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广西柳州市、玉林市、贵港市、百色市2015届高三10月联考数学(文)试题含解析


广西柳州市、玉林市、贵港市、百色 市 2015 届高三 10 月联考数学(文)试题(解析版)
【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度, 体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思 辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能. 【题文】1.全集 U=R,A=N,B={x|-1≤x≤2},则 A∩B= A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2} C.[0,2] D.[-1,2] 【知识点】交集及其运算.L4 【答案解析】B 解析:全集 U=R,A=N,B={x|﹣1≤x≤2},则 A∩B={0,1,2}.故选:B. 【思路点拨】直接利用交集的求法求解即可. 【题文】2.已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2-i)的模|z|= A.1 B.3 【知识点】复数求模.L4 C.5 D.3

【答案解析】C 解析:∵z=i(2﹣i)=2i+1,∴|z|= 【思路点拨】根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论. 【题文】3.已知向量 a =(2,1),b =(x ,-2),若 a∥b,则 a+b =

,故选:C.

A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1) 【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量的坐标运算.L4 【答案解析】A 解析:根据题意,向量 =(2,1) , =(x,﹣2) ,若 ∥ ,则有 1?x=2?(﹣2) ,即 x=﹣4,即 =(﹣4,﹣2) ,则 + =(﹣2,﹣1) ,故选 A. 【思路点拨】根据题意,由向量平行的判断方法,可得 2x﹣2=0,解可得 x 的值,即可得 的 坐标,由向量加法的坐标运算方法,可得答案. 【题文】4. 已知 sin( ﹣x)= ,则 cos(x+ )=( )

A. -

3 5

B. -

4 5

C.

4 5

D.

3 5

【知识点】两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.L4 【答案解析】D 解析:cos(x+ 故选:D. )=cos[ ﹣( ﹣x)]=sin( ﹣x)=

【思路点拨】由诱导公式可知 cos(x+

)=cos[

﹣(

﹣x)]=sin(

﹣x)=

【题文】5.等比数列{an}中,a2=2,a4=8,an>0,则数列{log2an}的前 n 项和为

n n - 1) A. ( 2

n - 1) B. ( 2

2

n n +1) C. ( 2

n +1) D. ( 2

2

【知识点】数列的求和.L4 【答案解析】A 解析:设等比数列{an}的公比为 q. ∵a2=2,a4=8,an>0,∴a1q=2, =8,解得 q=2,a1=1.∴ .

∴数列{log2an}的前 n 项和=log2a1+log2a2+…+log2an = = = .故选:A.

【思路点拨】利用等比数列的通项公式可得 an,再利用对数的运算性质、等差数列的前 n 项和公式、指数的运算性质即可得出.

【题文】6.已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=x+2y-1 的最大值为

A.9 B.8 【知识点】简单线性规划.L4

C.7

D.6

【答案解析】B 解析:作出不等式组对应的平面区域如图:

由 z=x+2y﹣1 得 y= 平移直线 y= 直线 y= x+ x+

x+

, x+ 经过点 A 时,

,由图象可知当直线 y=

的截距最大,此时 z 最大,



,得

,即 A(1,4)

此时 z=1+8﹣1=8,故选:B. 【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合即可 得到结论. 【题文】7. 设不等式组 到坐标原点的距离大于 2 的概率是 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点,则此点

【知识点】二元一次不等式(组)与平面区域;几何概型.L4 【答案解析】D 解析:其构成的区域 D 如图所示的边长为 2 的正方形,面积为 S1=4, 满足到原点的距离大于 2 所表示的平面区域是以原点为圆心,以 2 为半径的圆外部, 面积为 于 2 的概率 P= =4﹣π,∴在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大 故选 D.

【思路点拨】本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要 求出题中两个区域:由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于 2 的点构成的区域的面积 后再求它们的比值即可. 【题文】8.执行图 1 所示的程序框图,输出的 a 的值为 A.3 C.7 B.5 D.9

【知识点】程序框图.L4 【答案解析】 C 解析: 根据程序框图, 模拟运行如下: 输入 S=1,a=3, S=1×3=3,此时不符合 S≥100,a=3+2=5,执行循环体, S=3×5=15,此时不符合 S≥100,a=5+2=7,故执行循环 体, S=15×7=105,此时符合 S≥100,故结束运行, ∴输出 n=7.故选:C. 【思路点拨】根据题中的程序框图,模拟运行,分别求解 S 和 a 的值,判断是否满足判断框 中的条件,直到满足,则结束运行,即可得到答案. 【题文】9.下列说法正确的是 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题是“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. x∈R, x ﹣x>0 x∈R, x ﹣x<0”
2 2

