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vb(1)空间简单几何体结构与面积、体积


(1)空间简单几何体结构与面积、体积
一、知识要点: 1.简单几何体

2.几种常用的几何体: (1)棱柱:一般地,有两个在面互相平行,其余各面都有是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面所围成的几何体叫棱柱;棱柱中互相平行的面叫棱柱的______;简称底;其余各面叫做棱柱 的______,相邻侧面的公共边叫做棱柱的_______,侧面与底面的公共点称为棱柱的______ 底面是三角形、四边形的棱柱分别叫做____________、_____________ (2)棱锥:一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共点的三角形,由这些面围成的几何体叫做 _______,这个多边形面叫做______;有公共顶点的各个三角形面叫_____;各侧面的公共顶点叫________;相 邻侧面的公共边叫做_________ 3.三视图:一个空间图形在正立面上的正投影所得到的视图称为正视图(主视图) ;在侧立面上的正投影 所得到的视图称为侧视图(左视图) ;在水平面上的正投影所得到的视图称为俯视图。 1)排放规则:俯视图在主视图的正下方,左视图在主视图的正右方。 2)球的三视图都是_________; 长方体的三视图都是__________ 4.直观图: 1)平行投影的投影线互相_____________;中心投影的投影线相交于__________ 2) (斜二测画法) : ①在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴, 两轴相交于点 O。 画直观图时, 把它们画成对应的 x 轴与 y 轴, 两轴交于点 O ,且使 ?x O y ? 45 (或 135 ) ,它们确定的平面表示水平面;
'
' ' ' o

'

'

o

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②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x ' 或 y 的线段 ③已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半。 5.侧面积公式:

'

S圆柱侧 ? 2? rl , S圆锥侧 ? ? rl

S圆台侧 ? ? ( r r ) l, 直棱锥侧 S ? ch 上 ?下

1 1 S正棱锥 ? ch' , S正棱台 ? (c上 ? c下 )h' 2 2
以上公式中, r 为相关半径, l 为相关母线长, c 为相关底面周长, h 为高, h 为斜高 6.体积公式:
'

1 1 V柱体 ? Sh,V锥体 ? Sh,V台体 ? ( S上 ? S上 S下 ? S下 ) 3 3
(S 为几何体的相关表面积,h 为几何体的高)

1 1 ( r , h 为相关的半径与高) V圆台 ? ? r 2 h,V圆锥 ? ? r 2h,V圆台 ? ? (r上 2? r上r下 ? r下 )2 h, 3 3 4 3 2 球的表面积与体积公式: V球 ? ? r , S球面 ? 4? r , ( r 为球的半径) 3
二、例题: 1.将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了 A. 6a
2

B. 12 a

2

C. 18 a

2

D. 24 a

2

2.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为

? ? ? C. D. 6 4 3 3.球的表面积扩大为原来的 4 倍,则它的体积扩大为原来的___________倍.
A.

? 2

B.

4.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A, B, C 分别是 ?GHI 三边的中点)得到几何体如图 2 ,则该几何 体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为 A A H G B I C 侧视 D F 图1 E F 图2 B C

B E A.

B

B

B

E

D

E

E B. C.

E D.

5.已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为 8 、高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为 6 、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S .

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三、练习: 1.一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等,那么圆锥与球的体积之比是 A. 1 : 3 B. 2 : 3 C. 1 : 2 D. 2 : 9 2.圆锥的侧面展开图是直径为 a 的半圆面,那么此圆锥的轴截面是 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.顶角为 30°的等腰三角形 D.其他等腰三角形 3 .长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5 , 且它的八个顶点都在同一个球面上 , 这个球的表面积是 A. 20 2? B. 25 2? C. 50? A .1 D. 200? B.2 C.3 D.4

4.下列几种说法正确的个数是

①相等的角在直观图中对应的角仍然相等;②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 ③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行; ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点. 5.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示,则该几何体中正方体木块的个数是

主视图

左视图

俯视图 A. 5 B. 6 C. 8 D. 9

6.直三棱柱各侧棱和底面边长均为 a,点 D 是 CC ? 上任意一点,连结 A?B , BD , A?D , AD ,则三棱 锥 A — A BD 的体积 A.
'

1 3 a 6

B. 3 a 3
6

C. 3 a 3
12

D. 1 a 3 12

A' P B'

C'

7.直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上,AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积为
A B

Q C

V A. 2

V B. 3

V C. 4
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V D. 5

8.中心角为 135°的扇形,其面积为 S1 ,其围成的圆锥的全面积为 S 2 ,则 S1 : S 2 为 A. 11 : 8 B. 3 : 8 C. 8 : 3 D. 13 : 8

9.一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 正三角形,原三角形的面积为__________ 10.已知正三棱锥的侧面积为 18 3 cm ,高为 3 cm. 求它的体积 11.画出下列空间几何体的三视图.
G H K E F

2



C

D

B

A

12.一个圆锥的底面半径为 R ,高为 H ,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2) x 为何值时,圆柱的侧面积最大.

13.如图,是一个几何体的三视图(单位:cm) 1 (1)求这个几何体的表面积及体积; B (2)设异面直线 AA? 与 BC ? 所成的角为 ? ,求 cos ? .

A

A?
3
正视图

A
C

B?
C?

2
侧视图

B

C

A

1
3
俯视图

1 B

A? B?

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14. 在边长为 a 的正方形 ABCD 中,E 、F 分别为 AB 、BC 的中点, 现在沿 DE 、DF 及 EF 把 ?ADE 、

?CDF 和 ?BEF 折起,使 A 、 B 、 C 三点重合,重合后的点记为 P .
(1)求这个几何体的表面积; (2)求这个几何体的体积。

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(1)空间简单几何体结构与面积、体积参考答案
例 1、 B 例 2、 B 例 3、8 倍 例 4、A 例 5: 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD。 (1) V ?

1 ? ?8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3
2

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 , 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形, ?2?
2

AB 边上的高为 因此 一题 答案 9、____

?6? h2 ? 4 ? ? ? ? 5 ?2?
2

2

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2
1 C 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 B 8 A

6 3 ________;10、______ 9 3cm ___________; 2
左视图: 俯视图:

11、解:正视图:

12、解: (1)设内接圆柱底面半径为 r.
S圆柱侧 ? 2?r ? x ① ? r H ?x ? R H ?r ? R ( H ? x) ② H

②代入①
S圆柱侧 ? 2?x ? R 2?R ( H ? x) ? ? x 2 ? Hx (0 ? x ? H ) H H

?

?

(2) S 圆柱侧

2?R ? ? x 2 ? Hx H

?

?x ?

H 时 2

S圆柱侧最大

2 2?R ? ? H? H2? ? ? x ? ? ? ? ? ? H ? 2? 4 ? ? ? ? ?RH ? 2

?

13、 (1) s ? 8 ? 6 2 ,V=3

(2) cos? ?

3 13 13

14、解: (1)析这个几何体由四个面构成,即面 DEF、面 DFP、面 DEP、面 EFP.由平几知识可知 DE=DF, ∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°,所以△DEF 为等腰三角形,△DFP、△EFP、△DEP 为直角三角形.
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可知,DE=DF=

5 2 1 a ,EF= a ,所以,S△pEF= a 2 2。 2 2 8

所以 S ?DPE = S ?DPF =

1 2 3 a , S ?EDF = a 2 . 4 8

? S表 ? a 2
(2) ? S?AEF ?

1 a a a2 ,h ? a ? ? ? 2 2 2 8

1 a2 a3 ?V ? ? ? a ? 3 8 24

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