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江苏省2015年高考一轮专题复习特训:圆锥曲线


江苏省 2015 年高考一轮专题复习特训 圆锥曲线
一、填空题 1、 (2013 江苏卷 3) 3. 双曲线
3 答案: 3. y ? ? x 4

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9



2、 (2013 江苏卷 3)9.抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区 域为 D (包含三角形内部与边界) 。若点 P ( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则
x ? 2 y 的取值范围是



1? ? 答案:9. ?? 2, ? 2? ?

3、 ( 2013 江苏卷 12 ) 12 .在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B , a 2 b2

设原点到直线 BF 的 距离为 d 1 ,F 到 l 的距离为 d2 , 若 d2 ? 6d1 , 则椭圆 C 的离心率为 答案: 12.
3 3
x2 y2 ? 2 ?1的 m m ?4



4. (2012 年江苏省 5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 离心率为 5 ,则 m 的值为 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由
x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

▲ .

∴ e= =

c a

m ? m2 ? 4 = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。 m

?e,7? 。

5、 (江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考)已知椭圆与 x 轴相切,左、 右两个焦点分别为 F1 (1,1 ),F2 (5, 2) ,则原点 O 到其左准线的距离为 答案:
5 34 17





6、 江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) 已知方程 ax2 ? by2 ? ab 和
ax ? by ? 1 ? 0

( 其 中 ab ? 0 , a ? b ) , 它 们 所 表 示 的 曲 线 可 能 序 号 .



答案: (2) 7、 ( 江 苏 省 东 台 市 创 新 学 校 2014 届 高 三 第 三 次 月 考 ) 已 知 双 曲 线
x2 y2 ? 2 ? 1, ?a ? b ? 0? ,两渐近线的夹角为 60? ,则双曲线的离心率为 2 a b

答案: 8、 (江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)已知椭圆的对称轴为坐标 轴, 短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点 的最短距离为 3 ,则椭圆的方程为

答案: 9、 (江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)抛物线 y ? 4x2 的焦点坐标 是 答案:
2 y2 10、 (江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)双曲线 x 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 a b

左、右焦点分别为 F1 , F2 ,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P 在第一象限内且在 l1 上,若

l2 ? PF1 , l2 ∥ PF2 ,则双曲线的离心率为
答案:2


x2 y 2 ? ? 1 的一条 4 m

11、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)椭圆 准线方程为 y ? m ,则 m ? ______ 答案:5

12、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A,上顶点为 B,M 为线段 AB 的中 a 2 b2

点,若 ?MOA ? 30o ,则该椭圆的离心率的值为 答案:
6 3
x2 ? y 2 ? 1 的右准线为准线的抛物线方程是 3



13、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)顶点在原点且以 双曲线

答案: y 2 ? ?6 x 14 、 (江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研)已知椭圆
C: x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x2 ? y2 ? b2 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 O a 2 b2

的两条切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ▲

答案: 15、 (江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考)双曲线 x2 ? 线被圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长为 ▲
y2 ? 1 的渐近 4

答案:4 16、 (江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考)在平面直角坐标系 xOy

x2 y2 中,已知 y= 3x 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程,则此双曲线 a b
的离心率为 答案:2 ▲

5) 的直线 l 被圆 17 、 (淮安、宿迁市 2014 届高三 11 月诊断)已知过点 (2 ,

C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方程为



.

答案: x ? 2 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 18、 (淮安、宿迁市 2014 届高三 11 月诊断)已知双曲线
x2 y 2 ? ? 1( a > 0 , b > 0) 的 a 2 b2

左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ▲ . P .若 ?PF1F2 ? 30 ,则该双曲线的离心率为 答案: 3 ? 1 19、 (无锡市 2014 届高三上学期期中)若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥 曲线 C ,离心率为 2 ,且过点 (2,3) ,则曲线 C 的方程为 答案: x 2 ? y 2 ? 5 20、 (无锡市 2014 届高三上学期期中)直线 y ? kx ? 1 与圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 相 交于 A、B 两点,若 AB ? 4 ,则 k 的取值范围是 1 答案: (? , 2) 2 。 。

21、 (扬州市 2014 届高三上学期期中) 设圆 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 的切线 l 与 x 轴正半轴,

y 轴正半轴分别交于点 A, B ,当 AB 取最小值时,切线 l 在 y 轴上的截距为
▲ 答案: .
3? 5 2

22、 (扬州市 2014 届高三上学期期中)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一条准线 a 2 b2

与 x 轴的交点为 P ,点 A 为其短轴的一个端点,若 PA 的中点在椭圆 C 上, 则椭圆的离心率为 ▲ . 答案:
3 3

x2 y2 ? 1 的一个焦点与抛物 23、 (扬州市 2014 届高三上学期期中)若双曲线 ? m m?2

线 y 2 ? 8x 的焦点相同,则 m ? 答案:1





二、解答题 1. ( 2014 江 苏 卷 17 ) 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , F1 , F2 分 别 是 椭 圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, 顶点 B 的坐标是 (0, b) , 连接 BF2 并延长交椭圆 a 2 b2