C.命题“若函数 f(x)= x ﹣ax+1 有零点,则 a≥2 或 a≤-2”的逆否命题为真命题 2 D.“x =-1”是“x ﹣x﹣2=0”的必要不充分条件 【知识点】命题的真假判断与应用.L4 【答案解析】C 解析:对于 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题是“若 x ≠1,则 x≠1”,故 A 错; 2 2 对于 B.命题“x∈R,x ﹣x>0”的否定是“x∈R,x ﹣x≤0”,故 B 错; 2 对于 C.命题“若函数 f(x)=x ﹣ax+1 有零点,则 a≥2 或 a≤﹣2” 2 即有△ =a ﹣4≥0,则 a≥2 或 a≤﹣2,故原命题为真,由于互为逆否命题为等价命题, 故其逆否命题为真命题,故 C 对; 对于 D.“x=﹣1”可推出“x ﹣x﹣2=0”,反之不能推出,故为充分不必要条件,故 D 错. 故选 C. 【思路点拨】由命题的否命题是既对条件否定,又对结论否定,即可判断 A;由命题的否定 是对结论否定,即可判断 B;先判断原命题的真假,再由互为逆否命题为等价命题,即可判 断 C;由充分必要条件的定义,即可判断 D. 【题文】10.某几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积为 A.16+8π B.16+4π C.16+16π D.4+8π
2 2 2

2

【知识点】由三视图求面积、体积.L4 【答案解析】A 解析:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其 中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为 2,母线长为 4. ∴长方体的体积=4×2×2=16,半个圆柱的体积= ×2 ×π×4=8π 所以这个几何体的体积是 16+8π;故选 A. 【思路点拨】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据, 得出组合体长、宽、高,即可求出几何体的体积. 【题文】 11. 已知函数 的图象(部分)如图所示,则 ω,φ 分别为( )
2

A.ω =π ,φ =

B.ω =2π ,φ =

C.ω =π ,φ =

D.ω =2π ,φ =

【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.L4 【答案解析】C 解析:由函数的图象可得 A=2,根据 再由五点法作图可得 π× +φ=π,解得 φ= ,故选 C. = = = ,求得 ω=π.

【思路点拨】由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值. 【题文】12.已知双曲线 C1 :

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2,若抛物线 a 2 b2


的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2, 则抛物线 C2 的方程是 ( C2 : y 2 ? 2 px (p>0)

A. y 2 ? 8 x

B. y 2 ?

16 3 x 3

C. y 2 ?

8 3 x 3

D. y 2 ? 16 x

【知识点】抛物线的简单性质;点到直线的距离公式;双曲线的简单性质.L4 【答案解析】D 解析:双曲线 C1 :

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2. a 2 b2
;双曲线的渐近线方程为:

所以

,即:

=4,所以

y x ? ?0 a b

抛物线 C2 : y 2 ? 2 px 的焦点 ? (p>0)

?p ? , 0 ? 到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2, ?2 ?
,所以 p=8.抛物线 C2 的方程为 y ? 16 x .
2

所以 2=

,因为

故选 D. 【思路点拨】利用双曲线的离心率推出 a,b 的关系,求出抛物线的焦点坐标,通过点到直

线的距离求出 p,即可得到抛物线的方程. 二、填空题 【题文】13.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组 数据的频率之比为 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 6 ∶ 4 ∶ 1 ,且前三组数据的频数之和等于 27 ,则 n 等 于 【知识点】频率分布直方图.L4 【答案解析】60 解析:设第一组至第六组数据的频率分别为 2x,3x,4x,6x,4x,x, 则 2x+3x+4x+6x+4x+x=1,解得 故前三组数据的频数之和等于 ,所以前三组数据的频率分别是 =27,解得 n=60.故答案为 60. , .

【思路点拨】根据比例关系设出各组的频率,在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频 率的和等于 1,求出前三组的频率,再频数和建立等量关系即可. 【题文】14.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=3,BC=2,则棱锥 O-ABCD 的体积为 【知识点】球内接多面体.L4 【答案解析】 51 解析:∵矩形 ABCD 中,AB=3,BC=2 ∴矩形的对角线的长 AC= = , = ,

根据球 O 的半径为 4,可得球心到矩形的距离 d= ∴棱锥 O﹣ABCD 的高 h= V= ,可得 O﹣ABCD 的体积为 = .故答案为: .

