湖南省岳阳市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题

岳阳市一中 2015 年下期高二期中考试数学试卷
时量：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3?, B ? ?2,4? ,则 (CU A) U B 为（ A． ?1, 2, 4? 2．命题“若 ? = A.若 ? ≠ B． ?2,3,4? C． ?0,2,4? ） D． ?0,2,3,4? ）

? ? ,则 tan ? ≠1 B.若 ? = ,则 tan ? ≠1 4 4 ? ? C.若 tan ? ≠1,则 ? ≠ D.若 tan ? ≠1,则 ? = 4 4 3.若 x1 , x2 , x3 ,?, xn 的平均数为 x ，则 x1 ? a , x2 ? a ,?, xn ? a 的平均 数为(
A. x ? a B． a x C． a 2 x D. x ? a 2

? ,则 tan ? =1”的逆否命题是（ 4

)

?x ? y ? 1 ? 4.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ，则 2 x ? y 的最大值是（ ?x ? y ? 1 ?
A. 3 B.2 C. 0 D.-4

）

主视图

左视图

5.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角 形，且直角边长为 1，那么这个几何体的体积为（ ） A.1
2

俯视图

1 B. 2
)
2

1 C. 3

1 D. 6
B. a ? b ? a ? b
2 2 2 2

6.下列命题中正确的是( A. a ? b ? ac ? bc C. a ? b ? a ? b
3 3

7.“φ ＝

? ”是“函数 y=sin(x＋φ )为偶函数的”( 2
2 2

D. a ? b ? a ? b ) D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 8. 已知 F1 、 F2 是双曲线

C.充要条件

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点，以线段 F1 F2 为边作正三角形 a 2 b2

MF1 F2 ，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(
A． 4 ? 2 3 B． 3 ? 1 C． 3 ? 1
2

)

D． 3 ? 1

| PA |2 ? | PB |2 9.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 =( ) | PC |2
A．2 B．4 C．5 D．10

1

10 （限文科生做） 设 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数 （如 ［2］ =2, ［ 定义 C n ?
x

5 * ］ =1） ， 对于给定的 n ? N , 4

n(n ? 1) ?(n ? ?x? ? 1) ?3 ? ， x ? ?1, ?? ? , 则当 x ? ? ,3 ? 时，函 数 C8x 的值域是 x( x ? 1) ?( x ? ?x? ? 1) ?2 ?

( ) A. ?

?16 ? , 28? ?3 ?

B. ?

?16 ? ,56 ? ?3 ?

C. ? 4,

? ?

28 ? ? ? ?28,56? 3 ?

D. ? 4,

? 16 ? ? 28 ? ? ? , 28? ? ? 3? ? 3 ?

（限理科生做）以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组 成的集合：对于函数 ? ( x) ，存在一个正数 M，使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] ． 例如，当 ?1 ( x) ? x 3 , ? 2 ( x) ? sin x 时， ?1 ( x) ? A, ? 2 ( x) ? B ．现有如下结论： ①设函数 f ( x) 的定义域为 D， 若对于任何实数 b， 存在 a ? D ， 使得 f (a ) ? b ， 则 f ( x) ? A ； ②若函数 f ( x) ? B ，则 f ( x) 有最大值和最小值； ③若函数 f ( x) ， g ( x) 的定义域相同，且 f ( x) ? A, g ( x) ? B ，则 f ( x) ? g ( x) ? B ； ④若函数 f ( x) ＝ a ln( x ? 2) ? 其中正确的是（ A. ②③④ ） B. ①③④ C. ②③ D. ①③

x ( x ? ?2, a ? R) 有最大值，则 f ( x) ? B ． x ?1
2

二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在横线上． 11.设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x ＝－2，则抛物线的方程是_________ . 12.若 x ∈(0，l)时,不等式 m ?

