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【全程复习方略】(全国通用)2016高考数学 阶段滚动检测(一)


阶段滚动检测(一) 第一、二章
(120 分钟 150 分) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2015·杭州模拟)设全集 U=R,集合 A={x|x2-1<0},B={x|x(x-2)>0},则 A∩(

?U B )=(

)

A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<1} C.{x|0≤x<1} D.{x|-1<x<0} 2.(2015·双鸭山模拟)已知命题 p:?x0∈R,x0-2>lgx0,命题 q:?x∈R,x2>0,则 ( ) A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∧( q)是真命题 D.命题 p∨( q)是假命题 3.(2015·洛阳模拟)下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的是 ( ) A.y=x2 B.y=2|x| C.y=log2 D.y=sinx 4.(2015·唐山模拟)f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x3+ln(1+x),则当 x<0 时,f(x)=( ) A.-x3-ln(1-x) B.x3+ln(1-x) C.x3-ln(1-x) D.-x3+ln(1-x) 5.某公司在甲、 乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单 位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为( ) A.45.606 万元 B.45.6 万元 C.45.56 万元 D.45.51 万元 6.由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2(t 为常数且 t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )

A.

B.

C.

D.

7.(2015·偃师模拟)若函数 f(x)=cosx+2xf′( ),则 f(- )与 f( )的大小关系是(

)

A.f(- )=f( )

B.f(- )>f( )

-1-

C.f(- )<f( )

D.不确定 )

8.若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈(0, ]恒成立,则 a 的最小值是(

A.0 B.2 C.D.-3 9.(2015·天津模拟)已知函数 f(x)=x2-cosx,则 f(0.6),f(0),f(-0.5)的大小关系是( ) A.f(0)<f(0.6)<f(-0.5) B.f(0)<f(-0.5)<f(0.6) C.f(0.6)<f(-0.5)<f (0) D.f(-0.5)<f(0)<f(0.6) 10.(2015 ·青岛模拟 ) 世界人口在过去 40 年内翻了一番 , 则每年人口平均增长率是 ( 参考数据 lg2 ≈ 0.3010,100.0075≈1.017)( ) A.1.5% B.1.6% C.1.7% D.1.8% 11.(2015·长春模拟)若函数 f(x)对任意的 x∈R 都有 f(x+3)=-f(x+1),且 f(1)=2013,则 f(f(2013)+2)+1=( ) A.-2013 B.-2012 C.2012 D.2013 12.已知 f(x)为 R 上的可导函数,且?x∈R,均有 f(x)>f′(x),则有( ) A.e2014f(-2014)<f(0),f(2014)>e2014f(0) B.e2014f(-2014)<f(0),f(2014)<e2014f(0) C.e2014f(-2014)>f(0),f(2014)>e2014f(0) D.e2014f(-2014)>f(0),f(2014)<e2014f(0) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.命题“若 x>1,y>1,则 xy>1”的否命题是 . 14.(2015 ·上海模拟 ) 设 α :1 ≤ x ≤ 3, β :m+1 ≤ x ≤ 2m+4,m ∈ R, 若 α 是 β 的充分条件 , 则 m 的取值范围 是 . 15.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于 f(x)的结论:①f(x)是周期 函数;②f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(2)=f(0).其中正确结论的序号是 . 16.(2015·邯郸模拟)已知 f(x)= +sinx,则 f(-5)+f(-4)+f(-3)+f(-2)+ f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) +f(4)+f(5)= . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知函数 f(x)=a·2x+b·3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性. (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 18.(12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|(x-2)(x-3)<0},B={x|(x-a)(x-a2-2)<0}. (1)当 a= 时,求( U )∩A. (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 19.(12 分)已知命题 p:在 x∈[1,2]时,不等式 x2+ax-2>0 恒成立;命题 q:函数 f(x)=lo ∞)上的减函数.若命题“p∨q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 20.(12 分)设函数 g(x)=3x,h(x)=9x. (1)解方程:h(x)-8g(x)-h(1)=0.
-2-

?B

(x2-2ax+3a)是区间[1,+

(2)令 p(x)=

,求证:p(

)+p(

)+?+p(

)+p(

)=

.

