . 又 AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E, ∴∠EBA=∠A=30°, ∴直角△ DBE 中,BE=2DE=2. 故答案是:2. 点评:本题考查了线段垂直平分线的性质、含 30 度角的直角三角形.解题的难点是推知∠EBA=30°. 24. (2013 泰安)如图,某海监船向正西方向航行,在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45°方向, 海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45°方向,又航行了半小时到达 C 处,望见渔船 D 在南偏东 60° 方向,若海监船的速度为 50 海里/小时,则 A,B 之间的距离为 (取 ,结果精确到 0.1 海里) .

考点:解直角三角形的应用-方向角问题 . 专题:应用题. 分析:过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,设 DE=x,在 Rt△ CDE 中表示出 CE,在 Rt△ BDE 中表示出 BE,再由 CB=25 海里,可得出关于 x 的方程,解出后即可计算 AB 的长度. 解答:解:∵∠DBA=∠DAB=45°, ∴△DAB 是等腰直角三角形, 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,则 DE= AB,

设 D E=x,则 AB=2x, 在 Rt△ CDE 中,∠DCE=30°, 则 CE= DE= x, 在 Rt△ BDE 中,∠DAE=45°, 则 DE=BE=x, 由题意得,CB=CE﹣BE= x﹣x=25, 解得:x= 故 AB=25( , +1)=67.5 海里.

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故答案为:67.5. 点评:本题考查了解直角三角形的知识,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数的知识求解相 关线段的长度,难度一般. 三.解答题(本题共 5 小题,满分 48 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或推演步骤) 25. (2013 泰安)如图,四边形 ABCD 为正方形.点 A 的坐标为(0,2) ,点 B 的坐标为(0,﹣3) ,反 比例函数 y= 的图象经过点 C,一次函数 y=ax+b 的图象经过点 C,一次函数 y=ax+b 的图象经过点 A, (1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)求点 P 是反比例函数图象上的一点,△ OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积,求 P 点的坐标.

考点:反比例函数与一次函数的交点问题. 分析: (1)先根据正方形的性质求出点 C 的坐标为(5,﹣3) ,再将 C 点坐标代入反比例函数 y= 中,运 用待定系数法求出反比例函数的解析式;同理,将点 A,C 的坐标代入一次函数 y=ax+b 中,运用待定系 数法求出一次函数函数的解析式; (2)设 P 点的坐标为(x,y) ,先由△ OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积,列出关于 x 的方程, 解方程求出 x 的值,再将 x 的值代入 y=﹣ ,即可求出 P 点的坐标.

解答:解: (1)∵点 A 的坐标为(0,2) ,点 B 的坐标为(0,﹣3) , ∴AB=5, ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴点 C 的坐标为(5,﹣3) . ∵反比例函数 y= 的图象经过点 C, ∴﹣3= ,解得 k=﹣15, ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ;

∵一次函数 y=ax+b 的图象经过点 A,C, ∴ 解得 , ,

∴一次函数的解析式为 y=﹣x+2; (2)设 P 点的坐标为(x,y) . ∵△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积,

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∴ ×OA?|x|=5 , ∴ ×2|x|=25, 解得 x=±25. 当 x=25 时,y=﹣ 当 x=﹣25 时,y=﹣ =﹣ ; = .

2

∴P 点的坐标为(25,﹣ )或(﹣25, ) . 点评:本题考查了正方形的性质,反比例函数与一次函数的交点问题,运用待定系数法求反比例函数与一 次函数的解析式,三角形的面积,难度适中.运用方程思想是解题的关键. 26. (2013 泰安)如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为 AB 的中点, (1)求证:AC =AB?AD; (2)求证:CE∥AD; (3)若 AD=4,AB=6,求 的值.
2

考点:相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 分析: (1)由 AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ ADC∽△ACB,然后由相似三角形的对应 2 边成比例,证得 AC =AB?AD; (2)由 E 为 AB 的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得 CE= AB=AE, 继而可证得∠DAC=∠ECA,得到 CE∥AD; (3)易证得△ AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得 解答: (1)证明:∵AC 平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB, ∵∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ADC∽△ACB, ∴AD:AC=AC:AB, 2 ∴AC =AB?AD; (2)证明:∵E 为 AB 的中点, ∴CE= AB=AE, ∴∠EAC=∠ECA, ∵∠DAC=∠CAB, 的值.

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∴∠DAC=∠ECA, ∴CE∥AD; (3)解:∵CE∥AD, ∴△AFD∽△CFE, ∴AD:CE=AF:CF, ∵CE= AB, ∴CE= ×6=3, ∵AD=4, ∴ ∴ , .

