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安徽省蚌埠市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷


2014-2015 学年安徽省蚌埠市高一(上)期末数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个答案正确) 1.设集合 U={0,1,2,3,4,5},M={0,3,5},N={1,4,5},则 M∩(? UN)=( A. {5} B. {0,3} C. {0,2,3,5} D. {0,1,3,4,5} 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(
2





A. y=cosx﹣1 B. y=﹣x C. y=x? |x| D. y=﹣

3.已知函数 f(x)的定义域为(﹣1,0) ,则函数 f(2x+1)的定义域为( A. (﹣1,1) B. ( ,1) C. (﹣1,0) D. (﹣1,﹣ )



4.a=log

2,b=log

,c=( ) (

0.3



A. a<b<c B. a<c<b C. b<c<a D. b<a<c

5.若α、β都是锐角,且 sinα= A. B. C. D.

,cos(α+β)=﹣ ,则 sinβ的值是(



6.把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动

个单位长度,再把所得图象上所 )

有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( A. C. ,x∈R B. ,x∈R D. ,x∈R ,x∈R

7.设 a=( ,1+sinα) ,b=(1﹣

, ) ,且 a∥b,则锐角α为(



A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

8.设 f(x)=

,则 f(2015)=(



A.

B. ﹣

C. ﹣

D.

9.函数 y=lncosx(

)的图象是(



A.

B.

C.

D.
2

10.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x) ,且当 x∈(0,1]时,f(x)=x ﹣x, 则当 x∈[﹣1,0]时,f(x)的最小值为( ) A. ﹣ B. ﹣ C. 0 D.

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知α为锐角,sinα= ,则 tan(α+ )= .

12.若函数 y=x +2ax+1 在(﹣∞,5]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 13.若函数 f(x)是幂函数,且满足 f(2)=4,则 f( )的值为 .

2



14.如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,AP=3,点 Q 是△BCD 内(包括边界) 的动点,则 ? 的取值范围是 .

15.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时,总有 x1=x2,则称 f(x) 为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列说: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②函数 y=tanx,x∈(﹣ , )是单函数;
2

③若函数 f(x)是单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④若 f:A→B 是单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象;

⑤若函数 f(x)是某区间上的单函数,则函数 f(x)在该区间上具有单调性. 其中正确的是 . (写出所有正确的序号)

三、解答题(共 75 分,解答应写出说明文字、演算式、证明步骤) 16.已知 A={x| <3 <9},B={x|log2x<2}. (1)求 A∩B 和 A∪B; (2)定义 A﹣B={x|x∈A 且 x? B},直接写出 A﹣B 和 B﹣A.
x

17.设



是两个单位向量,其夹角为 60°,且 =2 ;

+

, =﹣3

+2



(1)求 ?

(2)求| |和| |; (3)求 与 的夹角.

18.某商场经营一批进价是 30 元/件的商品,在市场试销中发现,此商品销售价 x 元与日销 售量 y 件之间有如下关系: x 45 50 y 27 12 (Ⅰ)确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 y=f(x) ; (Ⅱ)若日销售利润为 P 元,根据(I)中关系写出 P 关于 x 的函数关系,并指出当销售单 价为多少元时,才能获得最大的日销售利润? 19.已知函数 f(x)=loga(x+3)﹣loga(3﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (3)若 a>1,指出函数的单调性,并求函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值. 20.设函数 f(x)=2cos x+2 sinx? cosx+m(m,x∈R) . (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈[0, ]时,求实数 m 的值,使函数 f(x)的值域恰为 ,并求此时 f
2

(x)在 R 上的对称中心. 21.已知函数 f(x)满足:对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x) ? f(y)﹣f(x)﹣f(y) +2 成立,且 x>0 时,f(x)>2, (1)求 f(0)的值,并证明:当 x<0 时,1<f(x)<2. (2)判断 f(x)的单调性并加以证明. (3)若函数 g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减,求实数 k 的取值范围.

