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湖南省岳阳市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


岳阳市一中 2015 年下期高二期中考试数学试卷
时量:120 分钟 分值:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3?, B ? ?2,4? ,则 (CU A) U B 为( A. ?1, 2, 4? 2.命题“若 ? = A.若 ? ≠ B. ?2,3,4? C. ?0,2,4? ) D. ?0,2,3,4? )

? ? ,则 tan ? ≠1 B.若 ? = ,则 tan ? ≠1 4 4 ? ? C.若 tan ? ≠1,则 ? ≠ D.若 tan ? ≠1,则 ? = 4 4 3.若 x1 , x2 , x3 ,?, xn 的平均数为 x ,则 x1 ? a , x2 ? a ,?, xn ? a 的平均 数为(
A. x ? a B. a x C. a 2 x D. x ? a 2

? ,则 tan ? =1”的逆否命题是( 4

)

?x ? y ? 1 ? 4.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值是( ?x ? y ? 1 ?
A. 3 B.2 C. 0 D.-4



主视图

左视图

5.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角 形,且直角边长为 1,那么这个几何体的体积为( ) A.1
2

俯视图

1 B. 2
)
2

1 C. 3

1 D. 6
B. a ? b ? a ? b
2 2 2 2

6.下列命题中正确的是( A. a ? b ? ac ? bc C. a ? b ? a ? b
3 3

7.“φ =

? ”是“函数 y=sin(x+φ )为偶函数的”( 2
2 2

D. a ? b ? a ? b ) D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 8. 已知 F1 、 F2 是双曲线

C.充要条件

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1 F2 为边作正三角形 a 2 b2

MF1 F2 ,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是(
A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C. 3 ? 1
2

)

D. 3 ? 1

| PA |2 ? | PB |2 9.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 =( ) | PC |2
A.2 B.4 C.5 D.10

1

10 (限文科生做) 设 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数 (如 [2] =2, [ 定义 C n ?
x

5 * ] =1) , 对于给定的 n ? N , 4

n(n ? 1) ?(n ? ?x? ? 1) ?3 ? , x ? ?1, ?? ? , 则当 x ? ? ,3 ? 时,函 数 C8x 的值域是 x( x ? 1) ?( x ? ?x? ? 1) ?2 ?

( ) A. ?

?16 ? , 28? ?3 ?

B. ?

?16 ? ,56 ? ?3 ?

C. ? 4,

? ?

28 ? ? ? ?28,56? 3 ?

D. ? 4,

? 16 ? ? 28 ? ? ? , 28? ? ? 3? ? 3 ?

(限理科生做)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组 成的集合:对于函数 ? ( x) ,存在一个正数 M,使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] . 例如,当 ?1 ( x) ? x 3 , ? 2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A, ? 2 ( x) ? B .现有如下结论: ①设函数 f ( x) 的定义域为 D, 若对于任何实数 b, 存在 a ? D , 使得 f (a ) ? b , 则 f ( x) ? A ; ②若函数 f ( x) ? B ,则 f ( x) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A, g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) = a ln( x ? 2) ? 其中正确的是( A. ②③④ ) B. ①③④ C. ②③ D. ①③

x ( x ? ?2, a ? R) 有最大值,则 f ( x) ? B . x ?1
2

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在横线上. 11.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x =-2,则抛物线的方程是_________ . 12.若 x ∈(0,l)时,不等式 m ?

1 1 ? 恒成立,则实数 m 的最大值为 x 1? x



2 2 13.下列命题: ①命题“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,

则 x ?1” ;②若命题 p : 则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 , ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ; ③若 p ? q
2 为真命题,则 p , q 均为真命题; ④“ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

其中正确命题的序号有_________ . 14.已知: ? ? {( x, y ) | ?

? ?y ? 0 ? ?y ? 4 ? x
2

} ,直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x 2 有两个不同

的交点,它们围成的封闭平面区域为 M ,向区域 ? 内随机投一点 A ,点 A 落在区域 M 内 的概率为 P( M ) ,若 P ( M ) ? [

? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值范围为 2?

.