(3)若 f(x)=

是实数集 R 上的奇函数,且 f(h(x)-1)+f(2-k· g(x))>0 对任意实数 x 恒成立,求实数 k 的取

值范围. 21.(12 分)已知函数 f(x)=ax2-(a+2)x+lnx. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求 a 的取值范围. (3)若对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且 f(x1)+2x1<f(x2)+2x2 恒成立,求 a 的取值 范围. 22.(12 分)(2014·浙江高考)已知函数 f(x)=x3+3|x-a|(a>0),若 f(x)在[-1,1]上的最小值记为 g(a). (1)求 g(a). (2)证明:当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4.

-3-

答案解析 1.C A={x|-1<x<1},B={x|x<0,或 x>2},所以

?U B={x|0≤x≤2},A∩ ?U B={x|0≤x<1}.

2.C 当 x=10 时,10-2=8>lg10=1,故命题 p:?x0∈R,x0-2>lgx0 是真命题;当 x=0 时,x2=0,故命 题 q:?x∈R,x2>0 是假命题,所以命题 p∨q 是真命题,命题 p∧q 是假命题,命题 p∨(﹁q)是真命题,命题 p∧(﹁q)是真命题,故选 C. 3.C 函数 y=x2 与 y=2|x|都是偶函数,但在(-∞,0)上是减函数,函数 y=sinx 是奇函数,函数 y=log2 是偶函数且在(-∞,0)上是增函数,故选 C. 【加固训练】下列函数中为偶函数的是 ( ) A.y= B.y=-x =-log2|x|

C.y=x2 D.y=x3+1 C 对于 A,定义域为[0,+∞),不满足 f(x)=f(-x),不是偶函数, 对于 B,定义域为 R,不满足 f(x)=f(-x),不是偶函数, 对于 C,定义域为 R,满足 f(x)=f(-x),是偶函数, 对于 D,不满足 f(x)=f(-x),不是偶函数,故选 C. 4.C 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),又 f(-x)=-f(x),则有-f(x)=-x3+ln(1-x),即 f(x)=x3-ln(1-x). 【误区警示】本题易误选 A,错误的原因是根据 f(x)=-f(-x)求解时,忽视了 f(-x)解析式中的符号. 【加固训练】(2014·南充模拟)函数 y=f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈(0,1)时,f(x)=x+1,则在 x∈(1, 2) 时 f(x)= ( ) A.-x-3 B.3-x C.1-x D.-1-x B 设 x∈(1,2),则-x∈(- 2,-1), 2-x∈(0,1), 所以 f(2-x)=2-x+1=3-x, 函数 y=f(x)是以 2 为周期的偶函数, 所以 f(x+2)=f(x),f(-x)=f(x), 则 f(2-x)=f(-x)=f(x)=3-x,故选 B. 5.B 设 该 公 司 在 甲 地 销 售 x 辆 , 则 在 乙 地 销 售 (15-x) 辆 , 利 润 为

153 L(x)=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x- 15 )2+0.15×
时,L(x)取最大值 L(10)=45.6,即能获得的最大利润为 45.6 万元.

+30,由于 x 为整数,所以当 x=10

?y ? x2 , ? 2 ?y ? t , ? x ? 0, 6.A 由 ? 得 x=t.
故 S= (t2-x2)dx+ (x2-t2)dx

1 1 3 t x 0 t =(t2x- 3 ) +( x3-t2x) = t3-t2+ ,
-4-

令 S'=4t2-2t=0,因为 0<t<1,所以 t= , 易知当 t= 时,Smin= .

7.C

f' (x)=-sinx+2f'(

),

则 f'(

)=-sin

+2f'(

),所以 f'(

)=sin

= ,从而 f'(x)=1-sinx≥0,函数 f(x)在 R 上是增函数,则 f(- )<f( ).

8.C 由 x2+ax+1≥0 得 a≥-(x+ )在 x∈(0, ]上恒成立, 令 g(x)=-(x+ ),则知 g(x)在(0, ]为增函数, 所以 g(x)max=g( )=- , 所以 a≥- .

