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北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学(理)试题(1)


北京市海淀区 2013 届高三第一学期期末考试数学(理)试题
2013.1
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.
1. 复数
2 1? i

化简的结果为 B. ? 1 ? i
? x ? 2 ? t, ? y ? ?2 ? t

A. 1 ? i 2.已知直线 l : ?

C. 1 ? i
? x ? 2 c o s ? ? 1, :? (? ? y ? 2 s in ?

D. ? 1 ? i 为参数) ,则直线 l 的倾斜角

( t 为参数)与圆 C

及圆心 C 的直角坐标分别是 A. , (1, 0 )
4 π

B. , ( ? 1, 0 )
4

π

C.

3π 4

, (1, 0 )

D.

3π 4

, ( ? 1, 0 )

3.向量 a A. ? 1

? ( 3, 4 ), b ? ( x , 2 )

, 若a ?b B. ?
1 2

? | a | ,则实数 x

的值为
1 3
输入 p
n ? 1, S ? 0
S ? p

C. ?

D. 1

开始

4.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 2 4 ,则输出 的 n , S 的值分别为 A. n C. n
? 4, S ? 30 ? 4, S ? 45





B. n D. n

? 5, S ? 3 0 ? 5, S ? 4 5
C

S = S + 3n

输出 n ,S 结束

n ? n ?1

5.如图, P C 与圆 O 相切于点 C ,直线 P O 交圆 O 于 A , B 两点, 弦 C D 垂直 A B 于 E . 则下面结论中,错误的结论是 .. A. ? B E C ∽ ? D E A C. D E 2 ? O E ? E P B. ? A C E ? ? A C P D. P C 2 ? P A ? A B
*

B

O

E D

A

P

6.数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? r ? a n ? r ( n ? N , r ? R 且 r ? 0 ) ,则“ r ? 1 ”是“数列 ? a n ? 成等差数列”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 用数字 0 ,1, 2 , 3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的 个数为 A. 1 4 4 B. 1 2 0 C. 1 0 8 D. 7 2 8. 椭圆 C
: x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点

-1-

P

,使得 ? F1 F 2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 A. (
1 2 , ) 3 3

B. (

1 2

,1)

C.

(

2 3

,1)

D. (

1 1 1 , ) ? ( ,1) 3 2 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 以 y ? ? x 为渐近线且经过点 ( 2 , 0 ) 的双曲线方程为______.
an?m am

10.数列 { a n } 满足 a 1

? 2,

且对任意的 m , n ?

N

*

,都有

? an

,则 a 3

? _ _ _ _ _ ; {a n }

的前 n 项

和Sn

?
1 x

_____.
? 3x )
2 6

11. 在 (

的展开式中,常数项为______.(用数字作答)
D

12. 三棱锥 D ? A B C 及其三视图中的主视图和左视图如图 所示,则棱 B D 的长为_________.
A

4

C
2 主视图 2

13. 点 P ( x , y ) 在不等式组

? x ? 0, ? ? x ? y ? 3, ?y ? x ?1 ?

2 3 左视图

表示的平面区域内,

B

若点 P ( x , y ) 到直线 y

? k x ? 1 的最大距离为 2

2

,则 k

? ___ .
? A1 B 1 C 1 D 1 表面上运动,

14. 已知正方体 A B C D 且 PA ? r ( 0 ? r ? 方程
f (r) ? k

? A1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ,动点 P

在正方体 A B C D
1

3 ) ,记点 P 的轨迹的长度为 f ( r ) ,则 f ( ) ? ______________;关于 r 的
2

的解的个数可以为________.(填上所有可能的值).

三、 解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过 程.
15. (本小题满分 13 分) 已知函数 为 a , b, c . (I)求
f ( x ) 的单调递增区间;
f ( B ? C ) ? 1, a ?
3,b ? 1

f (x) ?

3 s in

x 2

cos

x 2

? cos

2

x 2

?

1 2

, ? A B C 三个内角 A , B , C 的对边分别

(Ⅱ)若

,求角 C 的大小.

