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2015届高三数学成才之路二轮专项复习课件5.1直线与圆


成才之路· 数学
新课标版 ? 二轮专题复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

专题五
解析几何

专题五
第一讲 直线与圆

命题角度聚焦

核心知识整合

学科素能培养 方法警示探究

命题热点突破

课后强化作业

命题角度聚焦

? (1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的 关系判断,常常是求参数值或取值范围,有 时也与命题、充要条件结合,属常考点之 一. ? (2)与三角函数、数列等其他知识结合,考查 直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系 等,以客观题形式考查. ? (3)本部分内容主要以客观题形式考查,若在 大题中考查,较少单独命制试题,常常与圆 锥曲线相结合,把直线与圆的位置关系的判 断或应用作为题目条件的一部分或一个小题

核心知识整合

? ? ? ?

1.直线方程 (1)直线的倾斜角与斜率的关系 倾斜角α的取值范围:0°≤α<180°. 倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k=tanα, 倾斜角为90°的直线斜率不存在. ? 当0°<α<90°时,k>0且k随倾斜角α的增大 而增大. ? 当90°<α<180°时,k<0且k随倾斜角α的增 大而增大.

? (2)直线方程
点斜式 斜截式 两点式

名称

方程

适用范围 不能表示与 x 轴垂直的直线 不能表示与 x 轴垂直的直线 不能表示与坐标轴垂直的直线 不能表示与坐标轴垂直和过原 点的直线 适合所有的直线

y-y1=k(x-x1) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y a+b=1 Ax+By+C=0 (A +B ≠0)
2 2

截距式

一般式

? (3)两直线的位置关系
方程 约束条件 位置关系 平行 l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 A1B2-A2B1=0, 且 B1C2 -B2C1≠0

k1=k2,且 b1≠b2

相交

k1≠k2 特别地,l1⊥l2? A1B2≠A2B1 特别地,l1 k1k2=-1 k1=k2 且 b1=b2 ⊥l2?A1A2+B1B2=0 A1B2-A2B1=0 且 B1C2 -B2C1=0

重合

(4)距离公式 ①两点 P1(x1,y1),P(x2,y2)间的距离 |P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. ②点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 |Ax0+By0+C| d= . 2 2 A +B

2.圆的方程 (1)圆的方程 ①标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),半 径为 r. ②一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆
? D E? 心坐标为?- 2 ,- 2 ?,半径 ? ?

D2+E2-4F r= . 2

? (2)点与圆的位置关系 ? ①几何法:利用点到圆心的距离d与半径r的 关系判断:d>r?点在圆外,d=r?点在圆 上;d<r?点在圆内. ? ②代数法:将点的坐标代入圆的标准(或一般) 方程的左边,将所得值与r2(或0)作比较,大 于r2(或0)时,点在圆外;等于r2(或0)时,点 在圆上;小于r2(或0)时,点在圆内.

(3)直线与圆的位置关系 直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆:(x-a)2+(y-b)2 =r2(r>0)的位置关系如下表.
几何法:根据d= 方法位 |Aa+Bb+C| 2 2 与r的大小 A + B 置关系 关系 相交 相切 相离 d<r d=r d>r
?Ax+By+C=0 代数法:? 2 2 2 ??x-a? +?y-b? =r

消元得一元二次方程,根据判别 式Δ的符号 Δ>0 Δ=0 Δ<0

? (4)圆与圆的位置关系 表现形式 几何表现:圆心距d
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 与r1、r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

代数表现:两圆方程联 立组成的方程组的解的 情况 无解 一组实数解 两组不同实数解 一组实数解 无解

? 1.应用点斜式或斜截式求直线方程时,注 意斜率不存在情形的讨论,应用截距式求直 线方程时,注意过原点的情形. ? 2.判断两直线平行与垂直时,不要忘记斜 率不存在的情形.

命题热点突破

?直线的倾斜角、斜率与直线的方程
(文)已知直线l1与圆(x-a)2+y2=1相切,l1关于 直线y=x的对称直线为l2:y= 3x-1,则a的值为( 3 A. 3或- 3 3 C.- 3 B.1 D.1或-3 )

[ 答案]

D

? [分析] 由l1与l2关于直线y=x对称可求出l1的 方程,再由l1与圆相切求a.
[ 解析] l2关于y=x的对称直线l1:x- 3y+1=0, |a+1| ∵l1与圆相切,∴ 2 =1,∴a=-3或1,故选D.

