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2014绵阳二诊数学(理科)


保密 ★ 启用前 【考试时间:2014 年 1 月 23 日 15:00—17:00】

绵阳市高中 2014 届第二次诊断性考试

数 学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的黑 色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答 题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.直线 3 x+y-1=0 的倾斜角是 A.30°
2 3 100

B.60°

C.120°

D.150°

2.计算:1+i+i +i +…+i (i 为虚数单位)的结果是 A.0 B.1 C.i D.i+1 3.已知 a、b∈ R,那么“ab<0”是“方程 ax2+by2=1 表示双曲线”的 A.必要不充分条件 C.充要条件 4.为了得到函数 y ? 3sin(2 x ? A.横坐标缩短到原来的 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

?

) 的图象,只需把函数 y ? 3sin( x ? ) 图象上所有点的 5 5

?

1 倍,纵坐标不变 2 1 倍,横坐标不变 2

B.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 C.纵坐标缩短到原来的

D.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 5.一个正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的三视图 如右图所示,则这个正三棱柱的体积为 A. 3 C. 4 3 B. 2 3 D. 6 3 正视图 1

3 侧视图

俯视图

6.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是 A.(0, ) C.(0,1)
1 2

B.( ,1) D.(0,1)∪ (1,+∞)

1 2

7.现有 1 位老师、2 位男学生、3 位女学生共 6 人站成一排照相,若男学生站两端,3 位女 学生中有且只有两位相邻,则不同排法的种数是 A.12 种 8 .已知椭圆 B.24 种 C.36 种 D.72 种

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 的半焦距为 c(c>0) ,左焦点为 F ,右顶点为 A ,抛物线 a2 b2

y2 ?

15 (a ? c) x 与椭圆交于 B、C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是 8

A.

8 15

B.

4 15

C.

2 3

D.

1 2

?0 ? a ? 4, 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x+b-a+3=0, 其中 a、 b 为常数, 点(a, b)是区域 ?: ? ?0 ? b ? 4
内的随机点.设该方程的两个实数根分别为 x1、x2,则 x1、x2 满足 0≤x1≤1≤x2 的概率是 A.

3 32

B.

3 16

C.

5 32

D.

9 16

10.一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面的 距离分别为 4、5、5,则这只小球的半径是 A.3 或 8 B.8 或 11 C.5 或 8 D.3 或 11

第Ⅱ 卷 (非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 《人再囧途之泰囧》首映结束,为了了解观众对该片的看法,决定从 500 名观众中抽取 10%进行问卷调查,在这 500 名观众中男观众占 40%,若按性别用分层抽样的方法抽取 采访对象,则抽取的女观众人数为 12.右图表示的程序所输出的结果是 人.

.

开始 i=6,s=1 i>4? 是 s=s×i i=i-1 输出 s 结束 否

13.(2 x ? 1)(1 ? )5 的展开式的常数项是__________. (填写具体 数字)

1 x

1 14.我们把离心率之差的绝对值小于 的两条双曲线称为“相近 2
双曲线 ” .已知双曲线 “相近双曲线”,则

x y x y ? ? 1 与双曲线 ? ?1是 4 12 m n

2

2

2

2

n 的取值范围是 m

.

15.已知函数 f ( x) ,若对给定的三角形 ABC,它的三边的长 a、b、c 均在函数 f ( x) 的定义 域内,都有 f ( a ) 、 f (b) 、 f (c) 也为某三角形的三边的长,则称 f ( x) 是△ ABC 的“三角 形函数”.下面给出四个命题: ① 函数 f1 ( x) ? x ( x ? (0, ? ?)) 是任意三角形的“三角形函数”;

? ?) 上的周期函数 f 2 ( x) 的值域也是 (0,? ?) ,则 f 2 ( x) 是任意三角形 ② 若定义在 (0,
的“三角形函数”; ③ 若函数 f3 ( x) ? x3 ? 3x ? m 在区间 上是某三角形的“三角形函数”,则 m 的取值 ( , ) 范围是 (

2 4 3 3

62 ; , +?) 27
是△ ABC

2 ④ 若 a、 b、 c 是锐角△ ABC 的三边长, 且 a、 b、 c∈ N+, 则 f 4 (x) ? x +l n x( x 0 )?

的“三角形函数”. 以上命题正确的有 . (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x)=(sinx+cosx)2-2sin2x. (Ⅰ )求 f (x)的单调递减区间;

A 6 (Ⅱ )A、B、C 是△ ABC 的三内角,其对应的三边分别为 a、b、c.若 f ( ) ? , 8 2

AB ? AC =12, a ? 2 7 ,且 b<c,求 b、c 的长.

17. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥ 底 面 ABCD,PD=DC,点 E 是 PC 的中点,作 EF⊥ PB 交 PB 于 F. (Ⅰ )求证:PA∥ 平面 EDB; (Ⅱ )求证:PB⊥ 平面 EFD; (Ⅲ )求二面角 C-PB-D 的大小. F D A B E C P

18. (本小题满分 12 分)甲、乙两位同学练习三分球定点投篮,规定投中得三分,未投中 得零分,甲每次投中的概率为 ,乙每次投中的概率为

1 3

1 . 4

(Ⅰ )求甲投篮三次恰好得三分的概率; (Ⅱ )假设甲投了一次篮,乙投了两次篮,设 X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得 分总和的差,求随机变量 X 的分布列.

19. (本小题满分 12 分) 已知各项均不为零的数列{an}的首项 a1 ? k 是不等于 1 的正常数) . (Ⅰ )试问数列 {

3 , 2an+1an=kan-an+1 (n∈ N +, 4

1 2 ? } 是否成等比数列,请说明理由; an k ? 1

(Ⅱ )当 k=3 时,比较 an 与

3n ? 4 的大小,请写出推理过程. 3n ? 5

20. (本小题满分 13 分)动点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 l:x=4 的距离之比 是常数

1 ,O 为坐标原点. 2

(Ⅰ )求动点 M 的轨迹 E 的方程,并说明轨迹 E 是什么图形? (Ⅱ )已知圆 C 的圆心在原点,半径长为 2 ,是否存在圆 C 的切线 m,使得 m 与圆 C 相切于点 P,与轨迹 E 交于 A、B 两点,且使等式 AP ? PB ? OP 成立?若存在,求出 m 的方程;若不存在,请说明理由.
2

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f (x)=xlnx(x∈ (0,+∞)). (Ⅰ )求 g ( x) ?

f ( x+1) (-1,+∞))的单调区间与极大值; ? x (x∈ x+1

(Ⅱ )任取两个不等的正数 x1、x2,且 x1<x2,若存在 x0>0 使 f ?( x0 ) ? 立,求证:x1<x0<x2; (Ⅲ )已知数列{an}满足 a1=1, an?1 ? (1 ? 然对数的底数) .

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 成 x2 ? x1

11 1 1 4 ( n ∈ N ) ,求证: (e 为自 a ? e ) a ? + n n 2n n2

绵阳市高中 2010 级第二次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBCAA BBDAD

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.30 12.30 13.-9 14. [

4 4 5 21 , ] ∪[ , ] 21 5 4 4

15.① ④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ )f (x)=1+sin2x-1+cos2x= 2 sin(2x+ ∴ 当 2k? ? 解得 k? ?

?
4

),

?
2

≤2x+

?
4

≤ 2 k? ?

3? 时,f (x)单调递减, 2

?
8

≤x≤ k? ?

5? , 8

即 f (x)的单调递减区间为[ k? ? (Ⅱ )f ( ∴

?
8

, k? ?

5? ](k∈ Z). ……………………6 分 8

6 3 A ? A ? A )= 2 sin( + )= ,即 sin( + )= , 2 2 4 4 4 4 8

2? ? 5? A ? ? + = 或 ,即 A= 或 (舍) . 3 3 3 4 4 3

由 AB ? AC =c· b· cosA=12,cosA= 又 cosA=

1 ,得 bc=24.① 2

b2 ? c2 ? a 2 1 2 2 ? ,a ? 2 7 ,得 b +c =52. 2bc 2
z P F D A x G B E C

∵b2+c2+2bc=(b+c)2 =100,b>0,c>0, ∴b+c=10,② 联立① ② ,且 b<c,解得 b=4,c=6. ………12 分 17.解:如图所示建立空间直角坐标系,设 DC=1. (Ⅰ )连结 AC,交 BD 于 G,连结 EG.依题意得 A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,

y

1 1 , ). 2 2

∵ 底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心, 故点 G 的坐标为(

1 1 , ,0), 2 2

1 1 且 PA ? (1 , 0, ? 1), EG ? ( , 0, ? ). 2 2
∴ PA ? 2EG ,这表明 PA//EG.而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, ∴PA//平面 EDB. ……………………………………………………………4 分 (Ⅱ )依题意得 B(1,1,0), PB =(1,1,-1).

