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《三角恒等变换章末总结》教师版1


《三角恒等变换》章末总结
08.10.10 一、教学目的: 对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结,对重点、热点题型进行归纳总结。 二. 重点、难点: 公式的灵活应用 三、知识分析: 1、 本章网络结构

tan 2? ?

2 tan ? tan ? ? tan ? ? ?? ???? tan?? ? ?? ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ?
相除 相除

S ? ?? ?
2

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2

? ?? ????

S ? ?? ? C ? ?? ? C ? ??
相加减

移项 ? ? 2?

? 2 ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2 2 1 ? cos ? ? 2 cos2
变形

1 ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? sin ? ? ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? cos ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 sin ? cos ? ?


sin cos

? 1 ? cos ? ?? 2 2 ? 1 ? cos ? ?? 2 2
相除

?A ? ? ? ? ? ?B ? ? ? ?

? 1 ? cos ? ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? sin ? tan

A?B A?B cos 2 2 A?B A?B sin A ? sin B ? 2 cos sin 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? 2 cos cos 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? ?2 sin sin 2 2 sin A ? sin B ? 2 sin

2、要点概述 (1)求值常用的方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法, “1”的代 换法等。
1

(2)要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如

2?? ?? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?

? 2? ? ? 是 的半角, 是 的倍角等。 3 3 2 4
(3)要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角间关系的特殊性,化非特殊角为特殊角, 正确选用公式,灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。 (4)求值的类型: ①“给角求值” :一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊角 与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合和差化积、积化和差、升降幂 公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。 ②“给值求值” :给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键 在于“变角” ,使其角相同或具有某种关系。 ③“给值求角” :实质上可转化为“给值求值” ,关键也是变角,把所求角用含已知角的式 子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

???? ? ???? ( 5 ) 灵 活 运 用 角 和 公 式 的 变 形 , 如 : 2 ? ? ??, t ? t ?n ? a t ??t t 等,另外重视角的范围对三角函数值的影响,因此 nnn? an ? a ? ? a ? 1 a ?? ? ?
要注意角的范围的讨论。 (6)化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一) ,二是 三角函数名称的变化(即当式子中所含三角函数种类较多时,一般是“切割化弦”,有时,两 ) 种变换并用,有时只用一种,视题而定。 (7)证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法: ①从一边到另一边,②两边等于同一个式子,③作差法。 3、题型归纳 (1)求值题 例 1. 已知 ? ? ? 求 cos?? ? ?? 。 分析:由已知条件求 cos?? ? ?? ,应注意到角之间的关系, ? ? ? ? ?? ? ?, ? ? ? ? ? 可应用两角差的余弦公式求得。 解:由已知 ? ? ?

?? ? ? 3 5 ? 1 2 ? ? ? ? ? 3? ? o s ? ? s? ? ? i n , ? , ? ?? 0, ? ,且 c ? ?? , ?? ? , ? ? ? ? ?4 4? 4 ? 5 4 ? 1 3 4?

?? ?4

? ?? ? ?4

? ?

? ? ? 3 ? ? ? 3? ? ? ? ? , ? ,得 ? ? ? , ? ? 4 ?4 4? 4?

? ? ? ? ∴ ???? ,? 0 ? ? 2 ? 4
又 c ? ?? ,n ?? ? o s ? ? ∴ s? ? i ?

? ? 3 ? ? 4 ? 5

? ? ? ? 4 ?

4 5

2

由 ? ? ? 0, ? ,得

? ?

?? 4?

? ? ? ?? ??? , ? ? ? 4 2? 4

又 ∵? ? ??i ? ? ?? s i n ?? s ? ? ? n ? ? ? ? ?

5 ? 4

?

? ? ? ? ? 4 ? ?

1 2 ?? ? ?? in ? ? ?? s ? ? ?4 ? 1 3

?? ? 12 ?? ? 5 ∴ sin? ? ? ? ? , cos? ? ? ? ? ∴ ?4 ? 13 ?4 ? 13
由 ? ? ?? ? ?? ? ,得 ? ? ? ??

?? ?4

? ?? ? ?4

? ?

? ? ?? ? ? ? ? c ? ?? c ? ?? ? ?? o?? o? ? s ?s ? ? ? ? 4 ? ?4 ? ? ?
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? cos? ?? cos? ?? ?sin? ?? sin? ?? ? ? ? ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? 5 3 12 ? 4? ? ? ??? ? 13 5 13 ? 5? 33 ?? 65 ?
点评:<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键; <2> 常 见 角 的 变 换 : 2?? ?? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ? , ? ? ?, ? ? ?? ? ?? ?