16.(本小题满分 13 分)
-2-

汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽 车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 出租天数 车辆数 出租天数 车辆数 1 5 1 14 2 10 2 20 3 30 3 20 B 型车 4 16 5 15 6 10 7 5 4 35 5 15 6 3 7 2

(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数 恰好为 4 天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买一 辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

17. (本小题满分 14 分)
A1 C1

如图,在直三棱柱 A B C
A B ? A C ? A A1 ? 2 , E

? A1 B 1 C 1 中, ? B A C ? 9 0 ?


B1

是 B C 中点.
A E C

(I)求证: A1 B

//

平面 A E C 1 ;
? C1E

(II)若棱 A A1 上存在一点 M ,满足 B 1 M

,求 A M 的长;

B

(Ⅲ)求平面 A E C 1 与平面 A B B 1 A1 所成锐二面角的余弦值.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数
f (x) ? e
ax

x ?1

.

(I) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 ( 0 , (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. 19. (本小题满分 14 分)

f ( 0 ) ) 处的切线方程;

-3-

已知 E ? 2 , 2 ? 是抛物线 C

: y

2

? 2 px

上一点,经过点 ( 2 , 0 ) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A , B 两
,N

点(不同于点 E ) ,直线 E A , E B 分别交直线 x ? ? 2 于点 M (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ? M O N 为定值.

.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数
f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ? ? )
f (x) x
2

, y 若

?

f (x) x

在 ( 0 , ? ? ) 上为增函数, 则称

“一 f (x) 为

阶比增函数” ;若 y

?

在 ( 0 , ? ? ) 上为增函数,则称

f ( x ) 为“二阶比增函数”.

我们把所有 “一阶比增函数” 组成的集合记为 ? 1 , 所有 “二阶比增函数” 组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x ) ? x ? 2 h x ? h x ,若 f ( x ) ? ? 1 , 且 f ( x ) ? ? 2 ,求实数 h 的取值范围;
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x ) ? ? 1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,
x
f (x)

a

b
d

c

a?b?c
4

d

t

求证: d ( 2 d ? t ? 4 ) ? 0 ; (Ⅲ)定义集合 ? ?

? f (x) |

f ( x ) ? ? 2 , 且 存 在 常 数 k , 使 得 任 取 x ? ( 0, ? ? ) , f ( x ) ? k ? ,
f (x) ? M

请问:是否存在常数 M ,使得 ? f ( x ) ? ? , ? x ? ( 0 , ? ? ) ,有 若存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

成立?

-4-

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理) 2013.1

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 C

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9. x ? y ? 4
2 2

10. 8; 2 n ? 1 ? 2

11. 1 3 5
3 4

12. 4 三、解答

2

13. ? 1

14.

π ; 0 ,2 ,3 ,4

题(本大

题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为
f (x) ? 3 s in x 2 cos x 2 ? cos
2

x 2
?

?

1 2
3 s in x ? cos x ? 1 2 s in x ? 1 2 cos x ? 1 2

2 ? 3 2

? s in ( x ?

π 6

)

??????6 分
π 2 π 2

( 又 y ? s in x 的单调递增区间为 2 k π ?

, 2kπ ?

) ,(k ? Z )

所以令 2 k π ?

π 2

? x ?

π 6

? 2kπ ?

π 2

解得 2 k π ?

2π 3

? x ? 2kπ ?

π 3 2π 3 π 3

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 ( 2 k π ?

, 2kπ ?

) ,(k ? Z )

??????8 分

-5-

(Ⅱ) 因为 又B

f ( B ? C ) ? 1, 所以 s in ( B ? C ?

π 6

) ?1



? C ? (0, π)
π 6

,B
π 2

?C ?

π 6

?( π 3

π 7π , ) 6 6

所以 B 所
A ? 2π 3

?C ?

?

,B ? C ?

, 以

??????10 分 由正弦定理 把
s in B ? 1 2 s in B b ? s in A a

a ?

3,b ? 1











??????12

分 又
C ? π 6

b ? a,

B ? A







B ?

π 6







??????13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为
出 租 天 数 为 3天 的 A 型 车 辆 数 出 租 天 数 为 3 天 的 A ,B 型 车 辆 数 总 和 ?

