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北师大版数学【选修2-3】练习:3.1 回归分析(含答案)


第三章

§1

一、选择题 1.相关系数 r 的取值范围是( A.[-1,1] C.[0,1] [答案] A - - 2.(2014· 重庆理,3)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x =3, y = 3.5,则由该观测数据算得线性回归方程可能为( ^ A.y=0.4x+2.3 ^ C.y=-2x+9.5 [答案] A [解析] 本题考查了线性回归方程,将点(3,3.5)代入个方程中可知,选项 A 成立,所以 选 A,线性回归方程一定经过点( x , y ). 3.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),r1 表示变量 Y 与 X 之 间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则( A.r2<r1<0 C. r2<0<r1 [答案] C [解析] 对于变量 Y 与 X 而言,Y 随 X 的增大而增大,故 Y 与 X 正相关,即 r1>0;对于 变量 V 与 U 而言,V 随 U 的增大而减小,故 V 与 U 负相关,而 r2<0,所以有 r2<0<r1,故 选 C. 二、填空题 4.对于回归方程 y=4.75x+257,当 x=28 时,y 的估计值是____________. [答案] 390 [解析] ∵y=4.75x+257,当 x=28 时,y=4.75×28+257=390. 5. (2010· 广东)某市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位: 万元)与年平均支出 Y(单 位:万元)的统计资料如下表所示: 年份 收入 x 2005 11.5 2006 12.1 2007 13 2008 13.3 2009 15 B. 0<r2<r1 D.r2=r1 ) ) ) B.[-1,0] D.(-1,1)

^ B.y=2x-2.4 ^ D.y=-0.3x+4.4

支出 Y

6.8

8.8

9.8

10

12

根据统计资料, 居民家庭年平均收入的中位数是__________, 家庭年平均收入与年平均 支出有__________线性相关关系. [答案] 13 较强的 [解析] 由表中所组的数据知所求的中位数为 13, 画出 x 与 Y 的散点图知它们有较强的 线性相关关系. 三、解答题 6.(2012· 福建文,18)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先 拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

^ (1)求回归直线方程y=bx+a,其中 b=-20,a= y -b x ; (2)预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从(1)中的关系, 且该产品的成本是 4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 1 [解析] (1)由于 x = (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, 6 1 y = (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80. 6 所以 a= y -b x =80+20×8.5=250,从而回归直线方程为 y=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1000 33 =-20(x- )2+361.25. 4 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定价为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.

一、选择题 1.(2014· 湖北理,4)根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 5 -0.5 ) B.a>0,b<0 D.a<0,b<0 6 0.5 7 -2.0 8 -3.0

^ 得到的回归方程为y=bx+a,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0

[答案] B [解析] 作出散点图如下:

^ 由图象不难得出:回归直线y=bx+a 的斜率 b<0,截距 a>0.所以 a>0,b<0.解答本题的 关键是画出散点图,然后根据散点图中回归直线的斜率、截距来判断系数 b,a 与 0 的大小. 2.对四对变量 y 和 x 进行相关性检验,已知 n 是观测值的组数,r 是相关系数,且知① n=3,r=0.9950;②n=7,r=0.9533;③n=15,r=0.3012;④n=17,r=0.4991.(已知 n =3 时, r0.05=0.997; n=7 时, r0.05=0.754; n=15 时, r0.05=0.514; n=17 时, r0.05=0.482)(r0.05 为 r 的临界值) 则变量 y 和 x 具有线性相关关系的是( A.①和② C.②和④ [答案] C [解析] 若 y 与 x 具有线性相关关系,则需 r>r0.05,对②和④都满足 r>r0.05. 3.(2011· 山东)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 ) B.①和③ D.③和④

广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)

4 49

2 26

3 39

5 54

根据上表可得回归方程 y=bx+a 中的 b 为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售 额为( ) B.65.5 万元 D.72.0 万元

A.63.6 万元 C.67.7 万元 [答案] B

49+26+39+54 4+2+3+5 [解析] ∵a= y -b x = -9.4× =9.1, 4 4 ∴回归方程为 y=9.4x+9.1. 令 x=6,得 y=9.4×6+9.1=65.5(万元).

4.(2012· 新课标文,3)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…, 1 xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,则这 2 组样本数据的样本相关系数为( A.-1 1 C. 2 [答案] D [解析] 本题考查了相关系数及相关性的判定. 1 样本相关系数越接近 1,相关性越强,现在所有的样本点都在直线 y= x+1 上,样本 2 的相关系数应为 1. 要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系. 5.(2013· 湖北文,4)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并 求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423; ^ ②y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648; ^ ③y 与 x 正相关且y=5.437x+8.493; ^ ④y 与 x 正相关且y=-4.326x-4.578 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② C.③④ [答案] D ^ [解析] 若 y 与 x 负相关,则y=bx+a 中 b<0,故①不正确,②正确; ^ 若 y 与 x 正相关,则y=bx+a 中 b>0,故③正确,④不正确;故选 D. 二、填空题 6.下列说法中错误的命题序号是________. (1)如果变量 η 与 ξ 之间存在着线性相关关系,则我们根据实验数据得到的点(xi,yi)(i= 1、2、…,n)将散布在某一条直线的附近 (2)如果两个变量 ξ 与 η 之间不存在线性关系, 那么根据它们的一组数据(xi, yi)(i=1,2, …, n)不能写出一个线性方程 (3)设 x,y 是具有相关关系的两个变量,且 x 关于 y 的线性回归方程为 y=bx+a,b 叫 作回归系数 (4)为使求出的线性回归方程有意义,可用统计假设检验的方法来判断变量 η 与 ξ 之间 ) B.②③ D.①④ ) B.0 D.1