【思路点拨】根据题意求出矩形 ABCD 的对角线的长 AC=

,利用球的截面圆性质求出球

心到矩形的距离,从而得出棱锥 O﹣ABCD 的高,进而可得棱锥的体积. 【题文】15.已知 a∈R,函数 f(x)=e +a?e 的一条切线的斜率为
x
﹣x

的导函数 y =f ′(x)是奇函数,若曲线 y =f(x) .

,则切点的横坐标为

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程。L4 【答案解析】ln2 解析:由题意可得,f′(x)=e ﹣ ∴a=1,f(x)=e +
x x

是奇函数,∴f′(0)=1﹣a=0

,f′(x)=e ﹣

x


x

∵曲线 y=f(x)在(x,y)的一条切线的斜率是 ,∴ =e ﹣ 解方程可得 e =2,∴x=ln2.故答案为:ln2.
x



【思路点拨】对函数求导,先由导函数为奇函数可求 a,利用导数的几何意义设切点,表示 切线的斜率,解方程可得. 【题文】16.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,且当 x∈[-1,1)时,f(x) = 【知识点】函数的值。L4 【答案解析】1 解析:函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, f(5)=f(1)=f(﹣1) . 又 f(x)= , ,则 f(5)= .

∴f(5)=f(﹣1)=﹣2+1+2=1.故答案为:1. 【思路点拨】利用函数的周期性化简 f(5) ,然后求解函数的值. 三、解答题 【题文】17.(本小题满分 12 分) 已知在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,并且 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a =1,c =2,求△ABC 的面积 S. 【知识点】等比数列的性质;三角函数中的恒等变换应用;解三角形。L4 【答案解析】 (1)见解析; (2)

7 4

解析: (1)证明:∵sinB(tanA+tanC)=tanAtanC ∴sinB( )= ,∴sinB? =

∴sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinc,∴sinBsin(A+C)=sinAsinC, 2 ∵A+B+C=π,∴sin(A+C)=sinB,即 sin B=sinAsinC, 2 由正弦定理可得:b =ac,所以 a,b,c 成等比数列. 2 (2)若 a=1,c=2,则 b =ac=2, ∴ ,∵0<B<π ,∴△ABC 的面积 .

∴sinB=

【思路点拨】 (1)由已知,利用三角函数的切化弦的原则可得,sinB(sinAcosC+sinCcosA) =sinAsinC,利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得 sin B=sinAsinC,由正弦 定理可证; (2)由已知结合余弦定理可求 cosB,利用同角平方关系可求 sinB,代入三角形
2

的面积公式 S=

可求.

【题文】18.(本小题满分 12 分) 图 4 是自治区环境监测网从 8 月 21 日至 25 日五天监测到甲城市和乙城市的空气质量指数数 据,用茎叶图表示: (1)试根据图 4 的统计数据和下面的附表, 估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率; (2)分别从甲城市和乙城市的统计数据中 任取一个,试求这两个城市空气质量 等级相同的概率. 附: 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质 量等级对应关系如下表:

【知识点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图.L4 【答案解析】 (1)

3 11 (2) 5 25

解析: (1) 根据上面的统计数据, 可得在这五天中甲城市空气质量等级为 2 级良的频数为 3,

3 . (3 分) 5 3 则估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率为 . (5 分) 5
则在这五天中甲城市空气质量等级为 2 级良的频率为 (2)设事件 A:从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个,这两个城市的空气质量等 级相同.由题意可知,从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个,共有 25 个结果,分 别记为: (29,43) , (29,41) , (29,55) , (29,58) , (29,78) , (53,43) , (53,41) , (53,55) , (53,58) , (53,78) , (57,43) , (57,41) , (57,55) , (57,58) , (57,78) , (75,43) , (75,41) , (75,55) , (75,58) , (75,78) , (106,43) , (106,41) , (106,55) , (106,58) , (106,78) . (7 分) 其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为 1 级优的为: 甲 29,乙 41,乙 43,同为 2 级良的为甲 53,甲 57,甲 75,乙 55,乙 58,乙 78. (9 分) 则空气质量等级相同的为: (29,41) , (29,43) , (53,55) , (53,58) , (53,78) , (57,55) , (57,58) , (57,78) , (75,55) , (75,58) , (75,78) .共 11 个结果. (10 分) 则 P(A)=

