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2.1数列的概念与简单表示方法


第二章数列 2.1 数列的概念与简单表示法
(2 课时) 一、教学目标 1.知识与技能 (1)理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系; (2)了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项; (3) 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式. 2.过程与方法 通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽 象概括能力. 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣. 二、教学重点、难点 重点:数列及其有关概念,通项公式及其应用; 难点:根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 三、教学方法 启发式,讨论式 四、教学过程 (一)创设情景,导入课题 教师先举一些例子引入数列的概念. 1). 由小到大的正偶数排成一列 2,4,6,8,? 2). 正整数的倒数排成一列 3).

1 1 1 1, , , , ? 2 3 4

?1 的正整数次幂排成一列:?1, 1, ?1, 1, …

教师从传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家的沙滩上的数学问题 ---探究小石子数入 手,引入数列概念. 三角形数:1,3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… 让同学也举一些例子.

(二)师生互动,探究新知 1. 数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第一项(或首项) ,第 二项, … ,第 n 项, ….., 数列的第 n 项 an 叫做数列的通项(或一般项) 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,或简记为 ?an ? ,其中 an 是数列的第 n 项 师生用上述例子讨论或表达数列相关概念的表述. 2. 数列的分类

1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6. 是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6…是无穷数列 2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列. 递减数列:从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列. 常数数列:各项相等的数列. 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 观察: 课本 P28-29 的六组数列, 哪些是递增数列, 递减数列, 常数数列, 摆动数列? 3. 数列的通项公式

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系 可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式) 对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系: 1 1 1 1 1 项 2 3 4 5 ↓ 序号 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式: a n ?

1 来表示其对应关系, n

即:只要依次用 1,2,3…代替公式中的 n,就可以求出该数列相应的各项. 结合上述其它例子,练习找其对应关系. * 数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集 {1, 2 , 3 ,…, n})为定义域的函数

an ? f (n) ,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.
反过来,对于函数 y=f(x),如果 f(i)(i=1、2、3、4…)有意义,那么我们可以得到一个数 列 f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…,f(n),… 如果数列 ?an ? 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…它的通项公式

可以是 a n ?

n ?1 1 ? (?1) n ?1 ? |. ,也可以是 a n ?| cos 2 2

⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的 一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列 便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 4. 数列的表示 1) 解析法表示: 数列的通项公式 an=f(n)抽象简介. 2) 列表法 n an 不需要计算就可以直接看出项数与项相对应的关系 1 a1 2 a2 3 a3 ? ?

3) 函数图像法 数列的图像是一系列孤立的点. 点的坐标为(n,an) 图像能直接形象地表示出随着项数的变化,相应项变化的趋势,直观明了.

5.

数列的递推公式

引导学生用具体实例思考数列相邻两项的关系,从而得到数列的递推概念及递推公式. 如果一个数列 { an }的首项 a1 =1, 从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1, 即 那么

an ? 2an?1 ? 1(n ? 1)
a2 ? 2a1 ? 1 ? 3

a3 ? 2a2 ? 1 ? 7
像这样给出数列的方法叫做递推法. 如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前 n 项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法.

如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89 递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (n ? 2) 斐波那契数列简介(参照书P32-33)介绍. 递推公式 F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2) 1,1,2,3,5,8,13,21,?

(三) 定理应用,练习巩固 例 1.写出数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数 (1)1, ?

1 1 1 , ,? ; 2 3 4

(2) 2,0,2,0. 师生共同完成,教师及时评价. 例 2. 如图三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中,着色三角 形的个数依次构成一个数列的前 4 项, 请写出这个数列的一个通项公式, 并在直角坐标系中 画出它的图象.

教师借助多媒体动画演示,师生共同探讨数列的特征,并得到通项公式.

a1 ? 1 ? ? 例 3 设数列 ?an ? 满足 ? 写出这个数列的前五项。 1 a ? 1 ? ( n ? 1). n ? an?1 ?
解:分析:题中已给出 ?an ? 的第 1 项即 a1 ? 1 ,递推公式: a n ? 1 ?

1 an?1

解:据题意可知: a1 ? 1, a 2 ? 1 ?

1 1 3 1 5 8 ? 2, a3 ? 1 ? ? , a4 ? 1 ? ? , a5 ? a1 a2 2 a3 3 5

课本 P31[练习]1,2,3,4 (四)小结 1.数列的定义; 2.数列的通项公式; 3.数列和函数的关系; 4.数列的表示 5.数列的递推公式 (五)作业 习题 P33-34.A组,B组全部


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