于点 A ,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C ,连接 FC . 1
4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; 3 3

(2)若 FC ? AB ,求椭圆离心率 e 的值. 1

【答案】 本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等 基础知识,考查运 算求解能力. 满分 14 分.
16 1 4 1 (1)∵ C , ,∴ 92 ? 92 ? 9 a b 3 3

? ?
2 2

∵ BF ? b ? c ? a ,∴ a ? ( 2) ? 2 ,∴ b ? 1
2 2

2

2

2

2

∴椭圆方程为 x ? y ? 1
2 2

2

0) , F (c , 0) , C( x , y) (2)设焦点 F (?c ,
1 2

C 关于 x 轴对称,∴ A( x , ? y) ∵ A,

b? y F, A 三点共线,∴ b ? ∵ B, ,即 bx ? cy ? bc ? 0 ①
2

?c

?x

∵ FC ? AB ,∴
1

y ? b ? ?1 ,即 xc ? by ? c 2 ? 0 ② x ? c ?c

? x ? ca 2 2 2 ? ①②联立方程组,解得 ? b ? c 2 bc ?y ? 2 b2 ? c2 ?

∴C

? b a?cc ,b2bc ?c ?
2 2 2 2 2 2

ac 2bc ? b ? c ? ?b ? c ? ? ?1, ∵C 在椭圆上,∴
2 2 2 2 2 2 2 2

a2

b2

化简得 5c ? a ,∴ c ? 5 ,
2 2

a

5

故离心率为 5
5

2、 (2013 江苏卷 16)16.本小题满分 14 分。 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB , 过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点. 求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA . S

E
F

G C

A

B 证明: (1)∵ AS ? AB , AF ? SB ∴F 分别是 SB 的中点 ∵E.F 分别是 SA.SB 的中点 ∴EF∥AB
又∵EF ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC ∴EF∥平面 ABC[来源:Z&xx&k.Com] 同理:FG∥平面 ABC 又∵EF ? FG=F, EF.FG ? 平面 ABC∴平面 EFG // 平面 ABC (2)∵平面 SAB ? 平面 SBC 平面 SAB ? 平面 SBC =BC AF ? 平面 SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面 SBC 又∵BC ? 平面 SBC ∴AF⊥BC ∴BC⊥平面 SAB 又∵SA ? 平面

又∵ AB ? BC , AB ? AF=A, AB.AF ? 平面 SAB SAB∴BC⊥SA 3、 (2013 江苏卷 22)22.本小题满分 10 分。

AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 ,点 D 是 BC 如图, 在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,

的中点 (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值 (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值。

本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用 空间向量解决问题的能力。 解: (1)以 AB, AC, AA1 为为单位正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

?

?

则 A(0,0,0) B(2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D(1,1,0) , C1 (0,2,4) ∴ A1 B ? (2,0,?4) , A1 B ? (1,?1,?4) ∴ cos ? A1 B, C1 D ??

A1 B ? C1 D A1 B C1 D

?

18 20 18

?

3 10 10

∴异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值 为

3 10 10

(2) AC ? (0,2,0) 是平面 ABA1 的的一个法向量 设平面 ADC1 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,∵ AD ? (1,1,0) , AC1 ? (0,2,4) 由 m ? AD, m ? AC1

?x ? y ? 0 ∴? ?2 y ? 4 z ? 0

取 z ? 1, 得 y ? ?2, x ? 2 , ∴平面 ADC1 的法向量为 m ? (2,?2,1)

设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 ?

∴ cos? ? cos ? AC, m ? ?

AC ? m AC m

?

5 ?4 2 ? , 得 sin ? ? 3 2?3 3
5 3

∴平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为

4.(2012 年江苏省 14 分)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在 地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹 在方程 y ? kx ?
1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其 中 k 与发射方向有关.炮的射 20

程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2 )设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它 的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=
20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 , ∴ 炮 弹 可 以 击 中 目 标 等 价 于 存 在 k ? 0 , 使
ka ? 1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立, 20

即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

。 > 0 (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ? 出后应用基本不等式求解。 (2) 求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式 求解。 5. (2012 年江苏省 16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆
e) 和 ? e , 0) .已知 (1 , 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) ,F2 (c , ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求 20

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 2 ? ?

为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与
BF1 交于点 P.
6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

(i)若 AF1 ? BF2 ?

e) 在椭圆上,得 【答案】解: (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e= ,由点 (1 ,

c a

12 e2 1 c2 ? ? 1 ? ? =1 ? b2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 , ∴ 2 2 2 2 2 a b a a b
c 2 =a 2 ? 1 。

由点 ? ?e,
?

?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? e2 ? 2 ? c2 ? 2 ? a2 ? 1 3 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 2 2 4 4 1 4 a b a a

∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 2

0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , (2)由(1)得 F1 (?1 , 0) , F2 (1,
y ?x , 1 ∴ 设 AF1 、 BF2 的 方 程 分 别 为 m = m= ?y , x 1

A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。
? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?