9.B 因为函数 f(x)=x2-cosx 为偶函数,所以 f(-0.5)=f(0.5),f'(x)=2x+sinx,当 0<x< 时,f'(x)=2x+sinx>0,所以函

数在 0<x< 上递增,所以有 f(0)<f(0.5)<f(0.6), 即 f(0)<f(-0.5)<f(0.6),故选 B. 【加固训练】(2014·信阳模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足(x+2)f'(x)<0(x≠-2)(其中 f'(x)是函数 f(x)的导数),

又 a=f(lo 则( ) A.a<b<c C.c<a<b

1 ( ) 0.3 3),b=f( 3 ),c=f(ln3),
B.b<c<a D.c<b<a

D 因为-2<lo

1 ( ) 0.3 3<0< 3 <1<ln3,而(x+2)f'(x)<0,若 x+2>0,

则 f'(x)<0, 所以函数 f(x)在(-2,+∞)上是单调减函数,

1 ( ) 0.3 所以 f(ln3)<f( 3 )
<f(lo 3), 所以 c<b<a.故选 D. 10.C 设 每 年 人 口 平 均增 长 率 为 x, 则 (1+x)40=2, 两 边 取 以 10 为 底 数 的对 数 , 得 40lg(1+x)=lg2, 所以
-5-

lg(1+x)= ≈0.0075,从而 1+x≈100 .0075≈1.017,得 x≈1.7%. 11.【解题提示】由 f(x+3)=-f(x+1)得 f(x+2)=-f(x),从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此函数 f(x)是周期为 4 的函数. B 由 f(x+3)=-f(x+1) 可知函数 f(x) 为周期函数 , 且周期 T=4, 当 x=0 时 ,f(3)=-f(1)=-2013,f(2013)=f(503 × 4+1)=f(1)=2013,因此 f(f(2013)+2)+1=f(2015)+1=f(3)+1=-2012.故选 B. 【加固训练】定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 y=f(x)在 x∈[0,10]内的零点至少有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 D 由于 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x) ①,又 f(x+1)=f(1-x),所以 f(-x)=f(2+x) ②,由①②可得 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),得 f(x)是周期为 4 的函数,故 f(0)=f(4)=f(8)=0,f(2)=f(6)=f(10)=0,所以 y=f(x)在 x∈ [0,10]内的零点至少有 6 个. 12.D 构造函数 g(x)= ,

则 g'(x)=

=

. 在 R 上单调递减,

因为?x∈R,均有 f(x)>f'(x),并且 ex>0,所以 g'(x)<0,故函数 g(x)= 所以 g(-2014)>g(0), g(2014)<g(0), 即 >f(0),

<f(0), 也就是 e2014f(-2014)>f(0), f(2014)<e2014f(0),故选 D. 13.【解析】因为 x>1,y>1 的否定是 x≤1 或 y≤1, 所以原命题的否命题是“若 x≤1 或 y≤1,则 xy≤1”. 答案:若 x≤1 或 y≤1,则 xy≤1

?m ? 1 ? 1, ? 2m ? 4 ? 3, 解得- ≤m 14.【解析】由α 是β 的充分条件知{x|1≤x≤3}?{x|m+1≤x≤2m+4,m∈R},则有 ?
≤0. 答案:[- ,0] 15.【解析】对于①,f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),故 2 是函数 f(x)的一个周期,①正确;对于②,由于函数 f(x)是 偶函数,且函数 f(x)是以 2 为周期的函数,则 f(2-x)=f(x-2)=f(x),即 f(2-x)=f(x),故函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故②正确;对于③,由于函数 f(x)是偶函数且在[-1,0]上是增函数,根据偶函数图象的性质可知,函数 f(x)在 [0,1]上是减函数,故③错误;对于④,由于函数 f(x)是以 2 为周期的函数且在[-1,0]上为增函数,故④错误;对于⑤, 由于函数 f(x)是以 2 为周期的函数,所以 f(2)=f(0),⑤正确.综上所述,正确结论的序号是①②⑤. 答案:①②⑤ 16.【解题提示】先求 f(x)+f(-x)的值,再求和式的值. 【解析】因为 f(x)+f(-x)= +sinx+ +sin(-x)
-6-

= + = =2. 所以 f(-5)+f(5)=f(-4)+f(4) =?=f(-1)+f(1)=2, 又 f(0)=1+0=1, 所以原式=2×5+1=11. 答案:11 17.【解析】(1)当 a>0,b>0 时,因为 y=a·2x,y=b·3x 都单调递增, 所以函数 f(x)单调递增; 当 a<0,b<0 时,因为 y=a·2x,y=b·3x 都单调递减,所以函数 f(x)单调递减. (2)已知 f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.