1 1 1 1 又 DE ? (0, , ) , 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 . 2 2 2 2

∴PB ? DE . 由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E , ∴ PB ? 平面 EFD.…………………………………………………………8 分 (Ⅲ )由(Ⅱ )知 EF ? PB , PB ? DF ,故 ?EFD 是所求二面角的平面角. 设点 F 的坐标为(x0,y0,z0), PF ? k PB , 则(x0,y0,z0-1)=k(1,1,-1),从而 x0=k,y0=k,z0=1-k, ∵ PB ? FD =0,所以(1,1,-1)· (k,k,1-k)=0,解得 k ?

1 , 3

1 1 2 1 1 1 1 1 2 ∴ 点 F 的坐标为 ( , , ) ,且 FE ? (? , , ? ) , FD ? (? , ? ,? ) 3 3 3 3 6 6 3 3 3
∴ cos ?EFD ?

FE ? FD 1 ? ? ,得 ?EFD ? . 3 | FE || FD | 2

∴ 二面角 C-PB-D 的大小为

?
3

.…………………………………………12 分

18.解: (Ⅰ )甲投篮三次恰好得三分即 1 次投中 2 次不中, ∵ 甲投篮三次中的次数 x~B(3,
1 ∴P(x=1)= C3 ? ? (1 ? )2 ?

1 ), 3

1 3

1 3

4 , 9
4 .…………………………………………4 分 9

甲投篮三次恰好得三分的概率为

(Ⅱ )设甲投中的次数为 m,乙投中的次数为 n, ① 当 m=0,n=2 时,X=-6, ∴P(X=-6)=

2 2 1 2 1 ? C2 ? ( ) ? . 3 4 24

② 当 m=1,n=2 或 m=0,n=1 时,X=-3, ∴P(X=-3)= ? ( )2 ?

1 1 3 4

2 1 1 3 13 ? C2 ? ? ? . 3 4 4 48

③ 当 m=1,n=1 或 m=0,n=0 时,X=0,
1 0 ∴P(X=0)= ? C2 ? ? ? ? C2 ? ( )2 ?

1 3

1 3 4 4

2 3

3 4

1 . 2

④ 当 m=1,n=0 时,X=3,
0 ∴P(X=3)= ? C2 ? ( )2 ?

1 3

3 4

9 . 48

∴ X 的分布列为 X -6 -3 0 3

P

1 24

13 48

1 2

9 48

…………………………………12 分 19.解: (Ⅰ )由 2an+1an=kan-an+1,可得

ka ? 1 1 = n , an ?1 2 an



1 2 4 2 2 2 ka ? 1 1 1 1 2 ? ? = n = ( ? . ? ? ) ,首项为 ? a1 k ? 1 3 k ? 1 k ? 1 k an k ? 1 an ?1 k ? 1 2 an



1 2 4 2 5 } 为零数列,不成等比数列. ? ? 0 ,即 k= 时,数列 { ? an k ? 1 3 k ?1 2



4 2 5 ? ? 0 ,即 k>0,k ? 1 且 k ? 时, 3 k ?1 2
1 2 4 2 1 ? } 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列. an k ? 1 3 k ?1 k
1 2 5 5 } 不成等比数列;当 k>0,k ? 1 且 k ? 时, 时,数列 { ? a k ? 1 2 2 n

数列 {

∴ 综上所述,当 k=

数列 {

1 2 ? } 是等比数列.……………………………………6 分 an k ? 1
1 1 1 ? 1} 是以 为首项, 为公比的等比数列. an 3 3
n

(Ⅱ )当 k=3 时,数列 {



1 3 1 1 ? 1 ? ( ) n ,即 an= n =1- n , an 3 3 ?1 3 ?1
1 1 3n ? 3n ? 4 1 1 3n ? 4 =1- n -(1)= - n = , 3 ?1 3n ? 5 3n ? 5 3 ? 1 (3n ? 5)(3n ? 1) 3n ? 5

∴an-

令 F(x) =3x-3x-4(x≥1),则 F ?( x ) =3xln3-3≥ F ?(1) >0,

? ? ) 上是增函数. ∴F(x)在 [1,
而 F(1)=-4<0,F(2)=-1<0,F(3)=14>0, ∴① 当 n=1 和 n=2 时, an<

3n ? 4 ; 3n ? 5

② 当 n≥3 时,3n+1>3n+5,即

1 1 3n ? 4 > n ,此时 an> . 3n ? 5 3 ? 1 3n ? 5
3n ? 4 3n ? 4 ;当 n≥3 时,an> .…12 分 3n ? 5 3n ? 5