AF1 = ? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0? = ? my1 ?
2 2 2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 。① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

。②

( i )由①②得, AF1 ? BF2 ?
m 2 =2。

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = 。解 得 2 2 m ?2 m ?2 2

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为
1 2 = 。 m 2

( ii ) 证 明 : ∵ AF1 ∥ BF2 , ∴
BF PB ? PF 1 BF ?2AF PB ?1 ? 2 ?1? ? 。1 PF1 AF 1 PF 1 AF 1

PB BF2 ? PF1 AF1

, 即

∴ PF1 =

AF1 BF1 。[来源:学科网 ZXXK] AF1 ? BF2

由 点
PF1 =

B

在 椭 圆 上 知 ,

BF1 ? BF2 ? 2 2

, ∴

AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

?

?

同理。 PF2 = ∴
PF1 +PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2

?

?

AF1 BF2 2 AF BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF BF = m

2

?1

m ?2

2



2 3 = 2。 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定 值。 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。
e) 和 ? e , 【解析】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1 , ?

? ?

3? ? 都在椭圆上列式求解。 2 ? ?

(2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ?

6 ,用待定系数法求解。 2

6.(江苏 2011 年 16 分)如图,在平面直 角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限, 4 2

过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设 直线 PA 的斜率为 k . (1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k =2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d ; (3)对任意 k >0,求证:PA⊥PB. 【答案】 解: (1) 由题意知, 故 M(0 ? 2 N0 , ,) 2 (, a ? 2, b ? 2 , ∴线段 MN 的中点的坐标为 (?1,?
2 )。 2
)?

y P M A B

O
N

x



由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,
2 2 ? 2。 又直线 P A 过坐标原点,∴ k ? ?1 2 ?

(2)直线 PA 的方程为 y ? 2 x ,代入椭圆方程得
2 得x ?? , 3

x 2 4x 2 ? ? 1 ,解 4 2

∴ P ? , ? , A ? ? , ? ? , 于 是 C ? , ?0 , 直 线 AC 的 斜 率 为 3? ?3 ? ?3 3? ? 3

?2 4?

? 2

4?

?2

?

0?

4 3 ? 1。 2 2 ? 3 3
2 4 2 ? ? 2 3 3 3 2 2 ∴直线 AB 的方程为 x ? y ? ? 0 。∴ d ? 。 ? 3 3 2
( 3 )证明:将直线 PA 的方程为 y ? kx 代入
x2 y2 ? ? 1 ,解得 4 2

x??

2 1 ? 2k 2



记? ?

2 1 ? 2k 2

,则 P ? ? , ?k ? , A ? ?? , ? ?k ? ,于是 C ? ? , 0? 。
k 0 ? ?k k ? ,直线 AB 的方程为 y ? ( x ? ? ) , 2 ??? 2

∴直线 AB 的斜率为

代 入 椭 圆 方 程 得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2?k 2 x ? ? 2 (3k 2 ? 2) ? 0 , 解 得
x?

? (3k 2 ? 2)
2? k2

,或 x ? ? ? 。

∴ B(

? (3k 2 ? 2)
2? k2

,

?k 3
2? k2

) , 于 是 直 线

PB

的 斜 率 为

? ?k 2 1 2 ? k k1 ? ?? 。 2 k ? (3k ? 2) ?? 2 2?k

?k 3

∴ k1k ? ?1 ,所以 PA⊥PB。 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程与几何性质,直线的斜率 及其方程,点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断,共线问题,点在曲线上 的性质。 【分析】 (1)由题设写出点 M,N 的坐标,求出线段 MN 中点坐标,根据线 PA 过 原点和斜率公式,即可求出 k 的值。 (2)写出直线 PA 的方程,代入椭圆,求出点 P,A 的坐标,求出直线 AB 的方程,根据点到直线的距离公式,即可求得点 P 到直线 AB 的距离 d 。 (3)要证 PA⊥PB,只需证直线 PB,AB 的斜率之积为-1。根据题意求 出它们的斜率,即证得结果。

7、 (江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一 动点,点 P 是线段 AM 的垂直平分线与直线 CM 的 学科网交点. (1)求点 P 的轨迹曲线 E 的方程; (2) 设点 P( x0 , y0 ) 是曲线 E 上任意一点, 写出曲线 E 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线 l 的方程; (不要求证明) (3) 直线 m 过切点 P( x0 , y0 ) 与直线 l 垂直, 点 C 关于直线 m 的对称 点为 D ,证明:直线 PD 恒过一定点,并求定点的坐标. 解: (1) 点 P 是线段 AM 的垂直平分线,∴ PA=PM PA+PC=PM+PC=2 2>AC=2, ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆. 椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 1. ∴曲线 E 的方程为
x2 ? y 2 ? 1. 2
C P O A M

………5′

x0 x ? y0 y ? 1.………8′ 2 (3)直线 m 的方程为 x0 ( y ? y0 ) ? 2 y0 ( x ? x0 ) ,即 2 y0 x ? x0 y ? x0 y0 ? 0 .