2014-2015 学年安徽省蚌埠市高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个答案正确) 1.设集合 U={0,1,2,3,4,5},M={0,3,5},N={1,4,5},则 M∩(? UN)=( A. {5} B. {0,3} C. {0,2,3,5} D. {0,1,3,4,5} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. 由全集 U 及 N 求出 N 的补集,找出 M 与 N 补集的交集即可. 解:∵集合 U={0,1,2,3,4,5},M={0,3,5},N={1,4,5}, )

∴? UN={0,2,3}, 则 M∩(? UN)={0,3}. 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(
2



A. y=cosx﹣1 B. y=﹣x C. y=x? |x| D. y=﹣

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 运用常见函数的奇偶性和单调性以及定义, 即可得到既是奇函数又是增函数的函数. 解答: 解:对于 A.定义域为 R,f(﹣x)=cos(﹣x)﹣1=cosx﹣1=f(x) ,则为偶函数, 则 A 不满足条件; 对于 B.定义域为 R,f(﹣x)=f(x) ,则为偶函数,则 B 不满足条件; 对于 C.定义域为 R,f(﹣x)=(﹣x)|﹣x|=﹣x|x|=﹣f(x) ,则为奇函数,当 x>0 时, f(x)=x 递增, 2 且 f(0)=0,当 x<0 时,f(x)=﹣x 递增,则 f(x)在 R 上递增,则 C 满足条件; 对于 D.定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(﹣x)= =﹣f(x) ,当 x>0 时,f(x)递 增, 当 x<0 时,f(x)递增,但在定义域内不为递增,则 D 不满足条件. 故选:C. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查常见函数的奇偶性和单调性和定义的 运用,考查运算能力,属于基础题和易错题. 3.已知函数 f(x)的定义域为(﹣1,0) ,则函数 f(2x+1)的定义域为( A. (﹣1,1) B. ( ,1) C. (﹣1,0) D. (﹣1,﹣ ) )
2

考点: 函数的定义域及其求法.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接由 2x+1 在函数 f(x)的定义域内列式求得 x 的取值集合得答案. 解答: 解:∵f(x)的定义域为(﹣1,0) , 由﹣1<2x+1<0,解得﹣1 .

∴则函数 f(2x+1)的定义域为(﹣1,﹣ ) . 故选:D. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的解决方法,是基础题.

4.a=log

2,b=log

,c=( ) (

0.3



A. a<b<c B. a<c<b C. b<c<a D. b<a<c 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a=log 2<0,b=log =1,0<c=( ) <1,
0.3

∴a<c<b. 故选:B. 点评: 本题考查了指数与对数函数的单调性,属于基础题.

5.若α、β都是锐角,且 sinα= A. B. C. D.

,cos(α+β)=﹣ ,则 sinβ的值是(



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用同角三角函数间的关系式的应用,可求得 sin(α+β)与 cosα的值,再利用 两角差的正弦函数,可求得 sinβ=sin[(α+β)﹣α]的值. 解答: 解:∵cos(α+β)=﹣ ,α、β都是锐角, ∴sin(α+β)= 又 sinα= ∴cosα= , = , = ;

∴sinβ=sin[(α+β)﹣α]=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα= × × = .

﹣(﹣ )

故选:A. 点评: 本题考查两角和与差的正弦函数,考查同角三角函数间的关系式的应用,属于中档 题.

6.把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动

个单位长度,再把所得图象上所 )

有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( A. C. ,x∈R B. ,x∈R D. ,x∈R ,x∈R

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 常规题型. 分析: 根据左加右减的性质先左右平移,再进行ω伸缩变换即可得到答案. 解答: 解:由 y=sinx 的图象向左平行移动 个单位得到 y=sin(x+ ) ) ,

再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍得到 y=sin(2x+

故选 C 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,平移变换时注意都是对单个的 x 或 y 来运作的.

7.设 a=( ,1+sinα) ,b=(1﹣

, ) ,且 a∥b,则锐角α为(



A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量共线的坐标条件列出方程,求出 sinα的值,即可求出锐角α. 解答: 解:因为 =( ,1+sinα) , =(1﹣ 所以 × ﹣(1+sinα) (1﹣ , ) ,且 ∥ , ,

)=0,解得 sinα=

又α是锐角,则α=45°, 故选:B. 点评: 本题考查平面向量共线的坐标条件,以及特殊角的三角函数值.

8.设 f(x)=

,则 f(2015)=(



A.

B. ﹣

C. ﹣

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值. 计算题;函数的性质及应用. 由题意化简 f(2015)=f(2015﹣4) ,从而代入求函数的值. 解:f(2015)=f(2015﹣4) ? 2011)

=f(2011)=sin( =sin = ;

故选 D. 点评: 本题考查了分段函数的函数值的求法,属于基础题.

9.函数 y=lncosx(

)的图象是(



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 数形结合. 分析: 利用函数 界性可排除一些个选项.从而得以解决. 解答: 解:∵cos(﹣x)=cosx, ∴ 是偶函数, 的奇偶性可排除一些选项,利用函数的有

可排除 B、D, 由 cosx≤1? lncosx≤0 排除 C, 故选 A. 点评: 本小题主要考查复合函数的图象识别.属于基础题.