3 ( )x 当 a<0 ,b>0 时, 2 >解得 x>lo ();

,

3 ( )x 当 a>0,b<0 时, 2 <解得 x<lo ().

,

18.【解析】(1)A={x|2<x<3}, 当 a= 时,B={x| <x< }.

?U B={x|x≤ 或 x≥ },
( U B)∩A={x| ≤x<3}. (2)由若 q 是 p 的必要条件知 p?q,可知 A?B. 由 a2+2>a 知 B={x|a<x<a2+2}.

?

?a ? 2, ? 2 a ? 2 ? 3, 所以 ?
解得 a≤-1 或 1≤a≤2. 即 a∈(-∞,-1]∪[1,2]. 19.【解析】若命题 p 为真命题,则由 x2+ax-2>0 得 a> -x 在 x∈[1,2]上恒成立,设 f(x)= -x,f(x)在[1,2]上是减 函数,则-1≤f(x)≤1,所以 a≥1,

?a ? 1, ? 1 ? a ? 0, 解得-1<a≤1, 若命题 q 为真命题,则有 ? ?a ? 1, ? a ? ?1或a ? 1, 当命题 p 与 q 同时为假命题时有 ?
解得 a≤-1.
-7-

则命题 p 与 q 至少有一个命题是真命题,即命题“p∨q”是真命题时有 a>-1. 20.【解析】(1)h(x)-8g(x)-h(1)=0,即 9x-8·3x-9=0,解得 3x=9,则 x=2.

(2)因为 p(

)=p( )=

= ,

又因为 p(x)+p(1-x)= 所以 p( p( )+p( . )+p( )

+ )+?+

=

+

=1,

=1006+ =

(3)因为 f(x)=

=

是实数集 R 上的奇函数,

? ?f ? 0 ? ? 0, ? ?f ? ?1? ? ?f ?1? , 所以 ?
?3 ? a ? 0, ? ?1 ? b ? ? 1? a ? ? 9 ? a , ? ?1 3? b 即 ?3 ? b
解得 a=-3,b=1. 从而 f(x)=3(1),易证 f(x)在实数集 R 上单调递增. 由 f(h(x)-1)+f(2-k · g(x))>0 得 f(h(x)-1)>-f(2-k · g(x)), 又 因 为 f(x) 是 实 数 集 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 f(h(x)-1)>f(k·g(x)-2), 又因为 f(x)在实数集 R 上单调递增, 所以 h(x)-1>k·g(x)-2, 即 32x-1>k·3x-2 对任意的 x∈R 都成立, 即 k<3x+ 对任意的 x∈R 都成立,则 k<2.

21.【解析】(1)当 a=1 时,f(x)=x2-3x+lnx,f'(x)=2x-3+ . 因为 f'(1)=0,f(1)=-2. 所以切线方程是 y=-2. (2)函数 f(x)=ax2-(a+2)x+lnx 的定义域是(0,+∞). f'(x)=2ax-(a+2)+ = 令 f'(x)=0, (x>0),
-8-

即 f'(x)= = 所以 x= 或 x= . 当 0< ≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递增, 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(1)=-2; 当 1< <e,即 <a<1 时,f(x)在[1,e]上的最小值是 f( )<f(1)=-2,不合题意; 当 ≥e,即 0<a≤ 时,f(x)在(1,e)上单调递减, 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(e)<f(1)=-2,不合题意. 综上知 a≥1. (3)设 g(x)=f(x)+2x,则 g(x)=ax2-ax+lnx, 只要 g(x)在(0,+∞)上单调递增即可. 而 g'(x)=2ax-a+ = , =0,

