3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

05圆锥曲线


1、已知双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支相交于 P , Q 两点, 3 且点 P 的横坐标为 2 ,则△ PF1Q 的周长为
A.

16 3 3

B. 5 3

C.

14 3 3

D. 4 3

【答案:A】 2、已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且经过点 ? 0,1? .圆 C1 : x2 ? y 2 ? a2 ? b2 . 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,且 l 与圆 C1 相交于 A, B 两点, 问 AM ? BM ? 0 是否成立?请说明理由. (1)解:∵ 椭圆 C : ∴ b ? 1.
2

x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? , a 2 b2
…………………………………………1 分

c 3 2 …………………………………………2 分 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2 2 ∴a ? 4. …………………………………………3 分 2 x ? y 2 ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 …………………………………………4 分 4 (2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O . ………………………5 分 ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M , ? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 由(*)得 ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ……………………………………6 分
∵ 从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① …………………7 分

xM ? ?

4k 2 m m 8km 4km y ? kx ? m ? ? ? m ? , . ……………9 分 ? ? M M 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?1 ? 4k 2 ?

m ? ? 4km . ……………………………………10 分 , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ? 由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , m 2 1 ∴ kOM ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 . ……………………………………11 分 4km 4 ? 1 ? 4k 2 ∴ OM 与 AB 不垂直. ……………………………………12 分 ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ……………………………………13 分 ∴ AM ? BM ? 0 不成立. ……………………………………14 分 2 2 解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x ? y ? 5 ,其圆心为原点 O . ………………………5 分 ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M , ? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 由(*)得 ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ……………………………………6 分
∴ 点 M 的坐标为 ? ? 从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① …………………7 分

xM ? ?

8km 4km , ? ? 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k 2 ?

…………………………………………………8 分

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 ,

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 N ? xN , yN ? ,

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kmx ? m ? 5 ? 0 .………………………………9 分 2 2 ? x ? y ? 5, x ? x2 km ?? ∴ xN ? 1 . ……………………………………10 分 2 1? k 2 km 4km ?? 若 xN ? xM ,得 ? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾. ………………………………11 分 2 1? k 1 ? 4k 2 ∴ 点 N 与点 M 不重合. ……………………………………12 分 ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ……………………………………13 分 ∴ AM ? BM ? 0 不成立. ……………………………………14 分
由?

3、已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线 C2 :

x2 ? y 2 ? 1 的顶点,直线 x ? 2 y ? 0 与椭圆 C1 交于 A , 2

B 两点, 且点 A 的坐标为 (? 2, 1) , 点 P 是椭圆 C1 上异于点 A , B 的任意一点, 点 Q 满足 AQ ? AP ? 0 ,BQ ? BP ? 0 ,
且 A , B , Q 三点不共线. (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 求点 Q 的轨迹方程; (3) 求 ?ABQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标.

x2 ? y 2 ? 1 的顶点为 F1 (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) , …………1 分 (1)解法 1: ∵ 双曲线 C2 : 2
∴ 椭圆 C1 两焦点分别为 F 1 (? 2, 0) , F 2 ( 2, 0) . 设椭圆 C1 方程为

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

∵ 椭圆 C1 过点 A (? 2, 1) ,

a ? 2. ∴ 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 4 ,得
∴ b ?a ?
2 2

………………………2 分 ………………………3 分

? 2?

2

? 2.
x2 y 2 ? ? 1. 4 2

∴ 椭圆 C1 的方程为

………………………4 分

解法 2: ∵ 双曲线 C2 :

x2 ? y 2 ? 1 的顶点为 F1 (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) , ……………………1 分 2

∴ 椭圆 C1 两焦点分别为 F 1 (? 2, 0) , F 2 ( 2, 0) .

x2 y2 设椭圆 C1 方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? , a b
∵ 椭圆 C1 过点 A (? 2, 1) , ∴

2 1 ? ? 1. a 2 b2
2 2

① ②
2

………………………2 分 ………………………3 分

. ∵ a ?b ?2,
2

由①②解得 a ? 4 , b ? 2 . ∴ 椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

………………………4 分

(2)解法 1:设点 Q( x, y ) ,点 P( x1 , y1 ) , 由 A (? 2, 1) 及椭圆 C1 关于原点对称可得 B ( 2, ?1) , ∴ AQ ? ( x ? 2, y ?1) , AP ? ( x1 ? 2, y1 ?1) ,

