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浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题


嘉兴市第一中学高三年级期中试卷

数学(文科) 第 I 卷(选择题

试题卷
共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1.设集合 U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则 B∩(?UA)=( ▲ ) A.{2} B.{4} C.{1,2,4} D.{1,4} 2.已知 a,b∈R,则“a>b>1”是“logab<1”的( ▲ ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知 m 为一条直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ▲ ) A.若 m // ? , ? // ? , 则m // ? C.若 m // ? , ? ? B.若 ? ? ?,m ? ? , 则 m ? ? D. 若 m ? ? , ? // ? , 则m ?

? , 则m ? ?

?

4.为了得到函数 y=sin(2x﹣ A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度

)的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象( ▲ ) B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度

5.已知△ABC 的三边 a,b,c 所对角分别为 A,B,C,且 A.
2

,则 cosB 的值为( D.﹣

▲ )

B.

C. ﹣

6.关于 x 的方程 ax ? | x | ? a ? 0 有四个不同的解,则实数 a 的值可能是( ▲ ) A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

x2 y2 7.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,过 F2 的直线与双 a b 曲线的右支交于 A, B 两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e 2 ? ( ▲ )
A. 1 ? 2 2 B. 4 ? 2 2 C. 5 ? 2 2 D. 3 ? 2 2 8.已知棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , P 是过顶点 B, D, D1 , B1 圆上的一点, Q 为 CC1 中 点,则 PQ 与面 ABCD 所成角余弦值的取值范围是( ▲ ) A. [0,

5 ] 5

B. [

5 ,1] 5

C. [

10 ,1] 5

D. [

15 ,1] 5

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题: (本大题共 7 小题, 前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分. ) 2 9.已知等差数列 {an } , S n 是数列 {an } 的前 n 项和,且满足 a4 ? 10, S6 ? S3 ? 39 ,则数列 {an } 的首 , 项 a1 ? __ ▲___ ,通项 an ? =___ ▲___. 4 ,· ·1 6

10.如图是某几何体的三视图(单位:cm) ,则该几何体的表 面积是___ ▲___ cm2,体积为 __ ▲___ cm3. 11.已知函数 f ? x ? ? ?

?? a ? 1? x ? 4
x ?6

x?7

x?7 ? a 的值域为__ ▲___ , (2)若 f ? x ? 是 (??, ??) 上的减函数,则实数 a 的

;(1)当 a ?

1 时, f ? x ? 2

2 5 正视图 5

2

侧视图

取值范围是___ ▲___. 12.已知 A(1,﹣2) ,B(a,﹣1) ,C(﹣b,0)三点共线,其中 a>0,b>0,则 a 与 b 的关系式为__ ▲___ , ▲___. 的最小值是___

4

3

俯视图

第 12 题图

13 .已知两点 A(? m, 0) , B (m, 0) ( m ? 0 ) ,如果在直线 3 x ? 4 y ? 25 ? 0 上存在点 P ,使得

?APB ? 90? ,则 m 的取值范围是___ ▲___.
14.设函数 f ( x) ? ( x ? a ) x ? a ? b ( a, b 都是实数) . 则下列叙述中,正确的序号是 ▲ . (请把所有叙述正确的序号都填上)

①对任意实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调函数; ②存在实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上不是单调函数; ③对任意实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 的图像都是中心对称图形; ④存在实数 a, b ,使得函数 y ? f ( x) 的图像不是中心对称图形. 15.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,AC=BC=1,点 M,N 分别是 ???? ???? AB, BC 的中点, 点 P 是△ABC (包括边界) 内任一点. 则 AN ? MP 的取值范围为___ ▲___. A 三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ) 16.已知函数 f ( x) ? 2sin x ? cos 2 在 x ? ? 处取最小值. 已知 a ? 1, b ? M (第 15 题) B

C

P

N

?
2

? cos x ? sin ? ? sin x( 0 ? ? ? ? )

(1)求 ? 的值;(2) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,

2, f ( A) ?