10.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x) ,且当 x∈(0,1]时,f(x)=x ﹣x, 则当 x∈[﹣1,0]时,f(x)的最小值为( ) A. ﹣ B. ﹣ C. 0 D.

2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 设 x∈[﹣1, 0], 则 x+1∈[0, 1], 故由已知条件求得 f (x) = 再利用二次函数的性质求得函数 f(x)的最小值. 解答: 解:设 x∈[﹣1,0],则 x+1∈[0,1], 故由已知条件可得 f(x+1)=(x+1) ﹣(x+1)=x +x=2f(x) ,
2 2

=



∴f(x)=

=



故当 x=﹣ 时,函数 f(x)取得最小值为﹣ , 故选:A. 点评: 本题主要考查求函数的解析式,二次函数的性质应用,属于基础题. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知α为锐角,sinα= ,则 tan(α+ )= ﹣7 .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用同角三角函数关系,求出 tanα,再利用和角的正切公式,可求 tan(α+ 解答: 解:∵α为锐角,sinα= , ∴cosα= , ∴tanα= , ∴tan(α+ )= =﹣7. ) .

故答案为:﹣7. 点评: 本题考查同角三角函数关系、和角的正切公式,考查学生的计算能力,正正确运用 公式是关键. 12. 若函数 y=x +2ax+1 在 (﹣∞, 5]上是减函数, 则实数 a 的取值范围是 (﹣∞, ﹣5] . 考点: 二次函数的性质.
2

专题: 函数的性质及应用. 分析: 求函数 y=x +2ax+1 的对称轴,根据二次函数的单调性即可求出 a 的取值范围. 解答: 解:原函数的对称轴为 x=﹣a; ∵该函数在(﹣∞,5]上是减函数; ∴﹣a≥5,a≤﹣5; ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5]. 故答案为: (﹣∞,﹣5]. 点评: 考查二次函数的对称轴,以及二次函数的单调性.
2

13.若函数 f(x)是幂函数,且满足 f(2)=4,则 f( )的值为



考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 f(x)=x , (α为常数) .由 4=2 ,可得α=2 即可. α 解答: 解:设 f(x)=x , (α为常数) . α ∵4=2 ,∴α=2. 2 ∴f(x)=x . ∴ 故答案为: . 点评: 本题考查了幂函数的解析式,属于基础题. 14.如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,AP=3,点 Q 是△BCD 内(包括边界) 的动点,则 ? 的取值范围是 [9,18] . = .
α α

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 为向量 在 与 的夹角为θ, 则 ? = = ,

方向上的投影.据此即可得出. 与 的夹角为θ,则 在 ? = = ,

解答: 解:设

为向量

方向上的投影. ? 取得最小值= =9.

因此:当点 Q 取点 P 时,

当点 Q 取点 C 时,

?

取得最大值=

=2×9=18.

故答案为:[9,18]. 点评: 本题考查了向量的投影的定义及其应用,考查了推理能力,属于中档题. 15.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时,总有 x1=x2,则称 f(x) 为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列说: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②函数 y=tanx,x∈(﹣ , )是单函数;
2

③若函数 f(x)是单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④若 f:A→B 是单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象; ⑤若函数 f(x)是某区间上的单函数,则函数 f(x)在该区间上具有单调性. 其中正确的是 ②③④ . (写出所有正确的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①由于(±1) =1,可得函数 f(x)=x (x∈R)不是单函数; ②利用单函数的定义即可判断出; ③利用反证法即可判断出; ④若 f:A→B 是单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象,如若不然,b 有两个原象, 则函数 f(x)不是单函数; ⑤不正确,举反例:f(x)= 调函数. 解答: 解:对于①由于(±1) =1,因此函数 f(x)=x (x∈R)不是单函数,不正确; 对于②函数 y=tanx,在 x∈(﹣ , )是单调函数,可得函数 y=tanx 是单函数,正确;
2 2 2 2

,f(x)是区间[1,2)上的单函数,但不是单

对于③若函数 f(x)是单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ,利用反证法即可 得出正确; 对于④若 f:A→B 是单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象,如若不然,b 有两个原 象,则函数 f(x)不是单函数,因此正确; 对于⑤若函数 f(x)是某区间上的单函数,则函数 f(x)在该区间上具有单调性,不正确, 举反例:f(x)= ,f(x)是区间[1,2)上的单函数,但不是单调函数.