BQ ? ( x ? 2, y ?1) , BP ? ( x1 ? 2, y1 ?1) .
由 AQ ? AP ? 0 , 得 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ( y ?1)( y1 ?1) ? 0 , ……………………5 分 即 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ?( y ?1)( y1 ?1) . ①

同理, 由 BQ ? BP ? 0 , 得 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ?( y ?1)( y1 ?1) . ② ……………6 分
2 ① ? ②得 ( x2 ? 2)( x1 ? 2) ? ( y2 ?1)( y12 ?1) .



………………………7 分

x12 y12 ? ? 1 ,得 x12 ? 4 ? 2 y12 , 由于点 P 在椭圆 C1 上, 则 4 2
2 代入③式得 ?2( y1 ?1)( x2 ? 2) ? ( y2 ?1)( y12 ?1) . 2 当 y1 ?1 ? 0 时,有 2 x2 ? y 2 ? 5 , 2 当 y1 ?1 ? 0 ,则点 P(? 2, ?1) 或 P( 2,1) ,此时点 Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或

(? 2, ?1) ,其坐标也满足方程 2 x2 ? y 2 ? 5 .

………………………8 分

当点 P 与点 A 重合时,即点 P (? 2, 1) ,由②得 y ? 2x ? 3 ,
2 2 ? ? 2 x ? y ? 5, 解方程组 ? 得点 Q 的坐标为 ? ? y ? 2 x ? 3,

?

? 2 ? 2, ?1 或 ? ? 2 , ?2 ? ?. ? ?

?

同理, 当点 P 与点 B 重合时,可得点 Q 的坐标为 ? 2,1 或 ? ?

?

?

? ? ?

2 ? ,2? ?. 2 ?

∴点 Q 的轨迹方程为 2 x2 ? y 2 ? 5 , 除去四个点

?

? 2 ? 2, ?1 , ? , ? 2 ? ? 2 ? , ? 2,1 , ? ?

?

?

?

? 2 ? ? ? ? 2 ,2? ?. ? ?
解法 2:设点 Q( x, y ) ,点 P( x1 , y1 ) , 由 A (? 2, 1) 及椭圆 C1 关于原点对称可得 B ( 2, ?1) , ∵ AQ ? AP ? 0 , BQ ? BP ? 0 , ∴

………………………9 分

∴ AP ? AQ , BP ? BQ .

y1 ? 1 y ?1 ? ? ?1 x1 ? ? 2 ,① x1 ? 2 x ? 2

?

?

……………………5 分

y1 ? 1 y ?1 ? ? ?1 x1 ? 2 . ② x1 ? 2 x ? 2

?

?

……………………6 分

y2 ?1 ? ? 1 . (*) ①?② 得 2 x1 ? 2 x 2 ? 2
∵ 点 P 在椭圆 C1 上, ∴

y12 ? 1

………………………7 分

x12 y12 x2 ? ? 1 ,得 y12 ? 2 ? 1 , 4 2 2

1 2 x1 y2 ?1 ?1 y 2 ? 1 ? 2 ? 1 ,即 ? 2 ? 1, 代入(*)式得 2 2 x1 ? 2 x ? 2 2 x ?2 1?

化简得 2 x2 ? y 2 ? 5 .

若点 P(? 2, ?1) 或 P( 2,1) , 此时点 Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或

(? 2, ?1) ,其坐标也满足方程 2 x2 ? y 2 ? 5 .

………………………8 分

当点 P 与点 A 重合时,即点 P (? 2, 1) ,由②得 y ? 2x ? 3 ,
2 2 ? ? 2 x ? y ? 5, 解方程组 ? 得点 Q 的坐标为 ? ? y ? 2 x ? 3,

?

? 2 ? 2, ?1 或 ? , ? 2 ? ? 2 ?. ? ?

?

同理, 当点 P 与点 B 重合时,可得点 Q 的坐标为 ? 2,1 或 ? ? ?

