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【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件:9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系


第 4 讲 直线与圆、 圆与圆的 位置关系

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考 纲 展 示
1.能根据给定直线、 圆的方程,判断直线 与圆的位置关系. 2.能根据给定两个圆 的方程判断圆与圆 的位置关系. 3.能用直线和圆的方 程解决一些简单的 问题,初步了解用代 数方法处理几何问 题的思想.

考 纲 解 读
1.从近两年的高考试题来看, 直线与圆的位 置关系、弦长、圆与圆的位置关系等是高考 的热点. 2.三种题型都有可能出现, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与圆的位置关系、弦长 等问题.主观题考查较为全面, 除考查直线与 圆的位置关系、 弦长等问题外, 还考查基本运 算、等价转化、数形结合思想等.

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1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d, 圆的半径为 r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 几何观点 Δ<0 d>r Δ=0 d=r Δ>0 d<r

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2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 ( 几何方法 1) 运用弦心距( 即圆心到直线的距离) 、弦长的一半及半径构成直 角三角形计算. ( 代数方法 2) 运用韦达定理及弦长公式 |AB|= 1 + 2 |xA-xB|= (1 + 2 )[( + )2 -4 ]. 说明: 圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.

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3.圆的切线方程 ( 若圆的方程为 x2+y2=r2. 1) ①若点 P( 0, 0) x y 在圆上, 则过 P 点且与圆 x2+y2=r2 相切的切线方 程为 x0x+y0y=r2; ②若点 P( 0, 0) x y 在圆外, 则过 P 点的切线方程可设为 y-y0=k( 0) x-x , 利用圆心到直线的距离等于半径来求解. 说明: 为切线斜率, k 同时应考虑斜率不存在的情况. ( 经过圆( 2+( 2=r2 上点 P( 0, 0) 2) x-a) y-b) x y 的切线方程为 ( 0-a) x-a) y0-b) y-b) 2. x ( +( ( =r

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4.圆与圆的位置关系(☉O1, 2 的半径分别为 r1, 2, ☉O r d=|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2|

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1.直线 4x+3y-35=0 与圆 x2+y2=49 的位置关系为( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 【答案】 A 2.圆 O1: 2+y2-2x=0 和圆 O2: 2+y2-4y=0 的位置关系是( x x ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 【答案】 B 【解析】 圆 O1 方程可化为( 2+y2=1, x-1) 圆心为 O1( 0) 半径 r=1, 1, , 圆 O2 方程可化为 x2+( 2=4, y-2) 圆心为 O2( 2) 半径 0, , R=2, 1O2|= (1-0)2 + (0-2)2 = 5<R+r, |O 可知 R-r<|O1O2|<R+r, 即 两圆相交.
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3.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长为 ( ) A. 3 B.2 C. 6 D.2 3 【答案】 D 【解析】 过原点且倾斜角为 60° 的直线方程为 3x-y=0, 圆 x +( y-2) =4 的圆心( 2) 0, 到直线 弦长为 2 4-1=2 3.
2 2

| 3×0-2| 3x-y=0 的距离为 d= =1, 因此 3+1

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4.(2012·安徽卷, 若直线 x-y+1=0 与圆( 2+y2=2 有公共点, 9) x-a) 则实 数 a 的取值范围是( ) A.[ -1] -3, B.[ 3] -1, C.[ 1] -3, D.( -3] 1, -∞, ∪[ +∞) 【答案】 C 【解析】 由题意可得, 圆的圆心为( 0) 半径为 2, a, , ∴
|-0+1| 12 +(-1)
2

≤ 2, 即|a+1|≤2,

解得-3≤a≤1.

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5.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0( a>0) 的公共弦的长为 2 3, 则 a= 【答案】 1 .

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【解析】 依题意, 画出两圆的位置如图, 其公共弦为 AB, y 轴于点 交 C, 连接 OA, 则|OA|=2.

两圆方程相减, 2ay=2, 得 解得 y=, |OC|=. ∴ 又∵ 公共弦长为 2 3, |AC|= 3. ∴ 于是, Rt△AOC 可得 OC2=AO2-AC2, 由
2 即2=22-( 3) , 整理得 a2=1,

1

1

1

又∵ a>0, a=1. ∴
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T 题型一直线与圆的位置关系
例 1 已知圆 x2+y2-6mx-2( m-1) y+10m2-2m-24=0( m∈R) . ( 求证: 1) 不论 m 为何值, 圆心在同一直线 l 上; ( 与直线 l 平行的直线中, 2) 哪些与圆分别相交、相切、相离? ( 用配方法将圆的一般方程配成标准方程, 1) 求圆心坐 标, 消去 m.( 比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小. 2)

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2 【解】 ( 证明: 1) 配方得( x-3m) +[ m-1) 2=25, y-( ] = 3, 设圆心为( y) 则 x, , = -1, 消去 m 得直线 l 的方程为 x-3y-3=0,