∴ 综上所述,当 n=1 和 n=2 时,an<

20.解: (Ⅰ )由题意得,

( x ? 1)2 ? y 2 1 ? , x?4 2

化简得:

x2 y2 ? ? 1 ,即轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆. 4 3

………………5 分

(Ⅱ )设 A(x1,x2),B(x2,y2). ∵ OA ? OB =( OP ? PA )?( OP ? PB )= OP + OP ? PB + PA ? OP + PA ? PB , 由题知 OP⊥ AB,故 OP ? PB =0, PA ? OP =0. ∴ OA ? OB = OP + PA ? PB = OP - AP ? PB =0. 假设满足条件的直线 m 存在, ① 当直线 m 的斜率不存在时,则 m 的方程为 x= ? 2 , 代入椭圆
2 2 2

x2 y2 6 . ? ? 1 ,得 y= ? 4 3 2

∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=-2-

6 ? 0,这与 OA ? OB =0 矛盾,故此时 m 不存在. 4

② 当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y=kx+b, ∴|OP|=

b 1? k
2

? 2 ,即 b2=2k2+2.

联立

x2 y2 2 2 2 ? ? 1 与 y=kx+b 得,(3+4k )x +8kbx+4b -12=0, 4 3 4b 2 ? 12 ?8kb , x , 1x2= 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3b 2 ? 12k 2 , 3 ? 4k 2

∴ x1+x2=

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2= ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2= ∴7b2-12k2-12=0, 又∵b2=2k2+2,

4b 2 ? 12 3b 2 ? 12k 2 + =0. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴2k2+2=0,该方程无解,即此时直线 m 也不存在. 综上所述,不存在直线 m 满足条件.………………………………………13 分 21.解: (Ⅰ )由已知有 g ( x) ? 于是 g ?( x) ?

f ( x+1) ? x = ln( x +1) ? x , x+1

1 x . ? 1= ? x+1 x ?1

故当 x∈ (-1,0)时, g ?( x) >0;当 x∈ (0,+∞)时, g ?( x) <0. 所 以 g(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (-1 , 0) , 单 调 递 减 区 间 是 (0 , +∞) , g(x) 的 极 大 值 是 g(0)=0. ……………………………………………………………………4 分

(Ⅱ )因为 f ?( x) ? ln x+1 ,所以 ln x0 +1 =

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,于是 x2 ? x1

ln x0 ? ln x2 =

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ln x2 ? x1 ln x1 ? ln x2 ? 1 = 2 ? ln x2 ? 1 x2 ? x1 x2 ? x1

= x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? 1 = ?1, x2 x2 ? x1 ?1 x1 令

ln

x2 x1

x2 ln t ln t ? t ? 1 =t (t>1), h(t )= , ?1 ? x1 t ?1 t ?1

因为 t ? 1 ? 0 ,只需证明 ln t ? t +1 ? 0 .

1 令? (t )? ln t ? t +1,则 ? ? (t )? ? 1 ? 0 , t
∴ ?(t )在 t ? (1, +?) 递减,所以 ?(t )? ?(1)=0 , 于是 h(t)<0,即 ln x0 ? ln x2 ,故 x0 ? x2 . 仿此可证 x1 ? x0 ,故 x1 ? x0 ? x2 .……………………………………………10 分 (Ⅲ )因为 a1 ? 1 , an?1 ? (1 ? 于是 an?1 ? (1 ?

1 1 )an ? 2 ? an ,所以 {an } 单调递增, an ≥1. n 2 n

1 1 1 1 1 1 )an ? 2 ? (1 ? n )an ? 2 an =(1 ? n ? 2 )an , n 2 n 2 n 2 n 1 1 ? ) . (*) 2n n2

所以 ln an?1 ? ln an ? ln(1 ?

由(Ⅰ )知当 x>0 时, ln(1+x) <x. 所以(*)式变为 ln an?1 ? ln an ? 即 ln ak ? ln ak ?1 ?

1 1 ? . 2n n2

1 1 ? (k∈ N,k≥2), k ?1 2 (k ? 1)2

令 k=2,3,…,n,这 n-1 个式子相加得

ln an ? ln a1 ? (

1 1 + + 21 22

+

1 1 1 ) ?[ 2 ? 2 ? n ?1 2 1 2

?

1 ] (n ? 1) 2
? 1 ] (n ? 2)(n ? 1)

?(1=(1=(1-

1 1 1 1 1 ) ?[ 2 ? 2 ? ? ? n ?1 2 1 2 2 ? 3 3? 4

1 1 1 1 1 1 ) ? [1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? n ?1 2 4 2 3 3 4 1 1 1 1 ) ?(1 ? ? ? ) 2n?1 4 2 n ?1

?(

1 1 ? )] n ? 2 n ?1

=

11 1 1 11 - n?1 ? ? , 4 2 n ?1 4

11 11 11 ? ,所以 an ? e 4 .……………………………………14 分 即 ln an ? ln a1 ? 4 4


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