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2015年北京市各区高三理科数学分类汇编----数列


2015 年北京高三理科数学试题分类汇编----数列
2015 一模试题(理科) 2. (15 年丰台一模理)在等比数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 4 , a2 ? 2 ,则公比 q 等于 (A) -2 (B) 1 或-2 (C) 1 (D)1 或 2

6. (15 年石景山一模理)等差数列 ?an ? 中, am ? 之和为( A. ) B.

1 1 , ak ? (m ? k ) ,则该数列前 mk 项 k m

mk ?1 2

mk 2

C.

mk ? 1 2

D.

mk ?1 2

(11) (15 年海淀一模理)已知 m, 4, n 是等差数列,那么 ( 2)m ? ( 2)n =______; mn 的最 大值为______. 12. (15 年西城一模理) 若数列 {an } 满足 a1 ? ?2 , 且对于任意的 m, n ? N* , 都有 am? n ? am ? an , 则 a3 ? ___;数列 {an } 前 10 项的和 S10 ? ____. (9) (15 年东城一模理)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 8 , S4 ? 12 ,则 {an } 的公差 d ? .

10. (15 年朝阳一模理) 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和.若 a3 ? a8 ? 3 ,S3 ? 1 ,则通项公式 a n =______. 11.(15 年顺义一模理)已知无穷数列 {an } 满足: a1 ? ?10, an?1 ? an ? 2(n ? N ? ) .则数列

{an } 的前 n 项和的最小值为

.

(20) (15 年海淀一模理) (本小题满分 14 分) 有限数列 An : a1 , a2 , ???, an .(n ? 3) 同时满足下列两个条件: ① 对于任意的 i , j ( 1 ? i ? j ? n ) , ai ? a j ; ② 对于任意的 i, j , k ( 1 ? i ? j ? k ? n ) , ai a j , a j ak , ai ak 三个数中至少有一个数 是数列 An 中的项. (Ⅰ)若 n ? 4 ,且 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? a , a4 ? 6 ,求 a 的值; (Ⅱ)证明: 2, 3, 5 不可能是数列 An 中的项; (Ⅲ)求 n 的最大值.

20. (15 年西城一模理) (本小题满分 13 分)

y 已知点列 T: P 1 ( x 1 , y 1 ) ,P 2 (x 2 ,? 2 ), k

P , x ( , ) * , k≥2 ) 满 足 P k ?N ) 且 k k ( y 1 ( 1 , 1,

? xi ? xi ?1 ? 1, ? xi ? xi ?1 , 与? ( i ? 2,3,? , k ) 中有且仅有一个成立. ? ? yi ? yi ?1 ? yi ? yi ?1 ? 1

(Ⅰ)写出满足 k ? 4 且 P4 (3, 2) 的所有点列;
k k≥2 ) (Ⅱ) 证明: 对于任意给定的 k( k ? N* , , 不存在点列 T , 使得 ? xi ? ? yi ? 2 ; i ?1 i ?1 k k

(Ⅲ)当 k ? 2 n ? 1 且 P2 n ?1 (n, n) ( n ? N* , n≥2 )时,求 ? xi ? ? yi 的最大值.
i ?1 i ?1

k

k

(20) (15 年东城一模理) (本小题共 14 分) 在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N ,都有 an ? N? ,且 an ? an?1 .设集合
?

Am ? {n | an ? m, m ? N? },将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm 是数列 {an } 中满足
不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值,我们称数列 {bn } 为数列 {an } 的伴随数列. 例如:数列 {an } 是 1,3, 4,? ,它的伴随数列 {bn } 是 1,1, 2,3,? . (Ⅰ)设数列 {an } 是 1, 4,5,? ,请写出 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 5 项; (Ⅱ)设 an ? 3n?1 (n ? N* ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 20 项和; (Ⅲ)设 an ? 3n ? 2(n ? N* ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 前 n 项和 Sn .

20.(15 年朝阳一模理) (本小题满分 13 分) 若数列 {an } 中不超过 f (m) 的项数恰为 bm (m ? N* ) , 则称数列 {bm } 是数列 {an } 的生成数 列,称相应的函数 f (m) 是 {an } 生成 {bm } 的控制函数.设 f (m) ? m2 . (Ⅰ)若数列 {an } 单调递增,且所有项都是自然数, b1 ? 1 ,求 a1 ; (Ⅱ)若数列 {an } 单调递增,且所有项都是自然数, a1 ? b1 , 求 a1 ; (Ⅲ)若 an ? 2n(n ? 1, 2,3?) ,是否存在 {bm } 生成 {an } 的控制函数 g (n) ? pn2 ? qn ? r (其中 常数 p, q, r ? Z )?使得数列 {an } 也是数列 {bm } 的生成数列?若存在,求出 g (n) ;若 不存在,说明理由.