其中正确的是 ②③④. 点评: 本题考查了新定义“单函数”的定义及其性质、单函数与单调函数之间的关系,考 查了推理能力与计算能力,属于难题. 三、解答题(共 75 分,解答应写出说明文字、演算式、证明步骤) 16.已知 A={x| <3 <9},B={x|log2x<2}.
x

(1)求 A∩B 和 A∪B; (2)定义 A﹣B={x|x∈A 且 x? B},直接写出 A﹣B 和 B﹣A. 考点: 交、并、补集的混合运算;并集及其运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)根据条件求出集合 A,B 的等价条件,即可求 A∩B 和 A∪B; (2)根据定义定义 A﹣B={x|x∈A 且 x? B},即可写出 A﹣B 和 B﹣A. 解答: 解: (1)∵A={x| <3 <9}={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<4}. ∴A∩B={x|0<x<2},A∪B={x|﹣1<x<4}; (2)∵A﹣B={x|x∈A 且 x? B}, ∴A﹣B={x|﹣1<x≤0},B﹣A={x|2≤x<4}. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,根据条件求出集合 A,B 的等价条件是解决本题的关 键.
x

17.设



是两个单位向量,其夹角为 60°,且 =2 ;

+

, =﹣3

+2



(1)求 ?

(2)求| |和| |; (3)求 与 的夹角.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方,计算即可得到; (2)运用向量的平方即为模的平方,计算即可得到; (3)运用向量的夹角公式和夹角的范围,计算即可得到所求值. 解答: 解: (1)由 则 =(2 =1× + 与 = , ) ?(﹣3 +2 )=﹣6 +2 + ? 是两个单位向量,其夹角为 60°,

=﹣6+2+ =﹣ ; (2)| |= = | |= = , = =

=

=



(3)cos< , >= 由于 0≤< , >≤π, 则有 与 的夹角 .

=

=﹣ ,

点评: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查向 量的夹角公式的运用,考查运算能力,属于基础题. 18.某商场经营一批进价是 30 元/件的商品,在市场试销中发现,此商品销售价 x 元与日销 售量 y 件之间有如下关系: x 45 50 y 27 12 (Ⅰ)确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 y=f(x) ; (Ⅱ)若日销售利润为 P 元,根据(I)中关系写出 P 关于 x 的函数关系,并指出当销售单 价为多少元时,才能获得最大的日销售利润? 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)设出 y=f(x)的表达式,利用已知条件列出方程组求解即可得到函数的解析 式; (Ⅱ)若日销售利润为 P 元,根据(I)中关系直接写出 P 关于 x 的函数关系,然后利用二 次函数闭区间的最值即可求解最大的日销售利润. 解答: 解: (Ⅰ)因为 f(x)为一次函数,设 y=ax+b,解方程组 …(2 分) 得 a=﹣3,b=162,…(4 分) 故 y=162﹣3x 为所求的函数关系式, 又∵y≥0,∴0≤x≤54. …(6 分) (Ⅱ)依题意得: P=(x﹣30) ? y=(x﹣30) ?(162﹣3x) …(8 分) =﹣3(x﹣42) +432.…(10 分) 当 x=42 时,P 最大=432, 即销售单价为 42 元/件时,获得最大日销售利润. …(12 分) 点评: 本题考查函数的模型的选择与应用,二次函数闭区间上的最值的求法,考查分析问 题解决问题的能力. 19.已知函数 f(x)=loga(x+3)﹣loga(3﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (3)若 a>1,指出函数的单调性,并求函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值.
2

考点: 对数函数的图像与性质;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意可得 ,从而求定义域;

(2)可判断函数 f(x)是奇函数,再证明如下; (3)当 a>1 时,由复合函数的单调性及四则运算可得 f(x)为增函数,从而求最值. 解答: 解: (1)由题意知, ; 解得,﹣3<x<3; 故函数 f(x)的定义域为(﹣3,3) ; (2)函数 f(x)是奇函数,证明如下, 函数 f(x)的定义域(﹣3,3)关于原点对称; 则 f(﹣x)=loga(﹣x+3)﹣loga(3+x)=﹣f(x) , 故函数 f(x)是奇函数. (3)当 a>1 时,由复合函数的单调性及四则运算可得, f(x)=loga(x+3)﹣loga(3﹣x)为增函数, 则函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增, 故 fmax(x)=f(1)=loga2. 点评: 本题考查了函数的定义域,奇偶性,单调性,最值的判断与应用,属于基础题. 20.设函数 f(x)=2cos x+2 sinx? cosx+m(m,x∈R) . (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈[0, ]时,求实数 m 的值,使函数 f(x)的值域恰为 ,并求此时 f
2