?

?

? ?

2 ? ,2? ?. 2 ?

∴点 Q 的轨迹方程为 2 x ? y ? 5 , 除去四个点
2 2

?

? 2 ? 2, ?1 , ? , ? 2 ? ? 2 ? , ? 2,1 , ? ?

?

?

?

? 2 ? ? ? ? 2 ,2? ?. ? ?
(3) 解法1:点 Q ? x, y ? 到直线 AB : x ? 2 y ? 0 的距离为

………………………9 分

x ? 2y 3

.

△ ABQ 的面积为 S ?

x ? 2y 1 ( 2 ? 2) 2 ? (?1 ? 1) 2 ? ………………………10 分 2 3
………………………11 分

? x ? 2 y ? x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 xy .
而2

y y y2 时等号成立) 2xy ? 2 ? (x2 ? ) ( ? ) x 2 ? 4 (当且仅当 2 x ? 2 2 2

∴S ?

x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 xy ? x 2 ? 2 y 2 ? 4 x 2 ?
y 时, 等号成立. 2

5 2 y2 5 . ……12 分 ? 5x 2 ? y 2 ? 2 2 2

当且仅当 2 x ?

y ? ? ? 2 2 , , ?x ? ? , ?2 x ? ?x ? 由? 解得 ? 2 2 或? 2 ?2 x 2 ? y 2 ? 5, ? y ? 2, ? y ? ?2. ? ? ?
∴△ ABQ 的面积最大值为 解法2:由于 AB ?

………………………13 分

? 2 ? ? ? 2 5 2 , 2 , ? 2 , 此时,点 Q 的坐标为 ? 或?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? .…14 分 2 ? ? ? ?

?

2? 2

?

2

? ? ?1 ? 1? ? 2 3 ,
2

故当点 Q 到直线 AB 的距离最大时,△ ABQ 的面积最大.………………………10分 设与直线 AB 平行的直线为 x ? 2 y ? m ? 0 , 由?

? ? x ? 2 y ? m ? 0, 消去 x ,得 5 y 2 ? 4 2my ? 2c2 ? 5 ? 0 , 2 2 ? ? 2 x ? y ? 5,

2 2 由 ? ? 32m ? 20 2m ? 5 ? 0 ,解得 m ? ?

?

?

5 2 . 2

………………………11分

若m ?

5 2 2 5 2 2 ,则 y ? ?2 , x ? ? ;若 m ? ? ,则 y ? 2 , x ? .…12分 2 2 2 2
? 2 ? ? ? 2 , 2 , ? 2 或?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 时,△ ABQ 的面积最大,其值为 ? ? ? ?

故当点 Q 的坐标为 ?

S?

1 AB ? 2

2 ? 2?2 2 1 ?
2

? 2?

2

?

5 2 . 2

………………………14分

2 4、已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,圆 D 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 . 2

(1)求圆 C 的方程; (2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A , B 两点,求 AB 的取值范围.

2 2 解: (1)方法一:设圆 C 的方程为: ? x ? a ? ? y ? r ? r ? 0 ? ,………………………………………1 分 2

因为圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,
2 2 ? ?a ? r , 所以 ? ………………………………………………………………………………3 分 2 2 2 ? 1 ? a ? 1 ? r . ? ? ? ? 解得 a ? ?1 , r ? 1 .
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .…………………………………………………………………4 分 2

方法二:设 O ? 0,0? , A ? ?1,1? , 依题意得,圆 C 的圆心为线段 OA 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C .………………………………1 分 因为直线 l 的方程为 y ?

1 1 ? x ? ,即 y ? x ? 1 ,……………………………………………………2 分 2 2

所以圆心 C 的坐标为 ? ?1,0? .…………………………………………………………………………3 分
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .…………………………………………………………………4 分 2

(2)方法一:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .…………………………………………………………………………………………5 分 由圆 C 与圆 D 的方程可知,过点 P 向圆 C 所作两条切线的斜率必存在, 设 PA 的方程为: y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , 则点 A 的坐标为 ? 0, y0 ? k1x0 ? , 同理可得点 B 的坐标为 ? 0, y0 ? k2 x0 ? , 所以 AB ? k1 ? k2 x0 , 因为 PA , PB 是圆 C 的切线,所以 k1 , k2 满足

?k ? y0 ? kx0 k 2 ?1

? 1,

2 2 2 即 k1 , k2 是方程 x0 ? 2 x0 k ? 2 y0 ? x0 ? 1? k ? y0 ? 1 ? 0 的两根,………………………………7 分

?