30 30 ? 20

? 0 .6

这 0.6









A







概 率 为 ??????3 分

(II)设“事件 A i 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” ,其中 i , j ? 1, 2 , 3, ..., 7 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

P ( A1 B 3 ? A 2 B 2 ? A 3 B 1 ) ? P ( A 1 B 3 ) ? P ( A 2 B 2 ) ? P ( A 3 B 1 ) ? P ( A1 ) P ( B 3 ) ? P ( A 2 ) P ( B 2 ) ? P ( A 3 ) P ( B 1 )

??????5 分 ??????7 分

? ?

? 1 0 0 9 125

5

2 0 1 0 2 0 3 0 1 4 ? ? ? ? 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 0

-6-

该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

9 125

??????9 分 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为 1 2 3 4 X
P

5 0.15

6 0.03

7 0.02

0.05

0.10

0.30

0.35

设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为
Y
P

1 0.14

2

3

4 0.16

5 0.15

6 0.10

7 0.05

0.20

0.20

E ( X ) ? 1 ? 0 .0 5 ? 2 ? 0 .1 0 ? 3 ? 0 .3 0 ? 4 ? 0 .3 5 ? 5 ? 0 .1 5 ? 6 ? 0 .0 3 ? 7 ? 0 .0 2 = 3 .6 2

E ( Y ) ? 1 ? 0 .1 4 ? 2 ? 0 .2 0 ? 3 ? 0 .2 0 ? 4 ? 0 .1 6 ? 5 ? 0 .1 5 ? 6 ? 0 .1 0 ? 7 ? 0 .0 5

= 3 .4 8

??????12 分 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天,B 类车型一个星期出租天数的平 均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看, 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的方差, A 综合分析,选择 A 类型的出租车更加合理 . ??????13 分 17.(本小题满分 14 分) (I) 连接 A 1 C 交 A C 1 于点 O ,连接 E O 因为 A C C 1 A1 为正方形,所以 O 为 A 1 C 中点, 又 E 为 C B 中点,所以 E O 为 ? A1 B C 的中位线, 所以 E O
/ / A1 B

??????2 分 又 E O ? 平面 A E C 1 , A1 B 所以 A1 B
//
?

平面 A E C 1

平面 A E C 1 ??????4 分

(Ⅱ)以 A 为原点, A B 为 x 轴, A C 为 y 轴, A A1 为 z 轴建立空间直角坐标系 所以 A ( 0 , 0 , 0 ), A1 ( 0 , 0 , 2 ), B ( 2 , 0 , 0 ), B 1 ( 2 , 0 , 2 ), C ( 0 , 2 , 0 ), C 1 ( 0 , 2 , 2 ), E (1,1, 0 ), 设M
( 0 , 0 , m )( 0 ? m ? 2 )

,所以 B 1 M

?????

???? ? ? ( ? 2 , 0 , m ? 2 ) , C 1 E ? (1, ? 1, ? 2 )



-7-

因为 B 1 M 分 (Ⅲ)因为 A E
????

? C1E

, 所以

????? ???? ? B1 M ? C 1 E ? 0

, 解得 m ? 1 , 所以 A M ? 1

??????8

???? ? ? (1,1, 0 ) , A C 1 ? ( 0 , 2 , 2 )
? ? ( x, y, z)

, ,

设平面 A E C 1 的法向量为 n
???? ? ? AE ?n ? 0 ? ? 则有 ? ???? ? ? AC1 ? n ? 0 ?

,得 ?

?x ? y ? 0 ?y ? z ? 0

, , 所 以 可 以 取


? n ? (1, ? 1,1)

y ? ? 1,



x ? 1, z ? 1


AC ?

??????10 分 平 面
A B 1 B





1

,

A 取





A

B 1

1

B

的A 法







???? A C ? (0, 2, 0)

??????11 分 以
? A ? | A ? 3 3 o ? C ? ? C ? C |


c ? ? A

??????13 分 平 面
3 3

A E C1

与 平 面

A

B 1

1

B

所A 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为

??????14 分

18. (本小题满分 13 分) 解 : 当
a ?1





f (x) ?

e

ax

x ?1



f '( x ) ?

e ( x ? 2)
x

( x ? 1)

2

??????2 分

又 f ( 0 ) ? ? 1 , f '( 0 ) ? ? 2 , 所 以
f (x)



(0, f (0 ))







线







y ? ?2 x ? 1
ax

??????4 分
e [ a x ? ( a ? 1) ] ( x ? 1)
2

(II) f '( x ) ?

