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(拿高分 选好题)(新课程)高中数学二轮复习专题 第一部分《1-4-1 空间几何体》课时演练 新人教版


第一部分

专题四 第 1 课时

(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) A 级

1.(2012·新课标全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体 的三视图,则此几何体的体积为( )

A.6 C.12

B.9 D.18

1 解析: 由题意知,此几何体是三棱锥,其高 h=3,相应底面面积为 S= ×6×3=9, 2 1 1 ∴V= Sh= ×9×3=9. 3 3 答案: B 2.(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能 是( )

解析:

由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无实线

和虚线,因此俯视图不可能是 C. 答案: C 3.已知水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为 2a 的正三角形, 则原△ABC 的面积为( A. 2a C.
2

) B. 3 2 a 2
2

6 2 a 2

D. 6a

解析: 斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为 1∶

2 2 3 2 ,则易知 S= ( 2a) , 4 4 4

-1-

∴S= 6a . 答案: D 4.(2012·北京海淀二模)某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同, 且图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )

2

A.

20 3

B.

4 3

C.6 解析:

D.4 由三视图知,该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点、以正方体的

1 20 3 2 上底面为底面的四棱锥后的剩余部分,其体积是:2 - ×2 ×1= ,故选 A. 3 3 答案: A 5.已知一个圆柱的正视图的周长为 12,则该圆柱的侧面积的最大值等于( A.π C.9π B.6π D.18π )

解析: 圆柱的正视图是一个矩形,若设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则依题意有 4r +2h =12,即 h =6-2r ,且 0< r <3.故其侧面积 S =2π rh =2π r(6-2r)=4π r(3-

r)≤4π ·? ?2=9π ,此时 r= ,所以该圆柱的侧面积的最大值等于 9π .故选 C. 2
答案: C 6.(2012·银川质检)已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱锥 D-ABC 的外接球表面积等于( A.8π C.48 2π B.16π D.不确定的实数 )

?3? ? ?

3 2

解析: 设矩形的两邻边长度分别为 a,b,则 ab=8,此时 2a+2b≥4 ab=8 2,当且 仅当 a=b=2 2时等号成立.此时四边形 ABCD 为正方形,其中心到四个顶点的距离相等,均 为 2,无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上,这个球的表面积是 4π ×2 = 16π .
2

-2-

答案: B 7.(2012·山东卷)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为线 段 B1C 上的一点,则三棱锥 A-DED1 的体积为________. 1 1 1 1 解析: VA-DED1=VE-ADD1= ×S△ADD1×CD= × ×1= . 3 3 2 6 答案: 1 6

8.(2012·上海卷)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为 ________. 解析: 设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,高为 h,

?π l=2π r, ? 则?1 2 ?2π l =2π . ?
∴?
? ?l=2, ? ?r=1,

∴h= 3.

1 3 2 ∴V 圆锥= π ×1 × 3= π . 3 3 答案: 3 π 3

9.已知三棱柱 ABC-A1B1C1,底面是边长为 3的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱 32π 的外接球的体积为 ,则该三棱柱的体积为________. 3 解析: 根据球的体积计算公式,该球的半径是 2.设三棱柱的高为 2a,根据题意,得 a +1=4,得 a= 3,故这个三棱柱的高是 2 3,其体积是 答案: 9 2 3 9 2 ×( 3) ×2 3= . 4 2
2

10.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
-3-

(2)求这个几何体的表面积及体积. 解析:

(1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2, 可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积

S=5×22+2×2× 2+2× ×( 2)2=22+4 2(cm2).
1 3 2 3 所求几何体的体积 V=2 + ×( 2) ×2=10(cm ). 2 11.如图,四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角 形. (1)求证:BC⊥AD; (2)试问该四面体的体积是否存在最大值?若存在,求出这个最大 及此时棱长 AD 的大小;若不存在,请说明理由. 解析: (1)证明:取 BC 的中点 E,连结 AE,DE, ∵△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形, ∴AE⊥BC,DE⊥BC. ∵AE∩DE=E, ∴BC⊥平面 AED.∴BC⊥AD. 值

1 2

(2)由已知得,△AED 为等腰三角形,且 AE=ED=2 3, 设 AD=x,F 为棱 AD 的中点,则 EF=

?1 ?2 12-? x? , ?2 ?