1 (理)若直线xcosθ+ysinθ-1=0与圆(x-1) +(y-sinθ) =16
2 2

相切,且θ为锐角,则该直线的斜率是( 3 A.- 3 3 C. 3 B.- 3 D. 3

)

[ 答案]

A

[ 解析]

|cosθ+sin2θ-1| 1 由条件知, 2 2 =4, cos θ+sin θ

1 3 ∵θ为锐角,∴cosθ=2,∴sinθ= 2 . cosθ 3 ∴直线的斜率k=- sinθ =- 3 ,故选A.

(文)(2014· 福建文,6)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆 心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 B.x-y+2=0 D.x-y+3=0 )

[ 答案]
[ 解析]

D
圆心(0,3),又知所求直线斜率为1,∴直线方程

为x-y+3=0.

(理)(2014· 安徽文,6)过点P(- 3 ,-1)的直线l与圆x2+y2 =1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( π A. (0,6] π C. [0,6] π B.(0,3] π D.[0,3] )

[ 答案]

D

[ 解析]

由题意可画出示意图:易知过点P的圆的两切线

为PA与PM.PA处倾斜角为0,在Rt△POM中易知PO=2,OM= π π 1,∴∠OPM=6,∠OPA=6,

π π ∴∠MPA=3,∵直线l倾斜角的范围是[0,3].

? [点评] 本题还可以设出直线l的方程y=kx+ b,将P点代入得出k与b的关系,消去未知数 b,再将直线代入圆方程,利用Δ>0求出k的 范围,再求倾斜角的范围. ? [方法规律总结] ? 1.求直线的方程常用待定系数法. ? 2.两条直线平行与垂直的判定可用一般式 进行判定,也可以用斜率判定.

?圆的方程
(文)过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切 线,切点分别为A、B,则△ABP的外接圆的方程是( A.(x-4)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+1)2=5 B.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5 )

[ 答案]

D

[ 解析]

∵PA⊥OA,PB⊥OB,∴以OP为直径的圆过A、

B两点,故△ABP的外接圆就是以OP为直径的圆,从而圆心为 (2,1),半径r= 5,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

? (理)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y =0都相切的半径最小的圆的方程是( ) ? A.(x-1)2+(y+1)2=2 ? B.(x-1)2+(y+1)2=4 ? C.(x+1)2+(y+1)2=2 ? D.(x+1)2+(y+1)2=4 ? [答案] A ? [分析] 与已知直线和圆都相切的圆的圆心 到已知圆的圆心和直线距离之差为已知圆的 半径,当所求圆的圆心与已知圆的圆心连线 与直线垂直时,所求圆的半径最小.

[ 解析]

如图当两圆圆心的连线与已知

直线垂直时,所求圆的半径最小,易知所 求圆C的圆心在直线y=-x上,故设其坐 标为C(c,-c),又圆A的方程为(x+1)2+ (y-1)2=2,∴A(-1,1), |-1-1-4| 则点A到直线x-y-4=0的距离d= =3 2. 2

设圆C的半径为r,则2r=3 2- 2=2 2, ∴r= 2 .即点C(c,-c)到直线x-y-4=0的距离等于 2 . |2c-4| 故有 = 2,∴c=3或c=1. 2 结合图形知当c=3时,圆C在直线x-y-4=0下方,不合 题意,故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

(2014· 陕西理,12)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于 直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.

[ 答案]
[ 解析] 法.

x2+(y-1)2=1
本题考查圆的标准方程,点关于直线的对称点求

(1,0)关于直线y=x的对称点为(0,1), ∴标准方程为x2+(y-1)2=1.

? [方法规律总结]

? 求圆的方程有两类方法:(1)几何法,通过研 究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系, 进而求得圆的半径和圆心,得出圆的方程; (2)代数法,求圆的方程必须具备三个独立条 件,利用“待定系数法”求出圆心和半径.