即不论 m 为何值, 圆心恒在直线 l: x-3y-3=0 上. ( 设与直线 l 平行的直线是 l1: 2) x-3y+b=0, 则圆心到直线 l1 的距离为 d=
|3-3(-1)+| 10

=

|3+| , 10

∵ 圆的半径为 r=5, ∴ d<r, 当 即-5 10-3<b<5 10-3 时, 直线 x-3y+b=0 与圆相交; 当 d=r, b=± 10-3 时, 即 5 直线 x-3y+b=0 与圆相切; 当 d>r, b<-5 10-3 或 b>5 10-3 时, 即 直线 x-3y+b=0 与圆相离.
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用几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤是: (1)把圆的方程化为标准形式, 求出圆心和半径 r. (2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 d. (3)判断: d>r 时, 当 直线与圆相离; d=r 时, 当 直线与圆相切; d<r 当 时, 直线与圆相交.

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1.(2012·陕西卷, 已知圆 C: 2+y2-4x=0, 是过点 P( 0) 6) x l 3, 的直线, 则( ) A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 【答案】 A 【解析】 由题可知圆心坐标为( 0) 半径 r=2, P 到圆心的距 2, , 点 离 d=1<2, 所以点 P 在圆内.故直线 l 与圆 C 相交.

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T 题型二圆的切线及弦长问题
例 2 已知点 M( 1)直线 ax-y+4=0 及圆( 2+( 2=4. 3, , x-1) y-2) ( 求过 M 点的圆的切线方程; 1) ( 若直线 ax-y+4=0 与圆相切, a 的值; 2) 求 ( 若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A, 两点, 3) B 且弦 AB 的长为 2 3, 求 a 的值.

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【解】 ( 由题意知圆心为 C( 2) 半径为 r=2, 1) 1, , 当直线的斜率不存在时, 直线方程为 x=3. 由圆心 C( 2) 1, 到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知, 此时, 直线与圆相切. 当直线的斜率存在时, 设直线方程为 y-1=k( , x-3) 即 kx-y+1-3k=0. 由题意知
|-2+1-3| +1 3
2

=2, 解得 k=4.

3

∴ 直线方程为 y-1=4( , 3x-4y-5=0. x-3) 即 综上所述, M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. 过

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( 由题意有 2)

|-2+4| 2 +1

=2, 解得 a=0 或 a= .
|+2| 2 +1

4 3

( ∵ 3) 圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 ∴
|+2| 2 +1
2

,

+

2 3 2

2

3 =4, 解得 a=-4.

求过一点的圆的切线方程, 首先要判断此点是否在圆上. 若在圆上, 该点为切点; 若不在圆上, 切线应该有两条, 设切线的点斜 式方程, 用待定系数法求解, 注意需考虑无斜率的情况.求弦长问题, 要充分运用圆的几何性质.

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2.已知点 A( a)圆 x2+y2=4. 1, , ( 若过点 A 的圆的切线只有一条, a 的值及切线方程; 1) 求 ( 若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切, a 的 2) 求 值及直线方程. 【解】 ( 由于过点 A 的圆的切线只有一条, 1) 则点 A 在圆上, 故 12+a2=4, 解得 a=± 3. 当 a= 3时, 1, 3) 切线方程为 x+ 3y-4=0; A( , 当 a=- 3时, 1, 3) 切线方程为 x- 3y-4=0, A( - , 故 a= 3时, 切线方程为 x+ 3y-4=0, a=- 3时, 切线方程为 x- 3y-4=0.

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( 设直线方程为 x+y=b, 2) 由于直线过点 A, 1+a=b, 则 ∴ 直线方程为 x+y=1+a, 即 x+y-a-1=0. 又∵ 直线与圆相切, ∴ d=
|+1| =2, 2

∴ 2 2-1. a=± ∴ 直线方程为 x+y+2 2=0 或 x+y-2 2=0.

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T 题型三圆与圆的位置关系
例 3a 为何值时, C1: 2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和圆 圆 x C2: 2+y2+2x-2ay+a2-3=0. x ( 外切;2) 1) ( 相交;3) ( 外离;4) ( 内切. 采用几何法, 利用圆心距与两圆半径之间的关系求解.

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【解】 将两圆方程写成标准方程. 2 2 C1: x-a) +( ( 2 y+2) =9, 2: x+1) +( 2=4. C ( y-a) ∴ 两圆的圆心和半径分别为 C1( -2) r1=3, a, , C2( a) r2=2, -1, , 设两圆的圆心距为 d, 2 2 则 d2=( a+1) +( -2-a) =2a2+6a+5. ( 当 d=5, 2a2+6a+5=25 时, 1) 即 两圆外切, 此时 a=-5 或 a=2. ( 当 1<d<5, 1<2a2+6a+5<25 时, 2) 即 两圆相交, 此时-5<a<-2 或-1<a<2. ( 当 d>5, 2a2+6a+5>25 时, 3) 即 两圆外离, 此时 a>2 或 a<-5. ( 当 d=1, 2a2+6a+5=1 时, 4) 即 两圆内切, 此时 a=-1 或 a=-2.
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应注意两圆位置由圆心距和两半径的和与差来确定, 从而确定 它们的位置关系.