20.(15 年丰台一模理) (本小题共 13 分) 如果数列 A : a1 , a2 ,?, am (m ? Z ,且 m ? 3) ,满足:① ai ? Z , ?

m m ? ai ? 2 2

(i ? 1, 2,?, m) ;

② a1 ? a2 ? ? ? am ? 1,那么称数列 A 为“Ω”数列.

(Ⅰ)已知数列 M :-2,1,3,-1;数列 N :0,1,0,-1,1.试判断数列 M , N 是 否为“Ω”数列; (Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω”数列?请证明你的结论; (Ⅲ)如果数列 A 是“Ω”数列,求证:数列 A 中必定存在若干项之和为 0.

20. (15 年石景山一模理) (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 满足: ① a1 ? 1 ; ②所有项 an ? N * ; ③ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?. 设集合 Am ? ?n|an ? m, m ? N *?,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm 是数列

?an ? 中满足不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ? 为数 ?an ? 的伴随数
列.例如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3. (Ⅰ)若数列 ?an ? 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ?an ? ; (Ⅱ)设 an ? 3
n ?1

,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 30 项之和;
2

(Ⅲ)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? c (其中 c 常数) ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bm ? 的前 m 项和 Tm .

20.(15 年顺义一模理) (本小题满分 13 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图象的顶点坐标为 ( ?1, ? ) ,且过坐标原点 O .数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 在二次函数 y ? f ( x) 的图象上. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II) 设 bn ? aa nn
?1

1 3

c o s (n 1 )? ( ,

n ? N )?

?

, 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 若 Tn ? n t

2

对 n? N?

恒成立,求实数 t 的取值范围; (III)在数列 {an } 中是否存在这样一些项: an1 , an2 , an3 ,?, ank ,? (1 ? n1 ? n2 ? n3

? ? ? nk ? ?, k ? N ? ) ,这些项都能够构成以 a1 为首项, q(0 ? q ? 5, q ? N ? ) 为公比的等
比数列 {ank }, k ? N ?若存在,写出 nk 关于 k 的表达式;若不存在,说明理由. 20. (15 年房山一模理) (本小题共 13 分) 下表给出一个“等差数阵”:
?

4 7 ( ( ? ) )

7 12 ( ( ? ) )

( ) ( ) ( ) ( ) ?

( ( ( ( ?

) ) ) )

( ( ( ( ?

) ) ) )

? ? ? ? ? ? ?

a1 j
a2 j

? ? ? ? ? ? ?

a3 j
a4 j
?

ai1
?

ai 2
?

ai 3
?

ai 4
?

ai 5
?

aij
?

其中每行、每列都是等差数列, aij 表示位于第 i 行第 j 列的数.

(I)写出 a45 的值;

(II)写出 aij 的计算公式; (III)证明:正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2 N ? 1 可以分解成两个不是1 的 正整数之积..

2015 二模试题(理科) (3( )15 年东城二模理) 已知 {an } 为各项都是正数的等比数列, 若 a4 ? a8 ? 4 , 则 a5 a ?6a ?7 ? (A) 4 (C) 16 (B) 8 (D) 64

3. (15 年昌平二模理)已知等差数列 ?an ? 的公差是 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a1 等于

A. ? 4

B. ? 6

C. ?8

D. ?10

3. (15 年昌平二模理)已知等差数列 ?an ? 的公差是 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a1 等于

A. ? 4

B. ? 6

C. ?8

D. ?10

6. (15 年西城二模理)数列 {an } 为等差数列,满足 a2 ? a4 ? ? ? a20 项的和等于( (A) ) (B) 21 (C) 42 (D) 84

? 10 ,则数列 {an } 前 21

21 2

(9) (15 年海淀二模理)若等比数列 {an } 满足 a2 a6 ? 64 , a3a4 ? 32 ,则公比 q ? _____;
2 2 a12 ? a2 ??? an ?



18.(15 年丰台二模理) (本小题共 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 10 , an ? ?