当 a=0 时,g'(x)= >0,此时 g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≠0 时,只需 g'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因为 x∈(0,+∞),只要 2ax2-ax+1≥0,则需要 a>0, 对于函数 y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴 x= >0,只需Δ =a2-8a≤0,即 0<a≤8.综上 0≤a≤8. 【加固训练】(2014·许昌模拟)已知函数 f(x)=x3+ (a-1)x2-3ax+1,x∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调区间. (2)当 a=3 时,若函数 f(x)在区间[m,2]上的最大值 为 28,求 m 的取值范围. 【解析】(1)由 f(x)=x3+ (a-1)x2-3ax+1,得:f'(x)=3x2+3(a-1)x-3a=3(x-1)(x+a). 令 f'(x)=0,得 x1=1,x2=-a. ①当-a=1,即 a=-1 时,f'(x)=3(x-1)2≥0, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增; ②当-a<1,即 a>-1 时, 当 x<-a 或 x>1 时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-a),(1,+∞)内单调递增. 当-a<x<1 时,f'(x)<0,f(x)在(-a,1)内单调递减; ③当-a>1,即 a<-1 时, 当 x<1 或 x>-a 时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,1),(-a,+∞)内单调递增. 当 1<x<-a 时,f'(x)<0,f(x)在(1,-a)内单调递减. 综上,当 a<-1 时,f(x)在(-∞,1),(-a,+∞)内单调递增, f(x)在(1,-a)内单调递减; 当 a=-1 时,f(x)在(-∞,+∞)单调递增; 当 a>-1 时,f(x)在(-∞,-a),(1,+∞)内单调递增,f(x)在(-a,1)内单调递减.
-9-

(2)当 a=3 时,f(x)=x3+3x2-9x+1,x∈[m,2],f'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1), 令 f'(x)=0,得 x1=1,x2=-3. 将 x,f'(x),f(x)变化情况列表如下: x f'(x) f(x) (-∞,-3) + 单调递增 -3 0 极大值 (-3,1) 单调递减 1 0 极小值 (1,2] + 单调递增

由此表可得,f(x)极大值=f(-3)=28,f(x)极小值=f(1)=-4. 又 f(2)=3<28, 故区间[m,2]内必须含有-3,即 m 的取值范围是(-∞,-3]. 22.【解析】(1)因为 a>0,-1≤x≤1,所以 ①当 0<a<1 时, 若 x∈[-1,a],则 f(x)=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-3<0, 故 f(x)在(-1,a)上是减函数; 若 x∈[a,1],则 f(x)=x3+3x-3a, f'(x)=3x2+3>0, 故 f(x)在(a,1)上是增函数; 所以 g(a)=f(a)=a3. ②当 a≥1 时,有 x≤a,则 f(x)=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-3<0, 故 f(x)在[-1,1]上是减函数, 所以 g(a)=f(1)=-2+3a.

?a 3 , 0 ? a ? 1, ? ?2 ? 3a, a ? 1. 综上所述,g(a)= ?
(2)令 h(x)=f(x)-g(a). ①当 0<a<1 时,g(a)=a3, 若 x∈[a,1],h(x)=x3+3x-3a-a3,得 h'(x)=3x2+3, 则 h(x)在[a,1]上是增函数, 所以 h(x)在[a,1]上的最大值是 h(1)=4-3a-a3 且 0<a<1, 所以 h(x)<4,故 f(x)<g(a)+4. 若 x ∈ [-1,a],h(x)=x3-3x+3a-a3, 得 h'(x)=3x2-3, 则 h(x) 在 [-1,a] 上是减函数 , 所以 h(x) 在 [-1,a] 上的最大值是 h(-1)=2+3a-a3, 令 t(a)=2+3a-a3,则 t'(a)=3-3a2>0, 所以 t(a)在(0,1)上是增函数, 所以 t(a)<t(1)=4,即 h(-1)<4, 故 f(x)<g(a)+4. ②当 a≥1 时,g(a)=-2+3a, 故 h(x)=x3-3x+2,得 h'(x)=3x2-3, 此时 h(x)在[-1,1]上是减函数,因此 h(x)在[-1,1]上的最大值是 h(-1)=4. 故 f(x)≤g(a)+4, 综上,当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4.

- 10 -



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