?

? 2 y0 ? x0 ? 1? , ?k1 ? k2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 即? 2 ?k k ? y0 ? 1 . ? 1 2 x0 2 ? 2 x0 ?
所以 AB ? k1 ? k2 x0 ? x0
2 ? 2 y0 ? x0 ? 1? ? 4 ? y0 ? 1? ……………………………………………9 分 ? 2 ? ? 2 x0 ? 2 x0 ? x0 ? 2 x0 ? 2

2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? , 2

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
2

5 x0 ? 6
2

.…………………………………………………………………………10 分

设 f ? x0 ? ?

? x0 ? 2?

5x0 ? 6



则 f ? ? x0 ? ?

?5 x0 ? 22

? x0 ? 2?

3

.………………………………………………………………………………11 分

由 2 ? x0 ? 6 ,可知 f ? x0 ? 在 ? 2,

? 22 ? ? 22 ? ? 上是增函数,在 ? , 6? 上是减函数,……………………12 分 ? 5 ? ? 5 ?

所以 ? ?f

? x0 ?? ? max ?

? 22 ? 25 , f ? ?? ? 5 ? 64

?1 3? 1 ? ? f ? x0 ? ? ? min ? min ? f ? 2 ? , f ? 6 ?? ? min ? 4 , 8 ? ? 4 , ? ?
所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .…………………………………………………………………14 分 4 ?

方法二:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .…………………………………………………………………………………………5 分 设点 A? 0, a ? , B ? 0, b? , 则直线 PA : y ? a ?

y0 ? a x ,即 ? y0 ? a ? x ? x0 y ? ax0 ? 0 , x0
a ? y0 ? ax0

因为直线 PA 与圆 C 相切,所以

? y0 ? a ?

2

? x0 2

?1,

化简得 ? x0 ? 2? a ? 2 y0a ? x0 ? 0 .
2

① ②

同理得 ? x0 ? 2? b ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,
2 2

由①②知 a , b 为方程 ? x0 ? 2? x ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,…………………………………………7 分

2 y0 ? ?a ? b ? x ? 2 , ? 0 即? ?ab ? ? x0 . ? x0 ? 2 ?

所以 AB ? a ? b ?

?a ? b?
2

2

? 4ab

? 2 y0 ? 4 x0 ? ? ? ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2
? 4 y0 2 ? 4 x0? x0? 2 ?

? x0 ? 2 ?
2

2

.……………………………………………………………………9 分

2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ,

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
16

5 x0 ? 6
2

……………………………………………………………………………10 分

?2 2 ?

? x0 ? 2 ?

2

?

5 .………………………………………………………………11 分 x0 ? 2

令t ?

1 1 1 ,因为 2 ? x0 ? 6 ,所以 ? t ? . 8 4 x0 ? 2
2
2

5 ? 25 ? 所以 AB ? 2 2 ?16t ? 5t ? 2 2 ?16 ? t ? ,………………………………………12 分 ? ? ? 32 ? 64
当t ? 当t ?

5 5 2 时, AB max ? , 32 4 1 时, AB min ? 2 . 4

所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .…………………………………………………………………14 分 4 ?

x2 y 2 2 2 5、已 知 椭 圆C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经 过 点M (1, . ) ,且其离心率为 a b 2 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 F 为椭圆 C 的右焦点,椭圆 C 与 y 轴的正半轴相交于点 B,经过点 B 的直线与椭圆 C 相交于另一点 A,且满足 BA ? BF =2 ,求△ABF 外接圆的方程. 解: (1)因为椭圆 C 经过点 M (1,