?? ? ?? ? ? ? ?x ? ?x ? 等。 ? ? ? ?4 ? ?4 ? 2
(2)化简题

例 2. 化简:

1 i ? o ? i ? ?sn ?c s??sn ? ?

? ? ? ?o ? cs ? 2 2 ? ?? ,其中 ? ? 2。 2? c s 2 o?

分析:式中有单角α与半角

? ? ,可用倍角公式把α化为 。 2 2

? ?? ? ? ? ? ? 2? c s ? sn c s ??sn ? o ? 2i o i cs ?2 o ? ?? 2 ? 2 2 2 2 解:原式 ? ? 4 o2 cs 2

3

?? ? ? ?? ? ?? 2 cos ? cos ? sin ?? sin ? cos ? 2? 2 2 ?? 2 2? ? ? 2 cos 2 ?? ? ?? cos ? sin 2 ? cos2 ? 2? 2 2? ? ? cos 2
? cos · ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? ? ∵ 2 ∴ ? ∴? ? ? ? , ?? ? ? c , o 0 s 22 2 ? ?cos ·cos? 2 ∴原式 ? ? cos? ? ?cos 2
(3)证明题 例 3. 求证:

?

1 2i xox 1 t n ? s cs n ? x a ? 2 2 ? x a cs x s x 1 t n o ?i n
1?

分析 1:从右端向左端变形,将“切”化为“弦” ,逐步化成左边。

sin x cosx ? cosx ? sin x 证法 1:右边 ? sin x cosx ? sin x 1? cosx
? ?

? cos x ? sin x ? 2 ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ?

cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x cos 2 x ? sin 2 x 1 ? 2 sin x cos x ? ? 左边 cos 2 x ? sin 2 x
∴原命题成立

cs ?i x 分析 2:由 1 s xs配方,得 ? o x sn ? 。将左边约分,达到化简的目的。 ?i cx 2 o n
2

证法 2:左边 ?

2 s 2x cs x 2i xox i ?o ? s n ncs 2 2 cs x s x o ?i n

?

?cosx?sinx?2
2 2

cos x ?sin x 1? tanx ? ?右 边 1? tanx
∴原命题成立

?

cosx ?sinx cosx ?sinx

4

分析 3:代数证明中的作差法也适用于三角证明。
2 cs ?i x 1 t n ? ox sn ? ? ?a x 证明 3:左-右 ?

?a x cs x sn x 1 t n o2 ?i 2

cos x ? sin x 1 ? tan x ? cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? tan x 1 ? tan x ? ? ?0 1 ? tan x 1 ? tan x ?
∴左=右 ∴原式成立 (4)与向量、三角形等有关的综合题 例 4. 平面直角坐标系内有点 P cx Q x1 x? , 。 1 o, ,? , s c o s , ? ? (1)求向量 O P 与 O Q 的夹角θ的余弦; (2)求 cos?的最值。 解析: (1)∵ OQs | P ?o P ?x |Q s ·o O 1 x O 2, ? c | | c O
2

?

? ?

?

?? ? ? ?4 4 ?

?

?

? ?

? ?

? ? O·Q 2 ox P O cs ∴ s ? ??? c ? o 1 cs x ? o2 |O|| Q PO|

o fx ? (2) cs ?( )?

2ox cs 2 ? 2 1 1 cs x ?o cs ? ox cs ox

? 2 ? ?? ? ? ∵x ? ?? , ? ,∴ cos x ? ? ,1? 4? ? 4 ? 2 ?
又 ∵ cs ? 2 ox ?

1 32 ? cs ox 2

2 2 2 2 ∴ ? f(x ?1,即 ) ? cos? ? 1 3 3 22 ∴ ?n? cs m o i , ? x? cs m 1 o a 3
【模拟试题】 一. 选择题(每小题 4 分,共 48 分)

sin1 o ?co 1 o 5 s5 1. 的值为( o sin1 ?co 1 o 5 s5



5

A.

3 3

B.

2 ? 4

6

C.

2? 4

6

D. ? 3

2.

1 3 cos?? sin?可化为( 2 2
?? ? ? ?? ?6 ?



A. sin?

B. sin?

?? ? ? ?? ?3 ?

