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1.函数的概念、表示法与定义域(学生)


第一讲:函数的概念、表示法与定义域
一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射: (3)函数的概念: 二、函数的三要素:定义域,值域,对应法则。 相同函数的判断方法:①定义域相同;②对应法则一样 (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑) : ②换元法: ③待定系数法: ④赋值法: ⑤轨迹法

(2)函数定义域的求法: ①y?

f ( x) * ,则 g(x) ? 0 ; ② y ? 2 n f ( x) (n ? N ) 则 f(x) ? 0 ; g ( x)

0 ③ y ? [ f ( x)] ,则 f(x)? 0 ; ④如: y ? log f ( x ) g ( x) ,则

?

g ( x ) ?0 0? f ( x ) ?1或f ( x ) ?1 ;

⑤含参问题的定义域要分类讨论; ⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意 义来确定。 (3)函数的表示法:解析法、列表法与图象法。 (4)分段函数:一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同。 三.练习题: 1. 已知集合 M ? {1, 2,3, m} , N ? {4, 7, n , n ? 3n} , m, n ? N ,映射 f : y ? 3x ? 1 是从 M
4 2 *

到 N 的一个函数,则 m ? n 的值为 A.2 B.3 2.下列对应关系是集合 P 上的函数是有
*

( C.4 . D.5

)

(1) P ? Z , Q ? N ,对应关系 f : “对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应” ; (2) P ? {?1,1, ?2,2}, Q ? {1,4} ,对应关系: f : x → y ? x , x ? P, y ? Q ;
2

(3) ? { 三角形 }, Q ? {x | x ? 0} , 对应关系 f “对 P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应. ” P : 3. M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有
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A、 0个 y 2 1
O

B、 1个 y 2 1

C、 2个 y 3 2 1

D、3个 y 2 1 1 2 x
O

1

2

x

O

1

2 x

O

1 2

x ( )

4.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x) ? A. [0,1] B. [0,1)

f (2 x) 的定义域是 x ?1
D. (0,1)

C. [0,1) ? (1, 4]

5.下列各组函数中,表示同一函数的是 A. y ? 1, y ?





x x
3

B. y ?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1
2

C . y ? x, y ?

x3

D. y ?| x |, y ? ( x )

?1 ? x 2, x ≤ 1, ? f ( x) ? ? 2 6.设函数 则 ? x ? x ? 2,x ? 1, ?
A.

? 1 ? f? ? 的值为 ? f (2) ?
D. 18





15 16

B. ?

27 16
2

C.

8 9

7.(1)求函数 y ? (2)若函数 y ?

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域;

kx ? 7 的定义域为 R,求 k ; kx ? 4kx ? 3 (3)函数 f ( x) 的定义域是 [a, b] , b ? ?a ? 0 求函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域;
(4)若函数 y ? f (x) 的定义域为 ? ,2? ,求 f (log 2 x) 的定义域; 2 (5)若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,求函数 f ( x) 的定义域.
2

?1 ? ? ?

8.求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? x ? 2 ; (2) y ?
2

? x2 ? 6 x ? 5 ; (3) y ?

3x ? 1 ; x?2

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9.(1)已知 f ( x ? ) ? x 2 ?

1 x

1 2 ,求 f ( x) ; (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; 2 x x

(3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; (4)已知 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 。 (5)已知函数 y ? x ? x 与 y ? g ( x) 关于点(-2,3)对称,求 g ( x) 的解析式.
2

10. (1)设函数 f ( x) ? ? (2)已知 f ( x ) ? ?

?( x ? 1)2 .( x ? 1) ? ?4 ? x ? 1.( x ? 1) ?

,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围是_______

(x ?1   ? 0) ,则不等式 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集是_____________ (x ??1   ? 0)

11. (1)设函数 f ( x) ? ?

( x ? 100 ) ?x ? 3 , 求f (89 ). ? f [ f ( x ? 5)] ( x ? 100 )


?2 ? x , x ? (??,1] 1 (2)设函数 f ( x) = ? ,则满足 f ( x) = 的 x 值为 4 ?log 81 , x ? (1,??)

2 12. 对于抛物线线 y ? 4 x 上的每一个点 Q ,点 P?a,0? 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是

A . ?? ?,0?

B . ?? ?,2?

C . ?0,2?

D . ?0,2 ?

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13.函数 f ( x) =
1 3

3x 2 1? x

+lg(3x+1)的定义域是 B.(- , )
1 3 1 3

( C.(- ,1)
1 3



A.(-∞,- )

D.(- ,+∞)?

1 3

14.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy( x, y ? R) , f (1) ? 2, 则 f (?3) 等于 ( ) D.9 ?

A.2

B.3

? C.6

?

15. 已 知 函 数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) , 其 中 f ( x) 是 x 的 正 比 例 函 数 , g ( x) 是 x 的 反 比 例 函 数 , 且

? ( ) ? 16 , ? (1) ? 8 ,则? ( x) ? _____ .?
?1 ?x , x ? 0 ? 16.若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? 3 ?

1 3

则不等式 | f ( x) |?

1 的解集为____________. 3

?a, 17 .对于任意实数 a , b ,定义 min{a, b} ? ? ?b,

a ? b, a ? b.

设函数

f ( x) ? ? x ? 3, g ( x) ? log2 x ,则函数 h( x) ? min{ f ( x), g ( x)} 的最大值是_________ .
18.若函数 y ?

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间[2,2b],则 b 的值为 2



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