1 1 2 ) ,所以 2 ? 2 ? 1.① a 2b 2

a 2 ? b2 2 2 因为椭圆 C 的离心率为 ,所以 ,即 a 2 ? 2b2 .② ? 2 a 2
联立①②解得, a ? 2, b ? 1 .所以椭圆 C 的方程为
2 2

x2 ? y2 ? 1. 2

(2)由(1)得,椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,所以 F (1, 0), B(0,1) . 2

x 2 设 A( x0 , y0 ) ,则 0 ? y0 ? 1 .③ 2
因为 BA ? ( x0 , y0 ? 1), BF ? (1,?1) ,且 BA ? BF =2 , 所以 x0 ? ( y0 ?1) ? 2 ,即 y0 ? x0 ? 1 .④

2

4 ? x0 ? , ? ? x0 ? 0, 4 1 ? 3 联立③④解得, ? 或? ,所以 A(0,?1) 或 A( , ) . 3 3 ? y0 ? ?1, ? y ? 1 . 0 ? 3 ?
当 A 为 (0,?1) 时,因为 OA ? OB ? OF ? 1 ,所以△ABF 的外接圆是以 O 为圆心,1 为半径的圆,此时外接圆 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 当 A 为 ( , ) 时,设△ABF 的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

4 1 3 3

4 ? ? ?D ? ? 3 , ?1 ? D ? F ? 0, ? ? 4 ? 则 ?1 ? E ? F ? 0, 解得 ? E ? ? , 3 ? ?17 4 1 1 ? ? ? D ? E ? F ? 0, 3 ?9 3 ?F ? 3 . ?
此时外接圆的方程为 x ? y ?
2 2

4 4 1 x? y? ? 0. 3 3 3
2 2

综上所述,△ABF 的外接圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1或 x ? y ?

4 4 1 x? y? ? 0. 3 3 3

6、已知圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 2 7 ,若椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为圆 M 的圆心,离心率为 . a b 2 3

(2)已知直线 l : y ? kx ,若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,与圆 M 分别交于 G,H 两点(其中点 G 在线段 AB 上) ,且 AG ? BH ,求 k 的值. 解: (1)圆 M 的圆心为 ( 2,0) ,则 a ? 2

e?

c 2 ? ,? c ? 1 ,故 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 a 2
x2 ? y2 ? 1 2

椭圆 C 的方程为

(2)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A,B

? y ? kx 则? 2 2 ?x ? 2 y ? 2

得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ? 0

所以 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ?

2 1 ? 2k 2

? AB ? (1 ? k 2 )

8 8(1 ? k 2 ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2k 1? k2
,则 GH ? 2 r 2 ? d 2 ? 2

点 M ( 2,0) 到直线 l 的距离 d ?

7 2k 2 ? 3 1? k2

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾

AG ? BH , ? A B ? G H


8(1 ? k 2 ) 7 2k 2 ? 4( ? ), 2 1 ? 2k 3 1? k2

解得 k 2 ? 1 ,即 k ? ?1

7、已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,且点 P(1, ) 在椭圆 C 上, O 为坐标原点. 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设过定点 T (0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AOB 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (3) 过椭圆 C1 :

4 x2 y2 2 2 ? ? 1 上异于其顶点的任一点 P , 作圆 O : x ? y ? 的两条切线, 切点分别为 M , N( M , N 2 5 a 2 3 b ? 3 1 1 不在坐标轴上) ,若直线 MN 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 m 、 n ,证明: ? 2 为定值. 2 3m n
3 2 1 9 ? 2 ? 1 ,可解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 2 a 4b

解: (1)由题意得: c ? 1 所以 a 2 ? b 2 ? 1 又因为点 P(1, ) 在椭圆 C 上,所以 所以椭圆标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(2)设直线 l 方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 y 2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
2 2 因为 ? ? 12k ? 3 ? 0 ,所以 k ?

1 , 4

又 x1 ? x2 ?

?16k 4 , x1 x2 ? 2 2 4k ? 3 4k ? 3

因为 ?AOB 为锐角,所以 OA ? OB ? 0 , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 所以 x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 , 所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .
2 所以 (1 ? k ) ?