2

15.如右图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”,它们是由整数
1 的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n ? 2) , n 每个数是它下一行左右相邻两数的和,如 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? , ? ? ,?, 1 2 2 2 3 6 3 4 12 则(1)第 6 行第 2 个数(从左往右数)为_________;

(2)第 n 行第 3 个数(从左往右数)为_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? (1)求 f ? 0 ? 的值; (2)设 ? , ? ? ?0,

?? ?1 x? ?, x? R. 6? ?3

? ? 10 6 ? ?? ? , f ? 3? ? ? ? , f ? 3? ? 2? ? ? , 求 sin ?? ? ? ? 的值. ? 2 ? 13 5 ? 2? ?

17、 (本小题满分 12 分) 已知命题 p : 2 x 2 ? 5x ? 3 ? 0 ,命题 q : ?x ? (2a ? 1)?? ?x ? 2a ? ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必 要条件,求实数 a 的取值范围.

18、 (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD , AC ? CD , ?ABC ? 60? , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (1)证明: CD ? AE ; (2)证明: AE ? 平面 PDC ; (3)(限理科生做,文科生不做)求二面角 B ? PC ? D 的余弦值. A

P

E D C B

3

19、 (本小题满分 13 分) 如下图,互相垂直的两条公路 AP 、 AQ 旁有一矩形花园 ABCD ,现欲将其扩建成一个更 大的三角形花园 AMN , 要求点 M 在射线 AP 上, 点 N 在射线 AQ 上, 且直线 MN 过点 C , 其中 AB ? 36 米, AD ? 20 米. 记三角形花园 AMN 的面积为 S . (1)问: DN 取何值时, S 取得最小值,并求出最小值; (2)若 S 不超过 1764 平方米,求 DN 长的取值范围.

20、 (本小题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A(?2, 0), B(2, 0) ,离心率 e ? .过 2 a b 2

该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判 断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

21、 (本小题满分 13 分) 正项数列{ an }的前 n 项和为 Sn,q 为非零常数.已知对任意正整数 n, m,当 n ? m 时

S n ? S m ? q m ? S n?m 总成立.
(1)求证:数列{ an }是等比数列; (2)若互不相等的正整数 n, m, k 成等差数列,比较 Sn ? Sk , 2Sm 的大小; (3) (限理科生做,文科生不做)若正整数 n, m, k 成等差数列,求证:

1 1 2 + ≥ . Sn Sk Sm

4

2015 年高二期中考试数学参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 C C A B D C A D D D(B) 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在横线上. 11. y 2 ? 8x 12. 4 13. ①②④ 14. ?0,1? 15.

1 2 , 30 n(n ? 1)(n ? 2)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)解: (1) f (0) ? 2 sin( ? (2) f (3? ?

?
6

) ? ?1 ??(6 分)

10 ? 6 , f (3? ? 2? ) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos ? ? 2 13 2 5 5 3 63 ? sin ? ? , cos ? ? ? sin(? ? ? ) ? ??(12 分) 13 5 65 17.(12 分)解: ? p 是 q 的充分不必要条件 说明 p 对应的集合是 q 对应集合的子集

?

) ? 2 sin ? ?

而 p : 对应集合是集合 A ? ? x 1 ? x ? 而 q : x 2 ? (4a ? 1) x ? 4a 2 ? 2a ? 0

? ?

3? ? ;??(4 分) 2?

因式分解得到: ?x ? (2a ? 1)?? ?x ? 2a ? ? 0

即有: 2a ? x ? 2a ? 1

也就是命题 q 对应的集合为: B ? x 2a ? x ? 2a ? 1

?

?

?? (7 分)

? ? 2a ? 13 要满足要求,则须: ? 2a ? ? ? 2 ?
18.(12 分)

?

1 1 ?a? 4 2

?? (12 分)

(1)证明:? PA ? 底面 ABCD ,? PA ? CD .又? AC ? CD ? CD ? 面 PAC ,

AE ? 面 PAC ,? CD ? AE . ??(4 分)
(2)证明:? AB ? BC , ?ABC ? 60? ? ?ABC 是等边三角形,

z

P

? PA ? AC ,又 E 是 PC 的中点,? PC ? AE ,
又由(1)可知 CD ? AE , E D C

? AE ? 面 PDC ??(8 分)
(3)解:由题可知 PA, AB, AD 两两垂直,如图建立空间直角坐标系, 设 AB ? 2 ,则 B(2,0,0),C(1, 3 ,0), P(0,0,2), D(0, A y

4 3

,0) .