是否存在线性相关关系 [答案] (2) [解析] 两个变量不具有相关关系, 但据公式, 我们也能求得其回归方程, 只是无意义, 因此要进行相关性检验.然后再求回归直线的方程.故(2)不正确,∴填(2). 7.某化工厂为预测某产品的回收率 y,研究得知它和原料有效成分含量 x 之间具有线 性相关关系,现取 8 对观测值,计算得 ?xi=52, ?yi=228,
i=1 i=1 8 8

i=1

?x2 i =478, ?xiyi=1849,则 y 与 x 的线性回归方程是____________.(精确到小数点后
i=1

8

8

两位数) [答案] y=11.47+2.62x [ 解析 ] 18 13 18 57 根据给出的数据可先求 x = ?xi = , y = ?yi = ,然后代入公式 b= 8 i=1 2 8 i=1 2 y
2

i=1

?xiyi-8 x ?x2 i -8 x
8

8

13 57 1849-8× × 2 2 = ≈2.62,a= y -b x =11.47,进而求得回归方程 y= 169 478-8× 4

i=1

11.47+2.62x. 三、解答题 8.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) x y 求线性回归方程. [解析] 求回归直线的方程, 关键在于正确的求出 a 和 b, 由于在求 a, b 时计算量较大, 计算时要仔细谨慎、分层进行,避免计算错误.作出散点图 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

由散点图可判断出,变量间存在线性相关关系.列表: i 1 2 3 4 5

xi yi xiyi

2 30 60

4 40 160

5 60 300

6 50 300

8 70 560

x =5, y =50,

i=1

?x2 i =145, ?xiyi=1380
i=1

5

5

i=1

?xiyi-5 x ?x2 i -5 x
5 2

5

y 1380-5×5×50 = =6.5, 145-5×52

于是可得 b=

i=1

a= y -b x =50-6.5×5=17.5. 于是所求的回归直线方程是 y=17.5+6.5x. 9. (2013· 重庆文, 17)从某居民区随机抽取 10 个家庭, 获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位: 千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80,?yi=20,?xiyi=184,?x2 i =720.
i=1 i=1 i=1 i=1 10 10 10 10

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄. -- ?xiyi-n x y
2 ?x2 i -n x n n

i=1

附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=

- - ,a= y -b x , -

i=1

- - ^ ^ ^ 其中 x , y 为样本平均值.线性回归方程也可写为y=bx+a. 1n 80 1n 20 [解析] (1)由题意知 n=10, x =- ?xi= =8, y = ?yi= =2. ni=1 10 ni=1 10
2 2 又 lxx= ?x2 i -n x =720-10×8 =80, i=1 n

lxy= ?xiyi=n x y =184-10×8×2=24.
i=1

n

lxy 24 由此得 b= = =0.3,a= y -b x =2-0.3×8=-0.4, lxx 80 故所求回归方程为 y=0.3x-0.4.

(2)由于变量 y 的值 B 随 x 的值增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元). 10.如下表所示,某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级 x 的地震次数为 N,试 建立 N 对 x 的回归方程,并表述二者之间的关系. 震级 地震 数 震级 地震 数 3 2838 1 5.2 746 3.2 2038 0 5.4 604 3.4 1479 5 5.6 435 3.6 1069 5 5.8 274 3.8 7641 6 206 4 5502 6.2 148 4.2 3842 6.4 98 4.4 2698 6.6 57 4.6 1919 6.8 41 4.8 1356 7 25 5.0 973

[解析] 由表中数据得散点图如图 1.从散点图中可以看出,震级 x 与大于或等于该震级 的地震次数 N 之间呈现出一种非线性的相关性,随着 x 的减少,所考察的地震数 N 近似地 以指数形式增长.于是令 y=lgN.得到的数据如下表所示.

图1 x y x y 3 4.453 5.2 2.873 3.2 4.309 5.4 2.781 3.4 4.170 5.6 2.638 3.6 4.029 5.8 2.438 3.8 3.883 6 2.314 4 3.741 6.2 2.170 4.2 3.585 6.4 1.991 4.4 3.431 6.6 1.756 4.6 3.283 6.8 1.613 4.8 3.132 7 1.398 5.0 2.988

x 和 y 的散点图如图 2.

图2 从散点图(2)中可以看出 x 和 y 之间有很强的线性相关性, 因此由最小二乘法得 a≈6.704, b≈-0.741, 故线性回归方程为 y=-0.741x+6.704.因此, 所求的回归方程为: lgN=-0.741x +6.704,故 N=10
-0.741x+6.704

.

[点评] 在解回归分析问题时, 一般先作出原始数据的散点图. 依据散点图中点的分布, 选择合适的函数模型进行拟合.


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