11 11 .所以这两个城市空气质量等级相同的概率为 . (12 分) 25 25

【思路点拨】 (1)根据已知的统计数据,可得甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的频数, 进而得到甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的频率, 进而估计出甲城市某一天空气质量等 级为 2 级良的概论; (2) 先求出分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个基本事件总数, 和这两个城市空气质量等级相同基本事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 【题文】19.(本小题满分 12 分)

如图 3,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,AD⊥CD, AB∥CD,AB=AD=

1 CD=2,点 M 在线段 EC 上且不与 E,C 重合. 2 16 时,求点 M 到平面 BDE 的距离. 9

(1)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM∥平面 ADEF; (2)当三棱锥 M—BDE 的体积为

【知识点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定.L4 【答案解析】 (1)见解析; (2)

2 6

解析: (1)证明:取 DE 中点 N,连接 MN,AN 在△ EDC 中,M、N 分别为 EC,ED 的中点,所以 MN∥CD,且 MN= CD. 由已知 AB∥CD,AB= CD,所以 MN∥AB,且 MN=AB. 所以四边形 ABMN 为平行四边形,所以 BM∥AN 又因为 AN?平面 ADEF,且 BM?平面 ADEF,所以 BM∥平面 ADEF; (2)解:以直线 DA、DC、DE 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0, 0) ,B(2,2,0)C(0,4,0) ,E(0,0,2) ,

则∵三棱锥 M﹣BDE 的体积为 ∴S△ DEM= ,∵S△ DEC=4,∴

,∴

=



= ,∴M(0, , ) ,

设平面 BDM 的法向量 ∴取 ∴cos<

=(x,y,z) ,∵D(0,0,0) ,F(2,0,2) ,∴ =(1,0,0) ,

=(1,﹣1,4) ,∵平面 ABF 的法向量 , >= = ,

∴平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为

2 . 6

【思路点拨】 (1)取 DE 中点 N,连接 MN,AN,由三角形中位线定理,结合已知中 AB∥ CD,AB=AD=2,CD=4,易得四边形 ABMN 为平行四边形,所以 BM∥AN,再由线面平 面的判定定理,可得 BM∥平面 ADEF; (2)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量, 利用三棱锥 M﹣BDE 的体积为 ,求出 M 的坐标,求出平面 BDM 的法向量、平面 ABF

的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值. 【题文】20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最 小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 ly=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆 过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.L4 【答案解析】 (1) (2)

解析: (1)解:由题意设椭圆的标准方程为 由已知椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1, 可得:a+c=3,a﹣c=1, ∴a=2,c=1 2 2 2 ∴b =a ﹣c =3 ∴椭圆的标准方程为 ;



(2)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

联立

,消去 y 可得(3+4k )x +8mkx+4(m ﹣3)=0,

2

2

2





因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0) ,∴kADkBD=﹣1,即

∴y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0,∴ ∴7m +16mk+4k =0 解得: ,且均满足 3+4k ﹣m >0
2 2 2 2

当 m1=﹣2k 时,l 的方程 y=k(x﹣2) ,直线过点(2,0) ,与已知矛盾; 当 时,l 的方程为 ,直线过定点

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 【思路点拨】 (1) 由已知椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 最小值为 1, 可得: a+c=3, a﹣c=1,从而可求椭圆的标准方程; (2)直线与椭圆方程联立,利用以 AB 为直径的圆过椭 圆的右顶点 D(2,0) ,结合根的判别式和根与系数的关系求解,即可求得结论. 【题文】21.(本小题满分 12 分) 已知函数 .

(1)若 x =1 是函数 f(x)的极大值点,求函数 f(x)的单调递减区间; (2)若 恒成立,求实数 ab 的最大值.

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件.L4 【答案解析】 (1) (0,a) , (1,+∞) ; (2) 解析: (1)求导数可得,f′(x)= ∵x=1 是函数 f(x)的极大值点,∴0<a<1 ∴函数 f(x)的单调递减区间为(0,a) , (1,+∞) ;

(2)∵

恒成立,∴alnx﹣x+b≤0 恒成立,

令 g(x)=alnx﹣x+b,则 g′(x)= ∴g(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减 2 2 ∴g(x)max=g(a)=alna﹣a+b≤0∴b≤a﹣lna,∴ab≤a ﹣a lna 2 2 令 h(x)=x ﹣x lnx(x>0) ,则 h′(x)=x(1﹣2lnx) ∴h(x)在(0, ∴h(x)max=h( )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减

)= ,∴ab≤ ,即 ab 的最大值为 .