1 1 ? 恒成立，则实数 m 的最大值为 x 1? x

．

2 2 13.下列命题： ①命题“若 x ? 1 ，则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ，

则 x ?1” ;②若命题 p ： 则 ?p ： ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ， ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ; ③若 p ? q
2 为真命题，则 p ， q 均为真命题; ④“ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

其中正确命题的序号有_________ . 14.已知： ? ? {( x, y ) | ?

? ?y ? 0 ? ?y ? 4 ? x
2

} ，直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x 2 有两个不同

的交点，它们围成的封闭平面区域为 M ，向区域 ? 内随机投一点 A ，点 A 落在区域 M 内 的概率为 P( M ) ，若 P ( M ) ? [

? ?2 ,1] ，则实数 m 的取值范围为 2?

.

2

15.如右图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”，它们是由整数
1 的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n ? 2) , n 每个数是它下一行左右相邻两数的和,如 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? , ? ? ,?， 1 2 2 2 3 6 3 4 12 则(1)第 6 行第 2 个数（从左往右数）为_________；

(2)第 n 行第 3 个数（从左往右数）为_________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、 （本小题满分 12 分） 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? （1）求 f ? 0 ? 的值； （2）设 ? , ? ? ?0,

?? ?1 x? ?， x? R． 6? ?3

? ? 10 6 ? ?? ? , f ? 3? ? ? ? , f ? 3? ? 2? ? ? , 求 sin ?? ? ? ? 的值． ? 2 ? 13 5 ? 2? ?

17、 （本小题满分 12 分） 已知命题 p : 2 x 2 ? 5x ? 3 ? 0 ，命题 q : ?x ? (2a ? 1)?? ?x ? 2a ? ? 0 ，若 p 是 q 的充分不必 要条件，求实数 a 的取值范围．

18、 （本小题满分 12 分） 在四棱锥 P ? ABCD 中， PA ? 底面 ABCD ， AB ? AD , AC ? CD , ?ABC ? 60? , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点． (1)证明： CD ? AE ； (2)证明： AE ? 平面 PDC ； (3)（限理科生做,文科生不做）求二面角 B ? PC ? D 的余弦值． A

P

E D C B

3

19、 （本小题满分 13 分） 如下图，互相垂直的两条公路 AP 、 AQ 旁有一矩形花园 ABCD ，现欲将其扩建成一个更 大的三角形花园 AMN ， 要求点 M 在射线 AP 上， 点 N 在射线 AQ 上， 且直线 MN 过点 C ， 其中 AB ? 36 米， AD ? 20 米. 记三角形花园 AMN 的面积为 S . (1）问： DN 取何值时， S 取得最小值，并求出最小值； (2）若 S 不超过 1764 平方米，求 DN 长的取值范围.

20、 （本小题满分 13 分） 设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A(?2, 0), B(2, 0) ，离心率 e ? ．过 2 a b 2

该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴，垂足为 Q ，点 C 在 QP 的延长线上，且 | QP |?| PC | ． （1）求椭圆的方程； （2）求动点 C 的轨迹 E 的方程； （3）设直线 AC （ C 点不同于 A, B ）与直线 x ? 2 交于点 R ， D 为线段 RB 的中点，试判 断直线 CD 与曲线 E 的位置关系，并证明你的结论．

21、 （本小题满分 13 分） 正项数列｛ an ｝的前 n 项和为 Sn，q 为非零常数.已知对任意正整数 n, m，当 n ? m 时

S n ? S m ? q m ? S n?m 总成立.
(1）求证：数列｛ an ｝是等比数列； (2）若互不相等的正整数 n, m, k 成等差数列，比较 Sn ? Sk , 2Sm 的大小； (3） （限理科生做,文科生不做）若正整数 n, m, k 成等差数列，求证：

1 1 2 ＋ ≥ . Sn Sk Sm

4

2015 年高二期中考试数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 C C A B D C A D D D(B) 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在横线上． 11. y 2 ? 8x 12. 4 13. ①②④ 14. ?0,1? 15.