3 ,求角 C . 2

17.已知等差数列{an}中,首项 a1=1,公差 d 为整数 ,且满足 a1+3<a3,a2+5>a4, .. 数列{bn}满足 bn ?
1 ,其前 n 项和为 Sn. an ? an ?1
·2·

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若 S2 为 S1,Sm(m∈N*)的等比中项,求 m 的值. 18. 如图所示, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ∠DAB=60° , 点 E, F 分别是边 CD, CB 的中点, EF∩AC=O, 沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF, 连接 PA, PB, PD, 得到五棱锥 P﹣ABFED, 且 AP ? (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求二面角 B﹣AP﹣O 的正切值. PB= 30 , .

19. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 抛 物 线

1 ,过点 M (0, - 2) 4 抛物线的切线 MA ,切点为 A (异于点 O ),直线 l 过点 M 与 物线交于两点 B , C ,与直线 OA 交于点 N .

y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线方程为 x = -

y

l C

作 抛

O B M N A x

(1)求抛物线的方程; (2)试问:

MN MN ? 的值是否为定值?若是,求 MB MC



定值;若不是,说明理由. 20.已知二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? a 。 (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上最大值;

? 2 在 x ? ?1 , 2? 上恒成立,求实数 a 的取值范围; x 1 ? ? a ? 1? x 2 (3)函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 在 ? 2 , 3? 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 x
(2)关于 x 的不等式

f ? x?

·3·

嘉兴市第一中学高三年级期中试卷

数学(文科)
满分[ 150]分 ,时间[120]分钟

试题卷
2015 年 11 月

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1.设集合 U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则 B∩(?UA)=( ▲ ) A.{2} B.{4} C.{1,2,4} D.{1,4} 答案:B. 2.已知 a,b∈R,则“a>b>1”是“logab<1”的( ▲ ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A. 3.已知 m 为一条直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ▲ ) A.若 m // ? , ? // ? , 则m // ? C.若 m // ? , ? ? 答案:D B.若 ? ? ?,m ? ? , 则 m ? ? D. 若 m ? ? , ? // ? , 则m ?

? , 则m ? ?

?

4.为了得到函数 y=sin(2x﹣ A.向左平移 C. 向左平移 答案:D. 个单位长度 个单位长度

)的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象( ▲ ) B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度

5.已知△ABC 的三边 a,b,c 所对角分别为 A,B,C,且 A. 答案:C.
2

,则 cosB 的值为( D.﹣

▲ )

B.

C. ﹣

6.关于 x 的方程 ax ? | x | ? a ? 0 有四个不同的解,则实数 a 的值可能是( ▲ ) A. 答案:A

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,过 F2 的直线与双 a2 b2 曲线的右支交于 A, B 两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e 2 ? ( ▲ )
7.设双曲线 A. 1 ? 2 2 B. 4 ? 2 2 C. 5 ? 2 2 D. 3 ? 2 2 答案:C 8.已知棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , P 是过顶点 B, D, D1 , B1 圆上的一点, Q 为 CC1 中
·4·

点,则 PQ 与面 ABCD 所成角余弦值的取值范围是( ▲ ) A. [0, 答案:C

5 ] 5

B. [

5 ,1] 5

C. [

10 ,1] 5

D. [

15 ,1] 5

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题: (本大题共 7 小题, 前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分. ) 2 9.已知等差数列 {an } , S n 是数列 {an } 的前 n 项和,且满足 a4 ? 10, S6 ? S3 ? 39 ,则数列 {an } 的首 , 项 a1 ? __ ▲___ ,通项 an ? =___ ▲___. 4 答案: 1;3n ? 2 2 2 , 10.如图是某几何体的三视图(单位:cm) ,则该几何体的表 5 6 正视图 侧视图 2 3 5 面积是___ ▲___ cm ,体积为 __ ▲___ cm . 答案: 14 ? 2 13; 4 11.已知函数 f ? x ? ? ?
4 3

?? a ? 1? x ? 4

x?7

x ?6 第 12 题图 x?7 ? a 值域为__ ▲___ , (2)若 f ? x ? 是 (??, ??) 上的减函数,则实数 a 的取值范围是___ ▲___. 1 答案: (1) ? 0, ?? ? (2) ? a ? 1 2 12.已知 A(1,﹣2) ,B(a,﹣1) ,C(﹣b,0)三点共线,其中 a>0,b>0,则 a 与 b 的关系式

;(1)当 a ?

