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2015-2016学年高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程课件 新人教B版选修1-1


第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 课程目标 1.掌握椭圆的定义,掌握椭圆标准方程的两 种形式及其推导过程. 2.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握待 定系数法求椭圆的标准方程. 学习脉络 1.椭圆的定义 思考 1 椭圆的定义中去掉限制条件后,动点 M 的轨迹还是椭 圆吗? 提示:不一定是.当 2a<|F1F2|时,动点 M 的轨迹不存在.当 2a=|F1F2|时, 动点 M 的轨迹为线段 F1F2. 2.椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 a ,b ,c 的关系 x2 a2 焦点在 y 轴上 y2 a2 + 2=1(a>b>0) b y2 + 2=1(a>b>0) b x2 F1(-c,0),F2(c,0) a2=b2+c2 F1(0,-c),F2(0,c) a2=b2+c2 思考 2 椭圆的标准方程具有怎样的特征? 提示:椭圆的标准方程的几何特征是中心在坐标原点,焦点在坐标轴上. 椭圆的标准方程的代数特征是方程的右边为 1,左边是平方和的形式,并且 分母为不相等的正数. 思考 3 如何根据椭圆的标准方程确定焦点的位置? 提示:依据分母的大小来判断.焦点所在轴的对应分母大. 特别提醒在已知椭圆的标准方程解题时,应特别注意 a>b>0 这个条件. 探究一 探究二 探究三 探究四 利用椭圆的定义解题 椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点 M 的 轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.椭圆的 定义能够对一些距离进行相互转化,简化解题过程.因此,解题过程中遇到涉 及曲线上的点到焦点的距离问题时,应首先考虑是否能够利用椭圆的定义 求解. 探究一 探究二 探究三 探究四 2 2 【典型例题 1】 设 F1,F2 为椭圆 + =1 9 4 | | 点,PF1⊥PF2,且|PF1|>|PF2|,求 1 的值. |2 | 的两个焦点,P 为椭圆上的一 思路分析:利用椭圆的定义,结合直角三角形的三边关系即可求出 |PF1|,|PF2|的值. 解:因为 PF1⊥PF2,所以∠F1PF2 为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2. |1 |2 + |P2 |2 = 20, 所以有 |1 | + |P2 | = 6, | | 解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以 1 =2. |2 | 探究一 探究二 探究三 探究四 求椭圆的标准方程 解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”:“定位”是要确定 焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;“定量”是确定 a2,b2 的具体数值, 常根据条件列方程(组)求解. 【典型例题 2】 求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过点(0,2)和(1,0); (3)经过点 P(-2 3,1),Q( 3,-2). 思路分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,要注意“定位”与“定 量”. 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上, 2 所以设它的标准方程为 2 + 2 2 =1(a>b>0). 所以 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10. 所以 a=5,所以 a2=25. 又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9. 2 2 所以所求椭圆的

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