B

x

5

设面 PBC 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) , PB ? (2,0,?2) BC ? (?1, 3, 0)

? ? PB ? m ? 0 ? 2 x ? 2 z ? 0 即? 取 y ? 3 则 x ? z ? 3 ,即 m ? (3, 3,3) ? ? ? BC ? m ? 0 ?? x ? 3 y ? 0
设面 PDC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , PC ? (1, 3,?2) PD ? (0,

4 3

,?2)

?x ? 3y ? 2z ? 0 ? ? PC ? n ? 0 ? 即? 4 取 y ? 3 则 x ? 1, z ? 2 即 n ? (1, 3,2) ? y ? 2 z ? 0 ? PD ? n ? 0 ? ? ? 3
cos ? m , n ?? m ?n | m || n | ? 3?3?6 21 8 ? 42 , 7

由图可知二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ?

42 .??(12 分) 7

19. (13 分) (1)设 DN ? x 米( x ? 0 ) ,则 AN ? x ? 20 . 因为

DN AN x x ? 20 36( x ? 20) ? ? ,所以 ,即 AM ? . DC AM 36 AM x

所以 S ?

1 18( x ? 20) 2 ? AM ? AN ? ??(4 分) 2 x

? 18( x ?

400 ? 40)≥1440 ,当且仅当 x ? 20 时取等号. x 所以, S 的最小值等于 1440 平方米.??(7 分)

(2)由 S ?

18( x ? 20) 2 ≤1764 得 x 2 ? 58 x ? 400≤0 . x

解得 8≤x≤50 . 所以, DN 长的取值范围是 [8, 50] . ??(13 分) 20.(13 分)解: (1)由题意可得 a ? 2 , e ? ∴ b ? a ? c ?1,
2 2 2

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2

x2 ? y 2 ? 1.??(4 分) 所以椭圆的方程为 4
? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , y0 ? x ? y ? 2 y0 ? ? 2
6



2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y)2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 4 . 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 .??(8 分) (3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR , 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) ,∴ t ? ∴点 R 的坐标为 (2,

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4n , m?2

4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4
∴k ?

而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 , ∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

mn m ?? , 2 ?n n

m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ?

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r, 4

所以直线 CD 与圆 O 相切. ??(13 分) 21. (13 分)解(1)因为对任意正整数 n, m,当 n > m 时, S n ? S m ? q m ? S n?m 总成立 所以当 n ≥2 时: S n ? S n?1 ? q n?1 S1 ,即 an ? a1 ? q n?1 ,且 a1 也适合,又 an >0, 故当 n ≥2 时:

an ? q (非零常数) ,即{ an }是等比数列.??(4 分) a n ?1

(2)若 q ? 1 ,则 S n ? na1 , S m ? ma 1 , S k ? ka1 所以 Sn ? Sk ? 2Sm ? (n ? k ? 2m)a1 ? 0 ? Sn ? Sk ? 2Sm 若 q ? 0, q ? 1 ,则 S n ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q m ) a (1 ? q k ) , Sm ? 1 , Sk ? 1 1? q 1? q 1? q

所以 Sn ? Sk ? 2Sm ?

a1 [(1 ? q n ) ? (1 ? q k ) ? 2(1 ? q m )] 1? q

7

??

a1 ( q n ? q k ? 2q m ) 1? q

? q ? 0, q ? 1

? qn ? qk ? 2qm ? 2 qn ? qk ? 2qm ? 2q

n? k 2

? 2qm ? 0
??(8 分)

①若 q ? 1, Sn ? Sk ? 2Sm

②若 0 ? q ? 1, Sn ? Sk ? 2Sm

(3)若 q ? 1 ,则 S n ? na1 , S m ? ma 1 , S k ? ka1 所以

1 1 n?k 2m 2m 2m 2 2 ≥ ? ? ? ? 2 ? ? n?k 2 Sn Sk nka1 nka1 m a1 ma1 S m ( ) ? a1 2
若? q ? 0, q ? 1 ,则 S n ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q m ) a (1 ? q k ) , Sm ? 1 , Sk ? 1 1? q 1? q 1? q