S△AED= x·

1 2

x 1 2 4 12- = 48x -x , 4 4

2

-4-

V= S△AED·(BE+CE)
= 1 2 4 48x -x (0<x<4 3), 3
2

1 3

当 x =24,即 x=2 6时,Vmax=8, ∴该四面体存在最大值,最大值为 8,此时棱长 AD=2 6. B 级

1.(2012·山西省联考)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的全面 积是________(单位:m ).
2

解析:

依题意得,该棱锥是一个三棱锥,令其各顶点分别为 A、B、C、D,如图所示,取 BC 的中 点 E,连接 AE、DE,由三视图可知 AE⊥平面 BCD,且 AE=2,DE=2,BE=EC=1,AB=AC=BD

?1 ? 2 2 2 2 = CD = 2 +1 = 5 , AD = AE +DE = 2 2 , 因 此 该 棱 锥 的 全 面 积 是 2× ? ×2×2? + 2 ? ? ?1 2×? ×2 2× ?2
? 5?
2

?2 2?2?=4+2 6. -? ?? ? 2 ??

答案: 4+2 6 2. (2012·海淀区期末练习)已知正三棱柱 ABC-A′B′C′的正(主)视图和侧(左)视图如 图所示,设△ABC,△A′B′C′的中心分别是 O、O′,现将此三棱柱绕直线 OO′旋转,射线

OA 旋转所成的角为 x 弧度(x 可以取到任意一个实数).对应的俯视图的面积为 S(x),则函数 S(x)的最大值为________;最小正周期为________.

-5-

说明:“三棱柱绕直线 OO′旋转”,包括逆时针方向和顺时针方向,逆时针方向旋转时,

OA 旋转所成的角为正角,顺时针方向旋转时,OA 旋转所成的角为负角
解析:

由题意可知,当三棱柱的一个侧面在水平面内时,该三棱柱的俯视图的面积最大.此时 俯视图为一个矩形,其宽为 3×tan 30°×2=2,长为 4.故 S(x)的最大值为 8.当三棱柱绕

OO′旋转时,当 A 点旋转到 B 点.B 点旋转到 C 点,C 点旋转到 A 点时,所得三角形与原三角
2π 形重合,故 S(x)的最小正周期为 . 3 答案: 8 2π 3

3.如图,AA1、BB1 为圆柱 OO1 的母线,BC 是底面圆 O 的直径,D、E 分别是 AA1、CB1 的中点,DE⊥面 CBB1. (1)证明:DE∥面 ABC; (2)求四棱锥 C-ABB1A1 与圆柱 OO1 的体积比. 解析: (1)证明:连接 EO,OA. ∵E,O 分别为 B1C,BC 的中点,∴EO∥BB1. 1 又 DA∥BB1,且 DA=EO= BB1. 2 ∴四边形 AOED 是平行四边形, 即 DE∥OA,又 DE?面 ABC,AO? 面 ABC, ∴DE∥面 ABC. (2)由题意知 DE⊥面 CBB1,且由(1)知 DE∥OA, ∴AO⊥面 CBB1,∴AO⊥BC, ∴AC=AB,因 BC 是底面圆 O 的直径, 得 CA⊥AB,且 AA1⊥CA, ∴CA⊥面 AA1B1B,即 CA 为四棱锥的高. 设圆柱高为 h,底面半径为 r, 1 2 2 2 则 V 柱=π r h,V 锥= h( 2r)·( 2r)= hr 3 3

-6-

2 ∴V 锥∶V 柱= . 3π

-7-


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