1 时, f ? x ? 的 2

俯视图

为__ ▲___ , 答案: 2a ? b ? 1

的最小值是___ ▲___. 8.

13 .已知两点 A(? m, 0) , B (m, 0) ( m ? 0 ) ,如果在直线 3 x ? 4 y ? 25 ? 0 上存在点 P ,使得

?APB ? 90? ,则 m 的取值范围是___ ▲___.
答案: [5, ??) 14.设函数 f ( x) ? ( x ? a ) x ? a ? b ( a, b 都是实数) . 则下列叙述中,正确的序号是 ▲ . (请把所有叙述正确的序号都填上)

①对任意实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调函数; ②存在实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上不是单调函数; ③对任意实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 的图像都是中心对称图形; ④存在实数 a, b ,使得函数 y ? f ( x) 的图像不是中心对称图形. 答案:①③;
·5·

C

P

N

A

M (第 15 题)

B

15.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,AC=BC=1,点 M,N 分别是 AB,BC 的中点,点 P 是△ABC ???? ???? (包括边界)内任一点.则 AN ? MP 的取值范围为___ ▲___.
? 3 3? 答案: ? ? , ? ? 4 4?

三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.已知函数 f ( x) ? 2sin x ? cos 2 最小值.

?
2

? cos x ? sin ? ? sin x ( 0 ? ? ? ? )在 x ? ? 处取

(1)求 ? 的值;(2) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,

3 ,求角 C . 2 1 ? cos ? 解:(1) f ( x) ? 2sin x ? ? cos x ? sin ? ? sin x ? sin( x ? ? ) 2 ∵ 当 x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ∴ sin(? ? ? ) ? ?1 即 sin ? ? 1
已知 a ? 1, b ?

2, f ( A) ?

又∵ 0 ? ? ? ? , ∴ ? ? (2) 由(1)知 f ( x) ? cos x

?
2

3 ,且 A 为 ?ABC 的内角 2 b sin A 2 ? ? 3? ∴ A ? 由正弦定理得 sin B ? 知B ? 或B ? ? a 2 6 4 4 ? 7? 3? ? 当 B ? 时, C ? ? ? A ? B ? ,当 B ? 时, C ? ? ? A ? B ? 4 12 4 12 7? ? 综上所述, C ? 或C ? 12 12
∵ f ( A) ? cos A ? 17.已知等差数列{an}中,首项 a1=1,公差 d 为整数 ,且满足 a1+3<a3,a2+5>a4, .. 数列{bn}满足 bn ?
1 ,其前 n 项和为 Sn. an ? an ?1

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若 S2 为 S1,Sm(m∈N*)的等比中项,求 m 的值.
?a ? 3 ? a1 ? 2d , 3 5 解: (1)由题意,得 ? 1 解得 < d < . a ? d ? 5 ? a ? 3 d , 2 2 ? 1 1

又 d∈Z,∴d = 2.∴an=1+(n-1) 2=2n-1. (2)∵ bn ?
1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? an ? an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴ Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( . ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
·6·

∵ S1 ?
2 2

1 2 m , S2 ? , Sm ? ,S2 为 S1,Sm(m∈ N? )的等比中项, 3 5 2m ? 1
2

m ?2? 1 ∴ S ? Sm S1 ,即 ? ? ? ? ,解得 m=12. ? 5 ? 3 2m ? 1

18. 如图所示, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ∠DAB=60° , 点 E, F 分别是边 CD, CB 的中点, EF∩AC=O, 沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF, 连接 PA, PB, PD, 得到五棱锥 P﹣ABFED, 且 AP ? (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求二面角 B﹣AP﹣O 的正切值. PB= 30 , .