(2)曲线 E 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线 l 的方程是

设点 C 关于直线 m 的对称点的坐标为 D ? m, n ? ,

? 2 x03 ? 3 x0 2 ? 4 x0 ? 4 x0 ? n m ? ? ? ? ? x0 2 ? 4 2 y0 ? ? m ?1 则? ,解得 ? 4 3 2 ? n ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? 8 x0 ?2 y ? m ? 1 ? x0 n ? x y ? 0 0 0 0 ? ? 2 y0 (4 ? x0 2 ) ? 2 2 ?
? 直线 PD 的斜率为 k ?

n ? y0 x04 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8x0 ? 8 ? m ? x0 2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4) x04 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8 ( x ? x0 ) 2 y0 (? x03 ? 3x02 ? 4)

从而直线 PD 的方程为: y ? y0 ? 即x?

2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4) y ? 1 , 从而直线 PD 恒过定点 A(1, 0) .………16′ x04 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8 8、 (江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考)
椭圆 C : 3 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F1 , F2 , 离心率为 , 过 F1 且 2 2 a b

垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,过点 P 作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,若 k ? 0 , 试证明:
1 1 为定值,并求出这个定值. ? kk1 kk 2
2 2 2

x2 y2 解:(1)由于 c =a -b ,将 x=-c 代入椭圆方程 2+ 2=1, a b b2 2b2 得 y=± .由题意知 =1,即 a=2b2. ……………2 分 a a c 3 又 e= = , 所以 a=2, b=1. a 2 6分 (2)设 P(x0,y0)(y0≠0),则直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0). x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 ……

?x +y =1, 联立? 4 ?y-y =k(x-x ),
2 0 0

2

………………8 分

2 2 整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y2 0-2kx0y0+k x0-1)=0. 2 2 由题意Δ =0,即(4-x2 ………………10 分 0)k +2x0y0k+1-y0=0.

x2 x0 0 2 2 2 又 +y2 . 0=1,所以 16y0k +8x0y0k+x0=0,故 k=- 4 4y0

……………12 分

1 1 x0+ 3 x0- 3 2x0 由(2)知 + = + = , k1 k2 y0 y0 y0 所以 1 1 1? 1 1 ? ?-4y0? 2x0 ?· =-8, + = ? + ?=? kk1 kk2 k?k1 k2? ? x0 ? y0 1 1 + 为定值,这个定值为-8. kk1 kk2

……………15 分

因此

……………16 分

9、 (江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) 已知椭圆 C1 :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A、 B 两点.

(1)若椭圆的半焦距 c ? 3 ,直线 x ? ? a 与 y ? ?b 围成的矩形 ABCD 的面积 为 8, 求椭圆的方程; (2) 如果 值范围.
1 1 3 2 ? 2 ? 2 又椭圆的离心率 e 满足 ?e? 2 a b 3 2

, 求椭圆长轴长的取

10 、 ( 江 苏 省 东 台 市 创 新 学 校 2014 届 高 三 第 三 次 月 考 ) 若 椭 圆 C :

x2 y2 4 且椭圆 C 的一个焦点与抛物线 y2=-12x 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e 为 , a b 5
的焦点重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(2,0),点 Q 是椭圆上一点,当|MQ|最小时,试求点 Q 的坐 标;
y

O

x

(3)设 P(m,0)为椭圆 C 长轴(含端点)上的一个动点,过 P 点斜率为 k 的直线 l 交椭圆与 A,B 两点,若|PA|2+|PB|2 的值仅依赖于 k 而与 m 无关,求 k 的 值.

11、 (江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研) 在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 1 的椭圆 E 的一个焦点为圆 2 2 2 C : x ? y ? 4x ? 2 ? 0 的圆心. ⑴求椭圆 E 的方程; ⑵设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 1 的直线 l1 , l2 ,当直线 l1 , l2 都 2 与圆 C 相切时,求 P 点坐标. 2 y2 ?1 解: (1) x ? 16 12 ……………4 分 (2)设 P ? x0 , y0 ? ,得 l1 : y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , l2 : y ? y0 ? k2 ? x ? x0 ? ∵ k1k2 ? 1 ,依题意 C ? 2,0? 到 l1 的距离为 2
2k1 ? y0 ? k1 x0 1 ? k12 ? 2

2 整理得 ?? 2 ? x0 ? ? 2? k12 ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k1 ? y0 2 ? 2 ? 0 同理 ? ?

?? 2 ? x0 ?2 ? 2? k22 ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k2 ? y0 2 ? 2 ? 0 ? ?
2 ∴ k1k 2 是方程 ?? 2 ? x0 ? ? 2? k 2 ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k ? y0 2 ? 2 ? 0 的两实根…… ? ?

10 分
?? 2 ? x0 ?2 ? 2 ? 0 ? ? ? 2 2 ? x0 ? ? y0 2 ? 2 ? ? 0 ?? ? 8 ? ?? ? ? 2 y0 ? 2 ? ?1 2 ?k1k2 ? ? 2 ? x0 ? ? 2 2 ?

