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2.3 变量间的相关关系 学案(两个课时)


§2.3.1
【课标定向】

变量间的相关关系

学习目标 相关关系、散点图、相关、负相关、线性 相关. 提示与建议 了解相关关系的有关概念, 会作散点图并 利用散点图直观认识变量间的相关关系.

们可以通过收集大量的数据, 在对数据进行统 计分析的基础上, 发现其中的规律, 对它们的 关系作出判断. 例题15个学生的数学和物理成绩如下 表: 学 学 科 数学 物理 80 70 75 66 70 68 65 64 60 62 A 生 B C D E

【互动探究】
自主探究 1.相关关系与函数关系不同, 相关关系是一种 ______ 性关系. 2.从散点图上看, 点散布在从左下角到右上角 的区域内,两个变量的这种相关关系称为 点散布在从左上角到右下角的区域 ______ , 内,两个变量的相关关系为 ______ . 3.从散点图上看, 如果这些点从整体上看大致 分布在通过散点图中心的一条直线附近, 称两 个变量之间具有 ______ ,这条直线叫 ______ . 4.下列描述正确的是( ) A.相关关系就是函数关系 B. 相关关系和函数关系都是两个随机变量之 间的关系 C.相关关系一定是因果关系 D.相关关系是一种非确定性的关系 5.下列两变量中具有相关关系的是( ) A.正方形的体积与边长 B.人的身高与体重 C.匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D.球的半径与体积 剖例探法 ★讲解点 相关关系的判断 1.相关关系与函数关系的异同点: ⑴相同点:两者均是指两个变量的关系. ⑵不同点: ①函数关系是一种确定的关系, 如匀速直线 运动中时间 t 与路程 s 的关系;相关关系是一 种非确定的关系, 如一块农田的水稻产量与施 肥量之间的关系. 事实上, 函数关系是两个非 随机变量的关系, 而相关关系是随机变量与随 机变量的关系. ②函数关系是一种因果关系, 而相关关系不 一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如, 有人发现, 对于在校儿童, 鞋的大小与阅读能 力有很强的的相关关系, 然而学会新词并不能 使脚变大,而是涉及到第三个因素——年龄, 当儿童长大一些, 他们的阅读能力会提高而且 由于长大脚也变大. 2.相关关系的分析方向: 由于相关关系的不确定性, 在寻找变量间相关 关系的过程中, 统计发挥非常重要的作用, 我

画出散点图,并判断它们是否有相关关 系. 【思维切入】 涉及两个变量: 数学成绩与 物理成绩, 可以以数学成绩为自变量, 考察因 变量物理成绩的变化趋势. 【解析】以 x 轴表示数学成绩, y 轴表示物 理成绩,可得相应的散点图如图所示: 由散点图可见,两者之间有相关关系. 【规律技巧总结】 判断变量之间有无相关 关系,常用的简便可行的方法就是绘散点图.

例题2 下表是某地年降雨量与年平均气 温,判断两者是相关关系吗? 求回归直线方 程有意义吗? 年平均气温 12.51 12.84 12.84 13.69 (℃) 年降雨量 748 542 507 813 (㎜) 年平均气温 13.33 12.74 13.05 (℃) 年降雨量 574 701 432 (㎜) 【思维切入】 总体的平均数与标准差往往 是很难求, 甚至不可求的, 通常的做法是用样 本的平均数与标准差去估计总体的平均数与 标准差, 只要样本的代表性好, 这种做法是合 理的. 【解析】 以 x 轴为年平均气温, y 轴为年 降雨量可得相应的散点图如图:

1

⑴将上表数据制成散点图; ⑵从图中判断年饮食支出与年收入成什么关 系.