4 ?16k ? 2k ? 2 ?4?0 4k ? 3 4k ? 3
2



?12k 2 ? 16 4 1 4 ? 0 ,所以 k 2 ? .所以 ? k 2 ? , 2 3 4 3 4k ? 3

解得 ?

2 3 1 1 2 3 ?k ?? 或 ?k? 3 2 2 3

(3)由题意: C1 :

x2 3 y 2 ? ? 1 设点 P( x1 , y1 ) , M ( x2 , y2 ) , N ( x3 , y3 ) , 4 4
1 kOM ?? x2 y2

因为 M , N 不在坐标轴上,所以 k PM ? ?

直线 PM 的方程为 y ? y2 ? ? 化简得: x2 x ? y2 y ?

x2 ( x ? x2 ) y2

4 3



同理可得直线 PN 的方程为 x3 x ? y3 y ?

4 ⑤ 3

4 ? x2 x1 ? y2 y1 ? ? ? 3 把 P 点的坐标代入④、⑤得 ? ?x x ? y y ? 4 3 1 3 1 ? 3 ?
所以直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0 ,得 m ? 所以 x1 ?

4 , 3

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? , 3x1 3 y1

4 4 , y1 ? 又点 P 在椭圆 C1 上, 3m 3n 4 2 4 1 1 3 ) ? 3( ) 2 ? 4 , 即 2 ? 2 ? 为定值. 所以 ( 3m 3n 3m n 4
2 8、已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P 是直线 y ? x 与抛物线 C 在第一象限的交点,且 | PF |? 5 .

(1)求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 与抛物线 C 有唯一公共点 M ,且直线 l 与抛物线的准线交于点 Q ,试探究,在坐标平面内是 否存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ?若存在,求出点 N 的坐标,若不存在,说明理由. (1)解法 1: ∵点 P 是直线 y ? x 与抛物线 C 在第一象限的交点, ∴设点 P(m, m)(m ? 0) ∵抛物线 C 的准线为 y ? ?

p p ,由 | PF |? 5 结合抛物线的定义得 m ? ? 5 ① 2 2
2

又点 P 在抛物线 C 上,∴ m ? 2 pm (m ? 0) ? m ? 2 p ② 由①②联立解得 p ? 2 ,∴所求抛物线 C 的方程式为 x ? 4 y
2

[解法 2:∵点 P 是直线 y ? x 与抛物线 C 在第一象限的交点,

∴设点 P(m, m)(m ? 0)

∵抛物线 C 的焦点为 F (0,
2 即 m ? (m ?

p p ) ,由 | PF |? 5 得 m2 ? (m ? )2 ? 5 2 2

p 2 ) ? 25 ① 2

又点 P 在抛物线 C 上,∴ m2 ? 2 pm (m ? 0) ? m ? 2 p ② 由①②联立解得 p ? 2 ,∴所求抛物线 C 的方程式为 x2 ? 4 y (2)解法 1:由抛物线 C 关于 y 轴对称可知,若存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,则点 N 必在 y 轴上, 设 N (0, n)
2 x0 1 ) ,由直线 l : y ? kx ? m 与抛物线 C 有唯一公共点 M 知,直线 l 与抛物线 C 相切,由 y ? x 2 得 4 4

又设点 M ( x0 ,

y'?

1 1 x ,∴ k ? y ' |x ? x0 ? x0 2 2
2 x0 x ? 0 ( x ? x0 ) 4 2

∴直线 l 的方程为 y ?

2 x0 ?2 x 2 令 y ? ?1 得 x ? 2 ,∴ Q 点的坐标为 ( 0 ? , ?1) , x0 2 x0

2 x0 x 2 ? NM ? ( x0 , ? n), NQ ? ( 0 ? , ?1 ? n) 4 2 x0

∵点 N 在以 MQ 为直径的圆上, ∴ NM ? NQ ?
2 x0 x2 x2 ? 2 ? (1 ? n)( 0 ? n) ? (1 ? n) 0 ? n2 ? n ? 2 ? 0 2 4 4

(*)

要使方程 (*) 对 x0 恒成立,必须有 ?