点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此题难度适中, 注意掌握数形结合思想的应用. 27. (2013 泰安) 某商店购进 600 个旅游纪念品, 进价为每个 6 元, 第一周以每个 10 元的价格售出 200 个, 第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场 调查,单价每降低 1 元,可多售出 50 个,但售价不得低于进价) ,单价降低 x 元销售销售一周后,商店对 剩余旅游纪念品清仓处理,以每个 4 元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利 1250 元,问第二周 每个旅游纪念品的销售价格为多少元? 考点:一元二次方程的应用. 专题:销售问题. 分析:根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润,进而得出等式求出即可. 解答: 解: 由题意得出: 200× (10﹣6) (10﹣x﹣6) + (200+50x) (4﹣6) +[ (600﹣200﹣ (200+50x) ]=1250, 即 800+(4﹣x) (200+50x)﹣2(200﹣50x)=1250, 整理得:x ﹣2x+1=0, 解得:x1=x2=1, ∴10﹣1=9, 答:第二周的销售价格为 9 元. 点评:此题主要考查了一元二次方程的应用,根据已知表示出两周的利润是解题关键. 28. (2013 泰安)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD,E 是 CD 上一点,BE 交 AC 于 F,连接 DF. (1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE. (2)若 AB∥CD,试证明四边形 ABCD 是菱形; (3)在(2)的条件下,试确定 E 点的位置,∠EFD=∠BCD,并说明理由.
2

考点:菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质. 分析: (1)首先利用 SSS 定理证明△ ABC≌△ADC 可得∠BAC=∠DAC,再证明△ ABF≌△ADF,可得 ∠AFD=∠AFB,进而得到∠AFD=∠CFE;

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(2)首先证明∠CAD=∠ACD,再根据等角对等边可得 AD=CD,再有条件 AB=AD,CB=CD 可得 AB=CB=CD=AD,可得四边形 ABCD 是菱形; (3)首先证明△ BCF≌△DCF 可得∠CBF=∠CDF,再根据 BE⊥CD 可得∠BEC=∠DEF=90°,进而得到 ∠EFD=∠BCD. 解答: (1)证明:∵在△ ABC 和△ ADC 中 ∴△ABC≌△ADC(SSS) , ∴∠BAC=∠DAC, ∵在△ ABF 和△ ADF 中 ∴△ABF≌△ADF, ∴∠AFD=∠AFB, ∵∠AFB=∠AFE, ∴∠AFD=∠CFE; (2)证明:∵AB∥CD, ∴∠BAC=∠ACD, 又∵∠BAC=∠DAC, ∴∠CAD=∠ACD, ∴AD=CD, ∵AB=AD,CB=CD, ∴AB=CB =CD=AD, ∴四边形 ABCD 是菱形; (3)当 EB⊥CD 时,∠EFD=∠BCD, 理由:∵四边形 ABCD 为菱形, ∴BC=CD,∠BCF=∠DCF, 在△ BCF 和△ DCF 中 ∴△BCF≌△DCF(SAS) , ∴∠CBF=∠CDF, ∵BE⊥CD, ∴∠BEC=∠DEF=90°, ∴∠EFD=∠BCD. , , ,

点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及菱形的判定与性质,全等三角形的判定是结合全等 三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.

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29. (2013 泰安)如图,抛物线 y= x +bx+c 与 y 轴交于点 C(0,﹣4) ,与 x 轴交于点 A,B,且 B 点的 坐标为(2,0) (1)求该抛物线的解析式. (2)若点 P 是 AB 上的一动点,过点 P 作 PE∥AC,交 BC 于 E,连接 CP,求△ PCE 面积的最大值. (3)若点 D 为 OA 的中点,点 M 是线段 AC 上一点,且△ OMD 为等腰三角形,求 M 点的坐标.

2

考点:二次函数综合题. 分析: (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)首先求出△ PCE 面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值; (3)△ OMD 为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论. 解答:解: (1)把点 C(0,﹣4) ,B(2,0)分别代入 y= x +bx+c 中,
2





解得 ∴该抛物线的解析式为 y= x +x﹣4. (2)令 y=0,即 x +x﹣4=0,解得 x1=﹣4,x2=2, ∴A(﹣4,0) △ ABC= AB?OC=12. ,S 设 P 点坐标为(x,0) ,则 PB=2﹣x. ∵PE∥AC, ∴∠BPE=∠BAC,∠BEP=∠BCA, ∴△PBE∽△ABC, ∴ ,即
2 2 2



化简得:S△ PBE= (2﹣x) . S△ PCE=S△ PCB﹣S△ PBE= PB?OC﹣S△ PBE= ×(2﹣x)×4﹣ (2﹣x) = x2﹣ x+
2

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=

(x+1) +3

2

∴当 x=﹣1 时,S△ PCE 的最大值为 3. (3)△ OMD 为等腰三角形,可能有三种情形: (I)当 DM=DO 时,如答图①所示. DO=DM=DA=2, ∴∠OAC=∠AMD=45°, ∴∠ADM=90°, ∴M 点的坐标为(﹣2,﹣2) ;

(II)当 MD=MO 时,如答图②所示. 过点 M 作 MN⊥OD 于点 N,则点 N 为 OD 的中点, ∴DN=ON=1,AN=AD+DN=3, 又△ AMN 为等腰直角三角形,∴MN=AN=3, ∴M 点的坐标为(﹣1,﹣3) ; (III)当 OD=OM 时, ∵△OAC 为等腰直角三角形, ∴点 O 到 AC 的距离为 ×4= ,即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 .

∵ >2,∴OD=OM 的情况不存在. 综上所述,点 M 的坐标为(﹣2,﹣2)或(﹣1,﹣3) .

点评:本题是二次函数综合题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等 知识点,以及分类讨论的数学思想.第(2)问将面积的最值转化为二次函数的极值问题,注意其中求面 积表达式的方法;第(3)问重在考查分类讨论的数学思想,注意三种可能的情形需要一一分析,不能遗 漏.

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