… … … … … 12


? x0 2 y0 2 ? ?1 ? ∴ ? 16 12 ?? 2 ? x ?2 ? 2 ? 2 ? y 2 ? 2 ? 0 0 ?

… … … … … 14



? ? ? ? ? P ? ?2,3? 或P ? ?2, ?3? 或 ? 18 , 57 ? 或 ? 18 , ? 57 ? 5 5 5 5 ? ? ? ?

…………

16 分 12、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研) 已知点 P (4,4) , 圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5(m ? 3) 与椭圆 E:
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个公共点为 A a 2 b2

(3,1) ,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点, 直线 PF1 与圆 C 相切。 (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 D 为直线 PF1 与圆 C 的切点,在椭 圆 E 上是否存在点 Q ,使△PDQ 是以 PD 为底的等腰三角形?若存在,请指出共有 几个这样的点?并说明理由。 解 (1) ∵ 点 A(3,1) 在 圆 C 上 , ∴

(3 ? m)2 ? 1 ? 5
又 m ? 3 ,∴ m ? 1 分 设 F1 (?c,0) ,∵ P(4, 4) …………………………2

∴直线 PF1 的方程为 4 x ? (4 ? c) y ? 4c ? 0 分 ∵直线 PF1 与圆 C 相切 ∴ 分 即c ? 4
?a 2 ? b 2 ? 16 ? a 2 ? 18 ? ? 由? 9 1 解得 ? 2 ? ?b ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b

…………………………4

| 4 ? 4c | 16 ? (4 ? c)2

? 5(c ? 0)

…………………………6

∴椭圆 E 的方程是 分

x2 y 2 ? ?1 18 2

…………………………8

(2) 直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0

?x ? 2 y ? 4 ? 0 由? 得切点 D (0, 2) 2 2 ?( x ? 1) ? y ? 5
分 又∵P(4,4), ∴线段 PD 的中点为 M(2,3) 又∵椭圆右焦点 F2 (4,0)
k MF2 ? 3 3 ?? 2?4 2 1 k PD ? , ∴ 线 段 2

………………………… 10

又 -2

PD

的 垂 直 平 分 线 的 斜 率 为

…………………………14 分

3 ∵ ?2 ? ? ,∴线段 PD 的垂直平分线与椭圆有两个交点 2

即 在 椭 圆 上 存 在 两 个 点 Q, 使 △ PDQ 是 以 PD 为 底 的 等 腰 三 角 形. ………………………16 分 (或与过点 M 的椭圆右侧切线斜率比较说明)

13、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)

已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到 右准线的距离之比为 点. (1)求椭圆的标准方程; (2)证明 P, Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3) 过点 A, P, Q 的动圆记为圆 C ,已知动圆 C 过定点 A 和 B (异于点 A ),请求出 定点 B 的坐标. 解: (1)设椭圆的标准方程为 分
? c ? 3 , b ? 1 , ……2 分
? 椭圆的标准方程为

3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两 2 2

3 x2 y2 .……2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4

(2)证明:设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 将y?
1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2
x1 x2 ? 2( m 2 ? 1) ,……6 分
2 2 2 ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 4 ,

? x1 ? x2 ? ?2m,

? P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分

(3)设圆的一般方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m,
圆心( ?

m ), 2

PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , ……8 分

3 2

E 3 3 D E ,? )满足 y ? ?2 x ? m ,所以 ? ? D ? m 2 ,……9 分 2 2 2 2 2



圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○ 3 ,……10 分

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0, 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) , 则 ? 2 两式相加得: 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,
x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
x1 ? x2 ? (1 ?
2 2

x1 4

2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,……11 分

y1 ? y2 ? m ,

4 .……12 分 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○
1 2 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,

因为动直线 y ?

由○ 2 ○ 3 ○ 4 解得: D ?

3( m ? 1) 4

, E?

3 2

m?

3 2

,

3 5 F ?? m? , 2 2

……13 分

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m( x ? y ? ) ? 0 ,……14 分 4 2 2 4 2 2

代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?

3( m ? 1)

3 3 5 ? 2 x ? y 2 ? x ? y ? ? 0, ? 4 2 2 所以: ? ……15 分 ? 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

解得: ?

? x ? 0, ? x ? 2, 或? (舍). ? y ? 1, ?y?0

所以圆过定点(0,1).……16 分 14、 (江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研)
2 2 如图, A, B 是椭圆 C : x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右顶点,椭圆 C 的离心率为 1 , 2 2 a b 2

右准线 l 的方程为 x ? 4 . (1)求椭圆方程; (2)设 M 是椭圆 C 上异于 A, B 的一点 , 直线 AM 交 l 于点 P ,以 MP 为直径的 圆记为 e K . ①若 M 恰好是椭圆 C 的上顶点,求 e K 截直线 PB 所得的弦长; ②设 e K 与直线 MB 交于点 Q ,试证明:直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点,并 求该定点的坐标.