1 (1 ? q) 2 1 1 所以 ≥2 ?2 ? 2 Sn Sk Sn Sk (1 ? q n )(1 ? q k )a1
又因为 (1 ? q n )(1 ? q k ) ? 1 ? (q n ? q k ) ? q n?k
n?k ? q n ? k ? 1 ? 2q m ? q 2 m ? (1 ? q m ) 2 ≤1 ? 2 q

所以

1 (1 ? q) 2 (1 ? q) 2 2 1 1 ≥2 ≥ ?2 2 ? ? 2 2 n k m 2 Sn Sk Sm Sn Sk (1 ? q )(1 ? q )a1 (1 ? q ) ? a1

综上 可知:若正整数 n, m, k 成等差数列,不等式 (当且仅当 n ? m ? k 时取“=”) ??(13 分)

1 1 2 + ≥ 总成立 Sn Sk Sm

16.(8 分)解: ? p 是 q 的充分不必要条件 说明 p 对应的集合是 q 对应集 合的子集

8

而 p : 对应集合是集合 A ? ? x 1 ? x ? 而 q : x 2 ? (4a ? 1) x ? 4a 2 ? 2a ? 0

? ?

3? (2 分) ?; 2?

因式分解得到: ?x ? (2a ? 1)?? ?x ? 2a ? ? 0

即有: 2a ? x ? 2a ? 1

也就是命题 q 对应的集合为: B ? x 2a ? x ? 2a ? 1 要满足要求,则须: ?

?

?

(4 分)

? ? 2a ? 13 2a ? ? ? 2 ?

?

1 1 ?a? 4 2

(8 分)

18. (9 分) (1) 证明: ? PA ? 底面 ABCD , ? PA ? CD .又? AC ? CD ? CD ? 面 PAC ,

AE ? 面 PAC ,? CD ? AE . (3 分)
(2)证明:? AB ? BC , ?ABC ? 60? ? ?ABC 是等边三角形,? PA ? AC ,又 E 是

PC 的中点,? PC ? AE ,又由(1)可知 CD ? AE ,

? AE ? 面 PDC (6 分)
又 PA ? 底面 ABCD ,? AB ? PA , 又? AB ? AD ? AB ? 面 PDA ? PD ? AB

z

P

? PD ? 平面 ABE .
(3)解:由题可知 PA, AB, AD 两两垂直, A 如图建立空间直角坐标系, 设 AB ? 2 ,则 B(2,0,0),C(1, 3 ,0), P(0,0,2), D(0,

E D C

y

4 3

,0) .

B

x

设面 PBC 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) , PB ? (2,0,?2) BC ? (?1, 3, 0)

? ? PB ? m ? 0 ? 2 x ? 2 z ? 0 即? 取 y ? 3 则 x ? z ? 3 ,即 m ? (3, 3,3) ? ? ? BC ? m ? 0 ?? x ? 3 y ? 0
设面 PDC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , PC ? (1, 3,?2) PD ? (0,

4 3

,?2)

?x ? 3y ? 2z ? 0 ? ? PC ? n ? 0 ? 即? 4 取 y ? 3 则 x ? 1, z ? 2 即 n ? (1, 3,2) ? y ? 2 z ? 0 ? PD ? n ? 0 ? ? ? 3

9

cos ? m , n ??

m ?n | m || n |

?

3?3?6 21 8

?

42 , 7

由图可知二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ?

42 . (9 分) 7

20.(10 分)解: (1)由题意可得 a ? 2 , e ? ∴ b ? a ? c ? 1,
2 2 2

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. (3 分) 4

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , y0 ? x ? y ? 2 y0 ? ? 2
2 x0 x2 1 2 2 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y) ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 4 . 又 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . (6 分) (3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR , 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) ,∴ t ? ∴点 R 的坐标为 (2,

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4n , m?2

4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m ? n ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 ,
2 2

∴k ?

mn m ?? , 2 ?n n
m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ?