?1 ? n ? 0
2 ?n ? n ? 2 ? 0

解得 n ? 1

∴在坐标平面内存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,其坐标为 (0,1) 解法 2 :设点 M ( x0 , y0 ) ,由 l : y ? kx ? m 与抛物线 C 有唯一公共点 M 知,直线 l 与抛物线相切,由 y ?

1 2 x 得 4

1 1 x ,∴ k ? y ' |x ? x0 ? x0 2 2 x ∴直线 l 的方程为 y ? y0 ? 0 ( x ? x0 ) 2 y'?
令 y ? ?1 得 x ?

7分

2( y0 ? 1) 2( y0 ? 1) ,∴ Q 点的坐标为 ( , ?1) x0 x0

∴以 MQ 为直径的圆方程为: ( y ? y0 )( y ? 1) ? ( x ? x0 )[ x ? 分别令 x0 ? 2 和 x0 ? ?2 ,由点 M 在抛物线 C 上得 y0 ? 1 将 x0 , y0 的值分别代入③得: ( y ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 2) x ? 0 ④

2( y0 ? 1) ]? 0③ x0

( y ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 2) x ? 0 ⑤
④⑤联立解得 ?

? x ? 0, ? x ? 0, 或? ? y ? 1. ? y ? ?1.

∴在坐标平面内若存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,则点 N 必为 (0,1) 或 (0, ?1) 将 (0,1) 的坐标代入③式 得,左边= 2(1 ? y0 ) ? (? x0 )[?

2( y0 ? 1) ] ? 2(1 ? y0 ) ? 2( y0 ?1) ? 0 =右边 x0

将 (0, ?1) 的坐标代入③式得,左边= (? x0 )[?

2( y0 ? 1) ] ? 2( y0 ? 1) 不恒等于 0 x0

∴在坐标平面内是存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,点 N 坐标为为 (0,1)


推荐相关:

05圆锥曲线

05圆锥曲线_数学_高中教育_教育专区。1、已知双曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支相交于 P ...


05【绝密】2016届专题五、圆锥曲线专题

05【绝密】2016届专题五、圆锥曲线专题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学专题复习 考点13 直线与圆 【1】 (A,北京,文 2)圆心坐标为 (1, 1) 且...


05第五节 直线与圆锥曲线

05第五节 直线与圆锥曲线_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第五节 直线与圆锥曲线 §4.5.1 直线与圆锥曲线位置关系问题 练习: 1. 答案: (1) 8 (3, ) ...


圆锥曲线05

圆锥曲线05 隐藏>> 5 高中数学北师大版选修 1—1 编写:马魏琴 审稿:王李红 《抛物线及标准方程(二) 》导学案 班级:___ 姓名:___ 一、 【课堂目标】 1...


圆锥曲线.05圆锥曲线中点弦,垂直平分线.知识讲解教师版

2 ? 2 ?1 b ?a 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 高考解决方案 第一阶段· 一轮复习课程· 圆锥曲线· 05 圆锥曲线中点弦,垂直平分线.....


圆锥曲线05高考题及答案

圆锥曲线05高考题及答案_高考_高中教育_教育专区。高考题 数学2005 年高考全国试题分类解析(圆锥曲线)一、选择题: 1 重庆卷) 若动点(x,y)在曲线 x 2 ? y ...


圆锥曲线 05直线与圆锥曲线(A级)理科.学生版

(Ⅲ)求证:直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值. MSDC 模块化分级讲义体系 高中数学.圆锥曲线 05 直线与圆锥曲线(A 级)理科.学生版 Page 5 of 14 考点二:...


圆锥曲线练习05ok

圆锥曲线练习05ok 这些资料是高中数学圆锥曲线部分系列练习,是高中学生必备的一些知识,在此我进行了总结并作出了相应的答案,上传给大家,希望大家能够喜欢,谢谢!这些资...


圆锥曲线的经典性质总结

圆锥曲线的经典性质总结_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线的经典性质总结 ...文档贡献者 淡定的终结者 贡献于2013-04-05 1/2 相关文档推荐 ...


05圆锥曲线教案 圆的标准方程和切线问题

05圆锥曲线教案 圆的标准方程和切线问题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 05圆锥曲线教案 圆的标准方程和切线问题_数学_高中教育_教育...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com