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2014年新课标2卷高考文科数学试题及答案 word最终版


2014 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 (1)已知集合 A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛ x | x - x - 2 ? 0 ﹜,则 A ? B ? (A) ? (B) ?2? (C) ?0? (D) ??2? (2)
1 ? 3i ? 1? i (A) 1 ? 2i
2

(B) ?1 ? 2i

(C) 1-2i

(D) ? 1-2i

(3)函数 f ? x ? 在 x=x 0 处导数存在,若 p:f ? ? x0 ? ? 0: q : x ? x0 是 f ? x ? 的极值点,则 (A) p 是 q 的充分必要条件 (B) p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 (C) p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 (4)设向量 a , b 满足 |a+b|= 10 , |a-b|= 6 ,则 a * b ? (A)1 (B) 2 (C)3 (D) 5 (5)等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 s n = (A) n ? n ? 1? (B) n ? n ?1? (C)
n ? n ? 1? 2

(D)

n ? n ? 1? 2

(6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出 的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切 削 得 到 , 则 切 削 掉 部 分 的 体 积 与 原 来 毛 坯 体 积 的 比 值 为

(A)

17 27

(B)

5 10 (C) 9 27

(D)

1 3

(7)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 , D 为 BC 终点,则三棱锥

A ? A1 B1C1 的体积为
(A)3 (B)
3 2

(C)1

(D)

3 2

(8)执行右面的程序框图,如果如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

?x ? y ?1 ? 0 ? (9)设 x,y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

(A)8

(B)7

(C)2

(D)1

(10)设 F 为抛物线 C : y2 =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交于 C 于 A, B 两点,则

AB =
(A)
30 3

(B)6

(C)12

(D) 7 3

(11)若函数 f ( x) ? kx ? ln x 在区间(1,+ ? )单调递增,则 k 的取值范围是 (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ?2, ??? (D) ?1, ?? ?

(12)设点 M (x 0 ,1) ,若在圆 O : x 2 ? y2 =1 上存在点 N,使得 ?OMN ? 45°,则 x 0 的取值范 围是 (A) ??1,1?

? 1 1? (B) ? ? , ? ? 2 2?

? (C) ? ? ? 2, 2 ? (D)

? 2 2? , ? ?? ? 2 2 ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个考试考生都必须 做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大概题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种,则他 们选择相同颜色运动服的概率为_______. (14)函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) —2 sin ? cos x 的最大值为_________. f x (15)已知函数 ? ? 的图像关于直线 x =2 对称,zxxk f (0) =3,则 f (?1) ? _______. 1 (16)数列 ?an ? 满足 a n?1 = 1 ? a n , a =2,则 a =_________.
2 1

三、解答题:解答应写出文字说明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3, CD=DA=2. (I)求 C 和 BD; (II)求四边形 ABCD 的面积。 (18)(本小题满分 12 分 来源 http://gaokao.ccutu.com) 如图,四凌锥 p—ABCD 中,zxxk 底面 ABCD 为矩形,PA 上面 ABCD,E 为 PD 的点。 (I)证明:PP//平面 AEC; (II)设置 AP=1,AD= 3 ,三凌
3 ,求 A 到平面 PBD 的距离。 4 (19)(本小题满分 12 分) 某市为了考核甲、 乙两部门的工作情况,学科网随机访问 了 50 位市民。根据这 50 位市民

P-ABD 的体积 V=

(I)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (II)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (III)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价。 (20)(本小题满分 12 分 由 www.ccutu.com 整理) x2 y 2 设 F1 ,F2 分别是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴 a b 垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。 3 (I)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (II)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b。 (21)(本小题满分 12 分) 3 2 已知函数 f(x)= x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐 标为-2. (I) 求 a; (II)证明:当时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,学科网如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延 长线交⊙O 于点 E,证明: (I)BE=EC; (II)AD·DE=2PB2。 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴学科网正 半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ]。 2 (I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(I)中你得到的 参数方程,确定 D 的坐标。
p=2cosθ ,θ ? [0, (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 1 设函数 f(x)=|x+ |+|x-a|(a>0)。 a (I)证明:f(x)≥2; (II)若 f(3)<5,求 a 的取值范围。