解: (1)证明:∵点 E,F 分别是边 CD、CB 的中点, ∴BD∥EF, ∴菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴BD⊥AC,∴EF⊥AC, ∴EF⊥AO,EF⊥PO, ∵AO?平面 POA,PO?平面 POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面 POA,∴BD⊥平面 POA. (2)解:设 AO∩BD=H,连结 BO, ∵∠DAB=60° ,∴△ABD 是等边三角形, ∴BD=4,BH=2,HA=2 ,HO=PO= , 在 Rt△BHO 中,BO= = ,

在 PBO 中,BO2+PO2=10=PB2, ∴PO⊥BO, ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面 BFED, ∴PO⊥平面 BFED, 过 H 作 HG⊥AP,垂足为 G,连结 BG, 由(1)知 BH⊥平面 POA,且 AP?平面 POA, ∴BH⊥AP, ∵HG∩BH=H,HG?平面 BHG,BH?平面 BHG, ∴AP⊥平面 BHG,BG?平面 BHG, ∵BG?平面 BHG,∴AP⊥BG, ∴∠BGH 为二面角 B﹣AP﹣O 的平面角,
·7·

在 Rt△POA 中,AP= 在 Rt ∴△POA∽△HGA,∴ ∴HG= = =

=



中,∠POA=∠HGA=90° ,∠APO=∠HAG, , . = = .

在 Rt△BHG 中,tan

∴二面角 B﹣AP﹣O 的正切值为



1 , 过点 M (0, - 2) 4 作抛物线的切线 MA ,切点为 A (异于点 O ),直线 l 过点 M 与抛物线交于两点 B , C ,与直线 OA 交
19.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线方程为 x = 于点 N . (1)求抛物线的方程; (2)试问:

MN MN ? 的值是否为定值?若是,求出定值; MB MC
y l C

若不是,说明理由. 解: (1)由题设知,

p 1, 1 ,所以抛物线的方程 ? ?? p? 2 4 2

O B N A x

为 y2 ? x . (2)因为函数 y = -

x 的导函数为 y ?= -

1 2 x

M

,设 A( x0 , y0 ) ,

则直线 MA 的方程为 y - y0 = -

1 ( x - x0 ) , 2 x0 1 ? 2 1 ( x0 ) . x0

因为点 M (0, - 2) 在直线 MA 上,所以 - 2 - y0 = -

·8·

ì 1 ? ? ? y0 = - 2 - 2 ? 联立 í ? 2 ? ? ? y0 = x0 .

x0 ,

解得 A(16, - 4) .所以直线 OA 的方程为 y = -

1 x. 4

ì ? y 2 = x, ? y = kx 2 设直线 BC 方程为 ,由 í ,得 k 2 x 2 - (4k + 1) x + 4 = 0 , ? ? ? y = kx - 2
ì 1 ? ? y = - x, 8 4k + 1 4 ? , xB xC = 2 .由 í 所以 xB + xC = . 4 ,得 xN = 2 ? 4k + 1 k k ? ? ? y = kx - 2
x + xC MN MN xN xN + = + = xN ? B MB MC xB xC xB xC 4k + 1 2 8 ? k 4 4k + 1 k2 8 4k + 1 ? 4k + 1 4 2,

所以



MN MN + 为定值 2. MB MC

20.已知二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? a 。 (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上最大值;

? 2 在 x ? ?1 , 2? 上恒成立,求实数 a 的取值范围; x 1 ? ? a ? 1? x 2 (3)函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 在 ? 2 , 3? 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 x
(2)关于 x 的不等式 解: (1)? f ( x) ? 2 x ? x ? 2 x ? [?1,1]
2

f ? x?

? f ( x) max ? 5
(2)设 h( x) ?



f ( x) 1 ? a( x ? ) ? a ? 1 , x x 1 5 当 x ? [1,2] 时, x ? ? [2, ] , x 2
因为不等式 所以, ?



f ? x? x

? 2 在 x ? ?1 , 2? 上恒成立,所以 h( x) 在 x ? [1,2] 时的最小值大于或等于 2,

a?0 ? a?0 ? , …… 或? 5 2a ? a ? 1 ? 2 ? a ? a ? 1 ? 2 ? ?2 ? 解得 a ? 1 。 1 (3) g ( x) ? ax 2 ? ? a 在 ? 2 , 3? 上是增函数,设 2 ? x1 ? x 2 ? 3 ,则 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) , x
·9·

? ?

ax1 ?

2

x ? x2 1 1 2 ,… ? a ? ax 2 ? ? a , a ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 x 2 x1 x2
1 , x1 x 2 ( x1 ? x 2 )


因为 2 ? x1 ? x 2 ? 3 ,所以 a ?



1 1 1 ?( , ), x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 54 16
1 . 16
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所以 a ?

·10·


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