7 ………… 6 分
又 直 线 PB 的 方 程 为 3 3x ? 2y ? 6 3 , 故 圆 心 到 直 线 PB 的 距 离 为 ? 0

4 3 ………8 分 31
从而 e K 截直线 PB 所得的弦长为 2 7 ? ( 4 3 ) 2 ? 26 31 …………………10 31 31 分 ②证:设 M ( x0 , y0 )( y0 ? 0) ,则直线 AM 的方程为 y ? 坐标为 P(4, 6 y0 ) , x0 ? 2 又直线 MB 的斜率为 K
MB

y0 ( x ? 2) ,则点 P 的 x0 ? 2

?

y0 ,而 MB ? PR ,所以 x ?2, K PR ? ? 0 x0 ? 2 y0

从而直线 PR 的方程为 y ? 6 y0 ? ? x0 ? 2 ( x ? 4) ………………………13 分

x0 ? 2

y0

2 令 y ? 0 ,得点 R 的横坐标为 x ? 4 ? 6 y0 ………………………………14 分 R x0 2 ? 4

又 点

M

在 椭 圆 上 , 所 以

x0 2 y0 2 3(4 ? x0 2 ) , 故 2 , 即 ? ?1 y0 ? 4 3 4

3 1 xR ? 4 ? 6 ? ? ? , 4 2

所以直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点 , 且该定点的坐标为 (? 1 ,0) ………… 16

2

分 15、 (江苏省无锡市洛社高级中学等三校 2014 届高三 12 月联考) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 Q 到点 F(1,0)与到直线 x=4 的距离之比为 (1)求点 Q 的轨迹方程 E; (2)若点 A , B 分别是轨迹 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点
M 是直线 l 上不同于点 B 的任意一点,直线 AM 交轨迹 E 于点 P .

1 . 2

(ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m .求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐 标.

16、 (淮安、宿迁市 2014 届高三 11 月诊断)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭 圆C:2 ?
y2 ? 1(a > b > 0) 与直线 l : x ? m(m ? R ) . b2 1) , (3 , ? 1) ,(?2 2 , 四点 (3 , 剩余一个点在 0) , ( 3 , 3) 中有三个点在椭圆 C 上, x2 a

直线 l 上. (1)求椭圆 C 的方程; N 两点,使得 PM ? PN , (2)若动点 P 在直线 l 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , 再过 P 作直线 l ? ? MN .证明:直线 l ? 恒过定点,并求出该定点的坐标.

解: (1)由题意有 3 个点在椭圆 C 上, 1) , (3 , ? 1) 一定在椭圆 C 上, 根据椭圆的对称性,则点 (3 , 即
9 1 ? ?1 a 2 b2

①, ……………………………………2 分 若点 (?2 2 , 0) 在椭圆 C 上,则点 (?2 2 , 0) 必为 C 的左顶点, 而 3>2 2 ,则点 (?2 2 , 0) 一定不在椭圆 C 上, 故点 ( 3 , 3) 在椭圆 C 上,点 (?2 2 , 0) 在直线 l 上, …………………………4 分 所以
3 3 ? ?1 a 2 b2

②,

联立①②可解得 a 2 ? 12 ,b 2 ? 4 , 所以椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ? 1; 12 4

……………………………………6 分
2 3 2 3 , ), 3 3

y0 ) , y0 ? ( ? (2)由(1)可得直线 l 的方程为 x ? ?2 2 ,设 P(?2 2 ,

y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,显然 x1 ? x2 , 当 y0 ? 0 时,设 M ( x1 ,

? x12 y12 ? ? 1, ? x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 y ? y2 1 x ?x ? 12 4 ? ? 0 ,即 1 ?? ? 1 2 , 联立 ? 2 则 2 12 4 x1 ? x2 3 y1 ? y2 ? x2 ? y2 ? 1, ? 4 ? 12 又 PM ? PN ,即 P 为线段 MN 的中点,

故直线 MN 的斜率为 ? ? 10 分

1 ?2 2 2 2 , ? 3 y0 3 y0
3 y0

……………………………………

又 l ? ? MN ,所以直线 l ? 的方程为 y ? y0 ? ? 13 分 即y??
3 y0 2 2 (x ? 4 2 ), 3

2 2

( x ? 2 2) ,

…………………

显然 l ? 恒过定点
(? 4 2 , 0) ; 3

………………………………………15 分
4 2 , 0) ; 3

当 y0 ? 0 时,直线 MN 即 x ? ?2 2 ,此时 l ? 为 x 轴亦过点 ( ? 综上所述,l ? 恒过定点 ( ? 16 分 17、 (扬州市 2014 届高三上学期期中)如图,椭圆 C1 :
4 2 , 0) . 3

……………………………………
x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

和圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,已知圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等分,椭圆 C1 右焦点到右准