(x)在 R 上的对称中心. 考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求 法;正弦函数的对称性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得 f(x)=2sin(2x+ 从而可求其最小正周期; (2)利用正弦函数的单调性可求得 0≤x≤ 时,m≤f(x)≤m+3,利用使函数 f(x)的 )+m+1,

值域为[ , ]可求得 m 的值,从而可求 f(x)在 R 上的对称中心. 解答: 解: (1)∵f(x)=2cos x+2 =1+cos2x+ sin2x+m =2sin(2x+ )+m+1,
2

sinxcosx+m

∴函数 f(x)的最小正周期 T=π. (2)∵0≤x≤ ∴ ≤2x+ ≤ , , )≤1,

∴﹣ ≤sin(2x+ ∴m≤f(x)≤m+3, 又 ≤f(x)≤ , ∴m= , 令 2x+

=kπ(k∈Z) ,解得 x=



(k∈Z) , ﹣ , ) (k∈Z) .

∴函数 f(x)在 R 上的对称中心为(

点评: 本题考查:两角和与差的正弦函数,着重考查二倍角的正弦与余弦及辅助角公式, 考查正弦函数的单调性、周期性与对称性,属于中档题. 21.已知函数 f(x)满足:对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x) ? f(y)﹣f(x)﹣f(y) +2 成立,且 x>0 时,f(x)>2, (1)求 f(0)的值,并证明:当 x<0 时,1<f(x)<2. (2)判断 f(x)的单调性并加以证明. (3)若函数 g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减,求实数 k 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 综合题. 分析: (1)f(x+y)=f(x) ? f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2 中,令 x=y=0,再验证即可求出 f(0)=2.设 x<0,则﹣x>0,利用 时,f(x)>2,再证明. (2)设 x1<x2,将 f(x2)转化成 f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1) +2=f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2,得出了 f(x2)与 f(x1)关系表达式, 且有 f(x2﹣x1)>2,可以证明其单调性. (3)结合(2)分析出 x∈(﹣∞,0)时,f(x)﹣k<0,k 大于 f(x)的最大值即可. 解答: 解: (1)∵f(x+y)=f(x) ? f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2 令 x=y=0, f(0)=f(0) ? f(0)﹣f(0)﹣f(0)+2 ∴f (0)﹣3f(0)+2=0,f(0)=2 或 f(0)=1 若 f(0)=1 则 f(1)=f(1+0)=f(1) ? f(0)﹣f(1)﹣f(0)+2=1, 与已知条件 x>0 时,f(x)>2 相矛盾,∴f(0)=2 设 x<0,则﹣x>0,那么 f(﹣x)>2 又 2=f(0)=f(x﹣x)=f(x) ? f(﹣x)﹣f(x)﹣f(﹣x)+2
2

结合 x>0

(1 分)

∴ ∵f(﹣x)>2 ,∴ ,从而 1<f(x)<2(3 分)

(2)函数 f(x)在 R 上是增函数 设 x1<x2 则 x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>2 f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1)+2 =f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2 ∵由(1)可知对 x∈R,f(x)>1,∴f(x1)﹣1>0,又 f(x2﹣x1)>2 ∴f(x2﹣x1) ? [f(x1)﹣1]>2f(x1)﹣2 f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2>f(x1) 即 f(x2)>f(x1) ∴函数 f(x)在 R 上是增函数 (3 分) (3)∵由(2)函数 f(x)在 R 上是增函数 ∴函数 y=f(x)﹣k 在 R 上也是增函数 若函数 g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减 则 x∈(﹣∞,0)时,g(x)=|f(x)﹣k|=k﹣f(x) 即 x∈(﹣∞,0)时,f(x)﹣k<0, ∵x∈(﹣∞,0)时,f(x)<f(0)=2,∴k≥2(3 分) 点评: 本题是抽象函数类型问题.解决的办法是紧紧抓住题目中给出的抽象函数的性质, 对字母灵活准确地赋值,一般可求出某一函数值,f(x)与 f(﹣x) 的关系式,在探讨单 调性时,可将区间上的实数 x1,x2,写成 x2 =(x2﹣x1 )+x1 或 x2 =(x2÷x1 )×x1 建立 f (x2)与 f(x1)关系式,结合前述性质证明.



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