当 a ? 0 时, f '( x ) ?

?1 ( x ? 1)
2

? 0

-8-

又函数的定义域为 { x | x ? 1} 所 以
f (x)

















( ? ? ,1) , (1, ? ? )

??????6 分
a ?1 a

当 a ? 0 时,令 f '( x ) ? 0 ,即 a x ? ( a ? 1) ? 0 ,解得 x ? 分 当 a ? 0 时, x ? 所以
f ?( x )

??????7

a ?1 a

? 1,



f (x)

随 x 的变化情况如下表:
( ? ? , 1)

x

1

(1,

a ?1 a
?

)

a ?1 a

(

a ?1 a
?

, ?? )

f '( x )

?

无定义

0 极小值

f (x)

?

?

?

所以

f (x)

的单调递减区间为 ( ? ? , 1) , (1,

a ?1 a

),

单调递增区间为 (

a ?1 a

, ?? )

??????10 分

当 a ? 0 时, x ? 所以
f ?( x )

a ?1 a

?1



f (x)

随 x 的变化情况如下表:
(?? , a ?1 a a ?1 a a ?1 a
?

x

)

(

, 1)

1

(

a ?1 a
?

, ?? )

f '( x )

?

0 极大值
a ?1 a

无定义

f (x)

?

?

?

所以

f (x)

的单调递增区间为 ( ? ? ,

),

-9-

单调递减区间为 (

a ?1 a

, 1) , (1, ? ? )

??????13 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)将 E ? 2 , 2 ? 代入 y ? 2 p x ,得 p ? 1
2


1 2







线







y

2

? 2x













(

,0)

??????3 分

(Ⅱ)设 A ( 法一:

y1 2

2

, y1 ) , B (

y2 2

2

, y 2 ) , M ( x M , y M ), N ( x N , y N ) ,

因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2 )
? y ? k ( x ? 2) ?y
2

与抛物线方程联立得到 ?

? 2x

,消去 x ,得:

ky

2

? 2 y ? 4k ? 0

则由韦达定理得:
y1 y 2 ? ? 4 , y1 ? y 2 ? 2 k

??????6 分 直线 A E 的方程为: y ? 2 ?
y1 ? 2 y1 2
2

? x ? 2 ? ,即 y

?

2 y1 ? 2

?x ? 2? ? 2 ,

? 2


yM ? 2 y1 ? 4 y1 ? 2

x ? ?2






yN ?

??????9 分 理
2 y2 ? 4 y2 ? 2







??????10 分 又 O M ? ( ? 2 , y m ), O N ? ( ? 2 ,
???? ? ???? ?4 ym ),

--10--

所以 O M ? O N ? 4 ? y M y N ? 4 ?

???? ???? ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2

?

2 y2 ? 4 y2 ? 2

? 4 ?

4[ y1 y 2 ? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ] [ y1 y 2 ? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ]

4(?4 ? ? 4? 4(?4 ?

4 k 4 k

? 4) ? 4)

? 0

??????13 分
π 2

所以 O M ? O N ,即 ? M O N 为定值 法二: 设直线 l 方程为 x ? m y ? 2
?x ? my ? 2 ?y
2

??????14 分

与抛物线方程联立得到 ?

? 2x

,消去 x ,得:

y ? 2my ? 4 ? 0
2

则由韦达定理得:
y1 y 2 ? ? 4 , y1 ? y 2 ? 2 m

??????6 分 直线 A E 的方程为: y ? 2 ?
y1 ? 2 y1 2
2

? x ? 2 ? ,即 y

?

2 y1 ? 2

?x ? 2? ? 2 ,

? 2


yM ? 2 y1 ? 4 y1 ? 2

x ? ?2






yN ?