?直线(圆)与圆的位置关系
(2014· 江西理,9)在平面直角坐标系中,A、B分 别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4 =0相切,则圆C面积的最小值为( 4 A.5π C.(6-2 5)π 3 B.4π 5 D.4π )

[ 答案]

A

[ 解析]

本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及

数形结合求最值的数学思想. 依题意,∠AOB=90° ,∴原点O在⊙C上,又∵⊙C与直 线2x+y-4=0相切,设切点为D,则|OC|=|CD|,∴圆C的圆 心C的轨迹是抛物线,其中焦点为原点O,准线为直线2x+y- 4=0.要使圆C的面积有最小值,当且仅当O、C、D三点共线, 4 2 即圆C的直径等于O点到直线的距离,∴2R= ,∴R= .S 5 5 4 =πR =5π.选A.
2

? 已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点F关于 直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相 交于A、B两点,且|AB|=6,则圆C的方程 为________. ? [答案] x2+(y-1)2=10 ? [分析] 由圆心C与F关于直线y=x对称可求 得C点坐标,再由弦长|AB|=6可求得圆的半 径,进而可得圆的方程.

[ 解析]

抛物线y2=4x的焦点F(1,0)关于直线y=x的对称

点C(0,1)是圆心,C到直线4x-3y-2=0的距离d= |4×0-3×1-2| =1,又圆截直线4x-3y-2=0的弦长为6,∴ 5 圆的半径r= 12+32= 10. ∴圆方程为x2+(y-1)2=10.

? [方法规律总结]

? 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、 弦心距组成的直角三角形求解. ? 2.直线与圆相切时,一般用几何法体现, 即使用d=r,而不使用Δ=0.

学科素能培养

?与圆有关的最值问题
已知圆C:(x+1)2+y2=8.若点Q(x,y)是圆C上 一点,则x+y的取值范围为________.

[ 答案]
[ 分析]

[ -5,3]
设x+y=t,则Q是⊙C与直线x+y=t的公共点,

则问题转化为直线与⊙C有公共点时,求参数t的取值范围问 题.

[ 解析]

设x+y=t,∵Q(x,y)是⊙C上任意一点,∴直线

|-1+0-t| 与圆相交或相切,∴ ≤2 2,∴-5≤t≤3. 2

? [方法规律总结]
? 与圆有关的最值问题主要题型有: ? (1)圆上点到定点距离最大(小)值问题,点在 圆外时,最大值d+r,最小值d-r(d是圆心 到定点距离);点在圆内时,最大值d+r,最 小值r-d. ? (2)圆上点到定直线距离最值,设圆心到直线 距离为d,直线与圆相离,则最大值d+r, 最小值d-r;直线与圆相交,则最大值d+r, 最小值0. ? (3)P(x,y)为⊙O上一动点,求x、y的表达式

?忽视圆的一般方程中隐含条件致误
已知⊙C:x2+y2-2ax+2(a-1)y+3a2-2a-3 =0,点A(0,1),若点A在⊙C外,求实数a的取值范围. [ 错解] ∵点A在圆外,

∴1+2(a-1)+3a2-2a-3>0,即3a2-4>0, 4 ∴a >3,
2

2 3 2 3 ∴a> 3 或a<- 3 .

? [辨析] 错解忽视了二元二次方程x2+y2+ Dx+Ey+F=0表示圆的条件D2+E2-4F>0.
[ 正解] 上接原错解. 又∵方程表示圆, ∴(-2a)2+4(a-1)2-4(3a2-2a-3)>0. 即-4a2+16>0,∴a2<4,∴-2<a<2. 2 3 2 3 综上知,-2<a<- 3 或 3 <a<2. [ 警示] 二元二次方程表示圆是有条件的,解题时可直接

用D2+E2-4F>0,也可以先配方化为标准方程形式,令右端 >0.

已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ ay+2a2+a-1=0相切,则实数a=________.

[ 答案]
[ 解析]

-1
由条件知点P在⊙C上,∴4+1+4a+a+2a2+a

-1=0,∴a=-1或-2. 当a=-1时,x2+y2-2x-y=0表示圆,当a=-2时,x2 +y2-4x-2y+5=0不表示圆,∴a=-1.

课后强化作业
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