【思路点拨】 (1)求导数,利用 x=1 是函数 f(x)的极大值点,确定 a 的范围,即可得到 函数 f(x)的单调递减区间; (2)构造函数,确定函数的单调性,可得函数的最值,即可 得到结论. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 【题文】22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 4,已知 AB 是圆 O 的直径,C 为圆 O 上一点,CD⊥AB 于点 D,弦 BE 与 CD,AC 分别交于点 M,N,且 MN=MC. (1)求证:MN=MB; (2)求证:OC⊥MN.

【知识点】与圆有关的比例线段.L4 【答案解析】 (1)见解析; (2)见解析。 解析: (1)连接 AE,BC, ∵AB 是圆 O 的直径, ∴∠AEB=90°,∠ACB=90°. ∵MN=MC, ∴∠MCN=∠MNC. 又∵∠ENA=∠MNC, ∴∠ENA=∠MCN,∴∠EAC=∠DCB. ∵∠EAC=∠EBC, ∴∠MBC=∠MCB,∴MB=MC. ∴MN=MB. (2)设 OC∩BE=F,

2分 3分

5分

∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. 6分 由(1)知,∠MBC=∠MCB, ∴∠DBM=∠FCM. 8分 又∵∠DMB=∠FMC, ∴∠MDB=∠MFC,即∠MFC=90°. ∴OC⊥MN. 10 分 【思路点拨】 (1)连结 AE,BC,根据直径所对的圆周角是直角,得∠AEB=90°,根据等量 代换得∠MBC=∠MCB,最后利用三角形的性质即可得出 MB=MC,从而得到 MN=MB; (2)设 OC∩BE=F,根据 OB=OC,得到∠OBC=∠OCB,再由(1)知,∠MBC=∠MCB,等量 代换得∠MDB=∠MFC,即∠MFC=90°即可证出结论. 【题文】23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为

(α 为参数),以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方 程为 ρsin(θ+ )=4 ..

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 坐标. 【知识点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.L4 【答案解析】 (1)x+y﹣8=0; (2) 3 2 解析: (1)曲线 C1 的参数方程为 则由 sin α+cos α=1 化为
2 2

(α 为参数) ,

+y =1, )=4 ,

2

曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ+ 即有 ρsinθcos (2)设 P( 则 d= 则当 sin( +ρcosθsin =4

,即为直线 x+y﹣8=0;

cosα,sinα) ,则 P 到直线的距离为 d, = )=1,此时 α=2k ,k 为整数, =3 . ,

P 的坐标为( , ) ,距离的最小值为

【思路点拨】 (1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用 直角坐标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程. (2)设 P( cosα,sinα) ,则 P 到直线的距离为 d,运用点到直线的距离公式和两角和的正弦公式 以及正弦函数的值域即可得到最小值. 【题文】24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a,m 的值; (2)当 a=2 且 t≥0 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2). 【知识点】绝对值不等式的解法.L4 【答案解析】 (1) 解集为 {x|x≤ +1 }. 解析: (1)由于函数 f(x)=|x﹣a|,由 f(x)≤m 可得﹣m≤x﹣a≤x+a,即 a﹣m≤x≤a+m. 再由 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},可得 ,解得 . (2)①当 t≥2 时,不等式的解集为 R; ②当 0≤t<2 时,不等式的

(2)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|,关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2) ,即|x|﹣|x﹣2|≤t.

令 h(t)=|x|﹣|x﹣2|=

,故函数 h(x)的最大值为 2,最小值为﹣2,

不等式即 h(x)≤t. ①当 t≥2 时,不等式 h(x)≤t 恒成立,故原不等式的解集为 R. ②当 0≤t<2 时, (1)若 x≤0,则 h(x)=﹣2,h(x)≤t 恒成立,不等式的解集为{x|x≤0}. (2) 若 0<x<2, 此时, h (x) =2x﹣2, 不等式即 2x﹣2≤t, 解得 x≤ +1, 即此时不等式的解集为 {x|0<x≤ +1 }. 综上可得, ①当 t≥2 时, 不等式的解集为 R; ②当 0≤t<2 时, 不等式的解集为 {x|x≤ +1 }. 【思路点拨】 (1)由 f(x)≤m,可得 a﹣m≤x≤a+m.再由 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, 可得 ,由此求得实数 a,m 的值. (2)当 a=2 时,关于 x 的不等式即|x|﹣|x﹣

2|≤t ①.令 h(t)=|x|﹣|x﹣2|=

,可得函数 h(x)的最大值和最小值.


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