1 2 , 30 n(n ? 1)(n ? 2)

三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （12 分）解： （1） f (0) ? 2 sin( ? （2） f (3? ?

?
6

) ? ?1 ??（6 分）

10 ? 6 , f (3? ? 2? ) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos ? ? 2 13 2 5 5 3 63 ? sin ? ? , cos ? ? ? sin(? ? ? ) ? ??（12 分） 13 5 65 17．(12 分)解: ? p 是 q 的充分不必要条件 说明 p 对应的集合是 q 对应集合的子集

?

) ? 2 sin ? ?

而 p : 对应集合是集合 A ? ? x 1 ? x ? 而 q : x 2 ? (4a ? 1) x ? 4a 2 ? 2a ? 0

? ?

3? ? ；??（4 分） 2?

因式分解得到： ?x ? (2a ? 1)?? ?x ? 2a ? ? 0

即有： 2a ? x ? 2a ? 1

也就是命题 q 对应的集合为： B ? x 2a ? x ? 2a ? 1

?

?

?? （7 分）

? ? 2a ? 13 要满足要求，则须： ? 2a ? ? ? 2 ?
18.（12 分）

?

1 1 ?a? 4 2

?? （12 分）

（1）证明：? PA ? 底面 ABCD ，? PA ? CD .又? AC ? CD ? CD ? 面 PAC ，

AE ? 面 PAC ，? CD ? AE . ??（4 分）
（2）证明：? AB ? BC , ?ABC ? 60? ? ?ABC 是等边三角形，

z

P

? PA ? AC ，又 E 是 PC 的中点，? PC ? AE ，
又由（1）可知 CD ? AE ， E D C

? AE ? 面 PDC ??（8 分）
（3）解：由题可知 PA, AB, AD 两两垂直,如图建立空间直角坐标系, 设 AB ? 2 ，则 B(2,0,0),C(1, 3 ,0), P(0,0,2), D(0, A y

4 3

,0) .

B

x

5

设面 PBC 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) ， PB ? (2,0,?2) BC ? (?1, 3, 0)

? ? PB ? m ? 0 ? 2 x ? 2 z ? 0 即? 取 y ? 3 则 x ? z ? 3 ，即 m ? (3, 3,3) ? ? ? BC ? m ? 0 ?? x ? 3 y ? 0
设面 PDC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ， PC ? (1, 3,?2) PD ? (0,

4 3

,?2)

?x ? 3y ? 2z ? 0 ? ? PC ? n ? 0 ? 即? 4 取 y ? 3 则 x ? 1, z ? 2 即 n ? (1, 3,2) ? y ? 2 z ? 0 ? PD ? n ? 0 ? ? ? 3
cos ? m , n ?? m ?n | m || n | ? 3?3?6 21 8 ? 42 ， 7

由图可知二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ?

42 ．??（12 分） 7

19． （13 分） （1）设 DN ? x 米（ x ? 0 ） ，则 AN ? x ? 20 . 因为

DN AN x x ? 20 36( x ? 20) ? ? ,所以 ，即 AM ? . DC AM 36 AM x

所以 S ?

1 18( x ? 20) 2 ? AM ? AN ? ??（4 分） 2 x

? 18( x ?

400 ? 40)≥1440 ，当且仅当 x ? 20 时取等号. x 所以， S 的最小值等于 1440 平方米.??（7 分）

(2）由 S ?