C. sin?

?? ? ? ?? ?6 ? ? ? ?? 2?
B.

D. sin?

?? ? ? ?? ?3 ?

a? t ? a 3. 若 ? ? ??0, ? ,且 t n ? ,n ? ,则 ? ? ? 的值是( 、
A.

4 3

1 7



? 3

? 4

C.

? 6

D.

? 8


4. 函数 y8 xsc2 ? i c xs 的周期为 T,最大值为 A,则( s o ox n A. T ? A 4 ? ,? C. T ? A 2 ? ,? 5. 已知 A.

? , ?4 A 2 ? A D. T? , ? 2 2
B. T? ) C. 2 2 ? 2 ) D. D. 2 ?2 2

1 1 ? ?1 ,则 sin2 的值为( ? c s? s ? o in
B. 1 ? 2

2 ?1

6. 已知 tan ? ? A. ?

6 5

1 1 o2 ? ,则 c s ?? sin2 ( 3 2 4 4 B. ? C. 5 5


6 5

7. 设 ft n) t nx ( x? 2,则 f(2) ? ( a a A. 4 8. B.

4 5


C. ?

2 3

D. ?

4 3

2 sn 2 cs 的值是( ?i 2 ?o4
B. ?o2 cs

A. sin2

o C. ? 3c s2

D.

3cos2

c s o iA ,则△ABC 的形状一定是( sn s i n 9. 在△ABC 中,若 2 B ?C ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 10. 要使斜边一定的直角三角形周长最大,它的一个锐角应是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 正弦值为

1 的锐角 3

6

11. 已知向量 O ? 2 0 ,向量 O ? 2 2 ,向量 C B , C , A 2 s, i ? ? c ? 2n ,则向 o s 量 O A 与 O B 的夹角范围为( A. ? 0 , ? 4? ? C. ? , ? 2? ? 12

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

) B. ? , 12 ? ?4 ? D. ? , ?12 12 ? ? )

?

??

??

5? ?

? 5?

??

??

5? ?

12. 已知: 3? ? 5? ,则 t n ??a? c2 ? c ? o s ? ? s 0 a? ?? n 的值为( t ? o A. ?4 B. 4 二. 填空题(每小题 3 分,共 12 分) C. ?4 D. 1

in o 13. 已知 s ??c s?? ,则 cos4? ? _____________。
14. 函数 y2 xs?i x 的最小正周期为_____________。 ?i cx2 s o s ? n n 1
2

1 3

15. 已知 ? ? ? ?

tn ? a ? _____________。
16. 已知 f (x) ?

? t a at a n? a 3 ? n n t a 0 ,且 ?、? 满足关系式 3 t?? ?n ,则 ? ??2 ?? 6
1? x ?? ? 。若 ? ?? ,?? ,则 f o ??s) ( s) f o 可化简为 c ? (c ? ?2 ? 1? x

_____________。 三. 解答题(每小题 10 分,共 40 分) 17. 求值: t 7c 0 (3 2? a0 s ·n 1 n o 1 t 0 ) a
o o o

() i ? s x s ? ?n i o 18. 已知函数 fx s x 3nc x
2

1 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量 x 的集合; (3)求函数的单调区间,并指出在每一个区间上函数的单调性。 19. 若已知 cs ??? , ? ? o x ? x
2

? ? 3 1? 7 ? ? 4 ? 5 1 2

7 ? sin2x?2sin2 x ,求 的值。 1?tanx 4
2

s ? ?s ? ? i n 2 1i s i n ,2 ? n s 0 2 i n 20. 已知α、β为锐角,且 3? ? 3? 2 。
求证: ? ? 2? ?

? 2

7

[参考答案]
一. 选择题: 1. D 2. A 7. D 8. C 二. 填空题: 13. ? 3. B 9. A 14. ? 4. D 10. B 5. C 11. D 6. D 12. C

47 81

15.

3?1 ? a ?

16.

2 s in ?

三. 解答题:

? 3i 2o ? s 7o i 0 n s 0 n o 17. 解:原式 ? ·s 0? c1 o ?? 1 o cs 0 o7 o2o ? cs 0 ?
sin 70 o ? 3 cos10 ? cos10 · cos 70 o cos10 o · cos 20 o ? 3 cos10 o ? 2 sin 10 o · cos10 o
o o

3 sin 20 o ? cos 20 o 2 sin 10 o sin 20· cos 30 o ? cos 20 o · sin 30 o ? sin 10 o sin 20 o ? 30 o ? sin 10 o ? ?1 ?

