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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】2.3.2(一)


2.3.2

抛物线的几何性质(一)

2.3.2
一、基础过关

抛物线的几何性质(一)
)

1.设点 A 为抛物线 y2=4x 上一点,点 B(1,0),且|AB|=1,则 A 的横坐标的值为( A.-2 C.-2 或 0 B.0 D.-2 或 2

2.以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与 x 轴垂直的弦)长为 8,若抛物线的顶点在坐 标原点,则其方程为 A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x 或 y2=-8x D.x2=8y 或 x2=-8y y1y2 3.经过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则 的 x1x2 值是 A.4 B.-4 C.p2 D.-p2 4.等腰 Rt△ABO 内接于抛物线 y2=2px (p>0),O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则 Rt△ABO 的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 5.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A,B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2).若 x1+ x2=6,则|AB|=________. 二、能力提升 6.过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在准线上的射影为 A1、B1,则∠A1FB1 等于 A.45° B.90° C.60° D.120° 7.如图所示,过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B, 交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( 3 A.y2= x 2 9 C.y2= x 2 B.y2=3x D.y2=9x ) ( ) ( ) ( ) ( )

8.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m, 水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽________ m. 9.已知△ABC 的三个顶点都在 y2=32x 上,A(2,8),且这个三角 形的重心与抛物线的焦点重合, 则直线 BC 的斜率是________.

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2.3.2

抛物线的几何性质(一)

10.线段 AB 过 x 轴正半轴上一定点 M(m,0),端点 A、B 到 x 轴的距离之积为 2m,以 x 轴为 对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线.求抛物线的方程. 11.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 x 轴,且与圆 x2+y2=4 相交的公共弦长等于 2 3,求这条抛物线的方程. 12.已知过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2) (x1<x2) 两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值. 三、探究与拓展 13.已知动点 P 到定直线 x=-2 的距离与定点 F(1,0)的距离的差为 1. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 O 为原点, A、 B 是动点 P 的轨迹上的两点, 且△AOB 的面积 S△AOB=m· tan∠AOB, 试求 m 的最小值.

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2.3.2

抛物线的几何性质(一)

答案
1.B 2.C 3.B 4.B 5.8 6.B 7.B 8.2 6 9.-4 10.解 画图可知抛物线的方程为 y2=2px (p>0), 直线 AB 的方程为 x=ky+m,
2 ? ?y =2px ? 由 ?x=ky+m ?

消去 x,整理得 y2-2pky-2pm=0, 由根与系数的关系得 y1y2=-2pm, 由已知条件知|y1|· |y2|=2m, 从而 p=1,故抛物线方程为 y2=2x. 11.解 设所求抛物线方程为 y2=2px 或 y2=-2px (p>0), 设交点 A(x1,y1)、B(x2,y2)(y1>0,y2<0), 则|y1|+|y2|=2 3,即 y1-y2=2 3, 由对称性知:y2=-y1,代入上式得 y1= 3, 把 y1= 3代入 x2+y2=4,得 x=± 1. ∴点 C(1, 3)在抛物线 y2=2px 上, 点 C′(-1, 3)在抛物线 y2=-2px 上, 将 C、 C′ 代入相应的抛物线方程得 3=2p 或 3=-2p×(-1). 3 ∴p= ,所求抛物线方程为 y2=3x 或 y2=-3x. 2 p? 2 2 2 12.解 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2? ?x-2?,与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p =0, 5p 所以 x1+x2= ,由抛物线定义得 4 |AB|=x1+x2+p=9,所以 p=4,抛物线方程为 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0,化简得 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(1+4λ,-2 2+4 2λ),
2 又 y2 3=8x3,即[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1),

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2.3.2

抛物线的几何性质(一)

即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2. 13.解 (1)依题意知动点 P 到定点 F(1,0)的距离与到定直线 x=-1 的距离相等,由抛物线 的定义可知动点 P 的轨迹方程是 y2=4x. y2 y2 1 2 ,y1?,B? ,y2?, (2)设 A? ?4 ? ?4 ? 1→ → ∵S△AOB= |OA||OB|sin∠AOB, 2 又 S△AOB=m· tan∠AOB, 1→ → ∴ |OA||OB|sin∠AOB=m· tan∠AOB, 2 1→ → 1→ → ∴m= |OA||OB|cos∠AOB= OA· OB 2 2
2 2 1 y1y2 1 +y1y2?= (y1y2+8)2-2, = ? ? 32 2? 16

∴mmin=-2,此时 y1y2=-8.

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