18( x ? 20) 2 ≤1764 得 x 2 ? 58 x ? 400≤0 . x

解得 8≤x≤50 . 所以， DN 长的取值范围是 [8, 50] . ??（13 分） 20.（13 分）解： （1）由题意可得 a ? 2 ， e ? ∴ b ? a ? c ?1，
2 2 2

c 3 ，∴ c ? 3 ， ? a 2

x2 ? y 2 ? 1．??（4 分） 所以椭圆的方程为 4
? x0 ? x ? x ? x0 ? （2）设 C ( x, y) ， P( x0 , y0 ) ，由题意得 ? ，即 ? 1 ， y0 ? x ? y ? 2 y0 ? ? 2
6

又

2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1，代入得 ? ( y)2 ? 1 ，即 x2 ? y 2 ? 4 ． 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ．??（8 分） （3）设 C (m, n) ，点 R 的坐标为 (2, t ) ， ∵ A, C , R 三点共线，∴ AC // AR ， 而 AC ? (m ? 2, n) ， AR ? (4, t ) ，则 4n ? t (m ? 2) ，∴ t ? ∴点 R 的坐标为 (2,

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4n ， m?2

4n 2n ) ，点 D 的坐标为 (2, )， m?2 m?2

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn ， m?2 m2 ? 4 m2 ? 4
∴k ?

而 m2 ? n2 ? 4 ，∴ m2 ? 4 ? ?n2 ， ∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

mn m ?? ， 2 ?n n

m ( x ? m) ，化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 ， n

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ?

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r， 4

所以直线 CD 与圆 O 相切． ??（13 分） 21． （13 分）解（1）因为对任意正整数 n, m，当 n ＞ m 时， S n ? S m ? q m ? S n?m 总成立 所以当 n ≥2 时： S n ? S n?1 ? q n?1 S1 ，即 an ? a1 ? q n?1 ，且 a1 也适合，又 an ＞0， 故当 n ≥2 时：

an ? q （非零常数） ，即｛ an ｝是等比数列．??（4 分） a n ?1

(2）若 q ? 1 ，则 S n ? na1 , S m ? ma 1 , S k ? ka1 所以 Sn ? Sk ? 2Sm ? (n ? k ? 2m)a1 ? 0 ? Sn ? Sk ? 2Sm 若 q ? 0, q ? 1 ，则 S n ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q m ) a (1 ? q k ) ， Sm ? 1 ， Sk ? 1 1? q 1? q 1? q

所以 Sn ? Sk ? 2Sm ?

a1 [(1 ? q n ) ? (1 ? q k ) ? 2(1 ? q m )] 1? q

7

??

a1 ( q n ? q k ? 2q m ) 1? q

? q ? 0, q ? 1

? qn ? qk ? 2qm ? 2 qn ? qk ? 2qm ? 2q

n? k 2

? 2qm ? 0
??（8 分）

①若 q ? 1, Sn ? Sk ? 2Sm

②若 0 ? q ? 1, Sn ? Sk ? 2Sm

(3）若 q ? 1 ，则 S n ? na1 , S m ? ma 1 , S k ? ka1 所以

1 1 n?k 2m 2m 2m 2 2 ≥ ? ? ? ? 2 ? ? n?k 2 Sn Sk nka1 nka1 m a1 ma1 S m ( ) ? a1 2
若? q ? 0, q ? 1 ，则 S n ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q m ) a (1 ? q k ) ， Sm ? 1 ， Sk ? 1 1? q 1? q 1? q

1 (1 ? q) 2 1 1 所以 ≥2 ?2 ? 2 Sn Sk Sn Sk (1 ? q n )(1 ? q k )a1
又因为 (1 ? q n )(1 ? q k ) ? 1 ? (q n ? q k ) ? q n?k
n?k ? q n ? k ? 1 ? 2q m ? q 2 m ? (1 ? q m ) 2 ≤1 ? 2 q

所以

1 (1 ? q) 2 (1 ? q) 2 2 1 1 ≥2 ≥ ?2 2 ? ? 2 2 n k m 2 Sn Sk Sm Sn Sk (1 ? q )(1 ? q )a1 (1 ? q ) ? a1

综上 可知：若正整数 n, m, k 成等差数列，不等式 (当且仅当 n ? m ? k 时取“＝”) ??（13 分）

1 1 2 ＋ ≥ 总成立 Sn Sk Sm

16.(8 分)解: ? p 是 q 的充分不必要条件 说明 p 对应的集合是 q 对应集 合的子集

8

而 p : 对应集合是集合 A ? ? x 1 ? x ? 而 q : x 2 ? (4a ? 1) x ? 4a 2 ? 2a ? 0

? ?