??????9 分 理
2 y2 ? 4 y2 ? 2







??????10 分 又 O M ? ( ? 2 , y m ), O N ? ( ? 2 ,
???? ? ???? ?4 ym ),

- 11 -

???? ???? ? 4 ( y1 ? 2 )( y 2 ? 2 ) OM ?ON ? 4 ? yM yN ? 4 ? ( y1 ? 2 )( y 2 ? 2 )
4[ y1 y 2 ? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ] [ y1 y 2 ? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ]

? 4 ?

? 4 ?

4(?4 ? 2m ? 4) 4(?4 ? 2m ? 4)

? 0

??????12 分 所以 O M ? O N ,即 ? M O N 为定值
π 2

??????13 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f ( x ) ? ? 1 , 且 f ( x ) ? ? 2 , 即 g(x) ?
f (x) x f (x) x
2

? x ? 2 h x ? h 在 ( 0 , ? ? ) 是增函数,所以 h ? 0
2

??????1 分

而h(x) ?

? x ?

h x

? 2 h 在 ( 0 , ? ? ) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ?

h x
2

当 h ( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h ( x ) 不是增函数时, h ? 0 综
h ? 0

上 ??????4 分





(Ⅱ) 因为 f ( x ) ? ? 1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c
f (a ) a ? f (a ? b ? c) a ? b? c 4a a ? b? c 4b a ? b? c 4 a ? b? c

所以

=



所以 f ( a ) ? d ?



同理可证 f ( b ) ? d ?

, f (c) ? t ?

4c a ? b? c

三式相加得 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? 2 d ? t ?

4(a ? b ? c) a ? b? c

? 4,

--12--


2d ? t ? ?


4

??????6 分 因为
d a ? d b , 所以 d (
b ? a ab ) ? 0,

而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所
d( ?


2d ?

??????8 分 (Ⅲ) 因为集合 ? ?

? f (x) |

f ( x ) ? ? 2 , 且 存 在 常 数 k , 使 得 任 取 x ? ( 0, ? ? ) , f ( x ) ? k ? ,
f (x) ? k

所以 ? f ( x ) ? ? ,存在常数 k ,使得 我们先证明
f (x) ? 0

对 x ? ( 0 , ? ? ) 成立

对 x ? ( 0 , ? ? ) 成立

假设 ? x 0 ? ( 0 , ? ? ) , 使得 f ( x 0 ) ? 0 , 记
f ( x0 ) x0
2

? m ? 0
f (x) x
2

因为

f (x)

是二阶比增函数,即 时,
f (x) x
2

是增函数.
f (x) ? mx
2

所以当 x

? x0

?

f ( x0 ) x0
2

? m

,所以

所以一定可以找到一个 x 1 这 盾
f (x) ? 0

? x0

,使得

f ( x1 ) ? m x1 ? k
2



f (x) ? k



x ? (0, ? ? )







??????11 分

对 x ? ( 0 , ? ? ) 成立
f (x) ? 0

所以 ? f ( x ) ? ? , 下面我们证明 假设存在 x 2 则因为
f (x)

对 x ? ( 0 , ? ? ) 成立

f (x) ? 0

在 ( 0 , ? ? ) 上无解
f ( x2 ) ? 0

? 0

,使得


f (x) x
2

是二阶增函数,即
? x2 ? 0

是增函数
? 0

一定存在 x 3 所以



f ( x3 ) x3
2

?

f ( x2 ) x2
2

,这与上面证明的结果矛盾

f (x) ? 0

在 ( 0 , ? ? ) 上无解
f (x) ? 0

综上,我们得到 ? f ( x ) ? ? ,

对 x ? ( 0 , ? ? ) 成立

- 13 -

所以存在常数 M

?0

,使得 ? f ( x ) ? ? , ? x ? ( 0 , ? ? ) ,有 f ( x ) ? M 成立 ,则
f (x) ? 0

又令
又有

f (x) ? ? f (x) x
2

1 x

( x ? 0)

对 x ? ( 0 , ? ? ) 成立,
f (x)? ?
? x0

?

?1 x
3

在 ( 0 , ? ? ) 上是增函数 ,所以 ,总可以找到一个 x 0
M

, 时,有 小
f (x) ? k

而任取常数 k 所 0 以

? 0

? 0

,使得 x 最







??????13 分

--14--


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