【拓展迁移】
思维提升 4.对变量 x , y 有观测数据 xi , yi 因为图中各点并不在一条直线的附近, 所 以两者不具有相关关系, 没必要用回归直线进 行拟合, 如果用公式求得回归直线也是没有意 义的. 【规律技巧总结】 用回归直线进行拟合两 变量关系的一般步骤为: ⑴作出散点图, 判断散点是否在一条直线 附近; ⑵如果散点在一条直线附近, 用公式求出 a , b 并写出线性回归方程. 精彩反思 在研究两个变量之间是否存在某种关系 时,常常从散点图入手,对于散点图,可以作 出如下判断: ①如果所有的样本点都落在某一函数曲 线上, 就用该函数来描述变量之间的关系, 即 变量之间具有函数关系. ②如果所有的样本点都落在某一函数曲 线附近,变量之间就有相关关系. ③如果所有的样本点都落在某一直线附 近,变量之间就有线性相关关系. ④如果散点图中的点的分布几乎没有什 么规律,则这两个变量之间不具有相关关系, 即两个变量之间是相互独立的. ( i ? 1, 2,

,10 ),得散点图;对变量 u , v 有 观测数据 ui , vi ( i ? 1, 2, ,10 ),由这两个
散点图可以判断( ) A.变量 x 与 y 正相关, u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关, u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关, u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关, u 与 v 负相关

5.从某市居民2006-2010年家庭年平均收入 x (单位:万元)与年平均支出 y (单位:万 元)的统计资料如下表所示: 年份 2006 2007 2008 2009 2010 收入 x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 y 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料, 居民家庭年平均收入的中位数 是 ____ ,家庭年平均收入与年平均支出有 ____ 线性相关关系.

【自我测评】
1.有关线性回归的说法,不正确的是( ) A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之 间的关系 D.任一组数据不一定都有回归方程 2.哪些变量是相关关系( ) A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D.铁的大小与质量 3.设某地10户家庭的年收入 x (单位:万元) 和年饮食支出 y (单位:万元)的统计资料 如下表: 年收入 x 2 4 4 6 6 年饮食支出 年收入 x 年饮食支出 0.9 6 1.9 1.4 7 1.8 1.6 7 2.1 2 8 2.2 2.1 10 2.3

§2.3.2
【课标定向】

线性回归方程

学习目标 回归直线;最小二乘法,线性回归方程.
2

提示与建议 1.理解回归直线的概念; 2.理解最小二乘法求回归方程的思想, 在 所给数据较简单的情况下, 能用最小二乘法求 线性回归方程; 3.会使用科学计算器求线性回归方程.

yi

-9 9

-7 -5 -3 -1 1 14 15 12

5

3

7 9

xi yi

5 5 15 12 14 9

经计算,得: x ? 0, y ? 0 ,

【互动探究】
自主探究 1.回归直线方程为 y ? bx ? a 其中 ,

?x
i ?1

10

2 i

? 110, ? yi2 ? 310, ? xi xi ? 110
i ?1 i ?1

10

10



? ( xi ? x)( yi ? y ) ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 1 ?b ? ? i? n n , ? ( xi ? x)2 xi2 ? n( x)2 ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? ________ b 是回归方程的斜率, a 是截距.
n n

b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

110 ? 10 ? 0 ? 1, 110 ? 10 ? 0

a ? y ? bx ? 0 ? b ? 0 ? 0 ,
∴所求回归直线方程为 y ? x . 【规律技巧总结】求线性回归直线方程的 步骤: 第一步,列表 ( xi , yi , xi yi ) ; 第二步, 计算 x, y,

2.下列变量是线性相关的是( ) A.人的身高与视力 B.角的大小与所对的圆弧长 C.收入水平与纳税水平 D.人的年龄与身高 3.两变量成负相关关系时,散点图的特征是 ( ) A.点散布特征为从左下角到右上角区域 B.点散布在某带形区域内 C.点散布在某圆形区域内 D.点散布特征为从左上角到右下角区域内 剖例探法 ★讲解点一 求线性回归方程 回归分析是对具有相关关系的两个变量 进行统计分析的方法,它主要涉及下列内容: ⑴从一组数据出发, 分析变量间存在什么 关系, 建立这些变量之间的关系式 (通常叫回 归方程)并对关系式的可信度进行统计检验. ⑵利用回归方程, 根据一个或几个变量的 值,预测或控制另一变量的取值. ⑶从影响某一变量的许多变量中, 判断哪 些变量的影响是显著的, 哪些是不显著的, 从 而建立更实用的回归方程. 对回归直线方程 y ? bx ? a 中参数的求 法, 应了解其思想, 增强用回归直线方程解决 相关实际问题的意识. 例题1观察两相关变量如下数据: x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 求两变量间的回归方程. 【思维切入】 本题主要考察求回归直线方 程的方法,设方程为 y ? bx ? a . 【解析】列表: i 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 5 3 xi