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r, 4
10

所以直线 CD 与圆 O 相切. (10 分)

20.为了改善人居环境,市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园,设计将上面的半圆 形区域建为休闲广场,将下面的三角形区域建为人工湖,同时修建从居民区 C 到点 A,B 的 直线道路;经测量得 AC=6,CB=10,∠CAB=90°. (1)拟在人工湖中修建一座湖心亭,为了达到最佳观赏效果,要求湖心亭到三条湖岸的距 离相等,请确定湖心亭的具体位置; (2)拟在半圆形区域内设计一条界线,并在界线上栽种名贵树木,将休闲广场分为两部 分;考虑到市民休闲的方便,是否能确定这样一条界线,使位于界线一侧的点沿 CA 到 C 较近,而另一侧的点沿 CB 到 C 较近?如能,请确定这条界线;如不能,请说理由.

20. (本小题满分 1 3 分) 为了改善人居环境, 市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园, 设计将上面的半网 形区域建为休闲广场,将下面的三角形区域建为人工湖,同时修建从居民区 C 到点 A, B 的直线道路;经测量得 AC=6,CB=10,∠CAB=90°. (1)拟在人工湖中修建一座湖心亭,为了达到最佳观赏效果,要求湖心亭到三条湖岸的 距离相等,请确定湖心亭的具体位置; (2)拟在半网形区域内设计一条界线,并在界线上栽种名贵树木,将休闲广场分为两部 分;考虑到市民休闲的方便,是否能确定这样一条界线,使位于界线一侧的点沿 CA 到 C 较近,而另一侧的点沿 CB 到 C 较近?如能,请确定这条界线;如不能,请说理由.

11

9、 (肇庆市 2013 届高三上学期期末) 已知两圆 C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 0, C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 的 圆心分别为 C1 , C2 , P 为一个 动点,且 | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 . (1)求动点 P 的轨迹 M 的方程; (2)是否存在过点 A(2, 0) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两 点 C、D,使得 | C1C |?| C1D | ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解: (1)两圆的圆心坐标分别为 C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0) ∵ | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 ?| C1C2 |? 2 ∴根据椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹为以原点为中心, C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0) 为焦点,长 轴长为 2a ? 2 2 的椭圆, a ? ∴椭圆的方程为 (2 分)

2, c ? 1, b ? a2 ? c2 ? 2 ? 1 ? 1

(4 分)

x2 x2 ? y 2 ? 1,即动点 P 的轨迹 M 的 方 程为 ? y 2 ? 1 (6 分) 2 2

(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时,易知点 A(2, 0) 在椭圆 M 的外部,直线 l 与椭圆 M 无 交点,所以直线 l 不存在。 (7 分) (ii)设直线 l 斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) (8 分)

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 由 方程组 ? 2 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ① ? y ? k ( x ? 2) ?
依题意 ? ? ?8(2k ?1) ? 0 解得 ?
2

(9 分)

2 2 ?k? 2 2

(10 分)

当?

2 2 ?k? 时,设交点 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,CD 的中点为 N ( x0 , y0 ) , 2 2
x1 ? x2 4k 2 8k 2 ? ? 8k 2 ? ? x ? ? , x ? ,则 0 2 2 2k 2 ? 1 4k 2 ? 2 4k 2 ? 2

方程①的解为 x1 ?

∴ y0 ? k ( x0 ? 2) ? k ?

? 4k 2 ? ?2k ? 2? ? 2 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1

(11 分)

要使 | C1C |?| C1D | ,必须 C1 N ? l ,即 k ? kC1N ? ?1

(12 分)

12

?2k ?1 2 1 2 k ? 1 ∴k? ? ?1 ,即 k 2 ? k ? ? 0 ② 2 2 4k ?0 2 2k ? 1 1 1 2 ∵ ?1 ? 1 ? 4 ? ? ?1 ? 0 或,∴ k ? k ? ? 0 无解 (13 分) 2 2
所以不存在直线 l ,使得 | C1C |?| C1D | 综上所述,不存在直线 l,使得 | C1C |?| C1D | (14 分)

13


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