线的距离为

2 ,椭圆 C1 的下顶点为 E ,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意 4

直线 l 与圆 C2 相交于点 A 、 B . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)若直线 EA 、 EB 分别与椭圆 C1 相交于另一个交点为点 P 、 M . ①求证:直线 MP 经过一定点; ②试问:是否存在以 (m,0) 为圆心,
3 2 为半径的圆 G ,使得直线 PM 和直 5

线 AB 都与圆 G 相交?若存在,请求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由。 y
M A O B E x P

(1)依题意, 2b ?
2 2

1 ? 2 a ,则 a ? 3b , 3

a2 b2 2 ∴ c ? a ? b ? 2 2b ,又 ? c ? ,∴ b ? 1 ,则 a ? 3 , ? c c 4
x2 ∴椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . ················ 4 分 9

(2)①由题意知直线 PE, ME 的斜率存在且不为 0,设直线 PE 的斜率为 k , 则 PE : y ? kx ? 1 ,
18k ? x? 2 , ? y ? kx ? 1, ? ? x ? 0, ? 9k ? 1 ? 2 由?x 得? 或? 2 2 ? ? y ? 1, ? y ? 9k ? 1 , ? y ? ?1, ?9 ? 9k 2 ? 1 ?
18k 9k 2 ? 1 , ) , ·················· 6 分 ∴ P( 2 9k ? 1 9k 2 ? 1
1 ?18k 9 ? k 2 , ), 用 ? 去代 k ,得 M ( 2 k k ? 9 k2 ? 9

方法 1: kPM

9k 2 ? 1 9 ? k 2 ? 2 2 k 2 ?1 , ? 9k ? 1 k ? 9 ? 18k 18k 10 k ? 9k 2 ? 1 k 2 ? 9
9 ? k 2 k 2 ?1 18k k 2 ?1 4 y ? x? , ? ( x ? ) ,即 2 2 10k 5 k ? 9 10k k ?9

∴ PM : y ?

4 ∴直线 PM 经过定点 T (0, ) . 5

方法 2:作直线 l 关于 y 轴的对称直线 l ' ,此时得到的点 P ' 、 M ' 关于 y 轴对 称,则 PM 与 P ' M ' 相交于 y 轴,可知定点在 y 轴上,
9 4 9 4 4 当 k ? 1 时, P ( , ) , M ( ? , ) ,此时直线 PM 经过 y 轴上的点 T (0, ) , 5 5 5 5 5

∵ kPT

9k 2 ? 1 4 9 ? k2 4 ? ? 2 2 2 k ?1 k 2 ?1 5 5 9 k ? 1 k ? 9 ? ? , kMT ? ? , 18k 18k 10k 10k ? 9k 2 ? 1 k2 ? 9

∴ kPT ? kMT ,∴ P 、 M 、 T 三点共线,即直线 PM 经过点 T ,
4 综上所述,直线 PM 经过定点 T (0, ) . ·········· 10 分 5

2k ? x? , ? ? y ? kx ? 1, ? x ? 0, 2k k 2 ? 1 ? 1? k2 A ( , ), ②由 ? 2 得 或 ∴ ? ? 2 2 1? k2 k2 ?1 ? x ? y ? 1, ? y ? k ? 1 , ? y ? ?1, ? k2 ?1 ?

则直线 AB : y ?

k2 ?1 x, 2k

设t ?

4 k2 ?1 ,则 t ? R ,直线 PM : y ? tx ? ,直线 AB : y ? 5tx , 5 10k

··························· 13 分 假设存在圆心为 (m,0) , 半径为 交,
3 2 的圆 G , 使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相 5

3 ? | 5tm | ? 2, ? 2 5 1 ? 25 t ? ? 则? 4 ? | mt ? 5 | 3 ? 2, ? 5 ? 1? t2 ?
m2 ? 18 , 25

(i)
2 2 由( i )得 25t (m ?

18 18 )? 对 t ? R 恒成立,则 25 25

(ii)

18 2 8 2 )t ? mt ? ? 0 对 t ? R 恒成立, 25 5 25 18 18 8 2 18 2 2 2 2 当m ? 时,不合题意;当 m ? 时, ? ? ( m) ? 4(m ? )(? ) ? 0 ,得 25 25 5 25 25
2 由( ii )得, (m ?

m2 ?

2 2 2 ,即 ? , ?m? 25 5 5

∴存在圆心为 (m,0) , 半径为

3 2 的圆 G , 使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相 5

交,所有 m 的取值集合为 (? 解法二:圆 G : ( x ? m) 2 ? y 2 ?

2 2 , ) . ············ 16 分 5 5
18 4 4 18 ,由上知 PM 过定点 (0, ) ,故 m 2 ? ( ) 2 ? ; 5 25 5 25
18 2 2 , ). ,从而得 m ? (? 25 5 5

又直线 AB 过原点,故 G : m 2 ? 0 2 ?