3? （2 分） ?； 2?

因式分解得到： ?x ? (2a ? 1)?? ?x ? 2a ? ? 0

即有： 2a ? x ? 2a ? 1

也就是命题 q 对应的集合为： B ? x 2a ? x ? 2a ? 1 要满足要求，则须： ?

?

?

（4 分）

? ? 2a ? 13 2a ? ? ? 2 ?

?

1 1 ?a? 4 2

（8 分）

18. （9 分） （1） 证明： ? PA ? 底面 ABCD ， ? PA ? CD .又? AC ? CD ? CD ? 面 PAC ，

AE ? 面 PAC ，? CD ? AE . （3 分）
（2）证明：? AB ? BC , ?ABC ? 60? ? ?ABC 是等边三角形，? PA ? AC ，又 E 是

PC 的中点，? PC ? AE ，又由（1）可知 CD ? AE ，

? AE ? 面 PDC （6 分）
又 PA ? 底面 ABCD ，? AB ? PA ， 又? AB ? AD ? AB ? 面 PDA ? PD ? AB

z

P

? PD ? 平面 ABE .
（3）解：由题可知 PA, AB, AD 两两垂直, A 如图建立空间直角坐标系, 设 AB ? 2 ，则 B(2,0,0),C(1, 3 ,0), P(0,0,2), D(0,

E D C

y

4 3

,0) .

B

x

设面 PBC 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) ， PB ? (2,0,?2) BC ? (?1, 3, 0)

? ? PB ? m ? 0 ? 2 x ? 2 z ? 0 即? 取 y ? 3 则 x ? z ? 3 ，即 m ? (3, 3,3) ? ? ? BC ? m ? 0 ?? x ? 3 y ? 0
设面 PDC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ， PC ? (1, 3,?2) PD ? (0,

4 3

,?2)

?x ? 3y ? 2z ? 0 ? ? PC ? n ? 0 ? 即? 4 取 y ? 3 则 x ? 1, z ? 2 即 n ? (1, 3,2) ? y ? 2 z ? 0 ? PD ? n ? 0 ? ? ? 3

9

cos ? m , n ??

m ?n | m || n |

?

3?3?6 21 8

?

42 ， 7

由图可知二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ?

42 ． （9 分） 7

20.（10 分）解： （1）由题意可得 a ? 2 ， e ? ∴ b ? a ? c ? 1，
2 2 2

c 3 ，∴ c ? 3 ， ? a 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1． （3 分） 4

? x0 ? x ? x ? x0 ? （2）设 C ( x, y) ， P( x0 , y0 ) ，由题意得 ? ，即 ? 1 ， y0 ? x ? y ? 2 y0 ? ? 2
2 x0 x2 1 2 2 ? y0 ? 1，代入得 ? ( y) ? 1 ，即 x2 ? y 2 ? 4 ． 又 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ． （6 分） （3）设 C (m, n) ，点 R 的坐标为 (2, t ) ， ∵ A, C , R 三点共线，∴ AC // AR ， 而 AC ? (m ? 2, n) ， AR ? (4, t ) ，则 4n ? t (m ? 2) ，∴ t ? ∴点 R 的坐标为 (2,

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4n ， m?2

4n 2n ) ，点 D 的坐标为 (2, )， m?2 m?2

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn ， m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m ? n ? 4 ，∴ m2 ? 4 ? ?n2 ，
2 2

∴k ?

mn m ?? ， 2 ?n n
m ( x ? m) ，化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 ， n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ?

