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1.4三角函数的图象与性质(3课时)


1.4.1
正弦、余弦函数的 图象

1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾

三角函数 正弦函数
sin?=MP
cos?=OM tan?=AT
y

三角函数线 正弦线MP

余弦函数
正切函数

余弦线OM
正切线AT
P
T

?
-1

O

M

A(1,0)

x

正弦、余弦函数的图象
问题:如何作出正弦、余弦函数的图象? 途径:利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
B
y

1

描图:用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来

O1

A O
-1

?
3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2k?)=sinx, k?Z

y=sinx x?[0,2?]
f ( x ? 2 k? ) ? f ( x )

y=sinx x?R

利用图象平移

正弦、余弦函数的图象
y 1

?

?
2

o -1

?
2

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R

y
1

正弦曲 线
? 2?

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

3?

4?

5?

6?

x

正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像?
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

正弦曲 线
?

形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象

y
(0,1) 1 ( ,0) ?
2 3?

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

-4?

-3?

-2?

-?

(o ,0) 2 -1

?

( ? ,-1)

x

正弦、余弦函数的图象

y
1
?
2

( ,1)
2 ?

?

五点画图法
( ,1)
2

?

(0,0) o (0,0)

?
2

( ,1)
2

?

( ? ,0)

( ,1)
2

?

?
?

( ? ,0) ( ? ,0)

3? 2

-1

(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)

( 2? ,0) ( 2? ,0) x 2? ( 2? ,0)

( ,1)
2

五点法——

( ,1) 2 ? ( ,1) ? 2 ( ? ,1) ( 2 ,1) 2

?

( ? ,0) (3? ,-1) 3? ? ( ? ,0)2( 3,1) 2 3,1) ( ( ? 3,1) ( ? ,0) 2 ? 2 3? ( ,1) ( ? ,0) 2 3? ,-1) (? 3 ( ? ,0) 3?2 ,-1) ( ( 2 ,-1) ( ? ,0) ( 22,-1)

( 2? ,0) ( 2? ,0) ( 2? ,0) ( 2? ,0) ( 2? ,0) ( 2? ,0)

正弦、余弦函数的图象
例1 (1)画出函数y=1+sinx,x?[0, 2?]的简图:

x
sinx

0 0 1
y
2

?
2

? 0 1

3? 2

2? 0 1 步骤: 1.列表 2.描点 3.连线
2?

1 2

-1 0

1+sinx

y=1+sinx,x?[0, 2?] 1
?
2

o -1

?

?
2

?

3? 2

x

y=sinx,x?[0, 2?]

正弦、余弦函数的图象
(2) 画出函数y= - cosx,x?[0, 2?]的简图:

x
cosx - cosx
y
1
?
2

0 1 -1

?
2

? -1 1

3? 2

2? 1 -1

0 0

0 0

y=cosx,x?[0, 2?]

?

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

x

y= - cosx,x?[0, 2?]

例2.用五点法作函数
y ? 2 cos( x ?

?
3

), x ? [0, 2 ? ]

的简图.

例3.利用正弦函数和余弦函数的图象, 求满足下列条件的x的集合:
(1) sin x ? 1 2
( 2 ) cos x ? 1 2 , x ? (0, 5? 2 )

作业:P46 A组: 1; B组:1 作下列函数的简图 ⑴ y=|sinx|, ⑵y=sin|x|

选做:用“五点法”作函数:
y ? 3 sin(2 x ?

?
3

) ?1

的简图

1.4.2 正、余弦函数的性质

要点回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
( ,1) 1 (0,0) -4? -3? -2? -?
2

五点法
正弦曲 线
( 2? ,0)

?

o
-1

( ? ,0) ?
3? 2

2?

3?

4?

5?

6?

x

( ,-1)

y
(0,1) 1 -4? -3? -2? -?
? (o ,0)

( ,0)
?
2

3?

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

-1

2

( ? ,-1)

x

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (一)关于定义域
例1.求下列函数的定义域:

1) y ? lg sin x 2) y ? 2 cos 3 x

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (二)关于周期性 1.周期性的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有

f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期. 注意:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数,那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 2.求函数的周期 例2.求下列函数的周期:

1) y ? 3 co s x 2 ) y ? sin 2 x 3) y ? 2 sin ( 1 2 x?

?
6

), x ? R
---定义法

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 例3.求下列函数的周期: ---利用结论 ?
1) y ? s in ( x ? 2) y ? cos 3 x 3) y ? 3 s in ( 1 3 x? ) 3

P36.ex.1.2
?
5 ), x ? R

一般 结论:
2?

函 数 y ? A sin ( ? x ? ? ) 及 y ? A co s( ? x ? ? ), x ? R ( A , ? , ? 为 常 数 , A ? 0, ? ? 0 )的 周 期 T ?

?

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (三)关于奇偶性(复习)
一般地, ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x ),那么就说f( x )是偶函数 ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x ),那么就说f( x )是奇函数 结论:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶 函数

新课讲解. 例4.下列函数是奇函数的为: D

例5.试判断函数 f ( x ) ? 在下列区间上的奇偶性 1 ? sin x ? cos x
(1) x ? ( ?