?2an ?1 ,

n ? 2k ,

? ?1 ? log 2 an ?1 , n ? 2k ? 1

(k ? N* ) ,其前 n 项和为

Sn .
(Ⅰ)写出 a3 , a4 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求 Sn 的最大值.

(20) (15 年海淀二模理) (本小题满分 14 分) 对于数列 A : a1 , a2 ,L , an ,经过变换 T : 交换 A 中某相邻两段的位置(数列 A 中的一项或连 续的几项称为一段) ,得到数列 T ( A) .例如,数列 A :

a1 , ???, ai , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ? p ? q ?1 , L , an ( p ? 1 , q ? 1 ) 1444 42 4444 3 1444442 444443
M N

经交换 M , N 两段位置,变换为数列 T ( A) :

a1 , ???, ai , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ? q ?1 , L , an . 1444442 444443 1444 42 4444 3
N M

设 A0 是有穷数列,令 Ak ?1 ? T ( Ak )(k ? 0,1, 2,L ) . (Ⅰ)如果数列 A0 为 3, 2,1 ,且 A2 为 1, 2,3 . 写出数列 A1 ; (写出一个即可) (Ⅱ) 如果数列 A0 为 9,8, 7, 6,5, 4,3, 2,1, A1 为 5, 4,9,8, 7, 6,3, 2,1,A2 为 5, 6,3, 4,9,8, 7, 2,1, (写出一组即可) A5 为 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 .写出数列 A3 , A4 ; (Ⅲ)如果数列 A0 为等差数列: 2015, 2014, L ,1, An 为等差数列:1, 2,L , 2015 ,求 n 的 最小值. 20. (15 年西城二模理) (本小题满分 13 分)
? * 无 穷 数 列 P : a1 , a2 ,L , an ,L , 满 足 ai ? N , 且 ai ≤ai ?1 (i ? N ) . 对 于 数 列 P , 记

Tk ( P) = min{n | an≥k} (k ? N* ) ,其中 min{n | an≥k} 表示集合 {n | an≥k} 中最小的数.

(Ⅰ)若数列 P: 1,3, 4,7, L ,写出 T1 (P), T2 (P),L , T5 (P) ; (Ⅱ)若 Tk (P) = 2k - 1 ,求数列 P 前 n 项的和; (Ⅲ)已知 a20 = 46 ,求 s = a1 + a2 + L + a20 + T1 ( P) + T2 ( P) + L + T46 ( P) 的值.

(20) (15 年东城二模理) (本小题共 14 分) 已 知 数 列 {an } 的 前
? bn ? S n ? 3n , n ? N .

n 项 和 为 S n , 且 满 足 a1 ? a( a? 3) , an?1 ? S n ? 3n , 设

(Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)若 an?1 ? an , n ? N? ,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)当 a ? 4 时,给出一个新数列 {en } ,其中 en ? ?

?3 , n ? 1, 设这个新数列的前 n 项和 b , n ? 2. n ?

为 C n ,若 C n 可以写成 t p ( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 ) 的形式,则称 C n 为“指数型 和”.问 {Cn } 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不 存在,请说明理由.

20. (15 年朝阳二模理) (本小题共 13 分) 已知数列, 列.若对每个 (Ⅰ)写出满足 (Ⅱ)写出一个满足 (Ⅲ)在 H 数列 中,记 或 . 都有 的所有 H 数列 A5 ; 的数列 的通项公式; .若数列 是公差为 d 的等 是正整数 1,2,3, 或 3,则称 ,n 的一个全排

为 H 数列.

差数列,求证:

20.(15 年昌平二模理) (本小题满分 13 分) 如图, 在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中, 将正偶数按已填好的各个方格中的 数字显现的规律填入各方格中.其中第 i 行,第 j 列的数记作 . a1 1 ? 2 ,a 2 3? 1 6 (I)写出 a15,a53 , a66 的值; (II) 若 aij ? 502, 求 i, j 的值;(只需写出结论) (III)设 bn ? a n n ,cn ? 2 6 12 20 … 4 10 18 28 … 8 16 26 38 … 14 24 36 50 … … … … … …

aij , i, j ? N* , 如

1 4 ( n ? N ? ), 记数列 ?cn ?的 ? n 2 bn?1 ? 2
?

前 n 项和为 Sn , 求 Sn ;并求正整数 k ,使得对任意 n ? N ,均有

Sk ? Sn .


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