?

?

18. 解: fx? ()

1 cs x 3 ?o 2 1 ? s 2? i x n 2 2 2

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 ?? ? ? sin? 2 x ? ? ? 1 ? 6? ?

2 ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? x 2? k Z (2)当 2 ? ? k ? ? ? ? 6 2
(1) T? 即 x ?|x k ? , Z时, f xm ? ? ?? x k ? ? ()a 2 x

? ?

? 3

? ?

x 2? k Z 当 2? ?k? ? ? ?
即 x ?|x k ? , Z时, f xm ? ? ?? x k ? ? ( ) in 0

? 6

? 2
? 6

? ?

? ?

8

? ? 6 2 ? ? 即 k? ? ?? ? ? 时, f ( x ) 单调递增。 ? x k? k Z ? 6 3 ? ? 3 ? 当 2 ?? ?? ? ?? k ? 2 x 2 ? kZ k ? 2 6 2 ? 5? 即 k? ? ? x ? k? ? ?k ? Z? 时, f ( x ) 单调递减。 3 6
(3)当 2 ?? ?? ? ? ? k ? 2 x 2 ? kZ k ? 故 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? , ? ? k Z k? k ? ? ?? 6 3

? 2

? ?

?

? ? ?

? 5? ? f ( x ) 的单调递减区间为 ? ? , ? ?? ?? k? k ? k Z 3 6? ? ?
19. 解法 1: ∵? ?? c o s ?? , ? ? x

? ? 3 1 7 ? ? ? 4 ? 5 1 2

7 ? 4

3 ? ? 4 ?? ? ∴ ? ? ?2 ,则 sin? ? x? ?? x ? ?4 ? 5 4 5
从而 c s ? o? ? ?? ? o x c s? x ? ?

?? ? ?4

? ? ? 4 ?

? ? ?? ? ?? ? ? cos? ? x? cos ? sin? ? x? sin ?4 ? ?4 ? 4 4 ? 3 2 ? 4? 2 ? ? ?? ? ? 5 2 ? 5? 2 2 10

??

7 2 ∴ ? 1 ox ? , ? s x ??s ? i n c2 tn 7 a x 1 0

? 7 2? ? ? 7 2? 2? 2 ? ?? ? ? ?? ? ? 2 ? ?? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 2 i x o x 2 i 2 x? sn c s ? sn 故原式 ? 1? 7 1 tn ?a x 28 ?? 75
解法 2:原式 ?

2

2 i x o x 2 i 2x sn c s ? sn 1 tn ?a x

9

?

2 sin x cos x?1 ? tan x?

1 ? tan x ?? ? ? sin 2 x tan? ? x? ?4 ?

1 7 7 ? 5 ?? ∵? ? ? , ?? 2 x ∴ x? ? 1 2 4 34
又 c ? ? ? ,n ? ? o s x ∴ s? x ? i ? ?

? ? 3 ? ? 4 ? 5

? ? ? ? 4 ?

4 5

即 tan ?

4 ?? ? ?x? ?? ?4 ? 3

则 sn x sn2 ? ?? ? i 2 ?i ?? x ? ?

? ?? ? 4

? ? ? 2 ?

?? ? ? ? cos2? ? x ? ?4 ? ? ?? ? ? 7 ? ??2 cos2 ? ? x ? ? 1? ? ?4 ? ? 25 ?
故原式 ?

7 ? 4? 28 ? ?? ? ? ? 25 ? 3 ? 75
2 2

20. 证法 1:由已知 3n? 2 n? 1 s i ?s i ?

3sin2??2sin2 ? 0 ? ∴ sin2 ? ?1?2sin2 ? ? co 2 3 s ? 3 sin2 ? sin2? ? 3sin?co ? ? s 2

∴? ?? cs cs? s ?n? cs 2 ?o o ?n s 2 o? ? ? 2 i i ?o · 2 ?n· ? s cs 3n?s ? 3n c ? ? s i i s i o ? 0

0 ? 2 ∵α、β为锐角, ∴? ? ??
∴? ? 2? ? ? 2

3 ? 2

证法 2:由已知条件得:

3 n? cs ? s 2 ?o2 i 3 n cs ?i 2 s ? ?s ? i o n
又∵α、β为锐角

?? 1 ?? 2

∴? ?

? ? ? 2? ,即 ? ? 2? ? 2 2
10



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