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r， 4
10

所以直线 CD 与圆 O 相切． （10 分）

20．为了改善人居环境，市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园，设计将上面的半圆 形区域建为休闲广场，将下面的三角形区域建为人工湖，同时修建从居民区 C 到点 A，B 的 直线道路；经测量得 AC=6，CB=10，∠CAB=90°． （1）拟在人工湖中修建一座湖心亭，为了达到最佳观赏效果，要求湖心亭到三条湖岸的距 离相等，请确定湖心亭的具体位置； （2）拟在半圆形区域内设计一条界线，并在界线上栽种名贵树木，将休闲广场分为两部 分；考虑到市民休闲的方便，是否能确定这样一条界线，使位于界线一侧的点沿 CA 到 C 较近，而另一侧的点沿 CB 到 C 较近？如能，请确定这条界线；如不能，请说理由．

20． （本小题满分 1 3 分） 为了改善人居环境， 市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园， 设计将上面的半网 形区域建为休闲广场，将下面的三角形区域建为人工湖，同时修建从居民区 C 到点 A， B 的直线道路；经测量得 AC=6，CB=10，∠CAB=90°． （1）拟在人工湖中修建一座湖心亭，为了达到最佳观赏效果，要求湖心亭到三条湖岸的 距离相等，请确定湖心亭的具体位置； （2）拟在半网形区域内设计一条界线，并在界线上栽种名贵树木，将休闲广场分为两部 分；考虑到市民休闲的方便，是否能确定这样一条界线，使位于界线一侧的点沿 CA 到 C 较近，而另一侧的点沿 CB 到 C 较近？如能，请确定这条界线；如不能，请说理由．

11

9、 （肇庆市 2013 届高三上学期期末） 已知两圆 C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 0, C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 的 圆心分别为 C1 , C2 ， P 为一个 动点，且 | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 . (1）求动点 P 的轨迹 M 的方程； （2）是否存在过点 A(2, 0) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两 点 C、D，使得 | C1C |?| C1D | ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 解： （1）两圆的圆心坐标分别为 C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0) ∵ | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 ?| C1C2 |? 2 ∴根据椭圆的定义可知，动点 P 的轨迹为以原点为中心， C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0) 为焦点，长 轴长为 2a ? 2 2 的椭圆， a ? ∴椭圆的方程为 （2 分）

2, c ? 1, b ? a2 ? c2 ? 2 ? 1 ? 1

（4 分）

x2 x2 ? y 2 ? 1，即动点 P 的轨迹 M 的 方 程为 ? y 2 ? 1 (6 分) 2 2

（2）(i)当直线 l 的斜率不存在时，易知点 A(2, 0) 在椭圆 M 的外部，直线 l 与椭圆 M 无 交点，所以直线 l 不存在。 （7 分） （ii）设直线 l 斜率存在，设为 k ，则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) （8 分）

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 由 方程组 ? 2 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ① ? y ? k ( x ? 2) ?
依题意 ? ? ?8(2k ?1) ? 0 解得 ?
2

（9 分）

2 2 ?k? 2 2

（10 分）

当?

2 2 ?k? 时，设交点 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ，CD 的中点为 N ( x0 , y0 ) ， 2 2
x1 ? x2 4k 2 8k 2 ? ? 8k 2 ? ? x ? ? , x ? ，则 0 2 2 2k 2 ? 1 4k 2 ? 2 4k 2 ? 2

方程①的解为 x1 ?

∴ y0 ? k ( x0 ? 2) ? k ?

? 4k 2 ? ?2k ? 2? ? 2 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1

（11 分）

要使 | C1C |?| C1D | ，必须 C1 N ? l ，即 k ? kC1N ? ?1

（12 分）

12

?2k ?1 2 1 2 k ? 1 ∴k? ? ?1 ，即 k 2 ? k ? ? 0 ② 2 2 4k ?0 2 2k ? 1 1 1 2 ∵ ?1 ? 1 ? 4 ? ? ?1 ? 0 或，∴ k ? k ? ? 0 无解 （13 分） 2 2
所以不存在直线 l ，使得 | C1C |?| C1D | 综上所述，不存在直线 l，使得 | C1C |?| C1D | （14 分）

13