1 ? sin x ? cos x
? ?
.

? ?
.

).......(2) x ? [ ?

]

2 2

2 2

注意大前提:定义域关于原点对称

今日作业

书本P46.A组3.10

B组3+附加

附加.判断下列函数的奇偶性
1) y ?
2) y ?

2 cos 2 x
sin x ? 1

1.4.3 正切函数 的图象和性质

复习回顾
一.正弦余弦函数的作图: 几何描点法(利用三角函数线) 五点法作简图
二.周期性:
函 数 y ? A s in ( ? x ? ? ) 和 y ? A c o s (? x ? ? ), x ? R 的 周 期 T ? 2? |? |

三.奇偶性:
y ? sin x 为奇函数,图像关于原 y ? cos x 为偶函数图像关于 点对称; y 轴对称。

复习回顾
y

y=sinx
?

1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

四.单调性:
正弦函数在 [? 在[

?
2

? 2k ? , ? 2k ? ,

?
2

? 2 k ? ]( k ? Z ) 上是单调递增的 ? 2 k ? ]( k ? Z ) 上是单调递减的

, 从 ? 1到 1; , 从 1到 ? 1

?
2

3? 2

余弦函数在区间

[ 2k ? ? ? , 2k ? ]( k ? Z ) 上是单调递增

, 从 ? 1到 1 : , 从 1到 ? 1

在区间 [ 2k ? , 2k ? ? ? ]( k ? Z ) 上是单调递减

复习回顾
y

y=sinx
?

1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
y ? sin x : 定 义 域 为 R , 值 域 [ ? 1,1] 最 大 值 1 ,此 时 x ?

?
2

? 2 k ? ; 最 小 值 -1, 此 时 x ? ?

?
2

? 2k? ;

y ? c o s x : 定 义 域 为 R , 值 域 [ ? 1,1] 最 大 值 1 , 此 时 x ? 2 k ? ; 最 小 值 -1, 此 时 x ? 2 k ? ? ? ;

复习回顾
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

六.对称轴和对称点:
y ? sin x 的对称轴: y ? cos x 的对称轴: x ? k? ?

?
2

, 对称点: ( k ? , 0 );

x ? k ? , 对称点: ( k ? ?

?
2

, 0 );

七 . y ? sin x 和 y ? cos x 的图像性质的研究思想 (1) 充分利用图像 - - - - 数形结合的思想



( 2 ) y ? sin x , y ? cos x 与 y ? A sin( ? x ? ? ), y ? A cos( ? x ? ? )间的换元思想

正切函数的性质与图像
(1)正切曲线图象如何作:
几何描点法(利用三角函数线)

思考:画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢?

正切函数的性质与图像
(二)周期性 :
由诱导公式 tan(x+? )=tanx,x ? R , x ?

?
2

? k? , k ? Z

问题:是否是最小的正周期呢?

可以知道?是正切函数的一个正周期

(三)奇偶性:
由 诱 导 公 式 tan ( - x )= - tan x , x ? R , x ? y ? tan x , x ?

?
2

? k? , k ? Z

?
2

? k? ? k ? z ? 为 奇 函 数 ,图 像 关 于 原 点 对 称

正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像
(四)单调性:观察图像

正切函数在

? ? ? ? , ?, k ? Z 中为递增函数,由周期 ?? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? k ? , ? k ? ?, k ? Z 中是增函数。 ?? 2 2 ? ?

性知,

正切函数在

思考:在整个定义域内是增函数么?

正切函数的性质与图像

(五)定义域、值域:

(六)关于对称点对称轴:从图象可以看出:无对称轴。
直线

x?

?

? k?

为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点,即

(

k? 2

, 0)

2

k?Z

应用提升
?

求 函 数 y ? ta n ? x ? ?的 定 义 域 , 值 域 , 并 指 出 它 的 周 期 性 , 3 ? ? 2 奇偶性,单调性,对称中心,作出它的大致草图

例1(书上P44例6有变动) ? ? ??

解:

定义域:{x | x ? 2k ?
周期: T ? 2

1 3

, k ? Z}

值域: R

奇偶性:非奇非偶
? 5 1 ? 2k , ? 2k ), k ? Z 3 3

单调区间:(

对 称 中 心 : (k-

2 3

, 0), k ? Z

应用提升
? 13 ? 例 2 .比较 tan ? ? 4 ? ? ? 与 tan ? ? 17 ? ?? 5 ? ? ?的大小 ? ?

应用提升 练 习 1 : 试 着 画 出 y ? | ta n x | 和 y ? ta n | x |
并讨论它们的单调性,周期性和奇偶性.

练 习 2.如 果 ? 、 ? ? ( 那么必有( A .? ? ? C .? ? ? ? 3? 2 )

?
2

, ? ) 且 ta n ? ? c o t ? ,

B .? ? ? D .? ? ? ? 3? 2

应用提升
例 3 .求 函 数 y ? ta n x ? 1 3 ? ta n x 的定义域

例 4 .试 讨 论 函 数 y ? log a tan x的 单 调 性

小结回顾
正切函数的基本性质

课后作业
1.书本P45练习,做书上.
2.P46习题A组6,7,8,9;B组2 做本子上


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