? xi2 , ? yi2 , ? xi xi ;
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

第三步,代入公式计算 b, a 的值; 第四步,写出直线方程. 讲解点二 线性回归分析 线性回归分析: 由样本数据求得线性回归 方程后, 我们就用这个方程对这两个变量进行 统计分析, 这是由样本估计总体的统计思想在 新情境中的应用,这个方法的具体操作步骤 是: ⑴作出散点图, 判断两个变量是否线性相 关; ⑵如果两个变量线性相关, 则用最小二乘 法求出线性回归方程; ⑶根据回归方程进行统 计分析, 即由一个变量的变化去估计另一个变 量的变化. 例题2有一位同学家里开了一个小卖部, 他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统 计, 得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比 表: 温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 (℃) 热饮料 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 数 ⑴画出散点图;⑵求回归方程; ⑶如果某天的气温是2℃,预测这天卖出 的热饮杯数. 【解析】 ⑴以 x 轴表示温度, y 轴表示热 饮杯数,可得相应的散点图如图:

8 4

9 10 2 1
3

思维提升 5.某个体服装店经营某种服装在某周内获纯 利 y(元) 与该周每天销售这件服装件数 x 之 间有如下一组数据: x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 ⑵从散点图可以看出,这些点大致分布在 一条直线附近,因此可用公式求出回归方程的 系数,利用计算器容易求得回归方程为 已知

y ? ?2.352x ?147.767 .
⑶当 x ? 2 时, y ? 143.063 . 因此某天的 气温为2℃时, 我们预测卖出的热饮杯数为 143 杯. 【规律技巧总结】我们不能说小卖部一 定能够卖出143杯左右的热饮,事实上,有可能 因其它某些随机因素,出现极大的偏差,这个 143杯是对气温为的日子中大部分情况下所作 出的估计. 精彩反思 1.注意回归直线方程必过点 ( x, y ) . 2.注意回归直线方程是 y ? bx ? a 而不是

? xi2 ? 280, ? yi2 ? 45309, ? xi xi ? 3487
i ?1 i ?1 i ?1

7

7

7

, ⑴求 x, y ;⑵求 y 纯利与每天销售件数 x 之 间的回归直线方程.

y ? bx ? a . 【自我测评】 1.已知 x , y 之间的数据如下表所示, 则y与x
之间的线性回归方程过点( x 1.08 1.12 1.19 1.28 y 2.25 2.37 2.40 2.55 A. (0, 0) B. ( x, 0) )

C. (0, y )

D. ( x, y ) 2.下列关于回归直线的命题,正确的个数是 ( ) ①回归直线通过散点图的中心 ( x, y ) ; ②回归 直线必经过散点图的多个点; ③对给定数据组 ( xi , yi ) (1≤ i ≤ n )得出的散点图,回归直 线可有多条; ④如果散点图中点的分布从整体 上看大致在一条直线附近, 且散点图中各点到 这条直线的离差最小,这条直线是回归直线 A.0 B.1 C.2 D.3 3.实验测得四组 ( x, y ) 的值为 (1, 2) , (2,3) ,

(3, 4) , (4,5) ,则 y 与 x 之间的回归直线方
程为( ) B. y ? x ? 2 A. y ? x ? 1

C. y ? 2x ? 1 D. y ? x ?1 4.若施化肥量 x 与 y 小麦产量之间的回归直 线方程 y ? 4x ? 250 ,当施化肥量为50㎏时, 预计小麦产量为 _____ .

【拓展迁移】
4


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