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3.已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0. ( m 取何值时两圆外切? 1) ( m 取何值时两圆内切? 2) ( 求 m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 3) 【解】 两圆的标准方程为( 2+( 2=11, x-1) y-3) ( 2+( 2=61-m, x-5) y-6) 圆心分别为 M( 3) N( 6) 1, , 5, , 半径分别为 11和 61-.

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( 当两圆外切时, 1) (5-1)2 + (6-3)2 = 11 + 61-, 解得 m=25+10 11. ( 当两圆内切时, 2) 因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离 5, 故 只有 61- ? 11=5, 解得 m=25-10 11. ( 两圆的公共弦所在直线方程为 3) ( 2+y2-2x-6y-1) x2+y2-10x-12y+45) x -( =0, 即 4x+3y-23=0.
2

∴ 公共弦长为 2 (

11)2 -

|4+3×3-23| 42 +32

=2 7.

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规范解题
圆中的探究类问题
试题(12 分) 已知圆 C: 2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否 x 存在两点 A, 关于直线 y=kx-1 对称, B 且以 AB 为直径的圆经过原点? 若存在, 写出直线 AB 的方程; 若不存在, 说明理由. 【审题视角】 ( 假设存在两点 A, 关于直线对称, 1) B 则直线过圆心. ( 若以 AB 为直径的圆过原点, OA⊥OB.转化为·=0. 2) 则

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【规范解答】

2 圆 C 的方程可化为( 2+( x-1) y+2) =9, 圆心为 C( -2) 分 1, .2 假设在圆 C 上存在两点 A, 满足条件, B 则圆心 C( -2) 1, 在直线 y=kx-1 上, k=-1. 即 于是可知, AB=1.4 分 k 设 lAB: y=x+b, 代入圆 C 的方程, 整理得 2x2+2( b+1) 2+4b-4=0, x+b

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2 则 Δ=4( b+1) -8( 2+4b-4) 即 b2+6b-9<0, b >0, 解得-3-3 2<b<-3+3 2.8 分 设点 A, 的坐标分别为 A( 1, 1) B( 2, 2) B x y , x y ,



1 2 x1+x2=-b-1, 1x2=2b +2b-2. x

由题意知 OA⊥OB, 则有 x1x2+y1y2=0, 也就是 x1x2+( 1+b) x2+b) x ( =0, 即 2x1x2+b( 1+x2) 2=0.10 分 x +b 从而 b2+4b-4-b2-b+b2=0, 化简得 b2+3b-4=0, 解得 b=-4 或 b=1, 均满足 Δ>0, 即直线 AB 的方程为 x-y-4=0, x-y+1=0.12 分 或

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答题模板 第一步: 假设符合要求的结论存在. 第二步: 从条件出发( 即假设) 求解. 第三步: 确定符合要求的结论存在或不存在. 第四步: 给出明确结果.反思回顾. 第五步: 查看关键点、易错点及答题规范.

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1.直线 l: y-1=k( 和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是( x-1) ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 【答案】 C 【解析】 圆 x2+y2-2y=0 的圆心是( 1) 半径 r=1, 0, , 则圆心到直线 l 的 距离 d=
|-| 1+
2

<1.

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2.若直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切, 则实数 m 等于( A. 3或- 3 C.-3 3或 3 B.- 3或 3 3 D.-3 3或 3 3

)

【答案】 C 【解析】 圆的标准方程为( 2+y2=3, x-1) 由题意, 知圆心( 0) 1, 到直线 3x-y+m=0 的距离等于半径, 即
| 3+m| 3+1

= 3? | 3+m|=2 3? m= 3

或 m=-3 3. 3.已知两圆 C1: 2+y2-2x+10y-24=0, 2: 2+y2+2x+2y-8=0, x C x 则两圆公共 弦所在的直线方程是 . 【答案】 x-2y+4=0 【解析】 两圆相减即得 x-2y+4=0.
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4.(2013 届·辽宁沈阳月考) 直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A, B 两点, 则|AB|= . 【答案】 2 3 【解析】 如图, AB 中点 C, 取 连接 OC, OA.

则 OC⊥AB, |OA|=2 2, |OC|=
|0-2×0+5| 1 +(-2)
2 2

= 5,

则|AC|= 8-5 = 3, 故|AB|=2|AC|=2 3.
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5.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直 线 12x-5y+c=0 的距离为 1, 则实数 c 的取值范围是 . 【答案】 ( 13) -13, 【解析】如图所示, 若圆上有且仅有 4 个点到直线 12x-5y+c=0 的距 离为 1, 则直线介于 l1, 2 之间, l 且不包括 l1, 2.由题意知, l 圆上的点到 l1 的距离为 1, 故圆心到直线 l1 的距离也为 1. 所以
|| 122 +52

= 13=1,

||

即 c=± 13.由题目的对称性知 c∈( 13) -13, .

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