2014 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案 一、 选择题 (1)B (2)B (3)C (4)A (5)A (6)C (7)C (8)D (9)B (10)C(11)D(12)A 二、填空题 1 1 (13) (14)1 (15)3 (16) 3 2 三、解答题 (17)解: (1)由题设及余弦定理得 ① BD 2 = BC 2 + CD 2 -2BC-CDcosC =13-12cosC 2 ② BD = AB 2 + DA2 -2AB ? DAcosA =5+4cosC
1 ,故 C=60°,BD= 7 2 (2)四边形 ABCD 的面积 1 1 S= AB DAsinA+ BC CDsinC 2 2 1 1 =( ? 1 ? 2+ ? 3 ? 2)sin60° 2 2 =2 3 (18) 解: (1) 设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO,因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,所 EO//PB, EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,所以 PB//平面 AEC

由①②得 cosC =

1 3 (2) V= PA AB AD= AB 6 6 3 3 由 V= ,可得 AB= 2 4 ? 作 AH PB 交 PB 于 H 由题设知 BC ? 平面 PAB,所以 BC ? AH,故 AH ? PBC。又

AH ? 3 13 所以 A 到平面 PBC 的距离为 13 。

PA ? AB 3 13 ? PB 13

(19)解: (1)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在 25、26 位的是 75、75,故样本中位数是 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序, 排在 25、26 位的是 68、68,故样本中位 66 ? 68 ? 67 2 数,66、68,故样本中为数是 ,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估 计值是 67.
5 ? 0.1 (2)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为 50 , 8 ? 0.16 50 ,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16.

(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数。 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差, 说 明该市市民对甲部门的评价较高,评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大。 (注:考生利用其它统计量进行分析,结论合理的同样给分) (20)解: (20)解: (Ⅰ)根据 c= 以及题设知 M(c, ) ,2 =3ac

将 = - 代入 2 =3ac,解得 = , =-2(舍去) 故 C 的离心率为 (Ⅱ) 由题意, 原点 O 的 的中点,故 =4,即 由 = 得 ① = 即 的中点,M ∥y 轴,所以直线 M 与 y 轴的交点 D 是线段 M

设 N(x,y) ,由题意可知 y<0,则

代入方程 C,得 将①以及 c=

+ =1

② + =1

代入②得到

解得 a=7, a=7, (21)解: ( ) (x)=3 -6x+a, (0)=a 曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2 由题设可知 1-k>0 当x (x)= =3 -6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4 所以 g(x)=0 有(当 x>0 时,令 h(x)= -3 +4,则 g(x)= h(x) (1-k)x> h(x) (x)= 所以 -6x=3x(x-2)

g(x)>h(x) (2)=0 所以 g(x)=0 在(0, )没有实根 综上,g(x)=0 在 R 有唯一的实根,即曲线的 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点 (22)解: (1) 连结 AB, AC 由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠ PDA 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB 所以 DAC= BAD,从而。 。 。 。 。 。 。 因此 = (3) 由切割线定理得 PA2 =PB.PC

因为 PA=PD=DC 所以 DC=2PB,BD=PB 由相交弦定理得 AD*DE=2 PB 2 (23)解: (1)C 的普通方程为 (x?1)2 ? y ? 1(0 ? y ? 1) 可得 C 的参数方程为 x =1+cos t , (t 为参数, 0 ? t ? m ) y ?sin t , (2)设 D(1+cost,sint),由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆, 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同。
2

{

Tant= 3 ,t=

? 3 ? ? 3 3 ,sin ),即( , ) 2 3 3 2

故 D 的直角坐标系为(1+cos

(24)解: (Ⅰ)由 a>0,有 f(x)=|x+1/a|+|x-a|≥|x+1/a-(x-a)|=1/a+a≥2. 所以 f(x)≥2. (Ⅱ)f(x)=|3+1/a|+|3-a|. 当 a>3 时,f(3)=a+1/a,由 f(3)<5 得 3<a< 当 0<a≤3 时, f (3) =6-a+ , f (3) <5 得 <a≤3 综上所诉, a 的取值范围为 ( )


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