18 、 (扬州市 2014 届高三上学期期中)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆
M : x2 ? y 2 ? 8x ? 6 ? 0 ,过点 P(0, 2) 且斜率为 k 的直线与圆 M 相交于不同的两点

A, B ,线段 AB 的中点为 N 。

(1)求 k 的取值范围; (2)若 ON / / MP ,求 k 的值。 (1)方法一:圆的方程可化为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 10 ,直线可设为 y ? kx ? 2 , 即 kx ? y ? 2 ? 0 ,圆心 M 到直线的距离为 d ? 依题意 d ? 10 ,即 (4k ? 2)2 ? 10(k 2 ? 1) ,
| 4k ? 2 | k 2 ?1



1 解之得: ?3 ? k ? ; 3

·················· 7 分

? x2 ? y 2 ? 8x ? 6 ? 0 方法二:由 ? 可得: (k 2 ? 1) x2 ? 4(k ? 2) x ? 10 ? 0 , y ? kx ? 2 ?
依题意 ? ? [4(k ? 2)]2 ? 40(k 2 ? 1) ? 0 ,
1 解之得: ?3 ? k ? . 3

(2)方法一:因为 ON / / MP ,且 MP 斜率为 ?
1 ? y?? x 4 2 , ), 由? 2 可得 N (? 2k ? 1 2k ? 1 ? y ? kx ? 2

1 1 ,故直线 ON : y ? ? x , 2 2

2 1 又 N 是 AB 中点,所以 MN ? AB ,即 2k ? 1 ? ? , 4 k ? ?4 2k ? 1 4 解之得: k ? ? . ··················· 15 分 3 x ? x y ? y2 ) 方法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 N ( 1 2 , 1 2 2

? x2 ? y 2 ? 8x ? 6 ? 0 由? 可得: (k 2 ? 1) x2 ? 4(k ? 2) x ? 10 ? 0 , ? y ? kx ? 2
所以 x1 ? x2 ? ?
4(k ? 2) , k 2 ?1 1 , 2

又 ON / / MP ,且 MP 斜率为 ?

y1 ? y2 y ?y k ( x1 ? x2 ) ? 4 1 1 1 所以 2 ? ? ,即 1 2 ? ? ,也就是 ?? , x1 ? x2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 2 2 2 4(k ? 2) k (? 2 )?4 4 1 k ? 1 所以 ? ? ,解之得: k ? ? . 4(k ? 2) 3 2 ? 2 k ?1
y ? kx ? 2 ? 4 ? 1 方法三: 点 N 的坐标同时满足 ? y ? ? x , 解此方程组, 消去 x , y 可得 k ? ? . 3 2 ? ? y 1 ?? x?4 k

19、 (扬州市 2014 届高三上学期期中) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 M (2, 2) ,

P 是动点,且 ?POM 的三边所在直线的斜率满足 kOM ? kOP ? kPM .
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)点 N 在直线 y ? 4 x ? 1 ,过 N 作(1)中轨迹 C 的两切线,切点分别为 A, B , 若 ?ABN 是直角三角形,求点 N 的坐标。 解: (1)设 P ( x, y ) ,由 kOM ? kOP ? kPM 得:
1? y y?2 ? ,即 x2 ? 2 y , x x?2

所以 P 点的轨迹 C 的方程是: x2 ? 2 y ( x ? 0 ,且 x ? 2) , ···· 3 分 (2)因为 y ? 则 k AN
1 1 2 1 2 ) , N (a, b) x ,所以 y ' ? x ,设 A( x1 , x12 ) , B( x2 , x2 2 2 2 ? x1 , kBN ? x2 ,

1 2 x1 ? b 2 ? x1 , 由于 AN 是曲线的切线,所以 x1 ? a
2 即 x12 ? 2ax1 ? 2b ? 0 ,同理 x2 ? 2ax2 ? 2b ? 0 , 两式相减可得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2a( x1 ? x2 ) ? 0 ,

又 x1 ? x2 ,故 x1 ? x2 ? 2a , ①若 AN ? BN ,则 k AN kBN ? ?1,所以 x1 x2 ? ?1 ,
2 ? x1 ? 2ax1 ? 2b ? 0 1 1 1 ? 2 ? 2ax2 ? 2b ? 0 ,得 2b ? ?1 , b ? ? ,此时 N ( , ? ) ; · 6 分 由 ? x2 2 8 2 ? x x ? ?1 ? 1 2

②若 AN ? AB ,则 k AN k AB

1 2 1 2 x2 ? x1 2 2 ? x ? ?1 ? ?1 ,即 1 x2 ? x1
1 , a

化简得: ( x1 ? x2 ) x1 ? 2 ? 0 ,即 2ax1 ? 2 ? 0 , x1 ? ? 又 x12 ? 2ax1 ? 2b ? 0 ,即
1 ? 2 ? 2b ? 0 a2

1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2b ? 0 ?a ? ? 由? a 可得 ? 2 ? b ? 4a ? 1 ? b ? ? 3 ?
1 所以 N (? , ?3) , 2

1 ③若 BN ? AB ,同理可得 N (? , ?3) ; 2 1 1 1 综上可得,所求点 N 有两个: N ( , ? ) ,和 N (? , ?3) ··· 10 分 8 2 2


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